Bài giảng Xử lý số liệu trắc địa

Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 GV: Thái Văn Hòa 1 GV: THÁI VĂN HÒA BM: CÔNG NGHỆ ĐỊA CHÍNH Email: thaihoa@hcmuaf.edu.vn hoa.cndc@gmail.com Tell: 0908670778 hoặc 0964027940 Website: Tp. Hồ Chí Minh - 2014 KHOA QUẢN LÝ ĐẤT ĐAI & BẤT ĐỘNG SẢN BỘ MÔN CÔNG NGHỆ ĐỊA CHÍNH ---***--- BÀI GIẢNG XỬ LÝ SỐ LIỆU TRẮC ĐỊA I. Chuyên cần 10% - Nghỉ 1 buổi học trừ 2 điểm chuyên cần. - Nghỉ từ 3 buổi trở lên cấm thi cuối môn học. I. Hoàn thành nội dung bài tập lớn 30% - Bình sai lưới bằng phần mềm và làm trực tiếp. II. Thi cuối kỳ 60% - Đề mở (Không dùng máy Vi tính và điện thoại) - Thời gian 60’. YÊU CẦU MÔN HỌC Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 GV: Thái Văn Hòa 2 MỞ ĐẦU 1. Nhiệm vụ và nội dung môn học + Nhiệm vụ: Nhiệm vụ của môn học là giảng dạy lý thuyết cơ bản và phương pháp cơ bản của bình sai trắc địa, đặt cơ sở tốt cho việc đi sâu học tập và nghiên cứu bình sai trắc địa. + Nội dung môn học: - Lý thuyết sai số ngẫu nhiên: Gồm các đặc tính của sai số ngẫu nhiên và luật truyền sai số ngẫu nhiên; định nghĩa trọng số, sai số trung phương và phương pháp xác định trọng số. - Khái niệm và xây dựng mô hình hàm số và mô hình ngẫu nhiên của bình sai trắc địa, nguyên lý và phương pháp bình phương nhỏ nhất. - Các phương pháp cơ bản của bình sai trắc địa: Phương pháp bình sai điều kiện; phương pháp bình sai gián tiếp (tham số). Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 GV: Thái Văn Hòa 3 2. Sơ lược lịch sử phát triển của bình sai trắc địa Gauss (30/4/1777 – 23/2/1855) 3. Các đơn vị đo thường dùng trong trắc địa a, Khoảng cách km, m, dm, cm, mm. b, Đo góc Radian, độ, Grad. Ký hiệu: Radian: rad; Độ: 0, phút: ', giây: "; Grad: g, phút grad: c, giây grad: cc. Tính chuyển giữa đơn vị Radian và Độ: 0 = 1800/ = 570 17' 44",81; ’ = 60. 0  3437,7468’  ” = 3600.0  206265” (206264,806247096”) Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 GV: Thái Văn Hòa 4 4. Sai số đo + Nguyên nhân của sai số: - Máy đo - Người đo - Điều kiện ngoại cảnh + Phân loại sai số: - Sai số ngẫu nhiên - Sai số hệ thống - Do máy, dụng cụ đo Loại máy Sai số đo góc () Sai số đo cạnh (mm) TS02 7 2+2ppmxD Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 GV: Thái Văn Hòa 5 - Do người đo - Điều kiện ngoại cảnh Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 GV: Thái Văn Hòa 6 -Khái niệm sai số ngẫu nhiên: Trong điều kiện đo như nhau tiến hành đo một loạt, nếu sai số biểu hiện có tính chất ngẫu nhiên về độ lớn và dấu, tức từ sai số đơn lẻ mà xét, độ lớn và dấu của sai số đó không có tính quy luật, nhưng từ tổng thể của số lượng lớn sai số mà xét thì có quy luật thống kê nhất định, loại sai số này gọi là sai số ngẫu nhiên. - Khái niệm sai số hệ thống: Trong điều kiện đo như nhau tiến hành đo một loạt, nếu sai số biểu hiện có tính chất hệ thống về độ lớn và dấu, hoặc biến đổi theo một quy luật nhất định, hoặc là một hằng số thì loại sai số đó gọi là sai số hệ thống. CHƯƠNG 1: TIÊU CHUẨN ĐỘ CHÍNH XÁC VÀ LAN TRUYỀN SAI SỐ 1.1. Tính quy luật của sai số ngẫu nhiên Giả thiết tiến hành đo n lần, các trị đo là ,, ,, giả định trị thực của các đại lượng đo là ,, , vì các trị đo đều có sai số, do đó giữa trị đo và trị thực tồn tại sai lệch, giả thiết là Δ = (1-1) Hoặc theo dạng ma trận: Δ = (1-2) Hoặc biểu diễn qua kỳ vọng toán: = Δ = (1-3) Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 GV: Thái Văn Hòa 7 Xét ví dụ: Tại một khu đo, trong điều kiện như nhau, đã đo độc lập toàn bộ các góc trong của 358 tam giác, vì các trị đo có sai số nên tổng 3 góc trong của tam giác không bằng trị thực 1800 . Dựa vào (1-1), sai số thực của tổng 3 góc trong của các tam giác được tính theo công thức: = 180 + + (i=1,2,..., 358) Lấy khoảng chia sai số d là 0,20", sắp xếp dãy sai số này theo dấu và độ lớn; thống kê số lượng vi sai số xuất hiện trong mỗi khoảng, tần suất (ở đây n = 358) của sự kiện “sai số xuất hiện trong khoảng j”, kết quả ghi trong bảng 1-1. Khoảng sai số "  có giá trị âm  có giá trị dương Ghi chúS/l vj T/s Sl vj T/s 0,000,20 45 0,126 0,630 46 0,128 0,640 d=0,20"; Sai số có giá trị bằng giá trị bên trái khoảng chia được tính vào khoảng chia đó 0,200,40 40 0,112 0,560 41 0,115 0,575 0,400,60 33 0,092 0,460 33 0,092 0,460 0,600,80 23 0,064 0,320 21 0,059 0,295 0,801,00 17 0,047 0,235 16 0,045 0,225 1,001,20 13 0,036 0,180 13 0,036 0,180 1,201,40 6 0,017 0,085 5 0,014 0,070 1,401,60 4 0,011 0,055 2 0,006 0,030 >1,60 0 0 0 0 0 0 Tổng 181 0,505 177 0,495 Bảng 1-1 Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 GV: Thái Văn Hòa 8 Từ bảng 1-1 có thể thấy, tình trạng phân bố sai số có các tính chất sau đây: - Trị tuyệt đối của sai số có một giá trị giới hạn nhất định; - Sai số có giá trị tuyệt đối nhỏ nhiều hơn sai số có giá trị tuyệt đối lớn; - Số lượng các sai số âm, dương có giá trị tuyệt đối bằng nhau xấp xỉ như nhau. Hình 1-2 Hình 1-1 Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 GV: Thái Văn Hòa 9 Đường cong phân bố xác suất sai số, hoặc đường cong phân bố sai số. Hình 1-3 Quy luật của sai số ngẫu nhiên: 1. Trong đ/kiện đo nhất định, giá trị tuyệt đối của sai số có một giới hạn nhất định, nói cách khác, sai số vượt quá một giới hạn nhất định, xác suất xuất hiện của nó bằng không; 2. Xác suất xuất hiện sai số có trị tuyệt đối nhỏ lớn hơn xác suất xuất hiện sai số có trị tuyệt đố lớn; 3. Xác suất xuất hiện sai số âm, dương có trị tuyệt đối bằng nhau là như nhau; 4. Theo (1-3) có thể biết, kỳ vọng toán của sai số ngẫu nhiên bằng không, tức = = = 0 (1-4) Hoặc, trị trung bình lý thuyết của sai số ngẫu nhiên bằng không. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 GV: Thái Văn Hòa 10 Mật độ xác suất của  là: = (1-5) Trong đó:  là sai số trung phương (trong toán thống kê thường gọi  là độ lệch chuẩn, trong trắc địa gọi là sai số trung phương và thường ký hiệu là m). Trong công thức trên, sau khi đã xác định , thì có thể vẽ đường cong phân bố sai số tương ứng. Vì E()=0, nên đường cong nhận trục tung có hoành độ bằng 0 làm trục đối xứng. Khi  khác nhau, vị trí của đường cong không thay đổi, nhưng hình dạng của đường cong phân bố có thay đổi. Từ những nghiên cứu trên đây cho thấy, sai số ngẫu nhiên  là biến ngẫu nhiên tuân theo phân bố N(0, 2). ĐƯỜNG CONG PHÂN BỐ CHUẨN Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 GV: Thái Văn Hòa 11 Xét hai ví dụ trên: 1.2. Tiêu chuẩn đánh giá độ chính xác Hình 1-2 Hình 1-1 1.2.1. Phương sai và sai số trung phương Hàm mật độ xác suất của sai số  là = 1 2 Từ định nghĩa của phương sai, ta biết = = = Do  chính là sai số trung phương σ = (1-6) Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 GV: Thái Văn Hòa 12 Dựa vào định nghĩa của tích phân có thể viết = = = lim → = lim → Thực tế, số lượng trị đo n luôn là hữu hạn, từ số lượng hữu hạn của sai số thực của các trị đo chỉ có thể tìm được giá trị ước lượng của phương sai và sai số trung phương. = = ± (1-7) Tính sai số trung phương một lần đo theo trị trung bình ta có công thức: = [] 1 Trong đó = + + + = (1-8) Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 GV: Thái Văn Hòa 13 Tính sai số trung phương một lần đo theo trị trung bình ta có công thức: = [] 1 Trong đó = + + + = (1-8) 1.2.2. Các loại sai số khác a, Sai số trung bình Trong điều kiện đo nhất định, kỳ vọng toán của trị tuyệt đối của một dãy sai số ngẫu nhiên độc lập gọi là sai số trung bình. Giả thiết  biểu thị sai số trung bình, ta có = Δ = Hoặc viết dưới dạng: = lim → Tức sai số trung bình là giá trị giới hạn của trị trung bình của trị tuyệt đối của một dãy các sai số ngẫu nhiên độc lập. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 GV: Thái Văn Hòa 14 Vì số lượng n các trị đo luôn là hữu hạn, do đó trên thực tế cũng chỉ có thể dùng trị ước lượng của  để đánh giá độ chính xác, ký hiệu , nhưng vẫn gọi đơn giản là sai số trung bình, thì = [||] (1-9) Nếu tính theo trị trung bình ta có = [||] (1-10) với = Công thức quan hệ lý thuyết giữa sai số trung bình và sai số trung phương. = ; = (1-11) b, Sai số xác suất Xác suất sai số ngẫu nhiên  xuất hiện trong khoảng (a,b) là < ≤ = ∫ Sai số xác suất  được định nghĩa là xác suất sai số xuất hiện trong khoảng (-,+) bằng 1/2, tức = 1 2 Cách tìm sai số xác suất gần đúng: sắp xếp giá trị tuyệt đối độ lệch từ nhỏ tới lớn sau đó lấy giá trị  nằm giữa chuỗi ( = ). Quan hệ giữa sai số xác suất và sai số trung phương. ≈ ; ≈ (1-12) Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 GV: Thái Văn Hòa 15 c, Sai số giới hạn Sai số trung phương không đại biểu cho độ lớn bé của sai số cá biệt, mà đại biểu cho độ phân tán của phân bố sai số. Dựa vào bảng phân bố chuẩn tra được, trong một dãy lớn các sai số của các trị đo cùng độ chính xác, xác suất sai số xuất hiện trong khoảng (-, +), (-2, +2) và (-3, +3) phân biệt là: < < + ≈ 68,3% 2 < < + 2 ≈ 95,5% (1-13) 3 < < + 3 ≈ 99,7% Do đó, thường lấy 3 lần sai số trung phương làm sai số giới hạn gh của sai số ngẫu nhiên và gọi là sai số giới hạn, tức gh = 3 (1-14) Trong thực tiễn cũng lấy 2 làm sai số giới hạn, lấy trị ước lượng của sai số trung phương thay cho , tức lấy 2 hoặc 3 làm sai số giới hạn. Đồng thời, (1-14) cũng phản ánh quan hệ xác suất giữa sai số trung phương và sai số thực. Trong trắc địa, nếu một sai số nào đó vượt quá sai số giới hạn thì xem là sai lầm, trị đo tương ứng cần loại bỏ không dùng. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 GV: Thái Văn Hòa 16 d, Sai số tương đối Đối với một số kết quả đo, có khi nếu chỉ dựa vào sai số trung phương thì vẫn chưa thể hoàn toàn kết luận được kết quả đo tốt hay không. Sai số trung phương tương đối là một tỷ số không đơn vị, trong trắc địa thường biến đổi để tử số bằng 1, tức 1/N. Đối với sai số thực và sai số giới hạn, có khi cũng dùng sai số tương đối để biểu thị. Ví dụ, khi đo đường chuyền kinh vĩ, quy phạm quy định sai số khép tương đối không được vượt quá 1/2.000, đó là sai số giới hạn tương đối; còn trong thực tế đo sinh ra sai số khép tương đối, đó là sai số thực tương đối. Sai số thực, sai số trung phương, sai số giới hạn đều gọi là sai số tuyệt đối. 1.3.1. Phương sai Giả thiết có trị đo X và Y, định nghĩa hiệp phương sai của chúng là = (1-15) = (1-16) Trong thực tế, n luôn là hữu hạn, do đó cũng chỉ có thể tìm được trị ước lượng của nó, ký hiệu là = (1-17) 1.3. Luật truyền hiệp phương sai Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 GV: Thái Văn Hòa 17 Nếu = 0 biểu thị sai số giữa hai trị đo (hoặc hai dãy trị đo) không ảnh hưởng lẫn nhau, hoặc nói cách khác, sai số của chúng là không tương quan và gọi các trị đo này là các trị đo không tương quan; Nếu ≠ 0, biểu thị sai số của chúng là tương quan, gọi các trị đo này là các trị đo tương quan. Vì trong trắc địa các trị đo và sai số của các trị đo đều là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân bố chuẩn, mà đối với biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn, “không tương quan” và “độc lập” là tương đương, do đó các trị đo không tương quan cũng gọi là các trị đo độc lập, tương tự, các trị đo tương quan cũng gọi là các trị đo không độc lập. Giả thiết có n trị đo tương quan không cùng độ chính xác Xi (i=1,2,...,n), kỳ vọng toán và phương sai của chúng là và , hiệp phương sai giữa chúng là (i ≠ j), dùng ma trận để biểu thị là: = ; = = = Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 GV: Thái Văn Hòa 18 Xét hai dãy trị đo , và ,, kỳ vọng toán của chúng phân biệt là và . Ký hiệu = thì ma trận hiệp phương sai của Z là = trong đó DXX và DYY phân biệt là ma trận hiệp phương sai của X và của Y. DXY là ma trận hiệp phương sai tương hỗ của vector trị đo X liên quan đến Y. Khi số chiều của X và Y là n = r = 1 (tức X, Y đều là một trị đo), ma trận hiệp phương sai tương hỗ chính là hiệp phương sai của X liên quan đến Y. = (1-18) = = (1-19) Nếu DXY = 0, thì gọi X và Y là các vector trị đo độc lập với nhau. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 GV: Thái Văn Hòa 19 1.3.2. Phương sai của hàm tuyến tính các trị đo Giả thiết có trị đo ,, kỳ vọng toán là , ma trận hiệp phương sai là . Giả thiết hàm số tuyến tính của X là = + (1-20) trong đó = Tìm phương sai DZZ của Z. Trước tiên, tìm kỳ vọng của (1-20), ta được = + = + Theo định nghĩa của phương sai, ta biết, phương sai của Z là = = Do đó: = = (1-21) Khi các phần tử Xi (i=1, 2, ..., n) trong vector độc lập với nhau, hiệp phương sai = 0, biểu thức trên có dạng: = = + + + (1-22) Thường gọi các biểu thức (1-21), (1-22) là luật truyền hiệp phương sai. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 GV: Thái Văn Hòa 20 Ví dụ [1-3] Giả thiết X là hàm của các trị đo độc lập L1, L2, L3 = 7 + 2 7 + 4 7 Biết sai số trung phương của L1, L2, L3 là 1=±3mm, 2=±2mm, 3=±1mm. Tính sai số trung phương của X. Giải: Vì L1, L2, L3 là các trị đo độc lập, theo (1-32) ta có = 1 7 + 2 7 + 4 7 = 1 49 9 + 4 49 4 + 16 49 1 = 0,84 () = ±0,9 1.3.3. Ma trận hiệp phương sai của nhiều hàm tuyến tính của các trị đo Giả thiết có trị đo ,, kỳ vọng toán và ma trận hiệp phương sai DXX như (1-28), có t hàm số tuyến tính của X: = + + + + = + + + + ............................................................. (1-23) = + + + + Tìm phương sai của Z1, Z2, ..., Zt và hiệp phương sai giữa chúng. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 GV: Thái Văn Hòa 21 Ký hiệu = ; = ; , = ; = thì (1-23) có thể viết , = ,, + , (1-24) Cần tìm ma trận hiệp phương sai DZZ của Z. Kỳ vọng toán của Z là = + = + Do đó, ma trận hiệp phương sai của Z là = ,, (1-25) 1.3.4. Trường hợp hàm số phi tuyến tính Giả thiết có hàm số phi tuyến tính của trị đo , Z=f(X) (1-26) Hoặc viết dưới dạng Z=f(X1, X2, ..., Xn) (1-27) Biết ma trận hiệp phương sai DXX của . Tìm phương sai DZZ của Z? Giới thiệu 2 cách tính phổ biến hiện nay xử lý hàm phi tuyến tính: - Khai triển theo chuỗi Taylor - Vi phân toàn phần. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 GV: Thái Văn Hòa 22 Giả thiết trị đo X có trị gần đúng là , , = thì có thể khai triển Taylor hàm (1-27) tại điểm , : = , , , + + + + + á ố ạ ậ 2 ở ê = + + + + , , , (1-29) Khai triển theo chuỗi Taylor: (1-28) Ký hiệu = = = , , , thì = + Do đó phương sai DZZ của Z là: = = Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 GV: Thái Văn Hòa 23 Nếu ký hiệu = = 1,2, , = = = , , , thì (1-28) được viết thành = + + + = . Dễ thấy, biểu thức trên đây là vi phân toàn phần của hàm phi tuyến tính (1-27). Khi ứng dụng luật truyền hiệp phương sai, chỉ cần biết ma trận hệ số K trong biểu thức. Do đó, để tính phương sai của hàm phi tuyến tính, chỉ cần tìm vi phân toàn phần của nó là được. Vi phân toàn phần Nếu có t hàm số phi tuyến tính Z1=f1(X1, X2, ..., Xn) Z2=f2(X1, X2, ..., Xn) .............................. Zt=ft(X1, X2, ..., Xn) Lấy vi phân toàn phần t hàm số = + + + = + + + .................................................................................. = + + + Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 GV: Thái Văn Hòa 24 Tương tự ký hiệu ma trận hệ số K, ẩn số X ta được = . Ma trận hiệp phương sai của = 1.4.1. Độ chính xác trị trung bình cộng của các trị đo độc lập cùng độ chính xác Giả thiết đo N lần độc lập, cùng độ chính xác một đại lượng, được các trị đo L1, L2, ..., LN, sai số trung phương đều bằng . Trị trung bình cộng x của N trị đo là = = + + + Phương sai của trị trung bình cộng x là = 1 + 1 + + 1 = Hoặc sai số trung phương của trị trung bình cộng x là = (1-30) 1.4. Ứng dụng luật truyền hiệp phương sai trong trắc địa Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 GV: Thái Văn Hòa 25 1.4.2. Ảnh hưởng tổng hợp của một số sai số độc lập Trong trắc địa thường gặp trường hợp: một kết quả đo đồng thời chịu ảnh hưởng tổng hợp của nhiều sai số độc lập. Ví dụ ảnh hưởng sai số ngắm chuẩn, sai số đọc số, sai số lệch mục tiêu và sai số lệch máy đối với đo góc. Trong trường hợp này, sai số thực của kết quả là tổng đại số của các sai số độc lập, tức = + + + Ở đây sai số thực độc lập với nhau, sự xuất hiện của các sai số đều là ngẫu nhiên, do đó có thể từ (1-32) và để ý đến ij=0 sẽ có được biểu thức quan hệ phương sai giữa chúng = + + + Tức phương sai của kết quả đo bằng tổng phương sai của các sai số độc lập đối ứng. 1.5.1. Khái niệm trọng số Giả thiết có các trị đo Li (i = 1, 2, ..., n), phương sai của chúng là ( = 1,2, ,), nếu chọn một hằng số bất kỳ 0, thì định nghĩa: = (1-31) Là trọng số của trị đo Li Tính chất của trọng số: - Đối với một dãy các trị đo, tỷ số trọng số của chúng bằng tỷ số của nghịch đảo phương sai tương ứng. - Phương sai có thể là phương sai của trị đo của cùng một đại lượng, cũng có thể là phương sai của trị đo không cùng một đại lượng. - 0 là hằng số tuỳ ý chọn. 1.5. Trọng số, phương pháp thường dùng xác định trọng số Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 GV: Thái Văn Hòa 26 Ví dụ: Lưới thuỷ chuẩn như hình 1-8, đã biết chiều dài của các tuyến là S1 = 1,5 km; S2 = 2,5 km; S3 = 2,0 km; S4 = 4,0 km; S5 = 3,0 km. Trong lưới thuỷ chuẩn này, nếu chúng ta không biết cụ thể trị số của sai số trung phương của chênh cao đo được trên tuyến 1 km, mà chỉ biết độ chính xác của chênh cao đo được trên tuyến 1 km là như nhau. Lúc đó, giả định sai số trung phương của chênh cao trên mỗi km là km. P3 5 P23 A P1 1 4 2 Hình 1-8 Sai số trung phương của chênh cao đo được trên các tuyến là: Nếu chọn: thì được: Nếu chọn: thì được: Nhóm trọng số này mặc dù 0 có trị số khác, độ lớn bé cũng khác với nhóm trước, nhưng chúng cũng phản ánh độ chính xác của các chênh cao như nhóm trước. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 GV: Thái Văn Hòa 27 Nhận xét: Chọn một giá trị 0, tức có một nhóm trọng số tương ứng. Một nhóm trọng số của các trị đo, độ lớn bé của chúng khác nhau tuỳ thuộc sự khác nhau của 0, nhưng 0 được chọn với bất kỳ giá trị nào, quan hệ tỷ lệ giữa các trọng số vẫn không thay đổi. Để trọng số có tác dụng so sánh độ chính xác cao thấp, trong một bài toán chỉ có thể chọn một giá trị 0, không thể chọn nhiều giá trị 0, nếu không sẽ phá vỡ quan hệ tỷ lệ giữa các trọng số. Chỉ cần cho trước những điều kiện nhất định. 1.5.2. Sai số trung phương trọng số đơn vị Sai số trung phương trọng số đơn vị là sai số trung phương có trọng số bằng 1. Do đó, thường gọi 0 là sai số trung phương trọng số đơn vị,