Bài tập Ôn toán kinh tế

BÀI TẬP ÔN TOÁN KINH TẾ Phần 1. Hàm số và giới hạn 1. Cho biết hàm cung và hàm cầu của thị trường một hàng hóa như sau: 24 1; 159 2S DQ p Q p    a) Hãy so sánh lượng cung, lượng cầu ở các mức giá p=7; p=8,1 b) Xác định giá cân bằng và lượng cân bằng của thị trường. Đ/S: a) QsQD khi p=8,1 b) 8; 31p Q  2. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất như sau: 3 2100Q L ; trong đó L là lượng sử dụng lao động và Q là lượng sản phẩm đầu ra trong mỗi tuần. a) Hãy cho biết lượng sản phẩm đầu ra mỗi tuần khi doanh nghiệp sử dụng 64 đơn vị lao động mỗi tuần và giữ nguyên mức sử dụng các yếu tố đầu vào khác. b) Tại mức sử dụng 64 đơn vị lao động mỗi tuần, nếu doanh nghiệp thêm 1 đơn vị lao động mỗi tuần thì sản lượng đầu ra mỗi tuần tăng bao nhiêu (tính xấp xỉ đến 1 chữ số thập phân) Đ/S: a) Q=1600 b) ΔQ=16,6 3. Một nhà sản xuất có hàm chi phí như sau: 3 25 20 9TC Q Q Q    a) Hãy tính tổng chi phí sản xuất tại các mức sản lượng Q=1; Q=2 và Q=10. b) Cho biết chi phí cố định và hàm chi phí khả biến. Đ/S: a) TC=25 khi Q=1; TC=37 khi Q=2; TC=709 khi Q=10 b) FC=9; 3 25 20VC Q Q Q   4. Với hàm chi phí cho ở bài 3, hãy lập hàm lợi nhuận của nhà sản xuất trong các trường hợp sau: a) Nhà sản xuất hoạt động trong môi trường cạnh tranh và giá thị trường của sản phẩm là p=28. b) Nhà sản xuất hoạt động trong môi trường độc quyền và lượng cầu đối với sản phẩm ở mỗi mức giá p là: 190 0,5Q p  Đ/S: 3 2 3 2) 5 8 9 ) 3 360 9a Q Q Q b Q Q Q           Phần 2. Dãy số 1. Trong điều kiện lãi suất 0,9% một tháng, hãy cho biết: a) Giá trị tương lai của 3 triệu đồng bạn có hôm nay sau 3 năm. b) Giá trị hiện tại của khoản tiền 5 triệu đồng bạn sẽ nhận được sau 4 năm. Đ/S: a) 4,1419 triệu b) 3,2523 triệu 2. Một dự án đòi hỏi vốn đầu tư ban đầu là 6000$ và sẽ đem lại 10.000$ sau 5 năm. Trong điều kiện lãi suất tiền gửi ngân hàng là 9% một năm có nên đầu tư vào dự án đó hay không? Tính NPV của dự án đó? Đ/S: nên đầu tư, NPV=499,3 $ 3. Một công ty đề nghị bạn góp vốn 3500$ và đảm bảo sẽ trả cho bạn 750$ mỗi năm liên tiếp trong 7 năm. Bạn có chấp nhận góp vốn hay không nếu bạn còn có cơ hội đầu tư tiền vào chỗ khác với lãi suất 9% một năm. Đ/S: chấp nhận bởi vì với lãi suất 9% một năm giá trị hiện tại của luồng tiền công ty trả là 3774,7$ 4. Một dự án đòi hỏi chi phí ban đầu 40 triệu đồng và sẽ đem lại 10 triệu sau 1 năm, 20 triệu sau 2 năm và 30 triệu sau 3 năm. Dự án đó có lợi về mặt kinh tế không nếu lãi suất hiện hành là 10% một năm? Đ/S: Có lợi bởi vì với lãi suất 10% một năm giá trị hiện tại của luồng tiền dự án đem lại là 49,159 triệu đồng. 5. Một dự án đòi hỏi phải đầu tư ban đầu 7500$ và sau một năm sẽ đem lại cho bạn 2000$ mỗi năm, liên tiếp trong 5 năm. Hãy tính giá trị hiện tại ròng của dự án đó trong điều kiện lãi suất 12% một năm. Có nên thực hiện dự án đó hay không? Đ/S: NPV= - 290,448; không nên thực hiện Phần 3. Đạo hàm và vi phân 1. Hãy lập hàm chi phí cận biên và hàm chi phí bình quân, cho biết hàm chi phí: a) 23 7 12TC Q Q   b) 3 22 3 4 10TC Q Q Q    2. Cho biết hàm doanh thu: 2200 3TR Q Q  Hãy lập hàm doanh thu cận biên và hàm cầu đối với sản phẩm. 3. Cho biết hàm cầu đối với sản phẩm của nhà sản xuất độc quyền với giá p tính bằng $: 500 0,2Q p  Hãy tính MR tại mức sản lượng Q=90 và giải thích ý nghĩa. 4. Cho biết hàm cầu đối với một loại hàng hóa như sau: 23200 0,5Q p  a) Tính hệ số co dãn của cầu theo giá ở mức giá p<80 b) Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại các mức giá p=20; p=50 và giải thích ý nghĩa 5. Cho hàm cầu tuyến tính:  . , 0Q a b p a b   Gọi  là hệ số co dãn của cầu theo giá, hãy chứng minh rằng: 1 ; 1 0 ; 1 0 2 2 2 a a a a khi p khi p khi p b b b b               6. Cho tổng doanh thu của một nhà sản xuất độc quyền tại mỗi mức sản lượng Q là 2500 4TR Q Q  . Hãy tính hệ số co dãn theo giá của cầu đối với sản phẩm của nhà sản xuất đó tại mức giá p=300 và giải thích ý nghĩa. 7. Cho biết hàm lợi nhuận của nhà sản xuất như sau: 3 2 1 14 60 54 3 Q Q Q      Hãy tìm mức sản lượng tối ưu để lợi nhuận tối đa. Đ/S: Q=30 8. Hãy xác định mức sản lượng tối ưu biết hàm doanh thu và hàm chi phí như sau: a) 2 3 24000 33 2 3 400 5000TR Q Q TC Q Q Q      b) 2 3 24350 13 5,5 150 675TR Q Q TC Q Q Q      Đ/S: a) Q=20 b) Q=35 9. Hãy xác định mức sản lượng tối ưu của nhà sản xuất cho biết hàm doanh thu cận biên và hàm chi phí cận biên như sau: 25900 20 6 8 140MR Q MC Q Q     Đ/S: Q=30 10. Một nhà sản xuất độc quyền bán sản phẩm trên thị trường có hàm cầu ngược: 1400 7,5p Q  a) Tính hệ số co dãn của cầu theo giá ở mỗi mức giá p; b) Xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa, cho biết hàm chi phí cận biên là: 23 12 140MC Q Q   Đ/S: a) 1400 Q p p p    b) Q=20 11. Một nhà sản xuất tiêu thụ sản phẩm trên thị trường cạnh tranh với giá 20$. Cho biết hàm sản xuất 3 212Q L và giá thuê lao động là 40$. Hãy xác định mức sử dụng lao động cho lợi nhuận tối đa. Đ/S: L=64 12. Một nhà sản xuất độc quyền tiêu thụ sản phẩm trên thị trường có hàm cầu: D(p)=750-p. Cho biết hàm sản xuất 6Q L và giá thuê lao động là 14$. Hãy xác định mức sử dụng lao động cho lợi nhuận tối đa. Đ/S: L=2025 Phần 4: Hàm nhiều biến 1. Một công ty cạnh tranh sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất 35 .Q K L với Q, K, L được tính hàng ngày a) Hãy viết phương trình đường đồng lượng ứng với mức sản lượng Q=200. b) Hãy biểu diễn tổng doanh thu, tổng chi phí và tổng lợi nhuận hàng ngày của công ty theo K và L, cho biết giá sản phẩm trên thị trường là 4$, giá tư bản là 15$, giá lao động là 8$ và mỗi ngày công ty phải trả 50$ chi phí khác. Đ/S: 3 3 3) . 40 ) 20 . ; 15 8 50; 20 . 15 8 50a K L b TR K L TC K L K L K L         2. Một nhà sản xuất độc quyền có hàm sản xuất 1/3 5/640Q K L và tiêu thụ sản phẩm trên thị trường có hàm cầu D(p)=350-3p. Hãy lập hàm số biểu diễn tổng doanh thu theo K và L. Đ/S:  1/3 5/6 1/3 5/6 40 350 40 3 TR K L K L  3. Một công ty độc quyền sản xuất 2 loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp (Qi là lượng sản phẩm i). 2 2 1 1 2 23 2 4TC Q Q Q Q   a) Lượng chi phí mà công ty phải bỏ ra để sản xuất 4 đơn vị sản phẩm 1 và 2 đơn vị sản phẩm 2 là bao nhiêu? b) Cho biết hàm cầu đối với sản phẩm 1 là  1 1 1320 5D p p  , hàm cầu đối với sản phẩm 2 là  2 2 2150 2D p p  . Hãy lập hàm số biểu diễn tổng lợi nhuận của công ty theo Q1, Q2. Đ/S: a) TC=48 b) 2 2 1 2 1 2 1 2 16 9 64 75 2 5 2 TR Q Q Q Q Q Q     4. Giả sử người tiêu dùng có hàm lợi ích như sau: 4U xy y  trong đó x là lượng hàng hóa A, y là lượng hàng hóa B. a) Viết phương trình đường bàng quan, cho biết một trong các túi hàng thuộc đường bàng quan đó là (x=4; y=3) b) Hãy cho biết trong 2 túi hàng (x=4, y=3) và (x=5, y=2) túi hàng nào được ưa chuộng hơn? c) Giả sử người tiêu dùng đang có 8 hàng hóa A, 3 hàng hóa B và có người đề nghị đổi cho chị ta một số hàng hóa A để lấy 1 hàng hóa B. Hỏi người đó phải đổi ít nhất bao nhiêu hàng hóa A thì chị ta mới bằng lòng đổi. Đ/S: a) xy+4y=24 b)Túi hàng (x=4, y=3) được ưa chuộng hơn vì có giá trị lợi ích lớn hơn c) Ít nhất 6 hàng hóa A 5. Xét hàm số Cobb – Douglas: 1 2 1 2. . .... n nw A x x x   . Tính hệ số co dãn của w theo xk Đ/S: hệ số co dãn của w theo xk đúng bằng lũy thừa của xk 6. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất như sau: 3 212 .Q K L a) Hãy tính hàm cận biên của K (MPPk) và hàm cận biên của L (MPPL) tại điểm K=125, L=100 và giải thích ý nghĩa. b) Chứng tỏ rằng MPPk giảm khi K tăng và L không đổi c) Chứng tỏ rằng MPPL giảm khi L tăng và K không đổi Đ/S: a) MPPk=16; MPPL=15. Khi K=125, L=100 nếu tăng lượng sử dụng vốn têm 1 đơn vị và giữ nguyên lượng sử dụng lao động thì sản lượng đầu ra tăng thêm 16. Nếu tăng lượng sử dụng thêm 1 đơn vị và giữ nguyên lượng sử dụng vốn thì sản lượng đầu ra tăng thêm 15 đơn vị. b) " 0 0, 0KKQ khi K L   c) " 0 0, 0LLQ khi K L   7. Cho biết hàm lợi ích của người tiêu dùng 0,4 0,7.U x y trong đó x là lượng hàng hóa A, y là lượng hàng hóa B. a) Hãy lập các hàm số biểu diễn lợi ích cận biên của mỗi hàng hóa. Hàm lợi ích này có phù hợp với quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay không? b) Nếu lượng hàng hóa A tăng 1% và lượng hàng hóa B không đổi thì lợi ích tăng bao nhiêu %? Đ/S: a) 0,6 0,7 0,4 0,3 1 20,4 0,7MU x y MU x y    . Hàm lợi ích phù hợp với quy luật lợi ích cận biên giảm dần. b) Lợi ích tăng 0,4%. 8. Một doanh nghiệp sản xuất 2 loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp như sau: 2 2 3 3 1 2 1 2 1 245 125 84 6 0,8 1,2TC Q Q Q Q Q Q      Hãy lập các hàm số biểu diễn chi phí cận biên của mỗi sản phẩm. Đ/S: 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2125 2,4 12 84 3,6 12MC Q QQ MC Q Q Q      9. Cho biết hàm cầu đối với một mặt hàng như sau: 35 0,4 0,15 0,12 sQ p m p    Trong đó Q, p là lượng cầu và giá cả của hàng hóa đó, m là thu nhập và ps là giá hàng hóa thay thế. Hãy lập hàm số biểu diễn: a) Hệ số co giãn của cầu theo giá p b) Hệ số co giãn của cầu theo thu nhập c) Hệ số co giãn của cầu theo giá hàng hóa thay thế Đ/S: a) 0,4 35 0,4 0,15 0,12 p s p p m p       b) 0,15 35 0,4 0,15 0,12 m s m p m p      c) 0,12 35 0,4 0,15 0,12s s p s p p m p      10. Đánh giá hiệu quả của quy mô qua các hàm sản xuất: 30,4 0,3 0,6 0,8 2) 20 ) 5 ) 12 .a Q K L b Q K L c Q K L   Phần 5. Cực trị hàm nhiều biến 1. Cho biết hàm lợi ích:  1 23U x x  trong đó x1 là lượng hàng hóa A, x2 là lượng hàng hóa B. Hãy chọn túi hàng lợi ích tối đa trong điều kiện giá hàng hóa A là 5$, giá hàng hóa B là 20$, ngân sách tiêu dùng là 185$. Đ/S: x1=17, x2=5 2. Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng: 1 2 1 22U x x x x   Trong điều kiện hàng hóa thứ nhất bán được với giá 2$, hàng hóa thứ hai được bán với giá 5$ và thu nhập dành cho tiêu dùng là 51$. Hãy xác định lượng cầu đối với mỗi mặt hàng nếu người tiêu dùng tối đa hóa lợi ích của mình Đ/S: x1=13, x2=5 3. Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng: 0,6 0,25 1 2U x x Trong điều kiện hàng hóa thứ nhất được bán với giá 8$, hàng hóa thứ hai được bán với giá 5$ và thu nhập dành cho tiêu dùng là 680$, hãy xác định lượng cầu đối với mỗi mặt hàng nếu người tiêu dùng tối đa hóa lợi ích của mình. Đ/S: x1=60, x2=40 4. Lập hàm cầu Marshall của người tiêu dùng cho biết hàm lợi ích là: 1 2 13U x x x  Đ/S: 2 1 2 1 2 3 3 ; 2 2 2 p m m x x p p     5. Lập hàm cầu Marshall của người tiêu dùng cho biết hàm lợi ích là: 0,7 0,3 1 2U x x Đ/S: 1 2 1 2 7 3 ; 10 10 m m x x p p   6. Với hàm lợi ích và giá của hai loại hàng hóa ở bài tập 1, hãy xác định túi hàng chi phí tối thiểu đảm bảo mức lợi ích U=196. Đ/S: 1 225; 7x x  Lý thuyết về hàm cầu Marshall: Cho hàm lợi ích Lập hàm cầu Marshall của người tiêu dùng cho biết hàm lợi ích là:  ,U U x y Bài toán đặt ra: tìm điều kiện x,y để cực đại hóa lợi ích với ràng buộc 1 2p x p y m  . Trong đó p1, p2 là giá của mặt hàng thứ nhất, thứ hai. m là thu nhập khả dụng. Đặt 1 2 11 12 22 ' ' " " " x y xx xy yyU U U U U U U U U U     Giả sử hàm lợi ích thỏa mãn điều kiện sau:  2 21 2 12 1 22 2 112 0 *U U U U U U U   Theo phương pháp Lagrange ta có phương trình tìm điểm dừng như sau:   1 2 1 2 1 21 1 1 22 2 2 ' 0 ' 0 ** ' 0 x L m p x p y U U p pL U p p x p y mL U p                         Giải hệ phương trình (**) ta tìm được x, y. Giá trị tìm được gọi là hàm cầu Marshall đối với hàng hóa thứ nhất và thứ 2. Chú ý. - Cần kiểm tra điều kiện (*) trước khi tính hàm cầu Marshall - Hàm lợi ích dạng Cobb – Douglas  . . 0;0 , 1U a x y a       luôn thỏa mãn điều kiện (*). Ta không cần kiểm tra lại nếu hàm cầu đã cho có dạng này. 7. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất: 0,3 0,52Q K L a) Hãy đánh giá hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất? b) Giả sử giá thuê tư bản là 6$, giá thuê lao động là 2$ và doanh nghiệp tiến hành sản xuất ngân sách cố định 4800$. Hãy cho biết doanh nghiệp đó sử dụng bao nhiêu đơn vị tư bản và bao nhiêu đơn vị lao động thì thu được sản lượng tối đa. Đ/S: K=300, L=1500 8. Một công ty sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất như sau: Q=K(L+5) Công ty này nhận được hợp đồng cung cấp 5600 sản phẩm. Hãy cho biết phương án sử dụng các yếu tố K, L sao cho việc sản xuất sản phẩm theo hợp đồng tốn ít chi phí nhất, trong điều kiện giá thuê tư bản là 70 và giá thuê lao động là 20. Đ/S: K=40, L=135 9. Một doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy sản xuất kết hợp 2 loại sản phẩm với hàm chi phí như sau (Qi là sản lượng của sản phẩm thứ i) 2 2 1 1 2 23 2 2 10TC Q Q Q Q    Hãy chọn mức sản lượng kết hợp (Q1, Q2) để doanh nghiệp có được lợi nhuận tối đa khi giá bán sản phẩm 1 là 160$ và giá bán sản phẩm 2 là 120$. Đ/S: Q1=20, Q2=20 10. Một công ty độc quyền sản xuất kết hợp 2 loại sản phẩm với hàm chi phí: 2 2 1 1 2 23 2 2 55TC Q QQ Q    Hãy chọn mức sản lượng kết hợp (Q1, Q2) để doanh nghiệp có được lợi nhuận tối đa khi cầu của thị trường đối với các sản phẩm của công ty như sau: 1 1 2 250 0,5 76Q p Q p    Đ/S: Q1=8, Q2=10, p1=84, p2=66 11. Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm tại hai nhà máy với hàm chi phí cận biên như sau (Qi là lượng sản phẩm sản xuất ở nhà máy i, MCi là chi phí cận biên của nhà máy i) 1 1 2 22 0,1 4 0,08MC Q MC Q    Công ty đó bán sản phẩm trên thị trường với biểu cầu p=58-0,05Q. Nếu công ty đó muốn tối đa hóa lợi nhuận thì phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm và bán với giá bao nhiêu. Đ/S: Q1=180; Q2=200; p=39 Phần 6. Tích phân 1. Cho biết hàm đầu tư   5 340I t t và quỹ vốn tại thời điểm t=0 là 90. Hãy xác định hàm quỹ vốn K(t). Đ/S:   5 825 90K t t  2. Cho biết hàm đầu tư   360I t t và quỹ vốn tại thời điểm t=1 là 85. Hãy xác định hàm quỹ vốn K(t). Đ/S:   3 445 40K t t  3. Cho biết chi phí cận biên ở mỗi mức sản lượng Q là 232 18 12MC Q Q   và chi phi cố định FC=43. Hãy tìm hàm tổng chi phí và hàm chi phí khả biến. Đ/S: 2 3 2 332 9 4 43; 32 9 4TC Q Q Q VC Q Q Q       4. Cho biết chi phí cận biên ở mỗi mức sản lượng Q là 0,512 QMC e và chi phi cố định FC=36. Hãy tìm hàm tổng chi phí. Đ/S: 0,524 12QTC e  5. Cho biết hàm doanh thu cận biên 284 4MR Q Q   . Hãy tìm hàm tổng doanh thu TR(Q) và xác định cầu đối với sản phẩm của nhà sản xuất. Đ/S: 2 3 2 1 1 84 2 ; 84 2 3 3 TR Q Q Q p Q Q      6. Cho biết xu hướng tiêu dùng cận biên MPC=0,8 ở mọi mức thu nhập Y và mức tiêu dùng thiết yếu (mức tiêu dùng khi Y=0) là 40. Hãy xác định hàm tiêu dùng C(Y). Đ/S: C=0,8Y+40 7. Cho biết hàm cầu ngược 242 5p Q Q   . Giả sử sản phẩm được bán trên thị trường với giá p0=6. Hãy tính thặng dư của người tiêu dùng. Đ/S: CS=248/3 8. Cho biết hàm cung và hàm cầu đối với một loại sản phẩm: 113 ; 1d sQ p Q p    Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng. Đ/S: CS=686/3 PS=833/3