Bài toán đường tròn của Gauss và đánh giá tiệm cận một số hàm số học

TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TOÁN BÀI TOÁN ĐƯỜNG TRÒN CỦA GAUSS VÀ ĐÁNH GIÁ TIỆM CẬN MỘT SỐ HÀM SỐ HỌC *A866 CI5C/( P5O%/(0 AN' A6<0PTOTIC (9A/8ATION O) A5ITH0(TICA/ )8NCTION6 ThS. Nguyễn Tấn Bình ThS. Hoàng Thị Hà My Trường Đại học Tài chính - Kế toán Trường Đại học Quảng Nam TÓM TẮT ABSTRACT NJj\ QKұQ EjL   NJj\ QKұQ NӃW TXҧ SKҧQ ELӋQ   NJj\ GX\ӋW ÿăQJ   78 G USS R LE R BLEM D SYM EV LU F R ME L FU S . ễ ì . ị i i í t i Bài báo giới thiệu về bài toán đường tròn của Gauss và bài toán liên quan, đồng thời tìm hiểu ước lượng tiệm cận một số hàm số học. Thứ nhất, bài báo trình bày một công thức xấp xỉ để xác định số điểm nguyên nằm trong và trên đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính (căn bậc hai của N) cho trước liên quan đến bài toán đường tròn Gauss. Đó là ( ) ( ).R N N E Npi= + , trong đó sai số ( ) ( )E N O N= Thứ hai, bài báo trình bày hai công thức xấp xỉ cho D(N) để xác định số điểm nguyên nằm trong góc phần tư thứ nhất và nằm dưới hoặc trên đường hyperbol. Thứ ba, bài báo trình bày kết quả xấp xỉ của hàm ( )Φ t là hàm tổng của hàm Euler. Mục đích của tác giả trong bài viết này là nghiên cứu, tìm hiểu một số bài toán, định lý trong bước đầu tiếp cận lý thuyết số giải tích. Từ khóa: Hàm số học, tiệm cận, ước lượng In this article, Gauss’s circle problem and related ones are introduced and the asymptotic estimation of some arithmetic functions is studied. Firstly, the article presents an approximation formula to determine the number of integer points in and on a circle with a given origin and radius (square root of N) related to the Gaussian circle problem. That is ( ) ( ).R N N E Npi= + , in which the error ( ) ( )E N O N= . Second, the article presents two approximation formulas for D(N) to determine the number of integer points lying in the fi rst quadrant and below or above the hyperbola. Third, the paper presents the approximation result of the function ( )Φ t which is the sum function of the Euler function. This article aims at studying some problems and theorems in the fi rst step of approaching analytical number theory. Keywords: Arithmetical function, asymptotic, evaluation. 1. Đặt vấn đề Lý thuyết số là một ngành của toán học lý thuyết nghiên cứu về tính chất của số nói chung và số nguyên nói riêng, cũng như những lớp rộng hơn các bài toán mà phát triển từ những nghiên cứu của nó. Lý thuyết số giải tích sử dụng công cụ giải tích và giải tích phức để giải quyết các vần đề về số nguyên, định lý số nguyên tố và giả thuyết Riemann là các ví dụ. Chứng minh về tính siêu việt của các hằng số toán học, như là pi hay e, cũng được xếp vào lĩnh vực lý thuyết số giải tích. Việc nghiên cứu các hàm số học, đặc biệt là những hàm số học “không chính quy” là một trong những nội dung chính và thú vị của lý thuyết số giải tích. Nội dung bài báo là giới thiệu bài toán đếm số điểm nguyên trong và trên đường tròn cho trước của Gauss (Gauss circle problem) và tìm hiểu về ước lượng một số hàm số học. Các định nghĩa, bổ gà y nhậ n bà i : 07/3/2021 gà y nhậ n kế t quả phả n biệ n : 16/9/2021 gà y duyệ t đ ng : 25/9/2021 . 79 ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH - KẾ TOÁN đề, định lý trong bài báo được trích trong các tài liệu tham khảo tương ứng, một vài chứng minh được tác giả trình bày một cách chi tiết để tiện cho độc giả theo dõi. 2. Bài toán đường tròn của Gauss và bài toán ước của Dirichlet 2.1. Một số ký hiệu ban đầu Hàm ( )r n : hàm số học đếm số biểu diễn của một số nguyên ( )1≥n n như một tổng của 2 bình phương của 2 số nguyên, hay nói cách khác nó là số nghiệm của phương trình 2 2+ =x y n , , ∈x y (trong đó, những nghiệm khác nhau về dấu được đếm là khác nhau). Hàm ( )R N : ( ) ( ) ( ) 0 , 0 1 N n R N r n r = = =∑ . Nhận xét 1. Về mặt hình học, hàm ( )R N là số những điểm nguyên nằm trong và trên đường tròn 2 2x y N+ = . Hàm số Euler của một số nguyên dương n được định nghĩa là số các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n nguyên tố cùng nhau với n. Ký hiệu: ( )nϕ . Bài toán đường tròn của Gauss (Gauss circle problem) Bài toán 1 (Gauss circle problem). Cho đường tròn tâm O(0,0), bán kính r trong 2 ( 0≥r ), bài toán yêu cầu đếm có bao nhiêu điểm có dạng ( ),m n nằm trong và trên đường tròn này, trong đó m và n là những số nguyên. Định lý sau của Gauss sẽ cho ta lời giải đáp cho bài toán trên. Định lý 1 (Gauss)([1]). ( ) ( )= +R N N O Npi . Chứng minh: Ta có nhận xét đầu tiên là những điểm nguyên trong mặt phẳng là những đỉnh của hình vuông mà mỗi cái có diện tích là 1. Mỗi điểm nguyên nằm trên và trong đường tròn 2 2+ =x y N , ta có thể kết hợp với một hình vuông (chẳng hạn, ta có thể chọn hình vuông về phía Tây Nam). Khi đó, ( )R N là tổng của những diện tích của những hình vuông này. Tuy nhiên, một vài hình vuông không nằm hoàn toàn bên trong của đường tròn, mặt khác một vài phần không được phủ bởi hình vuông. Vì đường chéo của mỗi hình vuông là 2 nên tất cả các hình vuông được chứa trong đường tròn ( )22 2 2+ = +x y N sao cho ( ) ( )22< +R N Npi . Lập luận tương tự, những hình vuông phủ hoàn toàn đường tròn nhỏ có bán kính 2−N sao cho ( ) ( )22> −R N Npi , 2≥N . Vì vậy, ta có ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2− + < < + +N N R N N Npi pi , hay nói cách khác ( ) ( ).R N N O Npi= + 2.2. Bài toán đếm điểm nguyên trong góc phần tư thứ nhất nằm trên hoặc dưới hyperbol =xy N . Mặc dù bài toán gốc là đếm điểm nguyên trong và trên đường tròn tâm O, bán kính r cho trước. Nhưng không có lý do gì để ta không mở rộng bài toán đối với các đường conic. Bài toán ước của Dirichlet (Dirichlet’s divisor problem) là một bài toán tương tự, trong đó, đường tròn được thay bởi hyperbol. Sau đây, ta sẽ xem xét bài toán đó. Ký hiệu 1. ( ) ( ) 1= = ∑N n D N nτ trong đó ( )nτ là số các ước của n. Nhận xét 2. ĈẠI HỌC TÀI CHÍNH  KẾ TOÁNTẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TOÁN 78 BÀI TOÁN ĐƯỜNG TRÒN CỦA GAUSS VÀ ĐÁNH GIÁ TIỆM CẬN MỘT SỐ HÀM SỐ HỌC GAUSS CIRCLE PROBLEM AND ASYMPTOTIC EVALUATION OF ARITHMETICAL FUNCTIONS ThS. Nguyễn Tấn Bình ThS. Hoàng Thị Hà My Trườ ng Đại học Tài chính - Kế toán Trườ ng Đại học Quảng Nam TÓM TẮT Bài báo giới thiệu về bài toán đường tròn của Gauss và bài toán liên quan, đồng thời tìm hiểu ước lượng tiệm cận một số hàm số học. Thứ nhất, bài báo trình bày một công thức xấp xỉ để xác định số điểm nguyên nằm trong và trên đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính (căn bậc hai của N) cho trước liên quan đến bài toán đường tròn Gauss. Đó là ( ) ( ).R N N E Npi= + , trong đó sai số ( ) ( )E N O N= Thứ hai, bài báo trình bày hai công thức xấp xỉ cho D(N) để xác định số điểm nguyên nằm trong góc phần tư thứ nhất và nằm dưới hoặc trên đường hyperbol. Thứ ba, bài báo trình bày kết quả xấp xỉ của hàm ( )Φ t là hàm tổng của hàm Euler. Mục đích của tác giả trong bài viết này là nghiên cứu, tìm hiểu một số bài toán, định lý trong bước đầu tiếp cận lý thuyết số giải tích. Từ khóa: Hàm số học, tiệm cận, ước lượng ABSTRACT In this article, Gauss’s circle problem and related ones are introduced and the asymptotic estimation of some arithmetic functions is studied. Firstly, the article presents an approximation formula to determine the number of integer points in and on a circle with a given origin and radius (square root of N) related to the Gaussian circle problem. That is ( ) ( ).R N N E Npi= + , in which the error ( ) ( )E N O N= . Second, the article presents two approximation formulas for D(N) to determine the number of integer points lying in the fi rst quadrant and below or above the hyperbola. Third, the paper presents the approximation result of the function ( )Φ t which is the sum function of the Euler function. This article aims at studying some problems and theorems in the fi rst step of approaching analytical number theory. Keywords: Arithmetical function, asymptotic, evaluation. 1. Đặt vấn đề Lý thuyết số là một ngành của toán học lý thuyết nghiên cứu về tính chất của số nói chung và số nguyên nói riêng, cũng như những lớp rộng hơn các bài toán mà phát triển từ những nghiên cứu của nó. Lý thuyết số giải tích sử dụng công cụ giải tích và giải tích phức để giải quyết các vần đề về số nguyên, định lý số nguyên tố và giả thuyết Riemann là các ví dụ. Chứng minh về tính siêu việt của các hằng số toán học, như là pi hay e, cũng được xếp vào lĩnh vực lý thuyết số giải tích. Việc nghiên cứu các hàm số học, đặc biệt là những hàm số học “không chính quy” là một trong những nội dung chính và thú vị của lý thuyết số giải tích. Nội dung bài báo là giới thiệu bài toán đếm số điểm nguyên trong và trên đường tròn cho trước của Gauss (Gauss circle problem) và tìm hiểu về ước lượng một số hàm số học. Các định nghĩa, bổ Ngà y nhậ n bà i : 07/3/2021 Ngà y nhậ n kế t quả phả n biệ n : 16/9/2021 Ngà y duyệ t đăng : 25/9/2021 . 79 Đ - đề, định lý trong bài báo được trích trong các tài liệu tham khảo tương ứng, một vài chứng minh được tác giả trình bày một cách chi tiết để tiện cho độc giả theo dõi. 2. Bài toán đường tròn của Gauss và bài toán ước của Dirichlet 2.1. Một số ký hiệu ban đầu Hàm ( )r n : hàm số học đếm số biểu diễn của một số nguyên ( )1≥n n như một tổng của 2 bình phương của 2 số nguyên, hay nói cách khác nó là số nghiệm của phương trình 2 2+ =x y n , , ∈x y (trong đó, những nghiệm khác nhau về dấu được đếm là khác nhau). Hàm ( )R N : ( ) ( ) ( ) 0 , 0 1 N n R N r n r = = =∑ . Nhận xét 1. Về mặt hình học, hàm ( )R N là số những điểm nguyên nằm trong và trên đường tròn 2 2x y N+ = . Hàm số Euler của một số nguyên dương n được định nghĩa là số các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n nguyên tố cùng nhau với n. Ký hiệu: ( )nϕ . Bài toán đường tròn của Gauss (Gauss circle problem) Bài toán 1 (Gauss circle problem). Cho đường tròn tâm O(0,0), bán kính r trong 2 ( 0≥r ), bài toán yêu cầu đếm có bao nhiêu điểm có dạng ( ),m n nằm trong và trên đường tròn này, trong đó m và n là những số nguyên. Định lý sau của Gauss sẽ cho ta lời giải đáp cho bài toán trên. Định lý 1 (Gauss)([1]). ( ) ( )= +R N N O Npi . Chứng minh: Ta có nhận xét đầu tiên là những điểm nguyên trong mặt phẳng là những đỉnh của hình vuông mà mỗi cái có diện tích là 1. Mỗi điểm nguyên nằm trên và trong đường tròn 2 2+ =x y N , ta có thể kết hợp với một hình vuông (chẳng hạn, ta có thể chọn hình vuông về phía Tây Nam). Khi đó, ( )R N là tổng của những diện tích của những hình vuông này. Tuy nhiên, một vài hình vuông không nằm hoàn toàn bên trong của đường tròn, mặt khác một vài phần không được phủ bởi hình vuông. Vì đường chéo của mỗi hình vuông là 2 nên tất cả các hình vuông được chứa trong đường tròn ( )22 2 2+ = +x y N sao cho ( ) ( )22< +R N Npi . Lập luận tương tự, những hình vuông phủ hoàn toàn đường tròn nhỏ có bán kính 2−N sao cho ( ) ( )22> −R N Npi , 2≥N . Vì vậy, ta có ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2− + < < + +N N R N N Npi pi , hay nói cách khác ( ) ( ).R N N O Npi= + 2.2. Bài toán đếm điểm nguyên trong góc phần tư thứ nhất nằm trên hoặc dưới hyperbol =xy N . Mặc dù bài toán gốc là đếm điểm nguyên trong và trên đường tròn tâm O, bán kính r cho trước. Nhưng không có lý do gì để ta không mở rộng bài toán đối với các đường conic. Bài toán ước của Dirichlet (Dirichlet’s divisor problem) là một bài toán tương tự, trong đó, đường tròn được thay bởi hyperbol. Sau đây, ta sẽ xem xét bài toán đó. Ký hiệu 1. ( ) ( ) 1= = ∑N n D N nτ trong đó ( )nτ là số các ước của n. Nhận xét 2. TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TOÁN 80 Về mặt hình học, D(N) là số những điểm nguyên trong góc phần tư thứ nhất nằm trên hoặc dưới hyperbol =xy N . Ta sẽ sử dụng những kết quả dưới đây để ước lượng hàm D(N), tức là giải quyết bài toán đặt ra ở trên. Bổ đề 1([1]). Nếu g là hàm đơn điệu giảm theo biến thực t được định nghĩa với 1≥t và ( ) 0>g t thì ( ) ( ) ( )( ) 1 1≤ ≤ = + +∑ ∫X n X g n g t dt A O g X , trong đó +∈n , 1≥X và A là hằng số chỉ phụ thuộc vào g. Hệ quả 1([1]). Tồn tại hằng γ (hằng của Ơle) sao cho 1 1 1log ≤ ≤   = + +   ∑n X X On Xγ . Định lý 2 ([1]). ( ) ( )log .D N N N N O Nγ= + + Chứng minh: Ta có ( ) 1 1 ≤ ≤ = ∑ xy n D N . Do đó, D(N) là số những điểm nguyên trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng (x,y), nằm trên hoặc dưới hyperbol =xy N (trừ những điểm trên các trục). Rõ ràng những điểm này nằm bên trái của đường thẳng x N= và dưới của đường thẳng y N= . Ta đếm chúng bằng cách xét những điểm nguyên trên mỗi đường thẳng đứng với hoành độ nguyên. Số những điểm nguyên trên một tọa độ có độ dài /N x là [ ]/N x . Vì vậy, ( ) [ ] 1 / = = ∑N x D N N x . Đặt [ ]/ / ,0 1= − ≤ <x xN x N x θ θ , vì 1= <∑N x x Nθ nên ( ) ( ) 1 1 1 1 1 = = = = − = +∑ ∑ ∑N N Nx x x x D N N N O N x x θ . Từ hệ quả trên suy ra rằng ( ) ( )log= + +D N N N N O Nγ . Định lý 3 (Dirichlet) ([1]). ( ) ( ) ( )log 2 1= + − +D N N N N O Nγ , với γ là hằng số Ơle. Chứng minh: Hyperbol =xy N là quan hệ đối xứng với đường thẳng x y= nên ABGEO và CDOFG chứa cùng số những điểm nguyên. Tổng những điểm nguyên trong góc phần tư thứ nhất nằm trên hoặc dưới hyperbol (trừ những điểm nằm trên các trục) bằng hai lần số điểm nguyên trong ABGEO trừ đi số điểm nguyên trong hình vuông OFGE. Vì vậy, ( ) 2 2 2 1 1 111 2 1 2 1 2 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤≤ ≤≤ ≤       = − = − = −       ∑ ∑ ∑ ∑Nx N x N x Nyxy N x ND N N N N x Ta đặt ;0 1  = − ≤ <   x x N N x x θ θ và ;0 1  = − ≤ < N N θ θ thì ta được ( ) ( )2 2 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ = − − − = − − + −∑ ∑ ∑ ∑x x x N x N x N x N D N N N N N N x x θ θ θ θ θ Nhưng ( ) ( )2 1 , 1 ≤ ≤ = =∑ x x N O N Oθ θ . Vì vậy, 81 ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH - KẾ TOÁN 3. Đánh giá tiệm cận một số hàm số học Đa số những hàm số học (như hàm ( ) ( ),n nµ τ ,) phụ thuộc rất nhiều vào tính chất của n. Tuy nhiên, những hàm tổng hay trung bình ( ) ( )1 , ≤ ≤    ∑ ∑n x n xf n f nx được đánh giá ước lượng khá chính xác về những hàm số học đơn giản hơn. Có rất nhiều phương pháp ước lượng: phương pháp tích chập, phương pháp hyperbol Dirichlet,Dưới đây, ta sẽ tìm hiểu về ước lượng một số hàm số học theo hướng giải tích. 3.1. Xấp xỉ một số hàm Nhận xét 3. Nếu n là số nguyên tố thì ( ) 2=nτ và ( )lim 2 →∞ = n nτ . Định lý 4 ([1]). Với mỗi 0∆ > , tồn tại những số nguyên in sao cho ( ) ( )log →∞ ∆ →∞ i i i n n τ . Chứng minh: Lấy k là số nguyên được định nghĩa 1≤ ∆ < +k k , 1+kp là số nguyên tố thứ k+1 và lấy ( )12.3.5... , ++= ∈mkn p m . Khi đó, ( ) ( ) 1 11 + += + >k kn m mτ nhưng ( ) ( ) 1 11 1 log . log log 2.3.5... + ++ +   = >    k kk k nm c n p (c được gọi là hằng số của n). Ta lấy 1,2,3,...m = ta thu được dãy vô hạn của những số nguyên dương ( ) ( ) 1log +> kn c nτ . Đặt ( )1 0+ = ∆ + >k α α , ta có ( ) ( ) ( )loglog →∞ ∆ > →∞ nn c n n ατ . Bổ đề 2 ([1]). Nếu f là hàm số học nhân tính và ( ) 0→∞→mpmf p , trong đó p là số nguyên tố, +∈m (nghĩa là ( ) 0→f n khi n chạy khắp tập các lũy thừa của số nguyên tố) thì ( ) 0→∞→nf n . Định lý 5 ([1]). ( ) ( ) , 0= ∀ >n o nδτ δ Chứng minh: Xem [1]. 3.2. Ước lượng hàm tổng của hàm Ơle ϕ 3.2.1. Hàm Ơle Nhận xét 4. Nếu = mn p , trong đó p là số nguyên tố, 1 ,0 1> < <p ε ε thì ( ) ( )11 1 = − > −  n n npϕ ε . Do đó, ( ) lim 1 →∞ = n n n ϕ . Định lý 6([1]). Với mỗi 0>δ , ta có ( ) 1 →∞ − →∞n n n δ ϕ . Chứng minh: Xem [1]. 3.2.2. Hàm tổng của hàm Ơle Định nghĩa 1. ( ) ( ) 1≤ ≤ Φ = ∑ n t t nϕ Nhận xét 5. ( )Φ t là số những số hạng trong dãy Farey cấp N. Định lý 7 (Mertens)([1]). ( ) ( ) 2 2 3 logΦ = +tt O t t pi . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 12 12 log 2 2 log 2 1 . x N D N N N O N x N N N NO N O N N N N O N N γ γ ≤ ≤ = − +   = + + − + = + − +   ∑ ĈẠI HỌC TÀI CHÍNH  KẾ TOÁN 80 TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TOÁN Về mặt hình học, D(N) là số những điểm nguyên trong góc phần tư thứ nhất nằm trên hoặc dưới hyperbol =xy N . Ta sẽ sử dụng những kết quả dưới đây để ước lượng hàm D(N), tức là giải quyết bài toán đặt ra ở trên. Bổ đề 1([1]). Nếu g là hàm đơn điệu giảm theo biến thực t được định nghĩa với 1≥t và ( ) 0>g t thì ( ) ( ) ( )( ) 1 1≤ ≤ = + +∑ ∫X n X g n g t dt A O g X , trong đó +∈n , 1≥X và A là hằng số chỉ phụ thuộc vào g. Hệ quả 1([1]). Tồn tại hằng γ (hằng của Ơle) sao cho 1 1 1log ≤ ≤   = + +   ∑n X X On Xγ . Định lý 2 ([1]). ( ) ( )log .D N N N N O Nγ= + + Chứng minh: Ta có ( ) 1 1 ≤ ≤ = ∑ xy n D N . Do đó, D(N) là số những điểm nguyên trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng (x,y), nằm trên hoặc dưới hyperbol =xy N (trừ những điểm trên các trục). Rõ ràng những điểm này nằm bên trái của đường thẳng x N= và dưới của đường thẳng y N= . Ta đếm chúng bằng cách xét những điểm nguyên trên mỗi đường thẳng đứng với hoành độ nguyên. Số những điểm nguyên trên một tọa độ có độ dài /N x là [ ]/N x . Vì vậy, ( ) [ ] 1 / = = ∑N x D N N x . Đặt [ ]/ / ,0 1= − ≤ <x xN x N x θ θ , vì 1= <∑N x x Nθ nên ( ) ( ) 1 1 1 1 1 = = = = − = +∑ ∑ ∑N N Nx x x x D N N N O N x x θ . Từ hệ quả trên suy ra rằng ( ) ( )log= + +D N N N N O Nγ . Định lý 3 (Dirichlet) ([1]). ( ) ( ) ( )log 2 1= + − +D N N N N O Nγ , với γ là hằng số Ơle. Chứng minh: Hyperbol =xy N là quan hệ đối xứng với đường thẳng x y= nên ABGEO và CDOFG chứa cùng số những điểm nguyên. Tổng những điểm nguyên trong góc phần tư thứ nhất nằm trên hoặc dưới hyperbol (trừ những điểm nằm trên các trục) bằng hai lần số điểm nguyên trong ABGEO trừ đi số điểm nguyên trong hình vuông OFGE. Vì vậy, ( ) 2 2 2 1 1 111 2 1 2 1 2 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤≤ ≤≤ ≤       = − = − = −       ∑ ∑ ∑ ∑Nx N x N x Nyxy N x ND N N N N x Ta đặt ;0 1  = − ≤ <   x x N N x x θ θ và ;0 1  = − ≤ < N N θ θ thì ta được ( ) ( )2 2 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ = − − − = − − + −∑ ∑ ∑ ∑x x x N x N x N x N D N N N N N N x x θ θ θ θ θ Nhưng ( ) ( )2 1 , 1 ≤ ≤ = =∑ x x N O N Oθ θ . Vì vậy, 81 Đ - 3. Đánh giá tiệm cận một số hàm số học Đa số những hàm số học (như hàm ( ) ( ),n nµ τ ,) phụ thuộc rất nhiều vào tính chất của n. Tuy nhiên, những hàm tổng hay trung bình ( ) ( )1 , ≤ ≤    ∑ ∑n x n xf n f nx được đánh giá ước lượng khá chính xác về những hàm số học đơn giản hơn. Có rất nhiều phương pháp ước lượng: phương pháp tích chập, phương pháp hyperbol Dirichlet,Dưới đây, ta sẽ tìm hiểu về ước lượng một số hàm số học theo hướng giải tích. 3.1. Xấp xỉ một số hàm Nhận xét 3. Nếu n là số nguyên tố thì ( ) 2=nτ và ( )lim 2 →∞ = n nτ . Định lý 4 ([1]). Với mỗi 0∆ > , tồn tại những số nguyên in sao cho ( ) ( )log →∞ ∆ →∞ i i i n n τ . Chứng minh: Lấy k là số nguyên được định nghĩa 1≤ ∆ < +k k , 1+kp là số nguyên tố thứ k+1 và lấy ( )12.3.5... , ++= ∈mkn p m . Khi đó, ( ) ( ) 1 11 + += + >k kn m mτ nhưng ( ) ( ) 1 11 1 log . log log 2.3.5... + ++ +   = >    k kk k nm c n p (c được gọi là hằng số của n). Ta lấy 1,2,3,...m = ta thu được dãy vô hạn của những số nguyên dương ( ) ( ) 1log +> kn c nτ . Đặt ( )1 0+ = ∆ + >k α α , ta có ( ) ( ) ( )loglog →∞ ∆ > →∞ nn c n n ατ . Bổ đề 2 ([1]). Nếu f là hàm số học nhân tính và ( ) 0→∞→mpmf p , trong đó p là số nguyên tố, +∈m (nghĩa là ( ) 0→f n khi n chạy khắp tập các lũy thừa của số nguyên tố) thì ( ) 0→∞→nf n . Định lý 5 ([1]). ( ) ( ) , 0= ∀ >n o nδτ δ Chứng minh: Xem [1]. 3.2. Ước lượng hàm tổng của hàm Ơle ϕ 3.2.1. Hàm Ơle Nhận xét 4. Nếu = mn p , trong đó p là số nguyên tố, 1 ,0 1> < <p ε ε thì ( ) ( )11 1 = − > −  n n npϕ ε . Do đó, ( ) lim 1 →∞ = n n n ϕ . Định lý 6([1]). Với mỗi 0>δ , ta có ( ) 1 →∞ − →∞n n n δ ϕ . Chứng minh: Xem [1]. 3.2.2. Hàm tổng của hàm Ơ