Biến đổi Fourier trong không gian các hàm suy rộng với giá compact

ĈẠI HỌC TÀI CHÍNH  KẾ TOÁN BIẾN ĐỔI FOURIER TRONG KHÔNG GIAN CÁC HÀM SUY RỘNG VỚI GIÁ COMPACT )O85I(5 T5AN)O50 IN TH( 6PAC( O) *(N(5A/I=(' )8NCTION6 :ITH CO0PACT 68PPO5T ThS. Nguyễn Thị Minh Khai Trường Đại học Tài chính - Kế toán TÓM TẮT ABSTRACT NJj\ QKұQ EjL   NJj\ QKұQ NӃW TXҧ SKҧQ ELӋQ   NJj\ GX\ӋW ÿăQJ   94 TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TOÁN Với . Cho và trong (12), ta có Vì thế theo (21), ta có . Vì vậy (21) đúng với mọi Tiếp theo , ta chứng tỏ đúng với mọi ngoại trừ trường hợp . Nếu thì có thể được xác định tùy ý tại và với mọi . Nếu thì ta chứng tỏ . Cho và trong (21), ta được hay Do đó ta có với mọi . 2.4. Một phương trình của Kuczma Boggio (1947-1948) đã đưa ra một suy rộng sau đây của định lý giá trị trung bình Pompeiu. Ở đây, định lý được phát biểu mà không giới thiệu phần chứng minh (có thể xem ở các công trình của Boggio vào năm 1947 và 1948) Định lý 2.4.1. Với mọi hàm giá trị thực f và g khả vi trên một khoảng không chứa 0 và với mọi cặp trong , tồn tại một điểm sao cho Ở đây giả sử và là khác 0 trong . Định lý 2.4.2. Cho là một hàm liên tục và tăng chặt mà với κ∈ nào đó. Các hàm thỏa mãn phương trình hàm khi và chỉ khi trong đó ,α β là các hằng số tùy ý. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Nguyễn Văn Mậu (2003), Phương trình hàm, NXB Giáo Dục, Quảng Nam. 2. Nguyễn Duy Tiến (2001), Bài giảng Giải tích I, II, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội. 3. M. Kuzma (1986), Functional Equation in a single Variable, Polish Scientifi c Publishers, Warszawa. 4. P.K. Sahoo, T.Riedel (1998), Mean Value Theorems and Functional Equations, World Scientifi c Publishing Co. Pte. Ltd. 5. C. G. Small (2007), Functional Equations and How to Solve Them, Springer Science + Business Media, New York. 95 Đ - F UR ER R F RM E S E F GE ER L ZED FU S W M SU R ễ Trong bài báo này tác giả trình bày trình bày chi tiết về không gian các hàm suy rộng với giá compact và phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm suy rộng với giá compact ( )' .ε Ω Từ khóa: Phép biến đổi Fourier, không gian các hàm suy rộng với giá compact, biến đổi Fourier trong không gian các hàm suy rộng với giá compact ( )' .ε Ω In this paper, the author presents details about space of generalized functions with compact support and the Fourier transform in the space of generalized functions with compact support ( )' .ε Ω Keywords: Fourier transform, space of generalized functions with compact support, fourier transform in the space of generalized functions with compact support ( )' .ε Ω 1. Đặt vấn đề Trong [4], [5], tác giả đã trình bày một cách chi tiết về phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm suy rộng. Cụ thể, phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm giảm nhanh ( )nS , phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm tăng chậm ( )' nS . Trong bài báo này tác giả trình bày phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm suy rộng với giá compact ( )' ,ε Ω trên cơ sở đó chỉ ra điều kiện cần và đủ để một hàm giải tích là phép biến đổi Fourier của một hàm ( )nC∞ϕ∈  hay một hàm giải tích là biến đổi Fourier của một hàm suy rộng với giá compact thông qua định lý 3.1, định lý 3.2 và định lý 3.3. 2. Không gian các hàm suy rộng với giá compact Định nghĩa 2.1. Cho hàm suy rộng ( )'f D .∈ Ω Giá của hàm suy rộng f là phần bù trong Ω của tập hợp các điểm mà tại mỗi điểm đó có một lân cận mở ω∈Ω sao cho f 0.f 0 ω ω = = có nghĩa là ( )0C : f , 0.∞∀ϕ∈ ω ϕ = Giá của hàm suy rộng f được kí hiệu là suppf . Hàm suy rộng f được gọi là có giá compact nếu suppf là tập compact. Ta kí hiệu tập tất cả các hàm suy rộng với giá compact trên Ω là ( )' .ε Ω Mỗi hàm suy rộng với giá compact có thể xem như một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên ( ) ,ε Ω không gian các hàm suy rộng có giá compact ( )'ε Ω có thể xem là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên ( ) ,ε Ω chúng ta có điều này qua định lý sau đây. Định lý 2.1. Cho hàm suy rộng ( )'f D .∈ Ω Khi đó ta có thể thác triển f thành một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên ( ).ε Ω Và ngược lại, nếu f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên ( ) ,ε Ω ta có thể thu hẹp f thành một hàm suy rộng với giá compact. gà y nhậ n bà i : 06/7/2021 gà y nhậ n kế t quả phả n biệ n : 16/9/2021 gà y duyệ t đ ng : 25/9/2021 TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TOÁN 96 3. Biến đổi Fourier của hàm suy rộng với giá compact Nếu f là một hàm suy rộng với giá compact, tức 'f ∈ε thì 'f S∈ và do đó biến đổi Fourier của nó tồn tại và hơn nữa ta có định lý sau đây. Định lý 3.1. ([9], Thm.6.4) Nếu f là một hàm suy rộng với giá compact thì biến đổi Fourier tồn tại trong ( )m2M a(x) D a(x) C 1 x ,C 0,mα α α θ = ≤ + > ∈    và được biểu diễn bởi đẳng thức [ ]( ) ( ) ( )n i ,x2F f 2 f (x), (x)e− − ξξ = pi η với ( )nS .ϕ∈  (1) Trong đóη là hàm bất kì trongDvà bằng 1 trong lân cận của giá của hàm f. Chứng minh. Với mọi Sϕ∈ ta có [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( )( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )n n n n i ,x i ,x2 2 D F f , 1 F f ,D 1 f ,F D 1 f , x ix F 1 f x , 2 x ix e d f x , 2 x ix e d . α α α αα α α α − α − α − ξ − ξ  ϕ = − ϕ = − ϕ = − η ϕ  = − pi η ϕ ξ ξ = pi η − ϕ ξ ξ∫ ∫  Chú ý rằng, ( )( ) ( ) ( ) ( )i ,x 2nx ix e S .α − ξη − ϕ ξ ∈  Hơn nữa ta có ( ) n n nn i( ,x) i( ,x)22f (x), 2 (x)( ix) ( )e d (2 ) f , (x)( ix) e ( ) d . − − α − ξ α − ξpi η − ϕ ξ ξ = pi η − ϕ ξ ξ∫ ∫  Suy ra [ ] n n i( ,x)2D F f , (2 ) f , (x)( ix) e ( ) d . − α α − ξϕ = pi η − ϕ ξ ξ∫ Từ đó [ ]( ) ( )( ) ( ) n i ,x2D F f (2 ) f , x ix e . − α − ξα ξ = pi η − (2) Từ (2) cho 0α = ta có [ ]( ) ( )( ) ( ) n i ,x2D F f (2 ) f , x ix e . − α − ξα ξ = pi η − Cũng từ đó ta kiểm chứng được rằng [ ] ( )nD F f Cα ∈  (10], Lem.p.96), do đó [ ] ( )nF f C .∞∈  Theo định lý L.Schwartz tồn tại số C 0> và một số tự nhiên m sao cho ( )nS∀ϕ∈  ta có ( ) ( ) n m2 x m f , Csup 1 x D x .α ∈ α ≤ ϕ ≤ + ϕ∑  (3) Áp dụng điều này cho vế phải của (2) ta có [ ]( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) n n i ,x2 m2 i ,x x m m2 n D F f (2 ) f , x ix e Csup 1 x D x ix e C 1 , . − α − ξα α − ξβ ∈ β ≤ α ξ = pi η − ≤ + η − ≤ + ξ ξ∈ ∑   Từ (1) ta thu được một số trường hợp đặc biệt sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0n n ni ,x i ,xi ,,x2 2 20 0 0F x x 2 x x , x e 2 x e 2 e .− − −− ξ − ξ− ξ δ − = pi δ − η = pi η = pi  ĈẠI HỌC TÀI CHÍNH  KẾ TOÁN 97 Đ - Như vậy [ ] ( )nD F f Cα ∈  ( ) ( ) ( ) [ ] ( )0n ni ,x2 20F x x 2 e ,F 2 .− −− ξ δ − = pi δ = pi  (4) Từ (3) suy ra ( ) [ ]n22 F 1−δ = pi hay [ ] ( ) ( )n2F 1 2 .= pi δ ξ (5) Kết hợp (4) và (5) ta có ( ) [ ]F D i Fαα δ = ξ δ  ( ) [ ] ( ) ( ) ( )n2F x i D F 1 2 i D .α αα α α  = − = pi − δ ξ  Định lý sau đây chỉ ra cho chúng ta điều kiện để một hàm giải tích trên n là biến đổi Fourier của một hàm khả vi vô hạn với giá compact trên nR . Định lý 3.2. ([1], Thm.2.11) Định lý Paley-Wiener Cho n:ψ →  là hàm giải tích. Khi đó điều kiện cần và đủ để có một số r 0,> một hàm ( ) ( )n r0C ,supp B 0∞ϕ∈ ϕ ⊂ sao cho ( ) [ ]( )Fψ ζ = ϕ ζ là tồn tại số N 0,> với mỗi N 0> đều có một số NC sao cho ( ) ( ) N r Im nNC 1 e , .− ζψ ζ < + ζ ∀ζ ∈ (6) Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử ( ) ( )n0 rC ,supp B 0 ,∞ϕ∈ ϕ ⊂ biến đổi Fourier [ ]F ϕ của hàm ϕ là một hàm giảm nhanh, do ( ) ( )n n0C S .∞ϕ∈ ⊂  Hơn nữa ta có thể thác triển [ ]F ϕ lên trên n [ ] [ ]( ) ( ) ( )( ) ( )M n i x,2 B 0 F : F 2 e x dx,− − ζϕ ζ ϕ ζ = pi ϕ∫ Với ( ) n n nk k k k k k k k k k 1 k 1 k 1 x, x x i x , i . = = = ζ = ζ = ζ + η ζ = ξ + η∑ ∑ ∑ Trước tiên ta chú ý rằng nếu niζ = ξ + η∈ thì ( ) ( )i ,x ,x x r Im ne e e e , x , x r.− ζ η η ζ= ≤ ≤ ∀ ∈ ≤ Ngoài ra ta có [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n i x,2 x r n i x,2 x r i F 2 e i x dx 2 e D x dx, i . − α − ζα α ≤ − − ζ α ≤ ζ ϕ ξ = pi ζ ϕ = pi ϕ ζ = ξ + η ∫ ∫ nên [ ] ( ) 1 n r Im2 L F 2 D e .− ζα αζ ϕ ≤ pi ϕ Điều này cùng với đẳng thức ( ) ( )N N1 2 n1 1 ...+ ζ ≤ + ζ + ζ + + ζ ta có ( ) [ ]( )N r ImN1 z F C e ζ+ ϕ ζ ≤ và [ ]( ) ( ) N r Im nNF C 1 e ,− ζϕ ζ < + ζ ∀ζ ∈ Hay ( ) ( ) N r Im nNC 1 e , .− ζψ ζ < + ζ ∀ζ ∈ Điều kiện đủ: Với mỗi n ,η∈ do hàm ( ) ( )i x,e− ζ ψ ζ là hàm giải tích trên n nên nó giải tích theo từng biến ta có TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TOÁN 98 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n 1 1 j j j 2 n n n n 1 1 2 2 j j j j j 3 j 1 n n n i x xn n i x,2 2 1 2 n i x x x i xn n 2 2 1 2 3 n 1 2 n n i x, i2 x 2 e d 2 e , ,..., d 2 e , , ,..., d 2 e , ,..., d 2 e i d = = =   ξ + ξ  − −ξ   ξ∈ ξ∈       ζ + ζ + ξ ζ    − −    ξ∈ ξ∈ − ξ+ η ξ∈ ∑ ϕ = pi ψ ξ ξ = pi ψ ζ ξ ξ ξ ∑ ∑ = pi ψ ζ ζ ξ ξ ξ = pi ψ ζ ζ ζ ξ = pi ψ ξ + η ∫ ∫ ∫ ∫ ∫      .ξ Khi đó từ bất đẳng thức (6) ta có ( ) ( )2 n. i Lψ + η ∈  và [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n i x, i i x, i i d dx x n i x, i x, i d dx 1 x F i 2 e e 2 e e F F . i i . − − ξ+ η ζ+ η ψ ζ+ η ζ ∈ ζ∈ − − ξ ζ ψ ζ+ η ζ − ∈ ζ∈ ϕ ξ + η = pi  = pi = ψ + η  ξ = ψ ξ + η   ∫ ∫ ∫ ∫     Với N∈ sao cho ( ) ( )N 1 n1 L .−+ ξ ∈  Sử dụng giả thiết cùng với đẳng thức ( ) ( )N N1 i 1− −+ ξ + η ≤ + ξ ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nn nN Nx, r x,r2 2N Nx 2 C 1 e e d 2 C e 1 d .− −− −− η η − ηηϕ ≤ pi + ξ ξ ≤ pi + ξ ξ∫ ∫  mà ( )n N1 d−ξ∈ + ξ ξ∫  hội tụ, và nếu 1x r, x, t 0 t > η = > thì ( ) ( )r x x r x, t t 0 t 0 lim e lim e 0 + + − η − η → → = = nên ( ) ( ) ( )n0 rx 0, x r, C ,supp B 0 .∞ϕ = > ϕ∈ ϕ ⊂ Từ định lý Paley-Wiener ta có phép biến đổi Fourier là một đẳng cấu tuyến tính từ ( )nD  vào ( )nS , mà có phép nhúng liên tục ( ) ( )n nD S→  nên có phép nhúng liên tục từ ( )nS  vào ( )nS . Từ đó, mỗi hàm suy rộng tăng chậm có thể coi là một phím hàm tuyến tính liên tục trên ( )nS . Định nghĩa 3.1 Cho ( )' nf D .∈  Biến đổi Fourier của hàm suy rộng f , kí hiệu là [ ]F f , là một ánh xạ từ ( )nS  vào n được xác định như sau: [ ] ( )nF f , f , , S ,ψ ψ = ϕ ψ ∈  trong đó, ( )n0C∞ϕ∈  được xác định theo định lý Paley-Wiener, từ ψ sao cho ( ) [ ]( )F .ψ ζ = ϕ ζ Định lý Paley-Wiener cho chúng ta điều kiện cần và đủ để một hàm giải tích là biến đổi Fourier của một hàm cơ bản khả vi vô hạn với giá compact. Định lý sau đây là điều kiện cần và đủ để một hàm giải tích là biến đổi Fourier của một hàm suy rộng với giá compact. Định lý 3.3. ([1], Thm.2.12) Định lý Paley-Wiener-Shwartz Cho n:ψ →  là hàm giải tích. Khi đó điều kiện cần và đủ để có một số r 0,> một hàm ( )' nf ∈ε  (hàm suy rộng với giá compact), ( )rsuppf B 0⊂ sao cho ( ) [ ]( )F fψ ζ = ζ là tồn tại N,C 0> sao cho ( ) ( )N r Im nNC 1 e , .ζψ ζ < + ζ ∀ζ ∈ ĈẠI HỌC TÀI CHÍNH  KẾ TOÁN 98 TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TOÁN ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n 1 1 j j j 2 n n n n 1 1 2 2 j j j j j 3 j 1 n n n i x xn n i x,2 2 1 2 n i x x x i xn n 2 2 1 2 3 n 1 2 n n i x, i2 x 2 e d 2 e , ,..., d 2 e , , ,..., d 2 e , ,..., d 2 e i d = = =   ξ + ξ  − −ξ   ξ∈ ξ∈       ζ + ζ + ξ ζ    − −    ξ∈ ξ∈ − ξ+ η ξ∈ ∑ ϕ = pi ψ ξ ξ = pi ψ ζ ξ ξ ξ ∑ ∑ = pi ψ ζ ζ ξ ξ ξ = pi ψ ζ ζ ζ ξ = pi ψ ξ + η ∫ ∫ ∫ ∫ ∫      .ξ Khi đó từ bất đẳng thức (6) ta có ( ) ( )2 n. i Lψ + η ∈  và [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n i x, i i x, i i d dx x n i x, i x, i d dx 1 x F i 2 e e 2 e e F F . i i . − − ξ+ η ζ+ η ψ ζ+ η ζ ∈ ζ∈ − − ξ ζ ψ ζ+ η ζ − ∈ ζ∈ ϕ ξ + η = pi  = pi = ψ + η  ξ = ψ ξ + η   ∫ ∫ ∫ ∫     Với N∈ sao cho ( ) ( )N 1 n1 L .−+ ξ ∈  Sử dụng giả thiết cùng với đẳng thức ( ) ( )N N1 i 1− −+ ξ + η ≤ + ξ ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nn nN Nx, r x,r2 2N Nx 2 C 1 e e d 2 C e 1 d .− −− −− η η − ηηϕ ≤ pi + ξ ξ ≤ pi + ξ ξ∫ ∫  mà ( )n N1 d−ξ∈ + ξ ξ∫  hội tụ, và nếu 1x r, x, t 0 t > η = > thì ( ) ( )r x x r x, t t 0 t 0 lim e lim e 0 + + − η − η → → = = nên ( ) ( ) ( )n0 rx 0, x r, C ,supp B 0 .∞ϕ = > ϕ∈ ϕ ⊂ Từ định lý Paley-Wiener ta có phép biến đổi Fourier là một đẳng cấu tuyến tính từ ( )nD  vào ( )nS , mà có phép nhúng liên tục ( ) ( )n nD S→  nên có phép nhúng liên tục từ ( )nS  vào ( )nS . Từ đó, mỗi hàm suy rộng tăng chậm có thể coi là một phím hàm tuyến tính liên tục trên ( )nS . Định nghĩa 3.1 Cho ( )' nf D .∈  Biến đổi Fourier của hàm suy rộng f , kí hiệu là [ ]F f , là một ánh xạ từ ( )nS  vào n được xác định như sau: [ ] ( )nF f , f , , S ,ψ ψ = ϕ ψ ∈  trong đó, ( )n0C∞ϕ∈  được xác định theo định lý Paley-Wiener, từ ψ sao cho ( ) [ ]( )F .ψ ζ = ϕ ζ Định lý Paley-Wiener cho chúng ta điều kiện cần và đủ để một hàm giải tích là biến đổi Fourier của một hàm cơ bản khả vi vô hạn với giá compact. Định lý sau đây là điều kiện cần và đủ để một hàm giải tích là biến đổi Fourier của một hàm suy rộng với giá compact. Định lý 3.3. ([1], Thm.2.12) Định lý Paley-Wiener-Shwartz Cho n:ψ →  là hàm giải tích. Khi đó điều kiện cần và đủ để có một số r 0,> một hàm ( )' nf ∈ε  (hàm suy rộng với giá compact), ( )rsuppf B 0⊂ sao cho ( ) [ ]( )F fψ ζ = ζ là tồn tại N,C 0> sao cho ( ) ( )N r Im nNC 1 e , .ζψ ζ < + ζ ∀ζ ∈ 99 Đ - Chứng minh. Điều kiện cần: Cho ( )n'f∈ε  Do ( ) ( )' n ' nSε ⊂  nên biến đổi Fourier [ ]F f được xác định như sau [ ] ( )nf ,F , S .ϕ ϕ ϕ∈  Do ( )nSϕ∈  có một dãy { }k k 1=ϕ trong ( )n0C∞  hội tụ đến ϕ trong ( )nS . Với mỗi k, giá ksuppϕ là tập compact trong [ ] ( )n ' nk,F ϕ ∈ε  nên các tổng Riemann ( ) ( ) ( ) ( )n i jh,2h k j 2 e jh ,− − ξψ ξ = pi ϕ∑ trong đó j ∑ là tổng lấy trên các điểm có tọa độ nguyên trong n , tổng này hữu hạn vì giá ksuppϕ là tập compact, hội tụ đến [ ]( )kF ϕ ξ trong ( )nε  khi h giảm dần về 0 nên [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n ni jh, i jh,2 2k h k kh 0 h 0 h 0j jf ,F lim f , 2 lim f ,e jh 2 lim jh f ,e .+ + + − − − ξ − ξ ξ ξ ξ ξ → → → ϕ = ψ = pi ϕ = pi ϕ∑ ∑ mà tổng Riemann ( ) ( ) ( )n i jh,n2h k j 2 h jh f ,e− − ξξφ = pi ϕ∑ hội tụ đến ( ) ( ) ( )n n i x,2 kx 2 x f ,e dx.− − ξξ ∈ pi ϕ∫  Lại do kkS lim→∞− ϕ = ϕ nên [ ] [ ]kkS limF F ,→∞− ϕ = ϕ mà ( )' nfξ ∈ε  có cấp 0, với mỗi nx∈ hàm ( ) ( )i x, ne− ξ ∈ε  nên có một số dương C và số tự nhiên m không phụ thuộc vào x sao cho ( ) ( )( ) ( ) n mi x, i x, m f ,e Csup D e C 1 x ,− ξ − ξαξ ξ ξ∈ α ≤ ≤ ≤ +∑  do đó cho k ra vô cùng ta có [ ] ( ) ( ) ( )n n i x,2 x f ,F 2 x f ,e dx.− − ξξ ∈ ϕ = pi ϕ∫  Vì vậy hàm suy rộng [ ]F f có thể viết đưới dạng hàm thông thường ( ) ( )n i x,22 f ,e .− − ξξpi Như vậy, với ( )' nf ∈ε  thì biến đổi Fourier [ ]F f là một hàm từ n vào  được xác định bởi ( )i x, xf ,e . − ξξ Hàm [ ]( )F f ξ là hàm khả vi vô hạn và có thể thác triển lên thành hàm giải tích trên n như sau: ( )i x, xf ,e . − ζζ  Do ( )' nf ∈ε  nên có một số r 0> để ( )rsuppf B 0 .⊂ Khi đó, có một hàm ( )n0C∞φ∈  mà ( )t 0φ = với ( )t 1, t 1≥ φ = với 1t . 2 ≤ Đặt ( ) ( )( )i x,x e x M− ζζϕ = φ ζ − , với mỗi ζ thì ( )0C .∞ζϕ ∈  Với 0ζ = thì ( ) ( ) ( )i x,0 n0 x e ,D x 0, x , 0.− α ζϕ = ϕ = ∀ ∈ α ≠ để ( )rsuppf B 0 .⊂ Với 0ζ ≠ thì ( ) ( ) ( )i x,0 1M 1x e , x M ,supp B 0 , 2 − ζ ζ + ζ ϕ = ∀ ≤ + ϕ ⊂ζ và ( ) ( ) ( ) ( )( )i x, xD x i e D x M .β − ζα α−βζ β≤α ϕ = − ζ φ ζ −∑ Vì ( ) ( )' n Mf ,suppf B 0∈ε ⊂ nên ( )i x,xf ,e f , ,− ξ ζ= ϕ và có một số N +∈ và một số c 0> sao cho ( ) ( ) n N M Im' x N f , c sup D x c 1 e .ζαζ ζ ∈ α ≤ ϕ ≤ ϕ ≤ + ζ∑  TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TOÁN 100 Điều kiện đủ: Theo định lý Paley-Wiener-Shwartz, với mỗi hàm ( ) ( )' n. i Sψ + η ∈  nên biến đổi Fourier của nó ( ) ( )1 ' nf F S−= ψ ξ  ∈   và [ ]( ) ( ) nF f , .ζ = ψ ζ ζ ∈ Lấy ( )n0p C∞∈  sao cho ( )rsuppp B 0⊂ và ( )n p x 1.=∫ Với mỗi 0ε > ta đặt n xp p ,−ε   = ε  ε  do ( ) ( )( ) ( )n n ' np D S ,f Sε ∈ ⊂ ∈   nên nếu ta đặt f f pε ε= ∗ thì hàm [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) [ ]n n2 2F f 2 F p F f 2 F pε ε ε= pi = pi ψ là hàm giải tích trên n . Lại có, do ( ) ( ) ( )n0p C ,supp p B 0∞ε ε ε∈ ⊂ nên theo định lý Paley-Wiener với mọi 1N 0> điều có số 1N C 0> để [ ]( ) ( ) 1 1 N Im n NF p C 1 e , . − ε ζ ε ζ < + ζ ∀ζ ∈ Do đó ta có [ ]( ) ( ) 1 1 N N (r ) Im n NF f C C 1 e , − + +ε ζ ε ζ < + ζ ∀ζ ∈ Từ định lý Paley-Wiener ta có ( ) ( )rsupp f B 0 ,ε +ε⊂ mà 0S limf fεε→− = nên ( )rsuppf B 0 .⊂ TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Đặng Anh Tuấn (2005), Lý thuyết hàm suy rộng và không gian Sobolev (Bài giảng SĐH), Hà Nội 2. Lê Viết Ngư (2011), Hàm Suy Rộng (Bài giảng SĐH), Đại học Huế. 3. Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Minh Trí, Lê Quang Trung (1995), Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, Nhà xuất bản Khoa học kĩ thuật, Hà Nội. 4. Nguyễn Thị Minh Khai, Biến đổi Fourier trong không gian các hàm giảm nhanh ( )nS , Tạp chí Khoa học Tài chính Kế toán số 20. 5. Nguyễn Thị Minh Khai, Biến đổi Fourier trong không gian các hàm tăng chậm ( )' nS , Tạp chí Khoa học Tài chính Kế toán số 21. 6. Hormander.L., (1985), The analysis of Linear Partial Differential Operators, Springer - Verlag. 7. Machael Reiter, Arthur Schuster (2008), Fourier transform and Sobolev Space, Summer Term. 8. Markus Harju (2007), Fourier transform and distribution, Valeriy Seroy University of Oulu. 9. Vladimirov, V.S (2002), Methods of the Theory of Genneralized, Steklov Mathematical Institute Moscow, Russia. 10. Vladimirov, V.S(1984), Equation of Mathematical Physics, MirPublishers, Moscow. 101 ĈẠI HỌC TÀI CHÍNH  KẾ TOÁN LỰA CHỌN BÀI TẬP PHÁT TRIỂN THỂ CHẤT CHO NỮ SINH VIÊN NĂM THỨ NHẤT TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH - KẾ TOÁN 6(/(CTIN* PH<6ICA/ '(9(/OP0(NT (;(5CI6(6 )O5 )(0A/( )5(6H0(N O) 8NI9(56IT< O) )INANC( AN' ACCO8NTANC< ThS. Nguyễn Thị Thảo - ThS. Đào Mạnh Hùng Trường Đại học Tài chính - Kế toán TÓM TẮT Qua nghiên cứu đề tài đã đánh giá được thực trạng sự phát triển thể chất của nữ sinh viên Trường Đại học Tài chính - Kế toán. Từ đó nhằm lựa chọn các bài tập có cơ sở khoa học và phù hợp với điều kiện thực tiễn để phát triển thể chất cho nữ sinh viên năm thứ nhất Trường Đại học Tài chính - Kế toán, góp phần hoàn thành các mục tiêu giáo dục của Nhà trường. Từ khóa: Lựa chọn bài tập, phát triển thể chất, nữ sinh năm thứ nhất, Trường Đại học Tài chính - Kế toán ABSTRACT The topic assessed the physical development of female students at the University of Finance and Accountancy to choose exercises with scientific basis and suitable with practical conditions for physical development for female freshmen at the University of Finance and Accountancy, contributing to the achievement of the school’s educational goals. Keywords: Selecting exercises, physical development, freshmen, University of Finance and Accountancy Đặt vấn đề 0өF WLrX FӫD *LiR GөF WKӇ FKҩW FKR VLQK YLrQ Oj QKҵP QkQJ FDR WKӇ OӵF WҫP YyF FKR WKӃ KӋ WUҿ QkQJ FDR FKҩW OѭӧQJ QJXӗQ QKkQ OӵF QkQJ FDR ÿӡL VӕQJ YăQ KyD WLQK WKҫQ ÿӇ SKөF Yө Vӵ QJKLӋS F{QJ QJKLӋS KyD KLӋQ ÿҥL KyD ÿҩW QѭӟF Ĉy FNJQJ Oj PөF WLrX Pj TUѭӡQJ ĈҥL KӑF TjL FKtQK  KӃ WRiQ KѫQ  QăP [k\ GӵQJ Yj SKiW WULӇQ ÿm Yj ÿDQJ WKӵF KLӋQ 'R ÿһF WK ÿjR WҥR FӫD TUѭӡQJ ĈҥL KӑF TjL FKtQK  KӃ WRiQ Oj FiF QJjQK NLQK WӃ QrQ VLQK YLrQ Qӳ FKLӃP Wӹ OӋ UҩW FDR 9u Yұ\ YLӋF iS GөQJ FiF EjL WұS WKӇ OӵF FzQ KҥQ FKӃ 6RQJ GѭӟL Vӵ TXDQ WkP FKӍ ÿҥR Yj FӫD NKj WUѭӡQJ %ӝ P{Q *LiR GөF TKӇ FKҩW ÿm Fy QKLӅX FҧL WLӃQ ÿәL PӟL SKѭѫQJ SKiS Wә FKӭF JLҧQJ Gҥ\ NKҳF SKөF QKӳQJ NKy NKăQ ÿӇ WKӵF KLӋQ FKѭѫQJ WUuQK ÿjR WҥR NKѭQJ WURQJ TXi WUuQK JLҧQJ Gҥ\ YүQ FzQ QKLӅX QӝL GXQJ FKѭD WKӵF KLӋQ WӕW GүQ ÿӃQ NӃW NLӇP WUD ÿiQK JLi WKӇ OӵF FKXQJ FӫD VLQK YLrQ FzQ \ӃX Vӵ SKiW WULӇQ WKӇ FKҩW FKѭD WӕW ĈӇ ÿҥW ÿѭӧF PөF WLrX ÿjR WҥR ÿӅ UD TXD WKӵF WLӉQ JLҧQJ Gҥ\ TXD TXi WUuQK WuP KLӇX FiF F{QJ WUuQK QJKLrQ FӭX WUѭӟF ÿk\ ÿӇ WӯQJ EѭӟF ÿҭ\ PҥQK Yj QkQJ FDR FKҩW OѭӧQJ JLҧQJ Gҥ\  KӑF WұS P{Q JLiR GөF WKӇ FKҩW WKHR WLQK WKҫQ FiF CKӍ WKӏ NJ