Đề tài Phép biến đổi Laplace

PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Toán học là một ngành khoa học không những nó phục vụ cho chính nó, mà nó đặc biệt trở thành một công cụ hữu ích cho việc phát triển các ngành khoa học khác, trong đó có vật lý học. Tính chất cơ bản của vật lý học là tính thực nghiệm. Nhưng muốn trình bày những định luật định lượng của vật lý học một cách chính xác ta thường phải sử dụng phương pháp toán học. Phương pháp toán học được sử dụng từ lâu trong vật lý. Nó là sự giao thoa giữa toán học và vật lý học. Những quy luật đơn giản của vật lý đã được cơ học cổ điển giải quyết gần như trọn vẹn. Nhưng những quy luật vi mô, vĩ mô dưới tác dụng của nhiều trường khác nhau thì nó lại hoàn toàn bất lực. Cùng với điều đó là sự phát triển mạnh mẽ của toán học cả về bề rộng và bề sâu. Dẫn tới sự ra đời của một ngành vật lý mới vật lý lý thuyết. Người ta dùng phương pháp toán học để tìm ra những quy luật mới. Những quy luật tổng quát hơn những quy luật đã biết, đoán trước được mối quan hệ giữa những hiện tượng vật lý mà thực tế chưa quan sát được. Nó tìm được những quy luật tổng quát nhất, phản ánh được bản chất vật lý của nhiều hiện tượng xét một cách tổng quát nhất. Những phương pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại thì rất phong phú và đa dạng. Nó gồm một khối lượng kiến thức lớn thuộc các ngành như: hàm thực, hàm phức, các phương trình vi phân, các phép tính tích phân…Các kiến thức toán này nó không những cần thiết cho các bạn sinh viên để tiếp thu, thực hành cũng như nghiên cứu đối với các môn học khác trong khi học tại trường, mà còn là các công cụ toán hữu ích cho công tác của họ sau khi ra trường. Bước đầu khám phá và đi sâu vào các công cụ toán học cũng như ứng dụng của nó trong vật lý. Đề tài: “Phép biến đổi Laplace” cũng là một trong số những công cụ toán có nhiều ứng dụng quan trọng trong vật lý. Nó giúp chúng ta giải quyết các bài toán vật lý một cách đơn giản hơn. Vì vậy khi chọn đề tài này tôi muốn đi sâu vào nghiên cứu, tìm hiểu các công cụ toán dùng trong vật lý nói chung và vật lý lý thuyết nói riêng. 2. Mục đích nghiên cứu - Nâng cao kiến thức toán học và sử dụng chúng một cách linh hoạt trong nghiên cứu vật lý. - Tìm hiểu các phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ Descartes. - Tìm hiểu các phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong, đặc biệt là hai hệ tọa độ thường gặp trong vật lý đó là: hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu. 3. Đối tượng nghiên cứu - Các phép biến đổi Laplace và ý nghĩa của chúng. 4. Phương pháp nghiên cứu - Vật lý lý thuyết - Phương pháp giải tích toán học - Đọc tài liệu và tra cứu 5. Cấu trúc khóa luận Đề tài nghiên cứu gồm: - Chương 1: Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ Descartes. - Chương 2: Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong. - Chương 3: Bài tập PHẦN 2: NỘI DUNG Chương 1 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES 1. GRADIEN CỦA TRƯỜNG VÔ HƯỚNG 1.1 Trường vô hướng và đạo hàm theo đường (cung) Trường vô hướng là một phần của không gian mà mỗi điểm M của nó ứng với một giá trị của một đại lượng vô hướng nào đó f (M). Cho một trường vô hướng có nghĩa là cho một hàm vô hướng u = f (M) có giá trị phụ thuộc vào từng điểm M của miền V. Trong tọa độ Descartes Oxyz ta có: u = f (M) = f (x, y, z) Ví dụ 1: Xét sự phân bố nhiệt độ trong một vật thể nào đó. Tại mỗi điểm được cho tương ứng với một đại lượng vô hướng đó là nhiệt độ tại điểm này. Ta xét trường vô hướng u = f (x, y, z). Nếu hàm vô hướng u = f (M) của trường không thay đổi theo thời gian, ta có trường dừng. Nếu f còn phụ thuộc cả vào thời gian thì ta có trường không dừng hay trường thay đổi f (M, t). Để biểu diễn hình học trường vô hướng ta dùng khái niệm mặt mức. Tập hợp tất cả các điểm sao cho đại lượng u nhận cùng một giá trị C được gọi là mặt mức tương ứng với số C. Ứng với mỗi giá trị của C ta có một mặt mức, cho C các giá trị khác nhau ta có họ mặt mức. Ví dụ như, đối với trường u = x +y + z mặt mức tương ứng với giá trị 1 là mặt phẳng x + y + z = 1. Mặt mức đối với giá trị 2 là mặt phẳng x + y + z = 2. Đối với trường vô hướng cầu nào đó, mặt mức là một mặt cầu với tâm tại gốc tọa độ, ví dụ đối với trường
mặt mức u = 4 là hình cầu
hay
. Giả sử cho đường cong L và trên đường cong này ta chọn một hướng nào đó (ví dụ theo chiều mũi tên). Khi đó đường cong gọi là được định hướng (H.1.1). Giả sử M và
là 2 điểm trên đường cong, kí hiệu
là độ dài cung
,
lấy dấu + nếu điểm
đứng sau điểm M và lấy dấu - nếu điểm
đứng trước điểm M. Tốc độ trung bình của hàm u = f (M) dọc theo cung M
là tỷ số của số gia của hàm (khi dịch chuyển từ M đến
) và độ dài cung
, tức bằng:
Đạo hàm theo đường cong L tại điểm
là giới hạn của tỷ số:
khi điểm M dịch chuyển dọc theo đường cong L tiến đến điểm
. Kí hiệu đạo hàm qua
, ta có:
=
(1.1) Ta có thể dễ dàng chứng minh:
=
(1.2) trong đó
là các góc tạo bởi vectơ tiếp tuyến với đường cong L tại các đểm
và các trục toạ độ. Đạo hàm theo đường cong tại điểm
không phụ thuộc vào hình dạng đường cong mà chỉ phụ thuộc vào hướng của tiếp tuyến với L tại điểm
nói cách khác, nếu các đường cong
và
đi qua
có tại điểm này cùng một vectơ tiếp tuyến, thì đạo hàm tại điểm này theo đường cong
bằng đạo hàm theo đường cong
(H. 1.2). 1.2 Gradien của trường vô hướng Ta xét trường vô hướng u = f(x, y, z) và tính đạo hàm của u theo hướng vectơ
, trong đ ó
=
+
+
. Người ta gọi đạo hàm theo hướng của vectơ
tại điểm M là đạo hàm theo cung L bất kỳ đi qua M và tiếp xúc với
. Đạo hàm riêng
là đạo hàm theo hướng vectơ
, đạo hàm riêng
là đạo hàm theo hướng vectơ
, đạo hàm riêng
là đạo hàm theo hướng vectơ
. Trước hết hãy tìm các cosin theo hướng của vectơ
.
;
;
Do đó
(1.3) Trong biểu thức trên tử số là tích vô hướng cuả vectơ
và vectơ có toạ độ là (
,
,
). Gọi vectơ này là gradien của u và ký hiệu gradu: Gradu =

+

+

(1.4) Do đó:
Hay là:
Vậy:
(1.5) Ta thấy vế phải của (1.5) là hình chiếu của gradu lên hướng
. Từ đây ta suy ra đạo hàm tại điểm M theo hướng gradu là lớn nhất. Như vậy gradu là vectơ mà theo hướng của nó hàm u tăng với vận tốc lớn nhất. Ví dụ 1: Cho trường vô hướng
xuất phát từ M (1, 2, 1) theo hướng nào hàm u tăng nhanh nhất. Giải:
gradu tại M
Đạo hàm theo hướng gradien, tức
Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm số
tại điểm
theo hướng vectơ
trong đó
. Giải: Ta thấy

;
;
Do đó:
và
Định lí: Giả sử gradien của hàm u = f (x, y, z) tại điểm M khác không. Khi đó nó vuông góc với đường cong bất kỳ đi qua điểm M và nằm trong mặt mức u(x, y, z) = C, C là hằng số. Chứng minh: Vẽ qua điểm M đường cong l nằm trong mặt mức, bởi vì hàm u không thay đổi khi nó chuyển động theo đường cong l, nên
. Nhưng đạo hàm theo cung l bằng đạo hàm theo hướng tiếp xúc vì thế
. Theo công thức:
, do
và gradu ≠ 0 nên
. Tức là góc giữa
và
bằng
. Quỹ tích các tiếp tuyến tại điểm
với các đường cong nằm trong mặt mức gọi là mặt tiếp xúc với mặt này tại điểm
. Nếu
có các toạ độ
thì:
Phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt mức là:
(1.6) Chú ý: Nếu cho mặt xác định bởi f (x, y, z) = 0, ta có thể xem nó là mặt mức của hàm u = f (x, y, z) với C = 0. Do đó ta có thể viết mặt phẳng tiếp xúc với mặt f (x, y, z) = 0 nhờ công thức (1.6). Ví dụ 3: Hãy viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt parabolic
tại điểm M (2, 1, 5). Mặt đã cho có thể xét như một mặt mức của hàm
. Bởi vì:
, cho nên
. Do đó phương trình của mặt phẳng tiếp xúc của mặt parabolic đã cho tại M có dạng:
hay
1.3 Các tính chất của Gradien Gradien có các tính chất rất quan trọng sau đây mà ta có thể sử dụng trong chứng minh các công thức vật lý: a/ grad(u+v) = gradu + gradv (1.7) b/ grad(uv) = u.gradv + v. gradu (1.8) c/ grad
(v≠0) (1.9) 1.4 Ý nghĩa vật lý của gradien Từ (1.3) ta thấy gradien của một đại lượng vô hướng cho ta một vectơ. Cho nên trong vật lý người ta dùng phương pháp trong đó tính một đại lượng vô hướng (không đơn trị) một cách đơn giản hơn, nhưng gradien của nó lại cho ta một đại lượng vật lý thực dưới dạng vectơ, đơn trị, có thể đo được trên thực nghiệm. Thí dụ, trong điện động lực học người ta tính thế vô hướng φ (không đơn trị), nhưng
là cường độ điện trường có thể đo được trên thực nghiệm. 2. DIVE CỦA TRƯỜNG VECTƠ 2.1 Trường vectơ-đường vectơ 2.1.1 Trường vectơ – đường vectơ Trong vật lý ta luôn tiếp xúc với các trường vectơ như trường lực, trường từ hay trường điện như
được nêu ở trên. Để biểu diễn hình học trường vectơ ta dùng các đường vectơ, là các đường trong không gian mà tại mỗi điểm của nó vectơ
nằm dọc theo tiếp tuyến của trường tại điểm này. Nếu trường vectơ là trường lực hấp dẫn, thì các đường vectơ (gọi là các đường lực) là các tia xuất phát từ gốc toạ độ. Trong trường gradien
đường vectơ của trường là đường mà khi chuyển động dọc theo nó, đại lượng u tăng với vận tốc lớn nhất. Để tìm đường vectơ của trường
Ta tiến hành như sau: Giả sử phương trình tham số của đường vectơ là x=x(t) ; y=y(t) ; z=z(t) Khi đó vectơ tiếp xúc tại điểm tuỳ ý của đường này có dạng
Theo định nghĩa của trường vectơ, vectơ này đồng phương với vectơ của trường tại điểm (x, y, z). Vì thế hình chiếu lên các trục toạ độ của các vectơ này tỉ lệ với nhau.
(2.1) Gọi giá trị chung của các tỉ số trên là ((x, y, z) ta có:
;
; (2,2)
. Chú ý: vì hàm ((x, y, z, t) được chọn tuỳ ý nên phương trình của đường vectơ là không duy nhất. Ví dụ: Ta xét trường hấp dẫn sinh ra bởi chất điểm đặt tại gốc toạ độ. Khi đó các đường vectơ là các tia xuất phát từ gốc toạ độ, vì thế ống vectơ trong trường này có dạng hình nón với đỉnh ở gốc toạ độ (H.2.1). 2.1.2 Thông lượng của trường vectơ qua một mặt 2.1.2.1 Thông lượng Ta xét một mặt trơn, hữu hạn S đặt trong một trường vectơ
nào đó. Ta chọn trên mặt này một hướng xác định mà ta gọi đó là hướng dương hướng ngược lại của mặt là hướng âm. Ta nói rằng mặt như vậy là mặt định hướng. Ta kí hiệu vectơ pháp tuyến đơn vị tại điểm M của mặt S sao cho vectơ này hướng từ âm sang dương là vectơ
. Vị trí của vectơ
phụ thuộc vào vị trí điểm M trên mặt. Xét hàm f (M) = (
,
) được xác định tại mọi điểm của mặt S. Nếu
và các góc chỉ phương của vectơ
tương ứng bằng (, (, ( tức là:
thì
hàm này liên tục trên mặt S, do đó tồn tại tích phân của hàm f(M) trên mặt S. Tích phân này gọi là thông lượng của trường vectơ qua S và được ký hiệu bằng chữ (:
(2.2) Chú ý: Khi thay đổi hướng của mặt S ta thay đổi dấu của thông lượng. Nếu mặt S là mặt kín thì ta thường định hướng như sau: Hướng bên ngoài của mặt là hướng dương, hướng bên trong là hướng âm. 2.1.2.2 Ý nghĩa vật lý của thông lượng Trong trường hợp thuỷ động học, thông lượng qua mặt được định hướng bằng khối lượng chất lỏng chảy qua mặt này trong một đơn vị thời gian. Ta xét trường hợp mặt kín S. Nếu thông lượng qua S là mặt dương điều này nghĩa là lượng chất lỏng chảy từ một phần của không gian được giới hạn bởi mặt S lớn hơn lượng chất lỏng chảy vào nó. Ngược lại, nếu thông lượng âm thì lượng chảy vào S lớn hơn lượng chất lỏng chảy ra từ S. Ví dụ: Cho trường vectơ
Tính thông lượng của trường này qua bề mặt của hình cầu bán kính với tâm tại gốc toạ độ. Trong trường hợp này pháp tuyến tại điểm bất kỳ của mặt S hướng theo bán kính vectơ tại điểm này. Vì thế vectơ pháp tuyến đơn vị
do
đối với mọi điểm nằm trên mặt đã cho. Như vậy:
Vì thế thông lượng bằng
. 2.2 Dive của trường vectơ 2.2.1 Dive của trường vectơ Dive (divergen) của trường vectơ
tại điểm M là giới hạn của tỉ số thông lượng qua mặt kín bao quanh M và thể tích của miền được giới hạn bởi bề mặt này
(2.3) Những điểm của trường tại đó dive mang dấu dương được gọi là điểm nguồn. Những điểm mà tại đó dive mang dấu âm được gọi là những điểm hút. Giả sử trường vectơ
trong đó P, Q, R là những hàm số có đạo hàm cấp1, 2 liên tục thì
(2.4) trong đó (, (, ( là những góc chỉ phương của pháp tuyến ngoài. Theo công thức Ostrogradski ta đưa tích phân mặt về tích phân 3 lớp:
(2.5) Theo định lý giá trị trung bình, trong miền V, ta tìm được một điểm
sao cho:
vì thế
Khi V→ M thì
→M, vì thế
(2.6) Từ công thức (2.4) và (2.5) ta có:
(2.7) Như vậy thông lượng của trường vectơ A qua bề mặt kín bằng tích phân 3 lớp của
trên miền mà bề mặt này giới hạn. Chú ý rằng công thức này chỉ được nghiệm đúng trong trường hợp khi
liên tục trong miền V. Ví dụ: Tính thông lượng của trường vectơ
qua mặt cầu đơn vị với tâm tại gốc toạ độ. Giải:
Vậy thông lượng
2.2.2 Trường hình ống Nếu tại tất cả các điểm của miền G nào đó dive của trường
bằng không, thì ta nói rằng
là trường hình ống của miền này. Ví dụ: Cho trường hấp dẫn
trong miền G nào đó không chứa gốc tọa độ. Hãy tính
. Giải:
Bằng cách tính trực tiếp ta thấy rằng:
tại điểm bất kỳ khác gốc toạ độ. Vậy
là trường hình ống trong miền G. Bây giờ ta tính dive tại gốc toạ độ. Ta thấy thông lượng qua mặt cầu bán kính a bằng -4π
, tỉ số thông lượng và thể tích hình cầu chứa bên trong bề mặt này bằng
Theo định nghĩa:
. 2.2.3 Ý nghĩa vật lý của dive Phép tính dive có nhiều ứng dụng trong vật lý như tính thông lượng của trường vectơ. Ngoài ra qua biến đổi của tích phân khi tính thông lượng người ta còn dẫn đến phương trình Maxwell trong điện động lực học
trong đó
là vectơ cảm ứng điện , còn ρ là mật độ của điện tích tự do. 3. ROTA CỦA TRƯỜNG VECTƠ 3.1 Lưu thông của trường vectơ theo chu tuyến Ta xét trường vectơ:
và chu tuyến l nằm trong trường này. Ta gọi tích phân đường
(3.1) là lưu thông của trường vectơ
theo chu tuyến. Ta hiểu ngầm rằng lưu thông không chỉ phụ thuộc vào
và l, mà còn cả hướng của chu tuyến l. Khi thay đổi hướng của đường cong, lưu thông thay đổi dấu. Ví dụ 1: Nếu
là trường lực thì lưu thông của trường theo chu tuyến l bằng công khi dịch chuyển chất điểm trong trường lực dọc theo chu tuyến l. Giả sử đường cong cho dưới dạng tham số: x = ((t), y = ((t) , z = ((t) với
ta có:
Như vậy để tính lưu thông của trường vectơ ta có thể áp dụng công thức stockes
Trong trường hợp đặc biệt
(3.4) 3.2 Rota của trường Trong không gian Oxyz cho bề mặt S nào đó. Ta xét trường vectơ
trong đó P, Q, R và các đạo hàm riêng cấp 1 của nó liên tục tại điểm M thuộc S và trong lân cận của điểm M. Trên bề mặt S, ta vẽ chu tuyến đóng l bao quanh điểm
rồi chọn hướng xác định trên chu tuyến này và tính
. Tỷ số lưu thông theo chu tuyến l và diện tích ( của bề mặt S được giới hạn bởi chu tuyến l trên được gọi là mật độ lưu thông trung bình
(3.5) ta gọi giới hạn :
là mật độ lưu thông tại điểm
trên bề mặt S. Ta có:



(3.6) Vậy nếu

thì mật độ lưu thông tại điểm
theo hướng
bằng:
Biểu thức trên là tích vô hướng của vectơ
và vectơ
Vectơ này chỉ phụ thuộc vào trường vectơ đã cho
. Ta kí hiệu là rot
Như vậy mật độ lưu thông của trường vectơ
theo hướng
bằng rot
.
Rota của trường vectơ

(3.7) có giá trị hoàn toàn xác định (về độ lớn, về hướng) tại mỗi điểm của trường đã cho do đó rota lập thành trường vectơ mới. Biểu thức (3.7) cũng có thể viết dưới dạng định thức như sau:
(3.8) Ví dụ 1: Tính rota của trường vectơ
cho bởi công thức:
Giải: Theo công thức (3.8) ta nhận được
nói riêng, tại điểm (0, 0, 1)
Ví dụ 2: Xét trường vận tốc tại các điểm của một vật thể rắn quay với vận tốc góc không đổi
quanh trục Oz. Giải: Ta đã biết trường này được cho bởi công thức:
Do đó
3.3 Định lý stokes dưới dạng vectơ
(3.9) trong đó

là hình chiếu của vectơ rot
lên pháp tuyến của mặt S. Như vậy lưu thông của trường vectơ theo chu tuyến đóng l bằng thông lượng của rot
của trường này trên bề mặt với biên là chu tuyến l. 3.4 Ý nghĩa vật lý của rota Từ rota có nghĩa là xoáy cho nên nó mô tả nhiều hiện tượng điện từ quan trọng như rota của thông lượng của trường từ
thì sinh ra dòng điện với mật độ

(3.10) còn rota của thông lượng trường điện
thì sinh ra sự biến thiên của vectơ cảm ứng từ
theo thời gian
(3.11) Các phương trình (3.10), (3.11) là các phương trình Maxwell 4. CÁC PHÉP TÍNH ĐỐI VỚI DIVE VÀ ROTA 4.1 Dive và rota của vectơ hằng số bằng không Thật vậy, nếu
trong đó a, b, c là hằng số thì
(4.1) Tương tự
(4.2) 4.2 Dive và rota có tính chất tuyến tính Điều này có nghĩa là nếu
trong đó
,
là các trường vectơ;
,
là các hằng số thì

Chứng minh: Giả sử

Khi đó:
và


4.3 Các phép tính đối với tích a/ Giả sử u và v là hai trường vô hướng. Khi đó uv cũng là trường vô hướng ta có: graduv = ugradv+vgradu b/ Giả sử u là trường vô hướng,
là trường vectơ. Khi đó u
là trường vectơ và

Để chứng minh ta viết vectơ
dưới dạng
c/ Giả sử
,
là các trường vectơ. Khi đó (
,
) là trường vô hướng, còn (
) là trường vectơ và
Kết luận: Chương 1 chúng ta đã nghiên cứu những khái niệm quan trọng về trường và những đặc trưng cơ bản của trường vectơ và trường vô hướng. Cùng với nó là các phép tính của trường như: phép tính gradien của trường vô hướng, phép tính dive của trường vectơ và phép tính rota của trường vectơ. Trong phạm vi chương 1 chúng ta chỉ tìm hiểu các phép tính này trong hệ tọa độ Descartes vuông góc. CHƯƠNG 2 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG HỆ TOẠ ĐỘ CONG 1. HỆ TỌA ĐỘ CONG 1.1 Định nghĩa Vị trí của một điểm M trong không gian được xác định bằng bán kính vectơ
. Trong hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz:
. Trong nhiều bài toán để xác định vị trí của điểm M thay cho bộ ba số x, y, z người ta dùng bộ ba số khác
,
,
phù hợp và thuận tiện hơn với bài toán đang xét. Ngược lại, ta giả thiết một bộ ba số
,
,
ứng với một bán kính vectơ
, do đó ứng với một điểm M nào đó của không gian. Các đại lượng
,
,
được gọi là toạ độ cong của điểm M.