Giáo trình Đại số tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHAN THIẾT KHOA CƠNG NGHỆ THƠNG TIN LƯU HÀNH NỘI BỘ GIÁO TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH MỤC LỤC Chương 1: Ma trận - Định thức -------------------------------------------------- 01 1. Ma Trận ------------------------------------------------------------------------- 01 2. Định thức ----------------------------------------------------------------------- 16 3. Ma trận nghịch đảo ------------------------------------------------------------ 20 4. Hạng của ma trận -------------------------------------------------------------- 25 Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính ----------------------------------------- 29 1. Khái niệm chung -------------------------------------------------------------- 29 2. Hệ Cramer ---------------------------------------------------------------------- 30 3. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát -------------------------------------- 32 4. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất ------------------------------------- 35 Chương 3: Khơng gian vectơ ------------------------------------------------------ 39 1. Các khái niệm cơ bản --------------------------------------------------------- 39 2. Cơ sở và số chiều của khơng gian vec-tơ ---------------------------------- 44 3. Hạng của một hệ vec-tơ ------------------------------------------------------ 48 Chương 4: Ánh xạ tuyến tính ------------------------------------------------------ 57 1. Các khái niệm cơ bản --------------------------------------------------------- 57 2. Ảnh và nhân của ánh xạ tuyến tính ----------------------------------------- 59 3. Ma trận của ánh xạ tuyến tính ----------------------------------------------- 60 4. Vec-tơ riêng và trị riêng ------------------------------------------------------ 64 5. Chéo hĩa ma trận -------------------------------------------------------------- 67 Bài tập ơn ------------------------------------------------------------------------------ 74 1 Chương 1 MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 1. MA TRẬN 1.1. Định nghĩa ma trận Một bảng số hình chữ nhật gồm m dòng và n cột 11 12 1n 21 22 2n m1 m2 mn a a a a a a A a a a ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ " " " " " " " được gọi là một ma trận cấp m n× , ký hiệu ( )ij m nA a ×= hay ij m nA a ×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ , trong đó ija chỉ số hạng nằm ở dòng thứ i , cột thứ j của ma trận A . Tập hợp tất cả các ma trận cấp m n× được ký hiệu là m nM × . Với m nA M ×∈ , số hạng nằm ở dòng thứ i , cột thứ j , i 1,m= , j 1,n= , của A còn được ký hiệu là ij A⎡ ⎤⎣ ⎦ . Ví dụ 1. Với 2 3 1 2 3A M 4 5 6 × ⎛ ⎞= ∈⎜ ⎟⎝ ⎠ , [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]11 12 13 21 22 23A 1; A 2; A 3; A 4; A 5; A 6.= = = = = = Chú ý rằng việc xử lý bằng bảng là một công cụ quen thuộc trong đời sống. Chẳng hạn, để ghi chú số lượng bán một mặt hàng trong một ngày, ta dùng một số. Số lượng bán n mặt hàng trong một ngày được biểu diễn bằng n số mà ta còn gọi là một vectơ n – chiều, hay một ma trận cấp 1 n× . Số lượng bán n mặt hàng trong m ngày được biểu diễn bằng m vectơ n – chiều, hay một ma trận cấp m n× . Trong xử lý ảnh, một bức ảnh đen trắng có thể biểu diễn bằng một ma trận các bít 0 , 1. Trong thống kê ứng dụng, khi khảo sát một biến phụ thuộc theo k biến độc lập, người ta thu thập n bộ số liệu, mỗi bộ số liệu gồm k 1+ số chỉ giá trị của k biến độc lập và giá trị của biến phụ thuộc tương ứng. Một bộ số liệu như vậy tạo thành một ma trận cấp ( )n k 1× + , ... Giống như các khái niệm khác trong toán học, ma trận có thể biểu diễn nhiều đối tượng khác nhau trong từng bài toán ứng dụng cụ thể. Về mặt toán học, ta xét một biểu diễn quan trọng của ma trận trong việc khảo sát các hệ phương trình tuyến tính, một hệ thống gồm nhiều phương trình bậc nhất theo nhiều ẩn số. Xét hệ phương trình 2 x y z 2 x 2y z 6 2x 3y z 7 ⎧ − + =⎪ − + + =⎨⎪− + + =⎩ (1.1) trong đó x, y, z là các ẩn số cần tìm. Vai trò ký hiệu của các ẩn x, y, z là không có ý nghĩa quyết định. Chẳng hạn, hệ phương trình này có thể viết lại thành 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x 2 x 2x x 6 2x 3x x 7 ⎧ − + =⎪ − + + =⎨⎪− + + =⎩ (1.2) với các ẩn là 1x , 2x , 3x , ... Nói khác đi, một hệ phương trình tuyến tính được hoàn toàn xác định chỉ bằng các số hạng đi kèm theo các ẩn mà ta gọi là các hệ số và các số hạng vế phải mà ta gọi là các hệ số tự do. Cụ thể, một hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình theo n ẩn số được hoàn toàn xác định bằng ma trận cấp m n× các hệ số và ma trận cấp m 1× các hệ số tự do. Chẳng hạn, hệ phương trình (1.1) hay (1.2) được hoàn toàn xác định bởi các ma trận 1 1 1 A 1 2 1 2 3 1 ⎛ ⎞−⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ và 2 B 6 7 ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ . Ngoài ra, ta có thể gom chung hai ma trận này lại một ma trận, gọi là ma trận các hệ số mở rộng 1 1 1 2 A 1 2 1 6 2 3 1 7 ⎛ ⎞−⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ hay ( ) 1 1 1 2A B 1 2 1 6 2 3 1 7 ⎛ ⎞−⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ . 1.2. Ma trận bằng nhau Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng cấp và các số hạng tương ứng của chúng bằng nhau từng đôi một, nghĩa là ij ij A B⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦ với mọi i, j . Ví dụ 2. Cho hai ma trận 2 3A,B M ×∈ , p q 4A 1 0 2 ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ , 1 3 4B s 0 2 ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ . Ta có A B= nếu và chỉ nếu p 1= , q 3= và s 1= . 3 1.3. Các ma trận đặc biệt i) Ma trận không : là ma trận mà mọi số hạng của nó đều là số 0. Ma trận không cấp m n× được ký hiệu là m n×0 hay vắn tắt là 0 . Ví dụ 3. 2 3 0 0 0 0 0 0× ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ 0 là ma trận không cấp 2 3× . ii) Ma trận vuông : là ma trận có số dòng và số cột bằng nhau. Ma trận vuông cấp n n× được gọi tắt là ma trận vuông cấp n . Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n được ký hiệu là nM . Với ma trận vuông nA M∈ , các số hạng 11A ,⎡ ⎤⎣ ⎦ 22 nn A ,..., A⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ được gọi là nằm trên đường chéo (chính) của A . Các số hạng n1 A ,⎡ ⎤⎣ ⎦ n 1,2 1nA ,..., A−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ được gọi là nằm trên đường chéo phụ của A . Ví dụ 4. Ma trận 1 2 3 A 0 6 5 2 3 5 ⎛ ⎞−⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ là một ma trận vuông cấp 3. Các số hạng nằm trên đường chéo chính là : 11 A 1⎡ ⎤ =⎣ ⎦ , 22A 6⎡ ⎤ =⎣ ⎦ , 33A 5⎡ ⎤ = −⎣ ⎦ . Các số hạng nằm trên đường chéo phụ là : 31 A 2⎡ ⎤ =⎣ ⎦ , 22A 6⎡ ⎤ =⎣ ⎦ , 13A 3⎡ ⎤ =⎣ ⎦ . iii) Ma trận chéo cấp n : là ma trận vuông cấp n mà mọi số hạng không nằm trên đường chéo chính đều là số 0. Ví dụ 5. Ma trận 5 0 0 A 0 7 0 0 0 0 ⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ là một ma trận chéo cấp 3. iv) Ma trận đơn vị cấp n : là ma trận chéo cấp n , ký hiệu là nI , mà mọi số hạng nằm trên đường chéo chính đều bằng 1. Để biểu diễn ma trận đơn vị, người ta còn dùng ký hiệu Kronecker : ij 1 khi i j 0 khi i j ⎧ =δ = ⎨ ≠⎩ và khi đó, ma trận đơn vị cấp n được viết dưới dạng 4 ( )n ij i, j 1,n 1 0 ... 0 0 1 ... 0I ... ... ... ... 0 0 ... 1 = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= = δ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ . Ví dụ 6. Ma trận đơn vị cấp 2 và cấp 3 lần lượt là 2 1 0I 0 1 ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ ; 3 1 0 0 I 0 1 0 0 0 1 ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ . v) Ma trận tam giác trên (dưới) : là ma trận vuông mà các phần tử ở phía dưới (ở phía trên) đường chéo chính đều bằng 0. Ví dụ 7. Ma trận 11 12 1n 22 2n nn b b ... b 0 b ... b B ... ... ... ... 0 0 ... b ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ là một ma trận tam giác trên và ma trận 11 21 22 n1 n2 nn c 0 ... 0 c c ... 0 C ... ... ... ... c c ... c ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ là một ma trận tam giác dưới. vi) Ma trận chỉ có một dòng được gọi là một ma trận dòng, ma trận chỉ có một cột được gọi là một ma trận cột. Các ma trận dòng và ma trận cột còn được xem như là các vectơ và được lần lượt gọi là các vectơ dòng và vectơ cột. Khi đó, một ma trận có thể xem như được tạo bởi nhiều vectơ dòng hay tạo bởi nhiều vectơ cột. Với ma trận m nA M ×∈ , dòng thứ i của A gồm các phần tử i1 A⎡ ⎤⎣ ⎦ , i2A⎡ ⎤⎣ ⎦ , ..., inA⎡ ⎤⎣ ⎦ và được ký hiệu là iA⎡ ⎤⎣ ⎦ ; cột thứ j gồm các phần tử 1j A⎡ ⎤⎣ ⎦ , 2jA⎡ ⎤⎣ ⎦ , ..., mjA⎡ ⎤⎣ ⎦ , ký hiệu j A⎡ ⎤⎣ ⎦ . Ví dụ 8. i) Ma trận ( )A 5 3 1= − là một ma trận dòng. ii) Ma trận 1 B 0 1 ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ là một ma trận cột. 5 iii) Ma trận 3 4 1 2 0 1 C 3 1 0 2 M 1 0 1 1 × ⎛ ⎞⎜ ⎟= − ∈⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠ tạo bởi 3 vectơ dòng ( )1C 1 2 0 1⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ; ( )2C 3 1 0 2⎡ ⎤ = −⎣ ⎦ ; ( )3C 1 0 1 1⎡ ⎤ = − −⎣ ⎦ , hay tạo bởi 4 vectơ cột 1 1 C 3 1 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎡ ⎤ = ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ; 2 2 C 1 0 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎡ ⎤ = −⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ; 3 0 C 0 1 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎡ ⎤ = ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ; 4 1 C 2 1 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎡ ⎤ = ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ . 1.3. Các phép toán trên ma trận 1.3.1. Phép cộng hai ma trận và nhân một số với một ma trận Với hai ma trận m nA, B M ×∈ và với số thực h ∈ \ , ta định nghĩa : Ma trận tổng của A và B , ký hiệu A B+ , là ma trận cấp m n× xác định bởi ij ij ij A B A B⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ với mọi i, j . Ma trận tích của hằng số h với A , ký hiệu hA , là ma trận cấp m n× xác định bởi ij ij hA h A⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦ với mọi i, j . Ví dụ 9. Với 1 2 3A 4 5 6 ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ , 1 1 1B 1 1 1 ⎛ ⎞−= ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ thì 2 1 4A B 3 6 5 ⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟⎝ ⎠ , 2 4 62A 8 10 12 ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ và 4 4 44B 4 4 4 ⎛ ⎞− −− = ⎜ ⎟−⎝ ⎠ . ∗ Chú ý : Hai ma trận chỉ có thể cộng với nhau khi chúng có cùng cấp và ma trận tổng có cấp bằng cấp của hai ma trận đã cho. Ma trận ( )1 .A− , ký hiệu A− , được gọi là ma trận đối của ma trận A . Từ đó, ta định nghĩa được phép trừ các ma trận bởi ( ) ( )A B A B A 1 B− ≡ + − = + − . Tính chất. Với mọi ma trận m nA,B,C M ×∈ và h,k ∈ \ , ta có (i) A B B A+ = + (tính giao hoán), (ii) ( ) ( )A B C A B C+ + = + + (tính kết hợp), (iii) A A+ =0 (0 : ma trận không cấp m n× ), (iv) ( )A A+ − = 0 , 6 (v) ( ) ( )h kA hk A= , (vi) ( )h A B hA hB+ = + , (vii) ( )h k A hA kA+ = + , (viii) 1.A A= . Các tính chất trên được kiểm chứng một cách dễ dàng và được coi như là bài tập. Tập hợp m nM × cùng với hai phép cộng hai ma trận và phép nhân ma trận với một số thỏa 8 tính chất nêu trên nên sau này ta nói rằng nó có cấu trúc của một không gian vectơ (xem chương 3). 1.3.2. Phép nhân hai ma trận Cho hai ma trận m n n pA M , B M× ×∈ ∈ . Ta định nghĩa ma trận tích của hai ma trận A,B là ma trận cấp m p× , ký hiệu AB, xác định bởi n ik ij jk i1 1k i2 2k in nk j 1 AB A B A B A B ... A B = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ với mọi i 1,m, k 1,p= = . Trong công thức tính số hạng ik AB⎡ ⎤⎣ ⎦ của ma trận tích AB, các số hạng i1A⎡ ⎤⎣ ⎦ , i2 in A , ..., A⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ tạo thành dòng thứ i , iA⎡ ⎤⎣ ⎦ , của ma trận A và các số hạng 1kB⎡ ⎤⎣ ⎦ , 2k nk B , ..., B⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ tạo thành cột thứ k , k B⎡ ⎤⎣ ⎦ , của ma trận B . Khi đó, số hạng ikAB⎡ ⎤⎣ ⎦ chính là tích vô hướng của hai vectơ i A⎡ ⎤⎣ ⎦ và k B⎡ ⎤⎣ ⎦ . Ví dụ 10. Cho 3 2 1 2 A 1 1 M 2 3 × ⎛ ⎞⎜ ⎟= − ∈⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ , 2 2 2 3B M 2 1 × ⎛ ⎞= ∈⎜ ⎟−⎝ ⎠ . Các số hạng của ma trận 3 2AB M ×∈ lần lượt là 7 ( )111 1AB A B 1 2 2 2 2⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ + ⋅ − = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , 2 12 1 AB A B 1 3 2 1 5⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ + ⋅ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , ( )121 2AB A B 1 2 1 2 4⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = − ⋅ + ⋅ − = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , 2 22 2 AB A B 1 3 1 1 2⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = − ⋅ + ⋅ = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , ( )131 3AB A B 2 2 3 2 2⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ + ⋅ − = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , 2 32 3 AB A B 2 3 3 1 9⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ + ⋅ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , và do đó 2 5 AB 4 2 2 9 ⎛ ⎞−⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ . Chú ý rằng với phép nhân ma trận như vậy, ta có thể biểu diễn một hệ phương trình tuyến tính bằng một phương trình ma trận. Chẳng hạn, trở lại với hệ phương trình tuyến tính 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x 2 x 2x x 6 2x 3x x 7 ⎧ − + =⎪ − + + =⎨⎪− + + =⎩ (1.3) với ma trận hệ số và ma trận các hệ số tự do, 1 1 1 A 1 2 1 2 3 1 ⎛ ⎞−⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ và 2 B 6 7 ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ . Gọi 1 2 3 x X x x ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ là ma trận các ẩn số. Phương trình (1.3) được viết lại thành A X B⋅ = (1.4) Tính chất (i) Tính kết hợp : Với mọi ma trận m n n pA M ,B M× ×∈ ∈ và p qC M ×∈ , ta có ( ) ( )A BC AB C= . (ii) Tính phân bố : Với mọi ma trận m nA,B M ×∈ và n pC M ×∈ , ta có ( )A B C AC BC+ = + , 8 và với mọi ma trận m nC M ×∈ và n pA,B M ×∈ , ta có ( )C A B CA CB+ = + . (iii) Với mọi ma trận m n n pA M ,B M× ×∈ ∈ và h ∈ \ , ta có ( ) ( ) ( )h AB hA B A hB= = . * Chú ý i) Để có thể nhân ma trận A với ma trận B , ta cần điều kiện là số cột của ma trận A phải bằng số dòng của ma trận B và khi đó : Số dòng của ma trận tích AB bằng số dòng của ma trận A . Số cột của ma trận tích AB bằng số cột của ma trận B . Do đó, với hai ma trận A, B cho trước, không nhất thiết tích AB tồn tại và khi tích AB tồn tại, tích BA không nhất thiết tồn tại. ii) Tích của hai ma trận nói chung không có tính giao hoán, nghĩa là tổng quát ta có AB BA≠ . Ví dụ 11. Với hai ma trận 0 1A 0 0 ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ , 0 0B 1 0 ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ , ta có 1 0 0 0AB BA 0 0 0 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ≠ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . Trong trường hợp cả hai ma trận tích AB và BA tồn tại và thỏa đẳng thức AB BA= , ta nói hai ma trận A và B giao hoán với nhau. Chẳng hạn, ma trận đơn vị nI giao hoán với mọi ma trận vuông A cấp n và n nI A AI A= = . Tổng quát, nếu B là ma trận cấp m n× , ta có m nI B BI B= = , trong đó mI , nI lần lượt là các ma trận đơn vị cấp m và n . Ví dụ 12. Cho 1 2 3A 4 5 6 ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ . Ta có 2 1 0 1 2 3 1 2 3I A 0 1 4 5 6 4 5 6 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 1 0 0 1 2 3 1 2 3AI 0 1 0 4 5 6 4 5 60 0 1 ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠ 9 Ví dụ 13. Cho 1 1 1 A 1 2 1 2 3 1 ⎛ ⎞−⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ và 1 4 3 C 1 3 2 1 1 1 ⎛ ⎞− −⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ . Ta có 3 1 0 0 A C C A 0 1 0 I 0 0 1 ⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ = ⋅ = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ , (1.5) và do đó, hai ma trận A và C giao hoán với nhau. Thực ra, ma trận C thỏa (1.5) nêu trên được gọi là ma trận nghịch đảo của A (xem phần 3), ký hiệu 1A− . Khi đó, bằng cách nhân (bên trái) hai vế của đẳng thức (1.4) cho C, ta được ( )C AX C B= ⋅ . Do ( ) ( ) 3C AX CA X I X X= = ⋅ = , đẳng thức trên cho 1 4 3 2 1 X C B 1 3 2 6 2 1 1 1 7 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⋅ = − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ và do đó, ta nhận được 1x 1= ; 2x 2= ; 3x 3= . Nói khác đi, ta giải được hệ phương trình tuyến tính (1.3). 1.4. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Xét ma trận mxnA M∈ với m vectơ dòng 1A⎡ ⎤⎣ ⎦ , 2A⎡ ⎤⎣ ⎦ , ..., mA⎡ ⎤⎣ ⎦ . Các phép biến đổi trên dòng nhằm mục đích thay đổi các dòng của ma trận A , biến nó thành ma trận mới m nA M ×′ ∈ ( A′ cùng cấp với A ). Ta có 3 phép biến đổi sơ cấp trên dòng như sau : i) Phép biến đổi 1 : Hoán vị hai dòng i và j , ký hiệu ( ) ( )i jA A′⎯⎯⎯⎯→∼ , nhằm đổi chỗ hai dòng i , j trong ma trận A, nghĩa là mọi dòng khác các dòng i , j của A và A′ bằng nhau, dòng thứ i của A′ bằng dòng thứ j của A và dòng thứ j của A′ bằng dòng thứ i của A , k k A A′⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦ khi k i, j≠ , i jA A′⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦ và j iA A′⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . Ví dụ 14. ( ) ( )1 3 3 2 1 5 1 3 2 4 0 1 2 3 0 1 2 3 A 1 3 2 4 3 2 1 5 5 1 2 0 5 1 2 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∼ 10 ii) Phép biến đổi 2 : Nhân dòng i với một số 0α ≠ , ký hiệu ( ) ( )i : iA A=α ′⎯⎯⎯⎯⎯→ , nhằm nhân dòng thứ i của A với α , nghĩa là mọi dòng khác dòng i của A và A′ bằng nhau, dòng thứ i của A′ bằng dòng thứ i của A nhân với α , k k A A′⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦ khi k i≠ và i iA A′⎡ ⎤ ⎡ ⎤= α ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . Ví dụ 15. ( ) ( )13 : 35 1 2 3 1 2 3 A 0 1 4 0 1 4 0 0 5 0 0 1 =⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ iii) Phép biến đổi 3 : Thay dòng i bởi dòng i cộng với α lần dòng j , ký hiệu ( ) ( ) ( )i : i jA A= + α ′⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ nhằm thay dòng thứ i của A bằng dòng đó cộng với α nhân cho dòng thứ j của A, nghĩa là mọi dòng khác dòng i của A và A′ bằng nhau, dòng thứ i của A′ bằng dòng thứ i của A cộng với α lần dòng thứ j của A, k k A A′⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦ khi k i≠ và i i jA A A′⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + α ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . Ví dụ 16. ( ) ( ) ( )3 : 1 3 1 1 0 1 1 0 A 0 1 1 0 1 1 1 0 2 0 1 2 = + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( ) ( ) ( )3 : 2 3 1 1 0 0 1 1 0 0 1 = + ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ Chú ý rằng ma trận cuối cùng có các phần tử nằm phía dưới đường chéo chính đều là số 0 nên là một ma trận tam giác trên. Đối với ma trận tam giác trên mà mọi phần tử nằm trên đường chéo đều khác 0, thì cũng bằng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng, ta có thể biến nó thành ma trận đơn vị. Ví dụ 17. ( ) ( )( ) ( ) 1 : 1 1 2 : 1. 2 (3): 1.(3) 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 = − = − =− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (1): (1) (2) (1): (1) (2) 3(2): (2) (3) 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 I 0 0 1 0 0 1 = + = + = + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Tổng quát : Ta có thể dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để chuyển một ma trận vuông về một ma trận tam giác trên và khi các phần tử trên đường 11 chéo chính của ma trận tam giác này khác không, ta có thể tiếp tục biến đổi về ma trận đơn vị. • Giải thuật biến ma trận vuông thành ma trận tam giác trên Để chuyển một ma trận vuông về một ma trận tam giác trên, ta duyệt các cột, từ cột đầu đến cột cuối : Trên mỗi cột, chọn một phần tử mà ta gọi là phần tử trục xoay. Sau đó, dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để biến các phần tử nằm phía dưới phần tử trục xoay về số 0. Đối với giải thuật chuyển ma trận vuông về ma trận tam giác trên, phần tử trục xoay trên từng cột được chọn nằm trên đường chéo. Khi đó, ta có các khả năng sau : Khả năng 1. Phần tử trục xoay bằng 0 và các phần tử ở phía dưới phần tử trục xoay cũng bằng 0 : Chuyển qua cột kế. Khả năng 2. Phần tử trục xoay bằng 0 và có một phần tử ở phía dưới nó khác 0 : Hoán vị hai dòng thích hợp để đưa phần tử khác 0 này về vị trí phần tử trục xoay. Chuyển qua khả năng 3. Khả năng 3. Phần tử trục xoay khác 0 : Thay các dòng dưới phần tử trục xoay bằng dòng đó cộng với một hằng số thích hợp nhân với dòng chứa phần tử trục xoay để biến các phần tử phía dưới trục xoay thành 0. Chuyển qua cột kế. Ví dụ 18. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 : 2 2 1 3 : 3 1 3 : 3 2 4 : 4 3 1 4 : 4 2 2 4 : 4 5 3 1 1 0 2 1 1 0 21 1 0 2 0 2 1 12 4 1 5 0 2 1 1A 1 3 0 5 0 2 0 3 0 0 1 2 3 7 3 9 0 4 3 3 0 0 5 1 1 1 0 2 0 2 1 1 0 0 1 2 0 0 0 9 = − = − = − = − = − = − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ Ngoài ra, nếu ma