Giáo trình Giải tích (Phần 1) - Vũ Thị Hồng Thanh

BË GIO DÖC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC VINH VÔ THÀ HÇNG THANH (CHÕ BI–N) INH HUY HO€NG, TR†N V‹N …N, KI—U PH×ÌNG CHI, NGUY™N V‹N ÙC, NGUY™N HUY CHI–U, TR†N ÙC TH€NH, NGUY™N THÀ QUÝNH TRANG, ŠU HÇNG QU…N GIO TRœNH GIƒI TCH (D€NH CHO SINH VI–N CC NG€NH Kß THUŠT V€ CÆNG NGH›) VINH - 2018 MÖC LÖC Thæng tin v· håc ph¦n 6 Mð ¦u 8 Ch÷ìng 1 Sè thüc v  giîi h¤n cõa d¢y sè 1 1 Sè thüc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1 Tªp hñp c¡c sè thüc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Tªp hñp sè thüc mð rëng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Tªp bà ch°n, cªn tr¶n, cªn d÷îi . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Giîi h¤n cõa d¢y sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1 C¡c kh¡i ni»m v  t½nh ch§t cì b£n cõa d¢y sè hëi tö . . . . . 6 2.2 i·u ki»n hëi tö cõa d¢y ìn i»u, sè e . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Ti¶u chu©n Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4 Giîi h¤n væ h¤n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 C¥u häi th£o luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ch÷ìng 2 Giîi h¤n cõa h m sè v  h m sè li¶n töc 20 1 H m sè v  giîi h¤n cõa h m sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n v· h m sè . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.2 Mët sè lo¤i h m sè °c bi»t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3 C¡c h m sè sì c§p cì b£n v  h m sè sì c§p . . . . . . . . . . 25 1.4 ành ngh¾a giîi h¤n cõa h m sè . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5 C¡c ph²p t½nh v  c¡c ành lþ cì b£n v· giîi h¤n h m . . . . . 33 1.6 C¡c d¤ng væ ành, ¤i l÷ñng væ còng b² v  ¤i l÷ñng væ còng lîn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2 H m sè li¶n töc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2 3 Gi¡o tr¼nh Gi£i t½ch 2.1 C¡c kh¡i ni»m v  t½nh ch§t cì b£n cõa h m sè li¶n töc . . . . 40 2.2 T½nh li¶n töc cõa c¡c h m sì c§p . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3 C¡c ành lþ cì b£n v· h m sè li¶n töc tr¶n mët o¤n . . . . . 42 2.4 H m sè li¶n töc ·u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.5 Giîi h¤n d¤ng lim x!a  u(x) v(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 C¥u häi th£o luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Ch÷ìng 3 Ph²p t½nh vi ph¥n h m mët bi¸n 50 1 ¤o h m cõa h m mët bi¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 1.1 C¡c ành ngh¾a v  t½nh ch§t cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . 51 1.2 ¤o h m b¶n ph£i, ¤o h m b¶n tr¡i . . . . . . . . . . . . . . 52 1.3 Þ ngh¾a h¼nh håc v  cì håc cõa ¤o h m . . . . . . . . . . . . 54 1.4 C¡c quy t­c t½nh ¤o h m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.5 B£ng ¤o h m cõa mët sè h m sè sì c§p . . . . . . . . . . . . 56 2 Vi ph¥n cõa h m mët bi¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.1 H m kh£ vi v  vi ph¥n cõa h m mët bi¸n . . . . . . . . . . . 57 2.2 C¡c quy t­c l§y vi ph¥n v  t½nh b§t bi¸n cõa vi ph¥n c§p 1 . . 58 2.3 C¡c ành lþ cì b£n v· h m kh£ vi . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.4 Ùng döng vi ph¥n º t½nh g¦n óng . . . . . . . . . . . . . . 61 3 ¤o h m v  vi ph¥n c§p cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.1 ành ngh¾a ¤o h m v  vi ph¥n c§p cao . . . . . . . . . . . . 62 3.2 Cæng thùc Newton-Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.3 T½nh khæng b§t bi¸n cõa vi ph¥n c§p cao . . . . . . . . . . . . 64 3.4 Khai triºn Taylor, Maclaurin h m kh£ vi . . . . . . . . . . . . 65 4 Mët sè ùng döng cõa ph²p t½nh vi ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.1 Quy t­c L0Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.2 Kh£o s¡t v  v³ ç thà cõa h m sè . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Ch÷ìng 4 T½ch ph¥n cõa h m mët bi¸n 89 1 Nguy¶n h m v  t½ch ph¥n khæng x¡c ành . . . . . . . . . . . . . . . 90 1.1 ành ngh¾a v  c¡c t½nh ch§t cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . 90 4 Gi¡o tr¼nh Gi£i t½ch 1.2 Ph÷ìng ph¡p êi bi¸n sè v  ph÷ìng ph¡p t½ch ph¥n tøng ph¦n 93 1.3 T½ch ph¥n c¡c h m húu t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 1.4 T½ch ph¥n mët sè h m væ t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 1.5 T½ch ph¥n c¡c h m l÷ñng gi¡c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 2 T½ch ph¥n x¡c ành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 2.1 ành ngh¾a v  c¡c t½nh ch§t cì b£n cõa t½ch ph¥n x¡c ành . . 107 2.2 T½nh t½ch ph¥n tøng ph¦n, êi bi¸n sè . . . . . . . . . . . . . 109 3 Ùng döng cõa t½ch ph¥n x¡c ành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.1 T½nh ë d i cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.2 T½nh di»n t½ch h¼nh ph¯ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.3 T½nh thº t½ch cõa vªt thº . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3.4 Thº t½ch cõa vªt thº trán xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.5 T½nh di»n t½ch xung quanh cõa m°t trán xoay . . . . . . . . . 125 3.6 Mët sè ùng döng vªt lþ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4 T½ch ph¥n suy rëng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.1 T½ch ph¥n suy rëng lo¤i I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.2 T½ch ph¥n suy rëng lo¤i II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Ch÷ìng 5 Chuéi sè v  chuéi h m 144 1 Chuéi sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 1.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 1.2 Mët sè t½nh ch§t cõa chuéi hëi tö . . . . . . . . . . . . . . . . 146 1.3 Chuéi sè d÷ìng v  c¡c d§u hi»u hëi tö . . . . . . . . . . . . . 147 1.4 Chuéi câ d§u tuý þ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 2 Chuéi h m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 2.1 C¡c kh¡i ni»m v  t½nh ch§t cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . 154 2.2 Sü hëi tö ·u v  c¡c d§u hi»u hëi tö . . . . . . . . . . . . . . 155 3 Chuéi luÿ thøa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 3.1 Kh¡i ni»m v  t½nh ch§t cì b£n cõa chuéi luÿ thøa . . . . . . . 158 3.2 C¡c t½nh ch§t cõa têng cõa chuéi luÿ thøa . . . . . . . . . . . 160 5 Gi¡o tr¼nh Gi£i t½ch 3.3 Khai triºn h m th nh chuéi lôy thøa . . . . . . . . . . . . . . 162 4 Chuéi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.1 Chuéi l÷ñng gi¡c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.2 i·u ki»n º khai triºn h m th nh chuéi Fourier . . . . . . . . 166 4.3 Khai triºn Fourier cõa h m ch®n, h m l´ v  h m b§t ký . . . 167 Ch÷ìng 6 Giîi h¤n, t½nh li¶n töc v  vi ph¥n cõa h m nhi·u bi¸n 178 1 Khæng gian Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 1.1 C§u tróc tuy¸n t½nh v  kho£ng c¡ch tr¶n Rn . . . . . . . . . . 179 1.2 ành ngh¾a v  c¡c t½nh ch§t cì b£n cõa d¢y hëi tö trong Rn . 180 2 Giîi h¤n cõa h m nhi·u bi¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 2.1 C¡c kh¡i ni»m v  t½nh ch§t cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . 182 2.2 Giîi h¤n l°p, giîi h¤n k²p v  mèi li¶n h» giúa chóng . . . . . . 185 3 T½nh li¶n töc cõa h m nhi·u bi¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 3.1 C¡c kh¡i ni»m v  t½nh ch§t cì b£n cõa h m li¶n töc . . . . . . 187 3.2 T½nh li¶n töc theo tøng bi¸n v  mèi li¶n h» vîi t½nh li¶n töc . 188 4 ¤o h m ri¶ng v  vi ph¥n cõa h m nhi·u bi¸n . . . . . . . . . . . . . 188 4.1 ¤o h m ri¶ng, t½nh kh£ vi v  vi ph¥n cõa h m nhi·u bi¸n . . 188 4.2 ¤o h m cõa h m hñp v  t½nh b§t bi¸n cõa vi ph¥n . . . . . . 194 4.3 ¤o h m v  vi ph¥n c§p cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 5 Cüc trà khæng i·u ki»n v  cüc trà câ i·u ki»n . . . . . . . . . . . . . 197 5.1 Cüc trà khæng i·u ki»n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 5.2 Cüc trà câ i·u ki»n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Ch÷ìng 7 T½ch ph¥n bëi 205 1 T½ch ph¥n hai lîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 1.1 ành ngh¾a v  c¡c t½nh ch§t cì b£n cõa t½ch ph¥n hai lîp . . . 206 1.2 ÷a t½ch ph¥n hai lîp v· t½ch ph¥n l°p . . . . . . . . . . . . . 208 1.3 êi bi¸n trong t½ch ph¥n hai lîp . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 2 T½ch ph¥n ba lîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 2.1 ành ngh¾a v  c¡c t½nh ch§t cð b£n cõa t½ch ph¥n ba lîp . . . 219 6 Gi¡o tr¼nh Gi£i t½ch 2.2 C¡ch t½nh t½ch ph¥n ba lîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 2.3 êi bi¸n trong t½ch ph¥n ba lîp . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 3 Ùng döng cõa t½ch ph¥n bëi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 3.1 T½nh di»n t½ch mi·n ph¯ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 3.2 T½nh thº t½ch cõa vªt thº . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 3.3 T½nh di»n t½ch m°t cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 3.4 T½nh khèi l÷ñng v  t¼m tåa ë trång t¥m cõa vªt thº . . . . . 235 Ch÷ìng 8 Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n 240 1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n v· ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n . . . . . . . . . . . . . 241 1.1 Kh¡i ni»m ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 1.2 Nghi»m v  B i to¡n Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 2 Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p mët . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 2.1 C¡c kh¡i ni»m v  k¸t qu£ cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . . 243 2.2 Ph÷ìng tr¼nh câ bi¸n sè ph¥n ly . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 2.3 Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¯ng c§p . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 2.4 Ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 2.5 Ph÷ìng tr¼nh Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 2.6 Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n to n ph¦n v  thøa sè t½ch ph¥n . . . . . 254 2.7 Ph÷ìng tr¼nh Lagrange v  ph÷ìng tr¼nh Clairaut . . . . . . . 258 3 Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 3.1 Mð ¦u v· ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p hai . . . . . . . . . . . . 260 3.2 Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh c§p hai . . . . . . . . . . . . 262 3.3 Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh c§p hai h» sè h¬ng . . . . . 266 4 H» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p mët . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 4.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 4.2 H» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh h» sè h¬ng sè . . . . . . . 273 THÆNG TIN V— HÅC PH†N ¥y l  håc ph¦n thuëc nhâm ki¸n thùc cì sð cho sinh vi¶n khèi ng nh Kÿ thuªt - Cæng ngh», nâ ÷ñc gi£ng d¤y ð håc ký 2 cõa n«m thù nh§t. N¸u sinh vi¶n ¢ håc håc ph¦n ¤i sè tuy¸n t½nh, th¼ vi»c ti¸p thu nhi·u ki¸n thùc trong håc ph¦n n y s³ ÷ñc tèt hìn. Gi£ng vi¶n s³ d¤y håc ph¦n n y 75 ti¸t tr¶n lîp, gçm 60 ti¸t lþ thuy¸t v  15 ti¸t b i tªp, cán sinh vi¶n tü håc 150 ti¸t. Thi tr­c nghi»m giúa ký 2 l¦n v  thi tü luªn v o cuèi ký. Håc ph¦n n y cung c§p c¡c ki¸n thùc cì sð v· To¡n Gi£i t½ch gióp cho sinh vi¶n câ cæng cö º ti¸p thu ÷ñc c¡c c¡c håc ph¦n chuy¶n ng nh thuëc c¡c ng nh Kÿ thuªt - Cæng ngh». Thæng qua â, r±n luy»n cho sinh vi¶n t½nh c©n thªn, ch½nh x¡c, t¿ m¿ v  s¡ng t¤o, çng thíi, gióp sinh vi¶n r±n luy»n v  l m quen vîi mët sè kÿ n«ng nh÷ hñp t¡c l m vi»c nhâm, tê chùc nhâm l m vi»c, chu©n bà v  thuy¸t tr¼nh b¡o c¡o k¸t qu£ l m vi»c nhâm tr÷îc tªp thº. 7 MÐ †U B i gi£ng n y dòng cho sinh vi¶n c¡c ng nh kÿ thuªt v  cæng ngh», nâ ÷ñc bi¶n so¤n theo · c÷ìng chi ti¸t håc ph¦n Gi£i t½ch trong ch÷ìng tr¼nh  o t¤o ¤i håc h» ch½nh qui theo ch÷ìng tr¼nh ti¸p cªn CDIO cõa Tr÷íng ¤i håc Vinh, ban h nh n«m 2017. V¼ °c thò cõa ng nh håc kÿ thuªt, cæng ngh» v  thíi l÷ñng h¤n ch¸ n¶n chóng tæi cè g­ng h¼nh th nh c¡c kh¡i ni»m, giîi thi»u c¡c t½nh ch§t cì b£n, khæng i s¥u v o nhúng v§n · n°ng v· lþ thuy¸t m  tªp trung v o nhúng k¸t qu£ v  ùng döng cõa nâ. B¶n c¤nh â, chóng tæi công ch¿ ra nhúng t i li»u º nhúng ng÷íi câ nhu c¦u nghi¶n cùu t¼m åc. Nëi dung ch½nh cõa tªp b i gi£ng n y l  lþ thuy¸t giîi h¤n, li¶n töc, ph²p t½nh vi ph¥n, ph²p t½nh t½ch ph¥n cõa h m mët bi¸n sè v  lþ thuy¸t chuéi, h m nhi·u bi¸n, t½nh li¶n töc v  t½nh kh£ vi cõa h m nhi·u bi¸n, t½ch ph¥n bëi v  ¤i c÷ìng v· ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n. Mët sè v§n · trong â, sinh vi¶n ¢ ÷ñc l m quen ð ch÷ìng tr¼nh phê thæng, khi gi£ng d¤y gi£ng vi¶n câ thº tr¼nh b y l÷ît qua nh÷ vi»c t½nh ¤o h m, kh£o s¡t v  v³ ç thà h m sè, t¼m nguy¶n h m, c¡ch t½nh t½ch ph¥n x¡c ành,... Trong gi¡o tr¼nh n y, chóng tæi v¨n tr¼nh b y ¦y õ c¡c v§n · tr¶n nh÷ng ð mùc ë chi ti¸t hìn. B i gi£ng n y tr÷îc ¥y sinh vi¶n ÷ñc l¶n lîp nghe gi£ng kho£ng 90 ti¸t. B¥y gií,  o t¤o theo ch÷ìng tr¼nh ti¸p cªn CDIO, º ph¡t huy kh£ n«ng tü håc, sinh vi¶n ch¿ l¶n lîp nghe gi£ng 75 ti¸t, ph¦n cán l¤i ph£i tü nghi¶n cùu ð nh . º t¤o i·u ki»n thuªn lñi cho ng÷íi åc, sau c¡c ành ngh¾a, ành lþ chóng tæi ÷a ra nhi·u v½ dö minh ho¤, sau méi ch÷ìng câ ÷a ra c¡c v§n · th£o luªn v  h» thèng b i tªp. ¥y l  l¦n ¦u ti¶n bi¶n so¤n b i gi£ng theo ch÷ìng tr¼nh ti¸p cªn CDIO, cho n¶n m°c dò chóng tæi ¢ câ r§t nhi¶u cè g­ng nh÷ng ch­c r¬ng cán câ nhúng sai sât. Chóng tæi r§t mong nhªn ÷ñc sü gâp þ, ph¶ b¼nh cõa ng÷íi åc. 8 CH×ÌNG 1 SÈ THÜC V€ GIÎI H„N CÕA D‚Y SÈ I.1. GIÎI THI›U º nghi¶n cùu c¡c kh¡i ni»m cì b£n cõa gi£i t½ch (nh÷ hëi tö, li¶n töc, ph²p t½nh vi ph¥n, ph²p t½nh t½ch ph¥n,...) ái häi ng÷íi håc ph£i n­m vúng c¡c kh¡i ni»m cì b£n v· sè thüc, d¢y sè, sü hëi tö cõa d¢y sè v  c¡c t½nh ch§t cõa chóng. V¼ vªy, ch÷ìng n y tr¼nh b y ¤i c÷ìng v· sè thüc, d¢y sè, sü hëi tö cõa d¢y sè v  c¡c t½nh ch§t cõa chóng. I.2. MÖC TI–U CÕA CH×ÌNG Giîi thi»u c§u tróc cì b£n cõa tªp c¡c sè thüc, tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m v  t½nh ch§t cì b£n cõa giîi h¤n d¢y sè. I.3. CHU‰N †U RA CÕA CH×ÌNG 1. Giîi thi»u c§u tróc cì b£n cõa tªp c¡c sè thüc, n­m ÷ñc c¡c kh¡i ni»m v  ph¥n bi»t ÷ñc maximum vîi suprimum, minimum vîi infimum v  bi¸t c¡ch t¼m inf, sup cõa mët sè tªp hñp, i·u ki»n tçn t¤i sup, inf. 2. Ph¡t biºu ÷ñc c¡c kh¡i ni»m v· c¡c lo¤i d¢y: d¢y hëi tö, d¢y con, d¢y ìn i»u, d¢y bà ch°n. 3. Ph¡t biºu ÷ñc c¡c t½nh ch§t cì b£n cõa d¢y sè hëi tö v  bi¸t vªn döng º t½nh giîi h¤n cõa d¢y sè. 4. Tr¼nh b y ÷ñc i·u ki»n hëi tö cõa d¢y ìn i»u v  bi¸t vªn döng º x²t sü tçn t¤i giîi h¤n cõa c¡c d¢y sè. 5. Tr¼nh b y ÷ñc mèi li¶n h» giúa d¢y hëi tö v  d¢y bà ch°n. 6. Tr¼nh b y ÷ñc ành ngh¾a d¢y câ giîi h¤n b¬ng 1 v  mèi quan h» giúa d¢y câ giîi h¤n 1 vîi d¢y bà ch°n. 7. Bi¸t ÷ñc c¡c c¡ch t¼m ÷ñc giîi h¤n cõa mët sè d¢y sè. 1 2 Gi¡o tr¼nh Gi£i t½ch I.4. NËI DUNG CÕA CH×ÌNG 1 Sè thüc 1.1 Tªp hñp c¡c sè thüc V¼ thíi l÷ñng khæng cho ph²p, chóng ta khæng i s¥u nghi¶n cùu vi»c x¥y düng tªp c¡c sè thüc v  c¡c t½nh ch§t cõa nâ. Chóng ta cæng nhªn sü tçn t¤i cõa tªp c¡c sè thüc v  nhªn bi¸t tªp c¡c sè thüc qua nhúng mæ t£ sau ¥y. Nh÷ th÷íng l», ta kþ hi»u Tªp c¡c sè tü nhi¶n f0; 1; 2; :::g ÷ñc kþ hi»u l  N. Tªp c¡c sè tü nhi¶n d÷ìng f1; 2; :::g ÷ñc kþ hi»u l  N. Tªp c¡c sè nguy¶n f:::;2;1; 0; 1; 2; :::g ÷ñc kþ hi»u l  Z. C¡c sè1; 2; 3; 4; : : : ÷ñc gåi l  c¡c sè nguy¶n ¥m. Tªp c¡c sè húu t nm n : m 2 Z; n 2 N o ÷ñc kþ hi»u l  Q. Hai sè húu t m n , r s ÷ñc gåi l  b¬ng nhau v  vi¸t m n = r s n¸u ms = nr. Ng÷íi ta chùng minh ÷ñc r¬ng méi sè húu t câ thº biºu di¹n d÷îi d¤ng mët sè thªp ph¥n húu h¤n hay væ h¤n tu¦n ho n. C¡c sè thªp ph¥n væ h¤n khæng tu¦n ho n ÷ñc gåi l  c¡c sè væ t. Tªp hñp gçm c¡c sè húu t v  c¡c sè væ t ÷ñc gåi l  tªp c¡c sè thüc (nâi gån l  tªp sè thüc) v  kþ hi»u l  R. C¡c ph²p to¡n, thù tü (c¡c b§t ¯ng thùc) trong tªp sè thüc; kh¡i ni»m v  t½nh ch§t cõa gi¡ trà tuy»t èi ¢ ÷ñc giîi thi»u trong ch÷ìng tr¼nh to¡n phê thæng, ð ¥y khæng tr¼nh b y l¤i, muèn t¼m hiºu ¦y õ c¡c v§n · n y công nh÷ vi»c x¥y düng tªp sè thüc v  t½nh ch§t cõa nâ b¤n åc câ thº t¼m åc trong c¡c t i li»u tham kh£o [1], [2], [3], [5] cõa ch÷ìng 1. Sau ¥y chóng ta tr¼nh b y mët sè t½nh ch§t cõa tªp c¡c sè thüc c¦n dòng v· sau. Tr¶n tªp c¡c sè thüc R ta trang bà 2 ph²p to¡n cëng v  nh¥n thäa m¢n c¡c t½nh ch§t k¸t hñp, giao ho¡n, ph¥n phèi cõa ph²p nh¥n vîi ph²p cëng, ph²p cëng câ ph¦n tû khæng 0 m  cëng vîi b§t ký sè thüc x n o công b¬ng ch½nh nâ, ph²p nh¥n câ ph¦n tû ìn và 1 m  nh¥n vîi b§t ký sè thüc x n o công b¬ng ch½nh nâ, méi sè thüc câ ph¦n tû èi v  méi sè thüc kh¡c 0 câ ph¦n tû nghàch £o. Méi sè thüc x 2 R ÷ñc °t t÷ìng ùng vîi mët sè thüc khæng ¥m duy nh§t jxj 3 Gi¡o tr¼nh Gi£i t½ch v  gåi l  gi¡ trà tuy»t èi cõa x ÷ñc cho bði jxj = ( x n¸u x  0; x n¸u x < 0: Tr¶n tªp c¡c sè thüc R ta cán trang bà mët thù tü  cho bði Vîi x; y 2 R; x  y (hay y  x) , y x  0: Cho mët tröc sè
(H¼nh 1.1). O x M H¼nh 1.1 Chån mët iºm gèc O cè ành tr¶n
. Ng÷íi ta câ thº chùng minh r¬ng t÷ìng ùng R 3 x 7!M 2
x¡c ành nh÷ sau: a) ë d i cõa o¤n OM l  jxj, b) M ð b¶n ph£i iºm gèc O n¸u x > 0, ð b¶n tr¡i n¸u x < 0 v  M tròng vîi O n¸u x = 0, cho ta mët song ¡nh tø R l¶n tröc sè
. V¼ vªy tröc sè
xem nh÷ mët biºu di¹n h¼nh håc cõa R. 1.2 Tªp hñp sè thüc mð rëng 1.2.1 ành ngh¾a. Tªp sè thüc mð rëng kþ hi»u l  R theo ành ngh¾a l  tªp R còng vîi hai iºm ÷ñc kþ hi»u l  1 v  +1 khæng thuëc R, R = R [ f1;+1g; 1;+1 =2 R: iºm 1 ÷ñc gåi l  iºm ¥m væ còng cán +1 gåi l  d÷ìng væ còng. 1.2.2 Chó þ. Ta luæn quy ÷îc 1) 1 < x < +1 vîi måi x 2 R: 2) (+1) = 1; (1) = +1: 3) x+ (+1) = +1; x+ (1) = 1; x1 = 0, vîi måi x 2 R: 4) N¸u x 2 R; x > 0 th¼ x:(+1) = +1; x:(1) = 1. Cán n¸u x 2 R; x < 0 th¼ x:(+1) = 1; x:(1) = +1 4 Gi¡o tr¼nh Gi£i t½ch 1.3 Tªp bà ch°n, cªn tr¶n, cªn d÷îi 1.3.1 ành ngh¾a. Gi£ sû A  R v  y 2 R. Ta nâi 1) y l  cªn tr¶n cõa A n¸u x 6 y vîi måi x 2 A: Khi â ta cán nâi A bà ch°n tr¶n bði y. 2) y l  cªn d÷îi cõa A n¸u x > y vîi måi x 2 A: Khi â ta cán nâi A bà ch°n d÷îi bði y. 3) A l  bà ch°n n¸u nâ vøa bà ch°n tr¶n v  vøa bà ch°n d÷îi tùc l  tçn t¤i y; z 2 R sao cho y 6 x 6 z 8x 2 A: 1.3.2 V½ dö. 1) Cho A = f1 x2 : x 2 Rg. Khi â 1 l  cªn tr¶n cõa A. 2) Cho A = fx2 1 : x 2 R; x 6= 0g. Khi â 1 l  cªn d÷îi cõa A. 3) Cho A = n 2x2 1 + x4 : x 2 R o . Khi â 0 l  cªn d÷îi cõa A v  1 l  cªn tr¶n cõa A. Do â A bà ch°n. 1.3.3 ành ngh¾a. Gi£ sû A  R v  A 6= : 1) Sè nhä nh§t (n¸u tçn t¤i l  duy nh§t) trong c¡c cªn tr¶n cõa A gåi l  cªn tr¶n óng cõa A v  vi¸t l  supA hay sup x2A x. 2) Sè lîn nh§t (n¸u tçn t¤i l  duy nh§t) trong c¡c cªn d÷îi cõa A gåi l  cªn d÷îi óng cõa A v  vi¸t l  inf A hay inf x2A x. 1.3.4 Nhªn x²t. a) Hiºn nhi¶n supA l  cªn tr¶n cõa A v  inf A l  cªn d÷îi cõa A. b) y = supA khi v  ch¿ khi x 6 y 8x 2 A v  vîi måi " > 0 tçn t¤i x" 2 A sao cho y " < x. y = inf A khi v  ch¿ khi x > y 8x 2 A v  vîi måi " > 0 tçn t¤i x" 2 A sao cho x < y + ". c) supA = inf(A), inf A = sup(A): 1.3.5 V½ dö. 1) Cho A = f1 x2 : x 2 Rg. Ta th§y 2 v  3 ·u l  cªn tr¶n cõa A. Tuy nhi¶n cªn tr¶n óng cõa A l  1. Thªt vªy, rã r ng 1 l  cªn tr¶n cõa A. Ta c¦n chùng minh 1 l  cªn tr¶n nhä nh§t. Gi£ sû a < 1. L§y 0 < x < p 1 a. Ta câ 1 x2 > a 5 Gi¡o tr¼nh Gi£i t½ch hay a khæng l  cªn tr¶n cõa A. Do â 1 l  cªn tr¶n nhä nh§t. Vªy supA = 1. T÷ìng tü ta chùng minh ÷ñc B = f1 x2 : x 2 R; x 6= 0g công câ cªn tr¶n óng l  1. i·u n y chùng tä cªn tr¶n óng câ thº khæng ph£i l  gi¡ trà lîn nh§t. 2) Cho A = n 1 n : n = 1; 2; ::: o : Khi â supA = 1 v  inf A = 0: Rã r ng supA = 1. Ta ch¿ ra inf A = 0. Thªt vªy, v¼ x = 1 n > 0 vîi måi n = 1; 2; :::, n¶n 0 l  cªn d÷îi cõa A. Vîi måi " > 0 n¸u chån n0 = h1 " i + 1 2 N trong â [x] kþ hi»u l  ph¦n nguy¶n cõa sè thüc x th¼ x" = 1 n0 2 A v  x" < ". Vªy inf A = 0. ành lþ sau ¥y cho chóng ta i·u ki»n º mët tªp l  câ cªn tr¶n óng ho°c cªn d÷îi óng. Chùng minh ành lþ n y câ thº xem trong c¡c t i li»u tham kh£o [1], [2], [3], [5] cõa ch÷ìng 1. 1.3.6 ành lþ. (Nguy¶n lþ supremum) Cho A  R v  A 6= : 1) N¸u A bà ch°n tr¶n th¼ A câ cªn tr¶n óng. 2) N¸u A bà ch°n d÷îi th¼ A câ cªn d÷îi óng. 1.3.7 ành ngh¾a. Cho a; b 2 R vîi a 6 b. °t [a; b] = fx 2 R : a 6 x 6 bg; [a; b) = fx 2 R : a 6 x < bg; (a; b] =