Giáo trình Giải tích (Phần 2) - Vũ Thị Hồng Thanh

CH×ÌNG 5 CHUÉI SÈ V€ CHUÉI H€M V.1. GIÎI THI›U Trong ch÷ìng n y chóng tæi tr¼nh b y nhúng k¸t qu£ cì b£n cõa lþ thuy¸t chuéi sè, chuéi h m, chuéi lôy thøa, chuéi l÷ñng gi¡c, m  chóng câ nhi·u ùng döng trong ng nh to¡n håc kh¡c v  c¡c ng nh kÿ thuªt, kinh t¸,... V.2. MÖC TI–U CÕA CH×ÌNG Tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m v  t½nh ch§t cì b£n v· chuéi sè, sü hëi tö cõa chuéi sè; chuéi h m v  mi·n hëi tö, chuéi lôy thøa v  chuéi Fourier. V.3. CHU‰N †U RA CÕA CH×ÌNG 1. Tr¼nh b y ÷ñc ành ngh¾a v  c¡c t½nh ch§t cì b£n cõa chuéi sè hëi tö. 2. T½nh ÷ñc têng cõa mët sè chuéi sè °c bi»t. 3. Sû döng ÷ñc d§u hi»u hëi tö º x²t sü hëi tö cõa chuéi sè d÷ìng. 4. Sû döng ÷ñc d§u hi»u Lepnit º x²t sü hëi tö cõa chuéi an d§u. Kh£o s¡t ÷ñc sü hëi tö tuy»t èi cõa chuéi sè. 5. Tr¼nh b y ÷ñc c¡c kh¡i ni»m v· mi·n hëi tö cõa chuéi h m, têng cõa chuéi h m. 6. T¼m ÷ñc mi·n hëi tö cõa chuéi h m. 7. T¼m ÷ñc b¡n k½nh hëi tö, mi·n hëi tö v  t½nh ÷ñc têng cõa chuéi lôy thøa. Vi¸t ÷ñc khai triºn h m th nh chuéi lôy thøa. 8. Tr¼nh b y ÷ñc c¡c kh¡i ni»m h» sè Fourier, chuéi Fourier. Vi¸t ÷ñc khai triºn th nh chuéi Fourier cõa c¡c h m ch®n, l´, tu¦n ho n v  khæng tu¦n ho n. V.4. NËI DUNG CÕA CH×ÌNG 144 145 Gi¡o tr¼nh Gi£i t½ch Trong ch÷ìng n y chóng ta tr¼nh b y nhúng kh¡i ni»m v  t½nh ch§t cì b£n v· chuéi sè v  chuéi h m sè thüc. 1 Chuéi sè 1.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n 1.1.1 ành ngh¾a. Cho d¢y sè thüc fang1n=1. Ta gåi têng h¼nh thùc a1 + a2 +


+ an +


(5.1) l  mët chuéi sè v  kþ hi»u l  1P n=1 an, an ÷ñc gåi l  sè h¤ng thù n cõa chuéi sè (5.1). Vîi méi n = 1; 2; ::: °t Sn = a1 + a2 + :::+ an = nX i=1 ai v  gåi Sn l  têng ri¶ng thù n cõa chuéi sè (5.1). D¢y fSng ÷ñc gåi l  d¢y têng ri¶ng cõa chuéi (5.1). N¸u tçn t¤i lim n!1 Sn = S húu h¤n th¼ chuéi (5.1) ÷ñc gåi l  hëi tö v  câ têng b¬ng S. Khi â ta kþ hi»u 1P n=1 an = S. N¸u chuéi khæng hëi tö th¼ nâ ÷ñc gåi l  ph¥n ký. Trong tr÷íng hñp lim n!1 Sn = 1 th¼ ta vi¸t l  1P n=1 an = 1. Nh÷ vªy, chuéi sè hëi tö khi v  ch¿ khi d¢y têng ri¶ng cõa nâ hëi tö trong R, v  1P n=1 an = S khi v  ch¿ khi lim n!1 Sn = S. Hìn núa, n¸u chuéi (5.1) câ têng b¬ng S th¼ vîi méi n = 1; 2; ::: chuéi 1P i=n ai công hëi tö v  câ têng b¬ng S Sn1. 1.1.2 ành ngh¾a. Vîi méi n = 1; 2; ::: ta °t rn = 1P i=n+1 ai v  gåi rn l  ph¦n d÷ thù n cõa chuéi (5.1). Nh÷ vªy n¸u chuéi (5.1) hëi tö v  câ têng S th¼ rn = S Sn hëi tö tîi 0 khi n!1. 146 Gi¡o tr¼nh Gi£i t½ch 1.1.3 V½ dö. 1) X²t chuéi sè 1P n=1 1 n(n+ 1) . Khi â têng ri¶ng thù n cõa chuéi l  Sn = 1 1:2 + 1 2:3 + :::+ 1 n(n+ 1) = 1 1 2 + 1 2 1 3 + :::+ 1 n 1 n+ 1 = 1 1 n+ 1 : Tø â ta câ lim n!1 Sn = lim n!1  1 1 n+ 1  = 1. V¼ vªy chuéi ¢ cho hëi tö v  câ têng b¬ng 1. 2) X²t chuéi sè 1P n=1 1p n . Khi â têng ri¶ng thù n cõa chuéi l  Sn = 1 + 1p 2 + :::+ 1p n > 1p n + :::+ 1p n = np n = p n: V¼ vªy lim n!1 Sn = +1. Do â chuéi ph¥n ký. 3) X²t chuéi sè 1P n=1 (1)n. D¹ th§y d¢y têng ri¶ng cõa chuéi n y câ hai d¢y con S2n = 0 v  S2n+1 = 1. Do â d¢y têng ri¶ng ph¥n ký, k²o theo chuéi ph¥n ký. 4) X²t chuéi sè 1P n=1 qn (q 2 R). Khi â têng ri¶ng thù n cõa chuéi n y l  Sn = nX i=1 qi = 8>>>: q 1 qn 1 q n¸u q 6= 1 n n¸u q = 1: V¼ vªy n¸u jqj < 1 th¼ lim n!1 Sn = q 1 q, hay chuéi hëi tö. N¸u jqj > 1 th¼ chuéi ph¥n ký. 1.2 Mët sè t½nh ch§t cõa chuéi hëi tö ành lþ sau cho ta mët i·u ki»n c¦n º chuéi hëi tö. 1.2.1 ành lþ. N¸u chuéi (5.1) hëi tö th¼ lim n!1 an = 0. ành lþ tr¶n cho chóng ta mët d§u hi»u quen thuëc º nhªn bi¸t chuéi ph¥n ký. Chùng minh cõa nâ b¤n åc câ thº tham kh£o trong c¡c t i li»u tham kh£o [1], [2], [3], [5] cõa ch÷ìng 5. 147 Gi¡o tr¼nh Gi£i t½ch 1.2.2 V½ dö. X²t sü hëi tö cõa chuéi sè 1P n=1 n sin 1 n . Ta câ an = n sin 1 n . V¼ vªy lim n!1 an = lim n!1 n sin 1 n = lim n!1 sin 1 n 1 n = 1 6= 0: Do â chuéi ¢ cho ph¥n ký. 1.2.3 Nhªn x²t. ành lþ 1.2.1 ch¿ l  i·u ki»n c¦n m  khæng ph£i l  i·u ki»n õ º chuéi hëi tö. Ta câ thº ch¿ ra chuéi sè 1P n=1 an vîi lim n!1 an = 0 nh÷ng chuéi ph¥n ký. Ch¯ng h¤n, chuéi sè 1P n=1 1p n . ành lþ sau cán gåi l  ti¶u chu©n Cauchy, ÷a ra mët i·u ki»n c¦n v  õ º chuéi sè hëi tö. Nâ ÷ñc suy ra tø ành ngh¾a sü hëi tö cõa chuéi v  ti¶u chu©n Cauchy v· d¢y sè hëi tö. 1.2.4 ành lþ. (Ti¶u chu©n Cauchy) Chuéi sè 1P n=1 an hëi tö khi v  ch¿ khi vîi måi " > 0 tçn t¤i n0 2 N sao cho jan+1 + :::+ an+pj n0 v  måi p 2 N. ành lþ sau ¥y suy ra trüc ti¸p tø ành ngh¾a. B¤n åc tü chùng minh. 1.2.5 ành lþ. N¸u c¡c chuéi sè 1P n=1 an, 1P n=1 bn hëi tö, câ têng l¦n l÷ñt l  a; b v   2 R, th¼ c¡c chuéi 1P n=1 (an + bn), 1P n=1 an công hëi tö v  l¦n l÷ñt câ têng l  a+ b, a. 1.3 Chuéi sè d÷ìng v  c¡c d§u hi»u hëi tö Trong möc n y chóng ta nghi¶n cùu lîp c¡c chuéi sè d÷ìng, èi vîi lo¤i chuéi n y câ nhi·u d§u hi»u nhªn bi¸t sü hëi tö cõa nâ. 1.3.1 ành ngh¾a. Chuéi sè 1P n=1 an ÷ñc gåi l  chuéi sè d÷ìng n¸u an > 0 vîi måi n  1. Nhªn x²t. èi vîi chuéi sè d÷ìng, d¢y têng ri¶ng cõa nâ luæn l  d¢y t«ng. Do â nhí t½nh ch§t cõa giîi h¤n ta suy ra chuéi sè d÷ìng 1P n=1 an hëi tö khi v  ch¿ khi 148 Gi¡o tr¼nh Gi£i t½ch d¢y c¡c têng ri¶ng cõa nâ bà ch°n. Trong tr÷íng hñp chuéi 1P n=1 an ph¥n ký th¼ têng cõa chuéi s³ l  +1. Sau ¥y, chóng ta ÷a ra mët sè d§u hi»u º nhªn bi¸t sü hëi tö cõa c¡c chuéi sè d÷ìng. ành lþ sau cho mët ph÷ìng ph¡p so s¡nh theo giîi h¤n, chùng minh cõa nâ b¤n åc t¼m hiºu trong c¡c t i li»u tham kh£o [1], [2], [3], [5] cõa ch÷ìng 5. 1.3.2 ành lþ. (D§u hi»u so s¡nh 1) Cho c¡c chuéi sè d÷ìng 1P n=1 an, 1P n=1 bn. Gi£ sû tçn t¤i giîi h¤n húu h¤n hay væ h¤n l = lim n!1 an bn . Khi â, ta câ c¡c k¸t luªn sau: 1) N¸u 0 < l < +1 th¼ c¡c chuéi 1P n=1 an v  1P n=1 bn çng thíi hëi tö ho°c ph¥n ký. 2) N¸u l = 0 v  chuéi 1P n=1 an hëi tö th¼ chuéi 1P n=1 bn hëi tö. 3) N¸u l = +1 v  chuéi 1P n=1 bn ph¥n ký th¼ chuéi 1P n=1 an ph¥n ký. ành lþ sau ÷a ra ph÷ìng ph¡p so s¡nh theo b§t ¯ng thùc. 1.3.3 ành lþ. (D§u hi»u so s¡nh 2) Cho c¡c chuéi sè d÷ìng 1P n=1 an, 1P n=1 bn. Gi£ sû tçn t¤i K > 0 v  n0 2 N sao cho an 6 K:bn, vîi måi n > n0. Khi â 1) N¸u chuéi 1P n=1 bn hëi tö th¼ chuéi 1P n=1 an hëi tö. 2) N¸u chuéi 1P n=1 an ph¥n ký th¼ chuéi 1P n=1 bn ph¥n ký. 1.3.4 Nhªn x²t. Ng÷íi ta chùng minh ÷ñc r¬ng chuéi 1P n=1 1 ns (vîi s l  h¬ng sè) hëi tö n¸u s > 1 v  ph¥n ký n¸u s 6 1 (xem V½ dö 1.3.13). Nhí t½nh ch§t n y, chuéi 1P n=1 1 ns th÷íng ÷ñc dòng l m chu©n º so s¡nh, khi x²t sü hëi tö hay ph¥n ký cõa c¡c chuéi sè d÷ìng. B¥y gií chóng ta ¸n vîi mët v i v½ dö ¡p döng d§u hi»u so s¡nh. 1.3.5 V½ dö. Kh£o s¡t sü hëi tö cõa c¡c chuéi sè sau: 1) 1P n=1 sin 1 n , ( > 0). 149 Gi¡o tr¼nh Gi£i t½ch Ta câ lim n!1 sin 1 n 1 n = 1. V¼ vªy tø d§u hi»u so s¡nh 1 v  sü hëi tö cõa chuéi 1P n=1 1 n ta suy ra chuéi 1P n=1 sin 1 n hëi tö vîi  > 1 v  ph¥n ký vîi  6 1. 2) 1P n=1 1p n(n+ 1) . Ta câ lim n!1 1 n 1p n(n+ 1) = 1. Do chuéi 1P n=1 1 n ph¥n ký n¶n chuéi 1P n=1 1p n(n+ 1) ph¥n ký. 1.3.6 ành lþ. (Dalambert) Cho chuéi sè d÷ìng 1P n=1 an. Gi£ sû tçn t¤i giîi h¤n húu h¤n hay væ h¤n d = lim n!1 an+1 an . Khi â 1) N¸u 0 6 d < 1 th¼ chuéi hëi tö; 2) N¸u d > 1 th¼ chuéi ph¥n ký. Chùng minh cõa ành lþ n y b¤n åc câ thº tham kh£o trong c¡c t i li»u tham kh£o [1], [2], [3], [5] cõa ch÷ìng 5. 1.3.7 Nhªn x²t. N¸u d = lim n!1 an+1 an = 1 th¼ chóng ta ch÷a thº k¸t luªn ÷ñc t½nh hëi tö hay ph¥n ký cõa chuéi. Trong tr÷íng hñp n y chóng ta ph£i dòng c¡c d§u hi»u kh¡c ho°c c¡c i·u ki»n hëi tö º kh£o s¡t sü hëi tö cõa chuéi. 1.3.8 V½ dö. Kh£o s¡t sü hëi tö cõa chuéi sè: 1P n=1 n!an nn (a > 0): Ta câ an = n!an nn v  d = lim n!1 an+1 an = lim n!1 a 1 + 1 n
n = a e : Vªy theo d§u hi»u Dalambert ta câ. - Vîi a < e tùc l  d < 1, th¼ chuéi hëi tö. -Vîi a > e tùc l  d > 1, th¼ chuéi ph¥n ký. 150 Gi¡o tr¼nh Gi£i t½ch -Vîi a = e tùc l  d = 1, th¼ ch÷a câ k¸t luªn. Tuy nhi¶n, tø b§t ¯ng thùc 1 + 1 n
n < e vîi måi n ta nhªn ÷ñc an+1 an = e 1 + 1 n
n > 1 vîi måi n. Suy ra an+1 > an vîi måi n. Do â an > a1 = e vîi måi n. V¼ vªy lim n!1 an 6= 0. Do â chuéi ph¥n ký. 1.3.9 ành lþ. (D§u hi»u Cauchy) Cho chuéi sè d÷ìng 1P n=1 an. Gi£ sû tçn t¤i giîi h¤n húu h¤n hay væ h¤n c = lim n!1 n p an. Khi â 1) N¸u 0 6 c < 1 th¼ chuéi hëi tö. 2) N¸u c > 1 th¼ chuéi ph¥n ký. Chùng minh cõa ành lþ n y b¤n åc câ thº tham kh£o trong c¡c t i li»u tham kh£o [1], [2], [3], [5] cõa ch÷ìng 5. 1.3.10 Nhªn x²t. 1) N¸u c = lim n!1 n p an = 1 th¼ chóng ta ch÷a thº k¸t luªn ÷ñc t½nh hëi tö hay ph¥n ký cõa chuéi. Trong tr÷íng hñp n y chóng ta ph£i dòng c¡c d§u hi»u kh¡c ho°c c¡c i·u ki»n hëi tö º kh£o s¡t sü hëi tö cõa chuéi. 2) Trong ành lþ 1.3.9 n¸u thay giîi h¤n c = lim n!1 n p an bði giîi h¤n tr¶n c = lim n!1 n p an th¼ k¸t luªn cõa ành lþ v¨n cán óng. 1.3.11 V½ dö. Kh£o s¡t sü hëi tö cõa c¡c chuéi sè: 1) 1P n=1 n 1 n+ 1 n(n+1) : Ta câ an = n 1 n+ 1 n(n+1) v  c = lim n!1 n p an = lim n!1 n 1 n+ 1 n+1 = lim n!1  1 2 n+ 1 n+1 = 1 e2 < 1: Theo d§u hi»u Cauchy th¼ chuéi sè ¢ cho hëi tö. 2) 1P n=1 2 + (1)n
n 4n : Ta câ c = lim n!1 n p an = lim n!1 2 + (1)n 4 = 3 4 < 1: Theo d§u hi»u Cauchy th¼ chuéi ¢ cho hëi tö. 151 Gi¡o tr¼nh Gi£i t½ch 1.3.12 ành lþ. (D§u hi»u t½ch ph¥n Cauchy) Cho chuéi sè d÷ìng 1P n=1 an. Gi£ sû tçn t¤i h m f(x) ìn i»u gi£m v  li¶n töc tr¶n [a;+1) vîi a > 1 sao cho f(n) = an vîi méi n = 1; 2; ::: Khi â n¸u t½ch ph¥n suy rëng +1Z a f(x)dx hëi tö (t÷ìng ùng ph¥n ký) chuéi 1P n=1 an hëi tö (t÷ìng ùng ph¥n ký). Chùng minh cõa ành lþ n y b¤n åc t¼m åc trong c¡c t i li»u tham kh£o [1], [2], [3], [5] cõa ch÷ìng 5. Chóng ta ¸n vîi mët v½ dö ¡p döng cõa nâ. 1.3.13 V½ dö. Kh£o s¡t sü hëi tö cõa chuéi sè 1P n=1 1 ns (s 2 R): - Vîi s < 0 ta câ lim n!1 1 ns = +1, nhí i·u ki»n c¦n º chuéi hëi tö ta suy ra chuéi ph¥n ký. - Vîi s = 0 th¼ d¹ th§y chuéi ¢ cho ph¥n ký. - Vîi s > 0 ta x²t h m sè f(x) = 1 xs tr¶n [1;+1). Ta câ f 0(x) = s xs+1 < 0 vîi måi x > 1. Do vªy f(x) ìn i»u gi£m tr¶n [1;+1): Hìn núa an = 1 ns = f(n) vîi méi n = 1; 2; :::. M°t kh¡c ta câ Z 1 1 dx xs = lim A!1 Z A 1 dx xs = 8>>>: lim A!1  1 (1 s)xs1 A 1  n¸u s 6= 1 lim A!1  lnx A 1  n¸u s = 1. Tø â suy ra Z 1 1 dx xs = 8>: 1 s 1 n¸u s > 1 +1 n¸u 0 < s 6 1: V¼ vªy theo d§u hi»u t½ch ph¥n Cauchy chuéi 1P n=1 1 ns hëi tö n¸u s > 1 v  ph¥n ký n¸u s  1. 1.4 Chuéi câ d§u tuý þ Tr÷îc h¸t ta x²t mët tr÷íng hñp °c bi»t cõa chuéi câ d§u b§t ký l  chuéi an d§u, â l  tr÷íng hñp c¡c sè h¤ng cõa chuéi l¦n l÷ñt nhªn d§u d÷ìng rçi d§u ¥m, 152 Gi¡o tr¼nh Gi£i t½ch ho°c l¦n l÷ñt nhªn d§u ¥m rçi d§u d÷ìng. 1.4.1 ành ngh¾a. Cho fang l  d¢y sè d÷ìng. Chuéi sè câ d¤ng 1P n=1 (1)n1an (ho°c 1P n=1 (1)nan) ÷ñc gåi l  chuéi an d§u. Sü hëi tö cõa chuéi an d§u th÷íng ÷ñc nhªn bi¸t bði d§u hi»u sau. 1.4.2 ành lþ. (D§u hi»u Leibnitz) N¸u an l  d¢y sè ìn i»u gi£m (khi n õ lîn) v  lim n!1 an = 0 th¼ chuéi an d§u 1P n=1 (1)n1an hëi tö. Chùng minh cõa ành lþ n y b¤n åc câ thº tham kh£o trong c¡c t i li»u tham kh£o [1], [2], [3], [5] cõa ch÷ìng 5. 1.4.3 V½ dö. Kh£o s¡t sü hëi tö cõa c¡c chuéi 1) 1P n=1 (1)n1 2n 1 . Ta câ an = 1 2n 1 > 1 2n+ 1 = an+1 vîi måi n v  lim n!1 1 2n 1 = 0. Theo d§u hi»u Leibnitz th¼ chuéi hëi tö. 2) 1P n=1 sin  1 n + n  . Ta câ sin  1 n + n  = (1)n sin 1 n v  v¼ d¢y fang vîi an = sin 1 n l  d¢y ìn i»u gi£m hëi tö v· 0. Do â theo d§u hi»u Leibnitz th¼ chuéi ¢ cho hëi tö. 1.4.4 ành ngh¾a. Chuéi sè 1P n=1 an ÷ñc gåi l  hëi tö tuy»t èi n¸u chuéi 1P n=1 janj hëi tö. Mët chuéi hëi tö m  khæng hëi tö tuy»t èi ÷ñc gåi l  hëi tö câ i·u ki»n hay b¡n hëi tö. Nhªn x²t. Dòng ti¶u chu©n Cauchy b¤n åc câ thº chùng minh ÷ñc måi chuéi hëi tö tuy»t èi l  hëi tö. i·u ng÷ñc l¤i nâi chung l  khæng óng. 1.4.5 V½ dö. Kh£o s¡t sü hëi tö, hëi tö tuy»t èi cõa chuéi 1P n=1 (1)n1 np vîi p 2 R. Vîi p 6 0 ta câ lim n!1 (1)n1 np 6= 0. Do â chuéi ph¥n ký. Vîi p > 1 ta câ chuéi 1P n=1 1 np hëi tö, tùc l  chuéi 1P n=1 (1)n1 np hëi tö tuy»t èi. 153 Gi¡o tr¼nh Gi£i t½ch Vîi 0 < p 6 1 ta câ chuéi 1P n=1 1 np ph¥n ký, tùc l  chuéi 1P n=1 (1)n1 np khæng hëi tö tuy»t èi. Tuy nhi¶n trong tr÷íng hñp n y d¹ th§y chuéi 1P n=1 (1)n1 np hëi tö theo d§u hi»u Leibnitz. Nh÷ vªy chuéi n y b¡n hëi tö. 1.4.6 ành lþ. (D§u hi»u Dirichlet) Gi£ sû 1) Chuéi 1P n=1 an câ d¢y têng ri¶ng bà ch°n, ngh¾a l  tçn t¤i M > 0 sao cho ja1 + a2 + ::::+ anj < M vîi måi n; 2) bn l  d¢y sè ìn i»u gi£m (khi n õ lîn ) v  lim n!1 bn = 0. Khi â, chuéi sè 1P n=1 anbn hëi tö. 1.4.7 ành lþ. (D§u hi»u Abel) Gi£ sû 1) Chuéi 1P n=1 an hëi tö 2) bn l  d¢y sè ìn i»u v  bà ch°n. Khi â, chuéi sè 1P n=1 anbn hëi tö. Chùng minh cõa c¡c ành lþ tr¶n b¤n åc t¼m hiºu trong c¡c t i li»u tham kh£o [1], [2], [3], [5] cõa ch÷ìng 5. 1.4.8 V½ dö. Kh£o s¡t sü hëi tö cõa chuéi 1P n=1 cos 2n n . Ta câ nX k=1 cos kx = 1 2 sin x 2  sin(2n+ 1) x 2 sin x 2  : V¼ vªy  nX k=1 cos 2k  =  1 2 sin 1 (sin(2n+ 1) sin 1  < 1 sin 1 vîi måi n. Nh÷ vªy, chuéi 1P n=1 cos 2n câ d¢y têng ri¶ng bà ch°n. M°t kh¡c bn = 1 n ìn i»u gi£m v· 0. Theo d§u hi»u Dirichlet th¼ chuéi 1P n=1 cos 2n n hëi tö. 154 Gi¡o tr¼nh Gi£i t½ch 2 Chuéi h m 2.1 C¡c kh¡i ni»m v  t½nh ch§t cì b£n 2.1.1 ành ngh¾a. Cho X  R. Kþ hi»u A l  tªp hñp t§t c£ c¡c h m sè x¡c ành tr¶n X v  N = f1; 2; :::g Ta gåi méi ¡nh x¤ f : N ! A °t t÷ìng ùng méi n 2 N vîi mët h m f(n) 2 A l  mët d¢y h m x¡c ành tr¶n X. Ta kþ hi»u d¢y h m n y l  ffn(x)g hay f1(x); f2(x); :::; (5.2) trong â fn(x) = f(n): Trong mët sè tr÷íng hñp d¢y h m cán ÷ñc kþ hi»u gån l  ffng hay f1; f2; ::: 2.1.2 ành ngh¾a. Cho d¢y h m ffng x¡c ành tr¶n X  R. Ta gåi têng h¼nh thùc f1(x) + f2(x) + ::: (5.3) l  mët chuéi h m v  kþ hi»u l  1P n=1 fn(x) hay 1P n=1 fn. iºm x0 2 X ÷ñc gåi l  iºm hëi tö cõa chuéi h m (5.3) n¸u chuéi sè 1P n=1 fn(x0) hëi tö. Tªp hñp t§t c£ c¡c iºm hëi tö cõa chuéi h m (5.3) ÷ñc gåi l  mi·n hëi tö cõa chuéi h m (5.3). Gi£ sû chuéi h m 1P n=1 fn(x) câ mi·n hëi tö A  X. Vîi méi x 2 A °t S(x) = lim n!1 nX i=1 fi(x): Khi â, chuéi h m 1P n=1 fn(x) ÷ñc gåi l  hëi tö ¸n S(x) tr¶n A, S(x) ÷ñc gåi l  têng cõa chuéi h m 1P n=1 fn(x) tr¶n A v  kþ hi»u l  1P n=1 fn = S tr¶n A. 2.1.3 V½ dö. X²t chuéi h m 1P n=1 xn 2n . N¸u x 2  > 1 th¼ lim n!1 xn 2n 6= 0. Do â chuéi 1P n=1 xn 2n ph¥n ký. 155 Gi¡o tr¼nh Gi£i t½ch N¸u x 2  < 1 th¼ chuéi 1P n=1 xn 2n hëi tö tuy»t èi theo d§u hi»u Cauchy. V¼ vªy chuéi ¢ cho hëi tö v  S(x) = 1X n=1 xn 2n = lim n!1 nX i=1 x 2 i = lim n!1 x 2 1 x 2 n 1 x 2 = x 2 x: Vªy mi·n hëi tö cõa chuéi h m l  2 < x < 2 v  têng cõa chuéi tr¶n mi·n hëi tö l  S(x) = x 2 x. 2.1.4 ành ngh¾a. Cho chuéi h m 1P n=1 fn(x) tr¶n X  R, hëi tö ¸n h m S(x) tr¶n X0  X. Vîi méi x 2 X0 °t Sn(x) = f1(x) + ::::+ fn(x) = nX k=1 fk(x); n = 1; 2::: v  rn(x) = S(x) Sn(x) = 1X k=n+1 fk(x): Khi â, c¡c d¢y h m fSn(x)g, frn(x)g l¦n l÷ñt ÷ñc gåi l  d¢y têng ri¶ng v  d¢y ph¦n d÷ cõa chuéi h m (5.3). Hìn núa d¢y h m fSng hëi tö ¸n S tr¶n X0. 2.2 Sü hëi tö ·u v  c¡c d§u hi»u hëi tö 2.2.1 ành ngh¾a. Chuéi h m 1P n=1 fn(x) ÷ñc gåi l  hëi tö ·u ¸n h m S(x) tr¶n tªp A  X0 n¸u vîi måi " > 0 tçn t¤i n0 = n0(") sao cho vîi måi n > n0 ta câ jS(x) Sn(x)j < " vîi måi x 2 A: Mët c¡ch t÷ìng ÷ìng, chuéi h m 1P n=1 fn(x) hëi tö ·u tr¶n A khi v  ch¿ khi vîi måi " > 0 tçn t¤i n0 = n0(") sao cho vîi måi n > n0, vîi måi x 2 A th¼ jrn(x)j < ": 2.2.2 Nhªn x²t. 1) Tø ành ngh¾a ta suy ra n¸u chuéi h m 1P n=1 fn(x) hëi tö ·u ¸n S(x) tr¶n A th¼ hëi tö ¸n S(x) tr¶n A. i·u ng÷ñc l¤i l  khæng óng. 2) Chuéi h m 1P n=1 fn(x) hëi tö ·u tr¶n A khi v  ch¿ khi lim n!1 sup x2A jrn(x)j = 0. 156 Gi¡o tr¼nh Gi£i t½ch 2.2.3 V½ dö. X²t chuéi h m 1P n=0 xn. Ta th§y chuéi n y hëi tö ¸n S(x) = 1 1 x tr¶n (0; 1). Tuy nhi¶n chuéi khæng hëi tö ·u ¸n S(x) tr¶n (0; 1). Thªt vªy, ta câ rn(x) = 1X k=n+1 xk = xn+1 1 x; 8x 2 (0; 1): V¼ vªy, vîi méi n  1 b¬ng c¡ch chån xn = 1 1 n 2 (0; 1) ta câ lim n!1 sup x2(0;1) jrn(x)j = lim n!1 sup x2(0;1) xn+1 1 x  limn!1n  1 1 n n+1 = +1: Do â chuéi 1P n=0 xn khæng hëi tö ·u ¸n S(x) = 1 1 x tr¶n (0; 1). ành lþ sau ¥y cán ÷ñc gåi l  ti¶u chu©n Cauchy v· sü hëi tö ·u cõa chuéi h m. 2.2.4 ành lþ. (Ti¶u chu©n Cauchy). Chuéi h m 1P n=1 fn(x) hëi tö ·u tr¶n A khi v  ch¿ khi vîi måi " > 0, tçn t¤i sè tü nhi¶n n0 = n0(") sao cho vîi måi n  n0 v  måi p 2 N ta câ jfn+1(x) + :::+ fn+p(x)j < "; 8x 2 A: Sau ¥y l  mët sè d§u hi»u nhªn bi¸t sü hëi tö ·u cõa chuéi h m m  chùng minh cõa chóng b¤n åc câ thº t¼m åc trong c¡c t i li»u tham kh£o [1], [2], [3], [5] cõa ch÷ìng 5. 2.2.5 ành lþ. (D§u hi»u Weierstrass). Cho chuéi h m 1P n=1 fn(x). N¸u 1) jfn(x)j 6 an vîi måi x 2 A v  vîi måi n > n0, (n0 l  mët sè tü nhi¶n cè ành), 2) Chuéi sè 1P n=1 an hëi tö, th¼ 1P n=1 fn(x) hëi tö ·u tr¶n A. 2.2.6 V½ dö. Kh£o s¡t sü hëi tö ·u cõa chuéi h m 1P n=0 nx sinnx 1 + n5x2 tr¶n R. Ta câ nx sinnx 1 + n5x2  6 jnxj 1 + n5x2 6 1 2n 3 2 ; vîi måi x 2 R; vîi måi n 2 N: 157 Gi¡o tr¼nh Gi£i t½ch V¼ chuéi sè 1P n=0 1 2n 3 2 hëi tö, nhí d§u hi»uWeierstrass ta suy ra chuéi h m 1P n=0 nx sinnx 1 + n5x2 hëi tö ·u tr¶n R. 2.2.7 ành lþ. (D§u hi»u Dirichlet). Cho c¡c d¢y h m ffng, fgng x¡c ành tr¶n A  R. Gi£ sû 1) D¢y têng ri¶ng cõa chuéi 1P n=1 fn(x) bà ch°n ·u tr¶n A, tùc l  tçn t¤i M > 0 sao cho  nX k=1 fk(x)  6M; vîi måi x 2 A; vîi måi n = 1; 2; ::: 2) D¢y sè fgn(x)g ìn i»u gi£m vîi méi x 2 A v  fgng hëi tö ·u ¸n 0 tr¶n A. Khi â, chuéi h m 1P n=1 fn(x)gn(x) hëi tö ·u tr¶n A. 2.2.8 ành lþ. (D§u hi»u Abel). Cho c¡c d¢y h m ffng, fgng x¡c ành tr¶n A  R. Gi£ sû 1) Chuéi h m 1P n=1 fn(x) hëi tö ·u tr¶n A. 2) D¢y sè fgn(x)g ìn i»u vîi méi x 2 A v  fgng bà ch°n ·u tr¶n A, tùc l  tçn t¤i M > 0 sao cho jgn(x)j 6M; vîi måi x 2 A; vîi måi n = 1; 2; ::: Khi â, chuéi h m 1P n=1 fn(x)gn(x) hëi tö ·u tr¶n A. Ti¸p theo chóng ta tr¼nh b y c¡c t½nh ch§t cì b£n cõa têng chuéi h m. Ta ¢ bi¸t têng cõa húu h¤n c¡c h m li¶n töc tr¶n A l  mët h m li¶n töc tr¶n A. ành lþ sau ÷a ra mët i·u ki»n õ º i·u tr¶n óng cho têng væ h¤n. 2.2.9 ành lþ. (T½nh li¶n töc) Cho A  R v  d¢y h m ffng x¡c ành tr¶n A. N¸u 1) fn l  h m li¶n töc tr¶n A vîi méi n = 1; 2; :::, 2) Chuéi h m 1P n=1 fn(x) hëi tö ·u ¸n h m S(x) tr¶n A, th¼ S l  h m li¶n töc tr¶n A. ành lþ sau ÷a ra mët i·u ki»n õ º l§y ¤o h m tøng sè h¤ng cõa chuéi h m. 158 Gi¡o tr¼nh Gi£i t½ch 2.2.10 ành lþ. (T½nh kh£ vi) Cho d¢y h m ffng x¡c ành tr¶n (a; b). N¸u 1) fn l  h m li¶n töc tr¶n (a; b) vîi méi n = 1; 2; :::, 2) Chuéi h m 1P n=1 fn(x) hëi tö ¸n h m S(x) tr¶n (a; b), 3) Chuéi h m 1P n=1 f 0n(x) hëi tö ·u tr¶n (a; b), th¼ S l  h m kh£ vi tr¶n (a; b) v  S 0(x) =  1X n=1 fn(x) 0 = 1X n=1 f 0n(x) vîi måi x 2 (a; b). ành lþ sau ÷a ra mët i·u ki»n õ º l§y t½ch ph¥n tøng sè h¤ng cõa chuéi h m. 2.2.11 ành lþ. (T½nh kh£ t½ch) Cho d¢y h m ffng x¡c ành tr¶n [a; b]. N¸u 1) fn l  h m li¶n töc tr¶n [a; b] vîi méi n = 1; 2; :::, 2) Chuéi h m 1P n=1