Một số bất đẳng thức cho quá trình ngẫu nhiên lồi theo cặp tựa trung bình số học

167 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC Tóm tắt Trong bài viết này, tác giả đề xuất một khái niệm mở rộng cho quá trình ngẫu nhiên lồi mới, cụ thể đó là quá trình ngẫu nhiên lồi theo cặp tựa trung bình số học. Hơn nữa, bài viết còn thiết lập một bất đẳng thức loại Hermite-Hadamard cho quá trình ngẫu nhiên. Kết quả mới mở rộng một số kết quả đã có trong hướng nghiên cứu này. Từ khóa: Bất đẳng thức loại Hermite-Hadamard, quá trình ngẫu nhiên, tựa trung bình số học 1. Giới thiệu Cho hàm f lồi trên [a, b], khi đó: . Bất đẳng thức trên được biết đến là bất đẳng thức Hermite-Hadamard. * Bộ môn Toán - Thống kê, Khoa Kinh tế - Luật, Trường Đại học Tài chính - Marketing MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CHO QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN LỒI THEO CẶP TỰA TRUNG BÌNH SỐ HỌC 20. TS. Trần Đình Phụng* 168 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC Dạng xác suất của bất đẳng thức trên có dạng: , trong đó là kỳ vọng toán, lần lượt là các biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên [a, b] và {a, b}. Khái niệm hàm lồi không chỉ đóng một vai trò quan trọng trong Giải tích toán học mà được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác như: Lý thuyết xác suất và thống kê, Toán kinh tế, Bất đẳng thức. Khái niệm này đã thực sự cho thấy vị trí quan trọng trong Toán học ngày nay, bằng chứng là một lượng lớn công trình về hàm lồi đã được công bố, trong đó bất đẳng thức Hermite-Hadamard là một trong những kết quả cơ bản nhất đặc trưng cho tính chất hình học của hàm lồi cũng đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và thiết lập các kết quả mới (xem tài liệu [2, 3, 4]). Trong hướng nghiên cứu về bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm lồi có nhiều sự quan tâm dành cho việc phát triển các kết quả cho các lớp hàm lồi mở rộng: log-lồi, lồi điều hòa, lồi mạnh, log lồi điều hòa, r-lồi nhằm tìm kiếm các ứng dụng trực tiếp hoặc gián tiếp đến các lĩnh vực của Toán học, Xác suất, Tối ưu Năm 1980, Nikodem [6] đã giới thiệu khái niệm quá trình ngẫu nhiên lồi và nghiên cứu tính chất của chúng. Năm 1992, Skowronski [7] thu được thêm một số kết quả về quá trình ngẫu nhiên lồi mà tổng quát một số tính chất tương ứng đã biết của hàm lồi. Gần đây có nhiều nghiên cứu về một số loại quá trình ngẫu nhiên lồi khác nhau và bất đẳng thức Hermite - Hadamard đối với các quá trình ngẫu nhiên lồi đó (xem tài liệu [5, 8, 9]). Mục đích của bài viết này là mở rộng bất đẳng thức Hermite -Hadamard cổ điển đối với các quá trình ngẫu nhiên lồi mở rộng mà chúng tôi gọi là quá trình ngẫu nhiên lồi theo cặp tựa trung bình số học. Kết quả mới này tổng quát một số kết quả gần đây trong hướng nghiên cứu này. 2. Nội dung nghiên cứu Cho là một không gian xác suất tùy ý và là một biến ngẫu nhiên. Một hàm được gọi là quá trình ngẫu nhiên nếu với mọi , thì là một biến ngẫu nhiên. Quá trình ngẫu nhiên được gọi là lồi nếu với mọi và , ta có bất đẳng thức: . Nếu bất đẳng thức trên thỏa mãn với thì ta nói quá trình ngẫu nhiên là Jensen-lồi. Quá trình ngẫu nhiên được gọi là: • Liên tục theo xác suất trên nếu với mọi Tức là: với mọi . 169 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC • Mean-square-liên tục trên nếu với mọi Rõ ràng, quá trình ngẫu nhiên Mean-square-liên tục thì liên tục theo xác suất, nhưng điều ngược lại không đúng. Cho quá trình ngẫu nhiên sao cho và và là một phân hoạch của đoạn và tùy ý, với mọi k = 1, 2, n. Một biến ngẫu nhiên được gọi là Mean-square- tích phân của quá trình ngẫu nhiên trên nếu: . Khi đó, ta viết: . Giả thiết Mean-square-liên tục của kéo theo sự tồn tại của Mean-square tích phân của . Toán tử Mean-square- tích phân là tăng, tức là: . với trên . Năm 2012, Kotrys [5] đã thiết lập bất đẳng thức tích phân Hermite-Hadamard cho các quá trình ngẫu nhiên lồi như sau: Cho quá trình ngẫu nhiên là Jensen-lồi và Mean-square-liên tục, khi đó với mọi , ta có: . Cho là hàm số liên tục và đơn điệu nghiêm ngặt. Trung bình tựa số học của với trọng , ký hiệu là (xem [10], Chương IV) và được định nghĩa như sau: . Đặc biệt, ký hiệu , bây giờ chúng ta xây dựng quá trình ngẫu nhiên lồi theo cặp tựa trung bình số học như sau: Định nghĩa 1: Cho và là các hàm số liên tục và đơn điệu nghiêm ngặt. Quá trình ngẫu nhiên được gọi là lồi nếu với mọi và , ta có bất đẳng thức: . Nếu bất đẳng thức trên thỏa mãn với thì ta nói, quá trình ngẫu nhiên là Jensen lồi. 170 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC Khái niệm trên bao hàm nhiều khái niệm đã được xây dựng như: • Quá trình ngẫu nhiên lồi ( ) • Quá trình ngẫu nhiên log- lồi ( ) • Quá trình ngẫu nhiên lồi điều hòa ( ) và nhiều khái niệm khác nếu ta chọn các hàm khác nhau. Định lý 1: Cho quá trình ngẫu nhiên là lồi và Mean-square-liên tục, khi đó, với mọi , ta có: . (*) Chứng minh: Ta có: Suy ra: Đặt và Khi đó, ta có: Với mọi , lấy tích phân hai vế theo ta được: = . Vế trái của bất đẳng thức (*) đã được chứng minh. 171 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC Tiếp theo chúng ta chứng minh vế còn lại của bất đẳng thức (*). Với mọi và , ta có bất đẳng thức: Hay: . Lấy tích phân hai vế theo ta được vế phải của bất đẳng thức (*). Định lý 1 đã được chứng minh. 3. Kết luận Trong bài viết này, tác giả đã đề xuất một mở rộng cho khái niệm quá trình ngẫu nhiên, đó là quá trình ngẫu nhiên lồi. Khái niệm này bao hàm các khái niệm như quá trình ngẫu nhiên lồi điều hòa, quá trình ngẫu nhiên log- lồi Hơn nữa, tác giả còn thu được các bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard sau đây cho các quá trình ngẫu nhiên lồi trong một số điều kiện thích hợp: . Kết quả trên mở rộng các kết quả trong các công trình [5, 8, 9]. Từ các kết quả này, trong tương lai, chúng ta có tiếp tục một số hướng phát triển liên quan như: thiết lập các bất đẳng thức mới làm mịn bất đẳng thức trên, tìm các chặn trên cho đại lượng: cũng như tìm kiếm các ứng dụng của các bất đẳng thức đã đề cập trong lĩnh vực Lý thuyết xác suất và thống kê, Toán kinh tế TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. De la Cal, J. and Carcamo, J. (2006), Multidimensional Hermite-Hadamard Inequalities and The Convex Order. J. Math. Anal. Appl. 324, pp. 248 - 261. 2. Dragomir, S.S. and Pearce, C.E.M. (2000), Selected Topics on Hermite-Hadamard Inequality and Applications. Victoria University, Melbourne. 3. D.T. Duc, N.N. Hue, N.D.V. Nhan, V.T. Tuan (2020), Convexity according to a pair of quasi-arithmetic means and inequalities, J. Math. Anal. Appl. 488 (2020) 124059. 4. D.T. Duc, T.D. Phung, N.D.V. Nhan, V.T. Tuan, Co-ordinated convexity according to a pair of quasi-arithmetic means on the rectangle from plane and inequalities, viasm preprint. 172 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC 5. Kotrys, D. (2012), Hermite-Hadamard Inequality for Convex Stochastic Processes. Aequat. Math. 83, pp. 143 - 151. 6. Nikodem, K. (1980), On Convex Stochastic Processes. Aequat. Math. 20, pp. 184 - 197. 7. Skowro´nski, A. (1992), On some properties of J-convex stochastic processes. Aequat. Math. 44, pp. 249 - 258. 8. Okur, N., Işcan, I., Yüksek Dizdar, E. (2018), Hermite-Hadamard inequalities for harmonically convex stochastic processes. International Journal of Economic and Administrative Studies, 11 (18. EYI Special Issue), pp. 281 - 292. 9. Muharrem T., Erhan S. and Selahattin M. (2015), HermiteHadamard type inequalities for Log-convex stochastic processes. Journal of New Theory. 2015, N 2, pp. 23 - 32. 10. P.S. Bullen (2003), Handbook of Means and Their Inequalities, Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht.