CHƯƠNG I
SỐ PHỨC
Tập R rất phong phú. Nhưng phương trình x2 + 1 = 0 không có
nghiệm là số thực. Vì vậy, người ta xây dựng thêm những số
mới ,gọi là số phức.
1.1 TẬP HỢP
I. Khái niệm về tập hợp.
1. Khái niệm.
Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy của toán học,
người ta không định nghĩa khái niệm tập hợp qua những khái
niệm khác đơn giản hơn được.
Để kí hiệu một tập hợp người ta dùng chữ cái in: A,B
Một vật, một đối tượng nằm trong tập hợp gọi là một
phần tử của tập hợp, thường ký hiệu bằng chữ cái thường:
a,b,c,
Để chỉ rằng x là một phần tử của tập hợp E, ta viết x ∈E.
Để chỉ rằng x là một phần tử không thuộc tập hợp E,
ta viết x ∉E hoặc x∉ E.
Tập hợp không chứa một phần tử nào được gọi là tập hợp
trống ( rỗng) kí hiệu ∅
2. Các phương pháp biểu diễn một tập hợp :
a. Biểu diễn theo kiểu liệt kê: Liệt kê tất cả các phần tử của
tập hợp trong dấu ngoặc nhọn, mỗi phần tử chỉ viết 1 lần.
93 trang |
Chia sẻ: thuyduongbt11 | Ngày: 10/06/2022 | Lượt xem: 349 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Giáo trình Toán cao cấp A2 - Nguyễn Thị Minh Thư, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
BOÄ MOÂN TOAÙN TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM
GVC ThS NGUYỄN THỊ MINH THƯ Chủ biên
ThS DƯƠNG THỊ XUÂN AN; ThS NGUYỄN THỊ THU THỦY
GIÁO TRÌNH
TOÁN CAO CẤP A2
PHẦN ĐẠI SỐ
KHỐI KỸ THUẬT
(LƯU HÀNH NỘI BỘ )
TP HỒ CHÍ MINH 2013
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
2
Hoan nghênh bạn đọc góp ý phê bình
Chân thành cảm ơn
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
3
LỜI NÓI ĐẦU
Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập và giảng dạy môn Toán
trong trường, Bộ môn Toán Trường Cao Đẳng Công Nghệ
Thông Tin TPHCM đã tổ chức biên soạn và ấn hành cuốn
TOÁN CAO CẤP A2 dành cho sinh viên khối ngành kỹ thuật.
Cuốn sách do các giảng viên thuộc bộ môn Toán biên soạn,
trên cơ sở đề cương môn học theo tín chỉ đã được Hội Đồng
Khoa học trường phê duyệt.
Nội dung cuốn sách là phần Đại số tuyến tính và Tính gần
đúng, giải quyết hầu hết các vấn đề trọng yếu của môn học,
giúp sinh viên có nền tảng về toán để tiếp cận các môn học
khác trong chương trình đào tạo hệ cao đẳng khối ngành kinh
tế. Phần lý thuyết được trình bày logic, ngắn gọn, dễ hiểu, với
nhiều ví dụ phù hợp với đối tượng là sinh viên hệ cao đẳng.
Ngoài ra, còn có phần cho sinh viên tự nghiên cứu, sau mỗi
chương đều có bài tập để sinh viên rèn luyện.
Đây là tài liệu được sử dụng chính thức trong trường giúp
sinh viên học tập và thi kết thúc học phần có hiệu quả tốt theo
chương trình đào tạo tín chỉ. Trong quá trình giảng dạy, giáo
trình sẽ được cập nhật, chỉnh lý để ngày càng hoàn thiện và đầy
đủ hơn. Do khả năng có hạn, thời gian ngắn và cũng là lần đầu
biên soạn theo hướng đào tạo tín chỉ nên giáo trình không tránh
khỏi sai sót.Tập thể giáo viên bộ môn Toán rất mong nhận
được các ý kiến góp ý, phê bình của bạn đọc trong và ngoài
trường. Các ý kiến góp ý, phê bình của bạn đọc xin gửi về chủ
biên: NGUYỄN THỊ MINH THƯ - Trưởng bộ môn TOÁN
Trường Cao đẳng Công nghệ Thông tin TP HCM. Địa chỉ
minhthu15916@gmail.com
Xin chân thành cảm ơn.
BỘ MÔN TOÁN
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
4
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
5
MỤC LỤC
PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Trang
CHƯƠNG I SỐ PHỨC 7
1.1 TẬP HỢP 7
1.2 ANH XẠ 12
1.3 TẬP HỢP SỐ THỰC 14
1.4 SỐ PHỨC 16
BÀI TẬP CHƯƠNG I 22
CHƯƠNG II
MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
23
2. 1 KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN 23
I. Định nghĩa ma trận
II. Phân loại ma trận
III. Các phép toán về ma trận
IV. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận
2. 2 ĐỊNH THỨC 30
I. Định nghĩa định thức của ma trận vuông
II. Tính chất của định thức
III. Khai triển định thức theo một hàng hoặc cột
IV. Cách tính định thức bằng phép biến đổi sơ cấp
2. 3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 37
I. Định nghĩa
II. Các định lý
III. Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo
2. 4 HẠNG CỦA MA TRẬN 42
I. Định nghĩa
II. Phương pháp tìm hạng của ma trận
BÀI TẬP CHƯƠNG II 45
CHƯƠNG III
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
49
3.1 KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 49
I. Các khái niệm về hệ phương trình tuyến tính
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
6
II. Định lí tồn tại nghiệm Kronecker-Capelli
3.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
TUYẾN TÍNH
53
I. Phương pháp Cramer
II. Phuơng pháp Gauss-Jordan
III. Hệ thuần nhất
3.3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG MA TRẬN 61
BÀI TẬP CHƯƠNG III 65
CHƯƠNG IV
MỘT SỐ THUẬT TOÁN TÍNH GẦN ĐÚNG
68
4.1 LÝ THUYẾT SAI SỐ 68
I. Số gần đúng và sai số
II.Sai số tính toán
4.2 TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG
TRÌNH MỘT ẨN SỐ
75
I.Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm.
II.Một số phương pháp xấp xỉ nghiệm
4.3 TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 84
I.Phương pháp hình thang.
II. Phương pháp Simpson.
BÀI TẬP CHƯƠNG IV 89
ĐỀ THI THAM KHẢO 92
TÀI LIỆU THAM KHẢO 93
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
7
CHƯƠNG I
SỐ PHỨC
Tập R rất phong phú. Nhưng phương trình x2 + 1 = 0 không có
nghiệm là số thực. Vì vậy, người ta xây dựng thêm những số
mới ,gọi là số phức.
1.1 TẬP HỢP
I. Khái niệm về tập hợp.
1. Khái niệm.
Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy của toán học,
người ta không định nghĩa khái niệm tập hợp qua những khái
niệm khác đơn giản hơn được.
Để kí hiệu một tập hợp người ta dùng chữ cái in: A,B
Một vật, một đối tượng nằm trong tập hợp gọi là một
phần tử của tập hợp, thường ký hiệu bằng chữ cái thường:
a,b,c,
Để chỉ rằng x là một phần tử của tập hợp E, ta viết x ∈E.
Để chỉ rằng x là một phần tử không thuộc tập hợp E,
ta viết x ∉E hoặc x∉ E.
Tập hợp không chứa một phần tử nào được gọi là tập hợp
trống ( rỗng) kí hiệu ∅
2. Các phương pháp biểu diễn một tập hợp :
a. Biểu diễn theo kiểu liệt kê: Liệt kê tất cả các phần tử của
tập hợp trong dấu ngoặc nhọn, mỗi phần tử chỉ viết 1 lần.
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
8
Ví dụ : { }2,3,4,7
b. Biểu diễn theo thuộc
tính đặc trưng : Chỉ ra
các đặc tính của tập hợp
.
Ví dụ : Tập hợp
A = { }2 2. 1 0x x x+ + =
c. Biểu diễn theo giản đồ
VENN: Minh họa tập
hợp bởi 1 miền phẳng giới hạn bởi 1 đường cong hay
đường gấp khúc kín. Xem hình 1-1.
3. Quan hệ giữa các tập hợp
a) Tập con : Cho 2 tập hợp E, F .Nếu mọi phần tử của E đều là
phần tử của F thì ta nói E bao hàm trong F hay E là tập con của
F.
Kí hiệu E⊂F . Minh họa hình học xem hình 1-2
b) Tập hợp bằng nhau:
Hai tập E và F được gọi là bằng nhau nếu mỗi phần tử
của E đều là một phần tử của F và ngược lại.Kí hiệu : E = F.
4. Một số tập hợp thường gặp.
N : là tập hợp các số tự nhiên .
2
4
3
7
A
Hình 1-1
E
F
Hình 1-2
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
9
Z : là tập hợp các số nguyên.
Q : là tập hợp các số hữu tỉ.
R : là tập hợp các số thực.
II. Các phép toán về tập hợp.
1. Phép hợp :
Hợp của 2 tập hợp A và B
là một tập hợp các phần tử hoặc
thuộc A hoặc thuộc B,
kí hiệu:
A∪B = { }x x A x B∈ ∨ ∈
Minh họa hình học xem hình 1-3
2. Phép giao
Giao của hai tập hợp A và B là
tập hợp tất cả các phần tử thuộc
phần tử chung của A và B,
Kíhiệu: A∩B={ }x x A x B∈ ∧ ∈
Minh họa hình học xem hình 1-4
Các tính chất cơ bản:
- Tính chất 1 : Tính giao hoán :
A∪B = B∪A ; A∩B= B∩A
- Tính chất 2 : Tính kết hợp :
A ∪B∪C = A∪ (B∪C);
A∩B∩C = A∩ (B∩C).
Hình 1-3
A
B
A
B
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
10
B
A
Hình 1-6
A
- Tính chất 3 : Tính phân bố :
A∩ (B∪C) = (A∩B)∪ (A∩C);
A (B C)=(A B) (A C)∪ ∩ ∪ ∩ ∪ .
3. Phép hiệu hai tập hợp
Cho 2 tập A và B. Tập hợp gồm mọi phần tử của A nhưng
không thuộc B gọi là hiệu của tập A với tập B.
Ký hiệu
A\B={ }: vaø ∈ ∉x x A x B .
Minh họa hình học xem hình
1-5
4. Phần bù
Tập hợp A⊂B, thì ta gọi
tập B\A là tập bù của tập A
đối với tập B.
Ký hiệu là CBA. Hay A
Minh họa hình học xem hình 1-6
Hình 1-5
B
A
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
11
III. Khái niệm về các kí hiệu lôgic
1. Mệnh đề toán học: là một khẳng định toán học chỉ có thể
đúng hoặc sai.
Để diễn tả các lập luận toán học một cách thuận lợi
người ta sủ dụng các kí hiệu logic.
2. Các kí hiệu.
Kí hiệu: A ⇒ B, nghĩa là mệnh đề A suy ra mệnh đề B.
Kí hiệu : A⇔ B, nghĩa là mệnh đề A suy ra mệnh đề B và
ngược lại. Hay nói một cách khác là A và B là hai mệnh đề
tương đương.
Kí hiệu : = được hiểu là được định nghĩa.
Kí hiệu ∀ x ∈A: α nghĩa là với mọi x thuộc A mệnh đề α
đươc thỏa mãn.
Kí hiệu ∃x ∈A: α nghĩa là tồn tại phần tử x thuộc A mệnh
đề α được thỏa mãn.
Kí hiệu x : nghĩa là “không x ” .
Ta có : : :x E x Eα α∀ ∈ ⇔ ∃ ∈
: :y E y Eβ β∀ ∈ ⇔ ∃ ∈
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
12
1.2 ÁNH XẠ.
Mở đầu: Ánh xạ là một khái niệm rất quan trọng trong toán
học. Ánh xạ dùng để khảo sát các tính chất, các mối quan hệ
của một tập hợp và các phần tử của nó.
I.Các định nghĩa
1. Định nghĩa ánh xạ: Anh xạ từ tập E vào tập F là một
luật tương ứng sao cho với mỗi phần tử x∈E có một phần tử
tương ứng xác định y ∈ F.
Kí hiệu : f: E6 F ; E là tập nguồn ; F là tập đích.
Phần tử y ứng với x được gọi là ảnh của x qua f
kí hiệu y=f(x) hay x6 y=f(x); x6 y.
Tập ảnh : f(E) = { }( );y y f x x E= ∈
VÍ DỤ 1 : E = F = R; x∈R liên hệ với y∈R bởi y=x3 lá ánh
xạ f: R 6 R. Xác định bởi y=x3
VÍ DỤ 2 : f: R6 R : xác định bởi y=x2.
VÍ DỤ 3 : E={ }: 1x x R x∈ ≤ ; F=2 ; x∈E liên hệ với y∈R
theo qui luật y=cung có sin là x Là ánh xạ f: E 6 R
Chẳng hạn x=1/2 ∈E thì các cung .2.
6
kπ π+ và 5. .2.
6
kπ π+
đều có sin là 1/2.
2. Đơn ánh.
f:E6 F được gọi là đơn ánh nếu f(x) = f(x’) , suy ra x = x’
Nghĩa là một phần tử y∈F là ảnh của nhiều nhất một phần tử
x∈E. Hay phương trình f(x)=y; y∈F với ẩn x có nhiều là một
nghiệm với mọi y.
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
13
VÍ DỤ: f : R 6 R, xác định y=x3 là đơn ánh.
Giải phương trình x2 = y ; y ∈R có 2 nghiệm khác nhau
nếu y>0.
3. Toàn ánh .
f:E6 F được gọi là toàn ánh nếu f(E)=F. Nghĩa là một
phần tử y∈F là ảnh của ít nhất một phần tử x∈E. Hay phương
trình f(x)=y; y∈F có nghiệm với mọi y∈F.
VÍ DỤ : f : R 6 R, xac định y=x3 là toàn ánh còn f:R6 R xác
định y=x2 không phải là toàn ánh vì phương trình x2=y có
nghiệm khi y≥ 0.
4. Song ánh
E6 F được gọi là song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là
toàn ánh
Nghĩa là một phần tử y∈F là ảnh của một và chỉ một phần tử
x∈E. Hay phương trình f(x)=y; có duy nhất một nghiệm.
VÍ DỤ: f : R 6 R, xác định y = 3x + 5 là 1 song ánh .
5.Anh xạ ngược.
f: E→F là một song ánh thì y∈F có một phần tử duy nhất
x∈E sao cho f(x)=y. Khi đó ánh xạ từ F→E gọi là ánh xạ
ngược của f.Kí hiệu f -1.
Vậy f-1 : F→E ⇒ f(x) = y ⇒ f-1(y) = x ; x∈E; y∈F
VÍ DỤ: f: R→R xác định y=x3 ⇒ f-1 : R→R được xác định
y∈R6 x= 3 y ∈R .
II. Tích của hai ánh xa (ánh xa hợp)
g:E→F ; f:F→G ; h: E→G xác định h(x) = f(g(x)) với mọi
x thuộc E được gọi là ánh xạ tích. Kí hiệu h = f.g.
Chú ý : f.g ≠ g.f
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
14
1.3. TẬP HỢP SỐ THỰC
I. Khái niệm về số hữu tỉ – vô tỉ và số thực.
1. Số hữu tỉ
là tất cả các số có thể viết dưới dạng tỉ số của 2 số nguyên
kể cả số không.
VÍ DỤ : 1/3 ; 6/7; 0,18 ..
Số hữu tỉ có thể viết thành một số thập phân hữu hạn hoặc
vô hạn nhưng tuần hoàn.
VÍ DỤ: 3 0,75
4
= 4 1,33...
3
=
2. Số vô tỉ
Một số có thể viết thành một phân số thập phân vô hạn
không tuần hoàn gọi là số vô tỉ.
VÍ DỤ : 3,1415926...; 2 1, 414...= =π
Suy ra : số vô tỉ không thể là tỉ số của hai số nguyên.
3. Số thực là các số hữu tỉ và các số vô tỉ hợp lại.
Ký hiệu R : là tập số thực
II. Các định lí:
Định lí 1 : Tập Q là đếm được
Định lí 2 : Tập hợp tất cả các phân số thập phân vô hạn là
không đếm được
Hệ quả : Tập R không đếm được
III. Khoảng số thực
Cho a, b, ∈ R, a < b ta định nghĩa
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
15
[a,b] = {x∈ R : a ≤ x ≤ b }
(a,b) = {x∈ R : a < x < b }
[a,b) = {x∈ R : a ≤ x < b }
(a,b] = {x∈ R : a < x ≤ b }.
Cho x∈ R và ε > 0. Ta gọi Bε (x) = (x - ε, x + ε) là ε - lân cận
của điểm x.
Tập con E ∈ R gọi là mở nếu ∀x∈E, ∃ε > 0 : Bε (x) ⊂E. Với
mọi a, b ∈R, a < b, ta có (a, b) là tập mở.
IV. Trị tuyệt đối của số thực
1. Định nghĩa
a
a
a
⎧= ⎨−⎩ nếu
0
0
a
a
≥
− <
2. Các tính chấ:
Tính chất 1 : Nếu x < a ⇔ -a < x < a.
Tính chất 2 : Nếu x >b ⇔ x > b hoặc x< -b.
Tính chất 3 : a+b a b≤ +
Tính chất 4 : a-b a b≤ −
Tính chất 5 : a.b .a b≤
Tính chất 6 :
aa
b b
=
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
16
1.4 SỐ PHỨC
I. Định nghĩa số phức.
1.Định nghĩa 1 :(Dạng hình họccủa số phức)
Số phức là một cặp số thực (a,b)
a∈ R là thành phần thứ nhất. b∈ R là thành phần thứ hai.
Tập tất cả các số phức kí hiệu là C.
2.Định nghĩa 2 (Về sự bằng nhau của hai số phức).
( , )a b C∀ ∈ ( ', ')a b C∀ ∈ : (a,b) = (a’,b’) ⇔ a=a’ ; b=b’.
3.Định nghĩa 3 : Dạng chính tắc của số phức.
(Dạng đại số của số phức)
z= a+b.i ; i2 = -1 ; a,b ∈ R
a : gọi là phần thực ; a= Re (z).
b: gọi là phần ảo ; b= im(z). i :đơn vị ảo.
4.Định nghĩa 4 :
Số phức liên hợp của z=a+b.i là số phức z = a-b.i
II. Biểu diễn số phức trên mặt phẳng.
Cho z= a+b.i . Trên mặt phẳng Oxy bằng điểm A(a,b)
Nếu b = 0 ⇒ A∈ Ox ⇒ z = a:số thực
Nếu a= 0 ⇒ A∈ Oy⇒ z = b.i:số thuần ảo.
Nối A với O ta được OA
JJJG
là biểu diễn hình học số phức đã cho.
III. Dạng đại số của số phức.
1. Phép cộng và trừ.
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
17
Cho Z1 = a1 + i. b1 ; Z2 = a2 + i. b2 thì
Z1 + Z2 = ( a1 + a2 ) +i. ( b1 + b2 ).
Z1-Z2 = (a1- a2) + (b1-b2) .i.
Đặc biệt ( a + i.b ) +(a-i.b) = 2.a.
VÍ DỤ: (3 +2.i) +(5 – 4.i) = (3+5) + (2-4).i=8-2i
VÍ DỤ: (3 +2.i) -(5 – 4.i) = (3-5) + (2+4).i.=-2+6i.
VÍ DỤ: (3 +2.i) +(3 -2.i) = 2.3=6
2. Phép nhân số phức:
Cho Z1 = a1 + i. b1 ; Z2 = a2 + i. b2 thì
Z1.Z2 = (a1.a2 – b1.b2) +(b1.a2+a1.b2).i .
Đặc biệt : ( a+ i.b ).(a-i.b) = a2+b2.
VÍ DỤ: (3 +2.i) .(5 – 4.i) = (3.5-2(-4) )+ (2.5+3.(-4)).i=23-2i
VÍ DỤ: (3 +2.i) (3 – 2.i) = 9+ 4=13
3. Phép chia số phức.
( ) ( )1 1 2 21 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
. . .. . . . . .
.
+ −+ − += = = ++ + + +
a i b a i bZ a i b a a b b a b a b i
Z a i b a b a b a b
VÍ DỤ: 2 3. (2 3. )(4 5. ) 7 22.... .
4 5. (4 5. )(4 5. ) 41 41
+ + += = = − +− − +
i i i i
i i i
4.Phép lũy thừa: zn = . ...... .
lan
n
z z z z
VÍ DỤ TỔNG QUÁT :
Tính
2 3
3 2
(2. 1) (1 )
(3 2. ) (2 )
i iS
i i
+ − −= + − +
BÀI GIẢI
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
18
Khai triển, rút gọn, nhân liên hợp, ta được:
1 6. 264 30 44 5
12 42. 1908 318 318
i iS i
i
− + −= = = −− +
5. Phép khai căn bậc n: =n z ε nếu =n zε .
IV. Dạng lượng giác của số phức
1. Định nghĩa : Cho z= a + i.b.
Gọi r≥ 0 và ϕ là tọa độ cực của A(a,b) đối với trục Ox và Oy
r gọi la môđun của số z; ϕ gọi là acgumen của z
Kí hiệu: z = a + i.b
ϕ = Arg (a +i.b)⇒ a= r cos ϕ ; b = r.sin ϕ
Vậy dạng lượng giác của số phức là z = r ( cosϕ + i.sin ϕ )
Ngược lại r = 2 2a b+ ; tg ϕ = b/a.
Chú ý: tg ϕ = b/a có 2 gócϕ ta chọn gócϕ sao cho sinϕ
cùng dấu với b.
VÍ DỤ Viết số sau dưới dạng lượng giác: Z= 1+i.
Ta có: r = 2 21 1 2+ =
tg ϕ = 1/1 =1 chọn ϕ = π /4 vì b=1>0
Vậy dạng lượng giác của số phức Z = 1+ i là
Z= 2 (cos
4
π +i.sin
4
π )
VÍ DỤ tương tự :
1 = 1. (cos 0+i.sin0); -1 =1. (cosπ +i.sinπ )
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
19
-i =1. (cos 3.
2
π +i.sin 3.
2
π ); i =1. (cos
2
π +i.sin
2
π )
2.Các phép toán
Cho Z1= r1.(cosϕ 1+i.sin ϕ 1); Z2= r2.(cosϕ 2+i.sin ϕ 2)
a)Phép nhân
Z1.Z2 = r1.r2.[cos(ϕ 1+ϕ 2) +i.sin(ϕ 1+ϕ 2)]
Đặc biệt : Z1.Z1 = r12[cos2.ϕ 1 +i.sin2.ϕ 1]
VÍ DỤ
Cho Z1= 2 (cos 4
π +i.sin
4
π ) và Z2 =1. (cos 3.2
π +i.sin 3.
2
π ) thì
Z1.Z2 = 2 .1[cos(
4
π + 3.
2
π )+i sin(
4
π + 3.
2
π )]
Z1.Z1 = 2 . 2 [cos(2. 4
π )+i sin(2.
4
π )]
b) Phép chia
1 1
2 2
Z r
Z r
= .[cos(ϕ 1-ϕ 2) +i.sin(ϕ 1-ϕ 2)]
Đặc biệt:
1
1
Z
=
1
1
r
[cos(-ϕ 1) +i.sin(-ϕ 1)]
VÍ DỤ
Cho Z1= 2 (cos 4
π +i.sin
4
π ) và Z2 =1. (cos 3.2
π +i.sin 3.
2
π ) thì
1
2
2
1
=Z
Z
.[cos(
4
π - 3.
2
π ) +i.sin(
4
π - 3.
2
π )]
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
20
1
1
Z
= 1
2
[cos(-
4
π ) +i.sin(-
4
π )]
c) Phép lũy thừa
Cho Z= r. (cos ϕ +i.sinϕ ) thì Zn= rn. (cos .n.ϕ +i.sin.n.ϕ )
VÍ DỤ Cho Z= 2 (cos
4
π +i.sin
4
π ) thì
Z3 = ( )32 . (cos .3. 4π +i.sin.3. 4π )
Công thức Moivre:
Từ Zn= rn. (cos ϕ +i.sinϕ )n Và Zn= rn. (cos .n.ϕ +i.sin.n.ϕ )
ta có : (cos ϕ +i.sinϕ )n = cos nϕ +i.sin nϕ
Công thức đúng với mọi n ∈ Z.
VÍ DỤ
3
cos sin cos3. sin 3.
4 4 4 4
⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠i
π π π π
d) Phép khai căn : =n z ε nếu ε n = z.
Giả sử : Z= r.(cosϕ +i.sin ϕ )
ε = (cosθ +i.sinθ )⇒ ρ n(cosθ +i.sinθ )n = r.(cosϕ +i.sin ϕ )
⇒ ρ n(cosnθ +i.sinnθ ) = r.(cosϕ +i.sin ϕ )
2. .. 2. .
n
n rr
kn k
n
ρρ ϕ πθ ϕ π θ
⎡ =⎡ = ⎢⇒ ⇒⎢ +⎢= + =⎣ ⎢⎣
Vậy :
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
21
n z = n r (cos 2. .k
n
ϕ π+ +i.sin 2. .k
n
ϕ π+ ).
với k = 0,1,2..n-1
VÍ DỤ Khai căn bậc 3 của 1 .
BÀI GIẢI
Ta đặt 3 1ε = thì
3 0 2. . 0 2. . 2. . 2. .cos sin cos sin
3 3 3 3
k k k kr i iπ π π πε + +⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠
Với k=0,1,2
Ta có 3 căn bậc 3 khác nhau của 1 là :
ε 0= cos 0 + i. sin 0 = 1.
ε 1 = cos 2.3
π + i. sin 2.
3
π = 1 3.
2 2
i− +
ε 2 = cos 4.3
π + i. sin 4.
3
π = 1 3.
2 2
i− −
VÍ DỤ Khai căn bậc 3 của số phức z= 31 i−−
BÀI GIẢI
Ta đặt 3 1 3= − − iε thì
3
4 42. . 2. .
3 32 cos sin
3 3
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
k k
i
π ππ π
ε Với k=0,1,2
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
22
BÀI TẬP CHƯƠNG I
1. 1 Hãy tính 33)1( i+ dưới dạng đại số
1. 2 Hãy tính số phức i31−
1. 3 Tính căn bậc ba của số phức z= 31 i−−
1. 4 Xác định m để số phức immz )2(1 21 −+−= và
iz 212 += bằng nhau ?
1.5 Thực hiện các phép tính:
5
5
( 1) 1
( 1) 1
iS
i
− + −= + +
1.6 Tìm dạng lượng giác của số phức và rút gọn
a) 25(1 )= +Z i
b) 1 . 3
3
iZ
i
+= + , tính Z
100
1.7 Giải phương trình :
a) x4 + 6.x3 + 9.x2 + 100 = 0.
b) z2 – (1 + i. 3 ).z -1+i. 3 = 0.
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
23
CHƯƠNG II
MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
2.1 KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN
I. Định nghĩa về ma trận
Ma trận cấp m×n là một bảng số hình chữ nhật có m hàng n
cột. Ký hiệu: A, B, C,...
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
11 11 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
j n
j n
i i ij in
m m mj mn
a a a a
a a a a
A
a a a a
a a a a
aij là phần tử nằm ở dòng i, cột j của ma trận A
Có thể viết gọn ma trận ở dạng A = (aij)mxn hoặc A=[aij]mxn
Tập tất cả các ma trận cấp m n× , có các phần tử là số thực
thì ký hiệu là: ( ) ( ) { | }mxn ij ijmxnM A a a= = ∈\ \
II. Phân loại ma trận
1. Ma trận không
là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng không, kí hiệu θ .
2. Ma trận hàng
là ma trận có dạng 1 hàng và n cột (còn gọi là véctơ hàng).
( ) ( )11 12 1 1n ij nA a a a a ×= =
3. Ma trận cột
là ma trận có dạng m hàng và 1 cột (còn gọi là véctơ cột)
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
24
( ) ×
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
#
11
21
1
1
ij m
m
a
a
A a
a
4. Ma trận vuông cấp n là ma trận cấp n có số dòng bằng số
cột.
( ) ×
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
11 11 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
j n
j n
ij n n
i i ij in
n n nj nn
a a a a
a a a a
A a
a a a a
a a a a
Các phần tử a11, a22, a33, .aii,... ann được gọi là các
phần tử nằm trên đường chéo chính.
Các phần tử an1, an-1 2, an-2 3, .aii,.. a1n. được gọi là các
phần tử nằm trên đường chéo phụ.
5. Ma trận đường chéo (ma trận chéo) là ma trận vuông cấp
n, trong đó aij = 0; ∀ ≠i j , tức là các phần tử không nằm trên
đường chéo chính đều bằng không.
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
11
22
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
ii
nn
a
a
A
a
a
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
25
6. Ma trận đơn vị là ma trận chéo có các phần tử nằm trên
đường chéo chính đều bằng 1. Kí hiệu: I; E
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
I
7. Ma trận tam giác trên, tam giác dưới
a) Ma trận tam giác trên là ma trận vuông, trong đó = 0ija
∀ > = ____; , 1,i j i j n
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
11 11 1 1
22 2 20
0 0
0 0 0
j n
j n
ii in
nn
a a a a
a a a
A
a a
a
b) Ma trận tam giác dưới là ma trận vuông, trong đó = 0ija
∀ < = ____; , 1,i j i j n
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
11
21 22
1 2
1 2
0 0 0
0 0
0i i ii
n n nj nn
a
a a
A
a a a
a a a a
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
26
8. Ma trận bằng nhau Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu
chúng có cùng cỡ và các phần tử cùng vị trí phải bằng nhau.
Tức là: cho ( )ij m nA a ×= và ( )ij m nB b ×= thì A B=
khi và chỉ khi ij ija b= ,i j∀ ; 1,i m= ; 1,j n= .
9. Ma trận chuyển vị (transposition = sự chuyển vị, sự đảo
ngược )Cho ma trận ( )ij m nA a ×= , ta đổi hàng thành cột và cột
thành