Giúp học tốt môn Lý thuyết xác suất và thống kê ứng dụng cho sinh viên ngành Kinh tế, trường Đại học Tài chính - Marketing thông qua những sai lầm

Mỗi sai lầm sinh ra một chướng ngại thường tồn tại rất lâu và có thể xuất hiện ngay sau khi chủ thể đã có ý thức loại bỏ quan niệm sai lầm khỏi hệ thống nhận thức của mình. Vì vậy, việc giúp sinh viên nhận ra các sai lầm và tìm cách khắc phục những sai lầm đó trong quá trình lĩnh hội các khái niệm là việc có nhiều ý nghĩa trong quá trình dạy học và góp phần nâng cao hiệu quả dạy học. Bài viết chỉ ra các sai lầm khi sinh viên giải một bài toán xác suất - thống kê trong môn học Lý thuyết xác suất và thống kê ứng dụng. Bên cạnh đó, bài viết cũng dự kiến những sai lầm của sinh viên, đồng thời ứng phó với những sai lầm đó và đưa ra hướng khắc phục để sinh viên hoàn thiện hơn thông qua các bài toán cụ thể.

pdf8 trang | Chia sẻ: thuyduongbt11 | Ngày: 10/06/2022 | Lượt xem: 218 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Giúp học tốt môn Lý thuyết xác suất và thống kê ứng dụng cho sinh viên ngành Kinh tế, trường Đại học Tài chính - Marketing thông qua những sai lầm, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
93 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC Tóm tắt Mỗi sai lầm sinh ra một chướng ngại thường tồn tại rất lâu và có thể xuất hiện ngay sau khi chủ thể đã có ý thức loại bỏ quan niệm sai lầm khỏi hệ thống nhận thức của mình. Vì vậy, việc giúp sinh viên nhận ra các sai lầm và tìm cách khắc phục những sai lầm đó trong quá trình lĩnh hội các khái niệm là việc có nhiều ý nghĩa trong quá trình dạy học và góp phần nâng cao hiệu quả dạy học. Bài viết chỉ ra các sai lầm khi sinh viên giải một bài toán xác suất - thống kê trong môn học Lý thuyết xác suất và thống kê ứng dụng. Bên cạnh đó, bài viết cũng dự kiến những sai lầm của sinh viên, đồng thời ứng phó với những sai lầm đó và đưa ra hướng khắc phục để sinh viên hoàn thiện hơn thông qua các bài toán cụ thể. Từ khóa: Xác suất, thống kê, Lý thuyết kiến tạo, sai lầm 1. Đặt vấn đề Bài toán “Chia giải thưởng thế nào cho công bằng” là bài toán khá hay liên quan đến xác suất và cũng có không ít tranh cãi từ cách chia giải thưởng. Đâu là nguyên nhân gây ra các tranh cãi trên? Chúng ta cùng tìm hiểu bài toán sau: “Hai đối thủ ngang tài cùng chơi một trận đấu để tranh chức vô địch. Người thắng cuộc là người đầu tiên thắng được 6 ván đấu. Tuy nhiên, vì lý do bất khả kháng, trò chơi phải dừng lại và không được tiếp tục nữa. Khi đó, người thứ nhất đã thắng 5 ván, còn người thứ hai chỉ mới thắng 3 ván. Vậy phải phân chia phần thưởng như thế nào là hợp lý”? Sai lầm 1: Có ý kiến cho rằng, chia giải thưởng theo tỷ lệ 5 : 3, đúng theo tỷ lệ thắng của người chơi. * Bộ môn Toán - Thống kê, Khoa Kinh tế - Luật, Trường Đại học Tài chính - Marketing GIÚP HỌC TỐT MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN NGÀNH KINH TẾ, TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH - MARKETING THÔNG QUA NHỮNG SAI LẦM 12. ThS. Vũ Anh Linh Duy* 94 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC Sai lầm 2: Có ý kiến khác cho rằng, chia giải thưởng theo tỷ lệ 2 : 1, vì người thứ nhất hơn người thứ hai 2 ván, mà 2 ván là 1/3 của 6 ván, nên người thứ nhất nhận 1/3, còn lại chia đôi (tức là người thứ nhất và người thứ hai nhận thêm 1/3 giải). Hai cách chia trên đều không hợp lý. Nguyên nhân nào dẫn đến sai lầm trên và chia sao cho công bằng? Sai lầm vì chúng ta không dựa trên xác suất thắng của hai người chơi. Vậy muốn chia giải thưởng công bằng, ta cần dựa trên xác suất thắng của của hai người chơi. Cụ thể như sau: Pascal và Fermat đã độc lập với nhau trong việc giải thích về tỷ lệ giải thưởng nên chia theo quan điểm xác suất. Lập luận của Fermat như sau: Nếu tiếp tục chơi thêm 3 ván “giả tạo” nữa thì người thứ hai muốn lấy được tất cả giải, anh ta phải chiến thắng cả 3 ván này. Vì vậy, xác suất thắng cuộc của anh ta là 1 1 1 1 2 2 2 8 × × = và do đó, xác suất thắng cuộc người thứ nhất 7 8 . Vậy, chia phần thưởng theo tỷ lệ là 7 : 1 là hợp lý nhất. Qua bài toán trên, ta thấy việc hiểu sai vấn đề sẽ gây ra những tranh cãi không hồi kết, nếu các sai lầm không được sửa chữa một cách chính xác. Ngày nay, các phương pháp thống kê được áp dụng trong tất cả các lĩnh vực liên quan đến việc ra quyết định, để đưa ra các suy luận chính xác từ một lượng dữ liệu được đối chiếu và để đưa ra quyết định khi đối mặt với sự không chắc chắn dựa trên phương pháp thống kê. Việc sử dụng máy tính hiện đại đã thúc đẩy quá trình tính toán thống kê quy mô lớn và cũng tạo ra các phương pháp mới không thể thực hiện được bằng tay, nên vấn đề đặt ra là phải hiểu rõ bản chất và ý nghĩa các khái niệm của môn học thì mới có thể vận dụng tốt. Tuy nhiên, môn Lý thuyết xác suất và thống kê được xem là môn học trừu tượng nên không ít sinh viên gặp khó khăn trong quá trình học tập. Đặc biệt, trong việc giải các bài tập, sinh viên luôn dễ mắc sai lầm do không hiểu hết ý nghĩa và bản chất của các khái niệm cũng như các định lý. Bài viết này nhằm giúp sinh viên nhận biết và tránh được các sai lầm thường gặp khi giải các bài toán, qua đó giúp các em học tốt môn học. 2. Nội dung 2.1. Cơ sở lý thuyết Jean Piaget (1896 - 1980), nhà tâm lý học và triết học người Thụy Sĩ đã đề xuất Lý thuyết kiến tạo vào đầu thế kỷ 20. Lý thuyết kiến tạo ứng dụng trong dạy học dựa trên việc nghiên cứu quá trình học tập của con người, từ đó hình thành quan điểm dạy học phù hợp với cơ chế đó. Cho đến nay, Lý thuyết kiến tạo đã được ứng dụng vào nhiều ngành khoa học, đặc biệt là trong giáo dục. Ở nhiều quốc gia, Lý thuyết kiến tạo đã trở thành xu hướng tất yếu của đổi mới giáo dục. Tư tưởng cốt lõi của Lý thuyết kiến tạo là: tri thức được xuất hiện thông qua việc chủ thể nhận thức tự cấu trúc vào hệ thống bên trong của mình, nhấn mạnh vai trò chủ thể nhận thức trong việc giải thích và kiến tạo tri thức. 95 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC Theo Brooks (1993), quan điểm về kiến tạo trong dạy học khẳng định rằng, người học cần phải tạo nên những hiểu biết về thế giới bằng cách tổng hợp những kinh nghiệm mới vào trong những cái mà họ đã có trước đó. Người học thiết lập nên những quy luật thông qua sự phản hồi trong mối quan hệ tương tác với những chủ thể và ý tưởng. Theo M. Briner (1993), người học tạo nên kiến thức của bản thân bằng cách điều khiển những ý tưởng và cách tiếp cận dựa trên những kiến thức và kinh nghiệm đã có, áp dụng chúng vào những tình huống mới, hợp thành tổng thể thống nhất giữa những kiến thức mới thu nhận được với những kiến thức đang tồn tại trong trí óc. Trí tuệ của người học không bao giờ trống rỗng. Ngay cả khi một đối tượng kiến thức nào đó chưa được giảng dạy thì họ cũng đã có những biểu tượng, những dạng thức hành động ngầm ẩn liên quan đến đối tượng kiến thức này. Một số biểu tượng có trong cấu trúc trí tuệ của người học tạo nên những điều kiện thuận lợi cho việc học tập kiến thức mới. Nhưng cũng có những biểu tượng, dạng thức hành động khá bền vững tạo nên những chướng ngại và thường là nguyên nhân dẫn người học tới những sai lầm. Theo Brousseau (1976), “sai lầm không chỉ đơn giản do thiếu hiểu biết, mơ hồ hay ngẫu nhiên sinh ra mà còn là hậu quả của một kiến thức trước đây đã từng hữu ích và đem lại thành công, nhưng bây giờ tỏ ra sai hoặc đơn giản là không còn thích hợp nữa”. Sai lầm còn là sự thể hiện của một kiến thức của người học, kiến thức mà cần phá hủy hay làm mất sự ổn định để thay thế nó bởi một kiến thức thích ứng hơn. Và cũng theo Brousseau: “Trong hoạt động giảng dạy, sai lầm bao giờ cũng góp phần hình thành nên nghĩa của kiến thức thu nhận được”. 2.2. Thiết kế bài học và các bài toán cụ thể Để thiết kế bài học, giảng viên đưa ra các bài toán khiến sinh viên hiểu chưa đúng hay hiểu sai về bài toán. Trong mỗi bài toán mà sinh viên thường mắc sai lầm, giảng viên sẽ dự đoán các sai lầm của sinh viên, gợi ý cách khắc phục các sai lầm, sau đó đưa ra kết luận hoàn chỉnh. Bài toán 1: Hai xạ thủ mỗi người bắn một phát vào một bia, xác suất trúng bia của mỗi người lần lượt là 0,7 và 0,8. Tìm xác suất để bia trúng đạn? Sinh viên trình bày như sau: Gọi là biến cố “người thứ i bắn trúng bia” Gọi là biến cố “bia trúng đạn”. Sai lầm 1: Nguyên nhân: Sinh viên không phân biệt mối quan hệ giữa các biến cố. Giảng viên ứng phó với sai lầm 1: Giảng viên yêu cầu sinh viên nhắc lại định nghĩa biến tổng, tích các biến cố. Giảng viên điều chỉnh sai lầm 1: Giảng viên gợi ý biến cố “bia bị trúng” hiểu theo nghĩa có ít nhất người người bắn trúng bia, chứ không phải cả hai phải bắn trúng bia, yêu cầu sinh viên biểu thị lại biến cố B cho đúng. 96 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC Sai lầm 2: Xác suất của tổng bằng tổng các xác suất, nên sử dụng công thức cộng cho hai biến cố xung khắc: Nguyên nhân: Sinh viên cho rằng, hai biến cố xung khắc với nhau. Giảng viên ứng phó với sai lầm 2: Giảng viên yêu cầu sinh viên nhắc lại định nghĩa tính xung khắc của các biến cố. Giảng viên sửa chữa sai lầm 2: Giảng viên điều chỉnh lại công thức tính xác suất thế nào cho đúng? Đưa ra đáp án đúng để sinh viên so sánh sau khi chỉnh sửa bài làm của mình. P(B) = P(A1 + A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1A2) = 0,7 + 0,8 – 0,7.0,8 = 0,94 Bài toán 2: Một túi chứa 10 thẻ đỏ và 6 thẻ xanh. Chọn ngẫu nhiên ra 3 tấm thẻ. Gọi X là số thẻ đỏ được chọn. Hãy tìm phân phối xác suất của X? Sinh viên đưa ra lời giải: X là số thẻ đỏ được chọn, các giá trị X có thể nhận {1, 2, 3}. Sai lầm: Sinh viên không xác định đầy đủ không gian mẫu của phép thử. Nguyên nhân: Sinh viên cho rằng, X là số thẻ đỏ được lấy ra nên giá trị nhỏ nhất mà X có thể nhận là 1, bởi sinh viên gán X là tập số nguyên dương nên dẫn đến sai lầm trên. Giảng viên ứng phó sai lầm: - Yêu cầu sinh viên thực hiện tính tổng xác suất ứng với X = {1, 2, 3}. Sinh viên sẽ nhận ra sai lầm vì theo tính chất của bảng phân phối xác suất cho đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì tổng xác suất bằng 1. - Liệt kê đầy đủ các trường hợp của không gian mẫu. Giảng viên sửa chữa sai lầm: Giảng viên yêu cầu sinh viên điều chỉnh lại các giá trị của X có thể nhận và tính lại xác suất ứng với các giá trị của X. Sau đó, đưa ra lời giải cho sinh viên đối chiếu với bài làm sau khi chỉnh sửa. X 0 1 2 3 P Bài toán 3: Trong một hộp kín có 5 bi trắng, 3 bi đen. Lấy ngẫu nhiên từ hộp này lần lượt từng viên bi cho đến khi lấy được bi màu đen thì dừng lại. Tìm xác suất để lấy ra ngoài đúng 4 viên, biết cách thức lấy là không hoàn lại. 97 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC Sinh viên làm như sau: Gọi Ai là biến cố “lấy được bi trắng ở lần lấy thứ i” là biến cố “lấy được bi đen ở lần lấy thứ i” Xác suất để lấy được đúng 4 viên bi: Sai lầm: Sinh viên sử dụng công thức tính xác suất tích các biến cố độc lập nhau. Nguyên nhân: Sinh viên cho rằng, các biến cố độc lập với nhau nên áp dụng công thức xác suất của tích của các biến cố độc lập nhau. Giảng viên ứng phó với sai lầm: - Yêu cầu sinh viên nhắc lại định nghĩa tính độc lập của các biến cố. - Nhấn mạnh cụm từ “biết cách thức lấy là không hoàn lại” và yêu cầu sinh viên giải thích cụm từ đó. Giảng viên sửa chữa sai lầm: - Nhấn mạnh các biến cố là các biến cố phụ thuộc nhau. - Yêu cầu sinh viên viết công thức tính xác suất của tích các biến cố A1, A2, An không độc lập từng đôi. - Sinh viên hoàn chỉnh bài làm và đối chiếu với bài làm của giảng viên đưa ra. Bài toán 4: Điều tra nhu cầu khách hàng về sản phẩm A tại một công ty, người ta phỏng vấn ngẫu nhiên 380 nhân viên trong 500 nhân viên của công ty thì được biết có 270 nhân viên có nhu cầu sản phẩm A. Với độ tin cậy 99%, hãy ước lượng tỷ lệ nhu cầu tối thiểu về sản phẩm A. Sinh viên làm như sau: Gọi là tỷ lệ nhu cầu sản phẩm A Khoảng ước lượng tỷ lệ nhu cầu sản phẩm A: f p fε ε− < < + Trong đó: Tỷ lệ 270 0,54 500 f = = ( ) ( ) /2 1 0,54 1 0,54 2,57 0,0573 500 f f z nα ε − − = = = 98 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC Khoảng ước lượng tỷ lệ nhu cầu sản phẩm A: 0,4827 0,5973p< < Kết luận: Tỷ lệ nhu cầu tối thiểu sản phẩm A: 0,4827p > Sai lầm 1: Sinh viên không phân biệt tỷ lệ tổng thể và tỷ lệ mẫu. Sai lầm 2: Sinh viên hiểu miền giá trị của đại lượng trên khoảng thì giá trị chặn dưới là giá trị tối thiểu, và giá trị chặn trên là giá trị tối đa, nên sinh viên làm bài toán ước lượng đối xứng rồi kết luận tối đa, tối thiểu. Nguyên nhân: - Sinh viên không hiểu được các con số trong đề bài. - Sinh viên không phân biệt được bài toán ước lượng tỷ lệ đối xứng và ước lượng tỷ lệ một phía. Giảng viên ứng phó với hai sai lầm: Giảng viên yêu cầu sinh viên nhắc lại: - Xác định ý nghĩa các con số trong đề bài. - Định nghĩa tỷ lệ tổng thể và tỷ lệ mẫu. - Bài toán ước lượng tỷ lệ đối xứng và ước lượng tỷ lệ một phía. Giảng viên sửa chữa sai lầm: - Cần tính lại tỷ lệ mẫu. - Nhấn mạnh cụm từ “ước lượng tỷ lệ nhu cầu tối thiểu cho sản phẩm A” (đây là bài toán ước lượng tỷ lệ một phía). - Sinh viên chỉnh sửa bài làm và so sánh với kết quả của giảng viên. Tỷ lệ 270 0,7105 380 f = = ( )1 0,7105 0,2895 2,33 0,0542 380 f f z nα ε − × = = = Khoảng tin cậy bên phải: 0,7105 0,0542 0,6563p > − = Bài toán 5: Xem xét về trọng lượng một loại quả (tính bằng gam), người ta tiến hành cân thử một số quả lấy ngẫu nhiên, được số liệu cho trong bảng dưới đây: Trọng lượng (gam) 25 - 27 27 - 29 29 - 31 31 - 33 33 - 35 35 - 37 Số quả tương ứng 3 5 7 5 3 2 Biết rằng trọng lượng quả là đại lượng có phân phối chuẩn. Tiêu chuẩn đặt ra cho trọng lượng trung bình của quả là 31,5g. Với mức ý nghĩa 5%, có thể nói, loại quả trên đạt tiêu chuẩn hay không? 99 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC Sinh viên làm như sau: Với bộ số liệu này, tính các thống kê đặc trưng mẫu được kết quả: ( )30,48x g= ; ( )2,903s g= . Cặp giả thuyết thống kê: 0 1 : 31,5 : 31,5 H H µ µ = < Tiêu chuẩn kiểm định ( )0X nT S µ− = ; miền bác bỏ ( ){ }: 1W T T t nα α= < − − . Với mẫu cụ thể trên, ( ) ( )0 30,48 31 25,5 2,9 1,756 0 8 3qs x n T s µ− = = = − − Với ( ) ( )0,050,05 1 24 1,711t n tαα = ⇒ − = = Miền bác bỏ { }; 1,711Wα = −∞ − Vì qsT Wα∈ : Bác bỏ H0 Kết luận: Với mức ý nghĩa 5%, loại quả này không đạt tiêu chuẩn. Sai lầm 1: Xác định sai cặp giả thuyết thống kê. Sai lầm 2: Xác định sai miền bác bỏ, dẫn đến kết luận sai. Nguyên nhân: - Sinh viên hiểu theo Toán học nên cho rằng, quả không đạt tiêu chuẩn là quả có trọng lượng nhỏ hơn 31,5g. - Sai lầm 1 dẫn đến sai lầm 2. Giảng viên ứng phó với sai lầm: Giảng viên yêu cầu kiểm định xem trọng lượng trung bình có bằng 31,5 hay không? Nếu bằng thì 31,5µ = ; còn không bằng thì 31,5µ ≠ . Không có cơ sở để khẳng định 31,5µ . Giảng viên sửa chữa sai lầm: Giảng viên yêu cầu sinh viên: - Xác định lại cặp giả thuyết thống kê. - Xác định lại miền bác bỏ. - Sinh viên so sánh lời giải sau khi chỉnh sửa với bài giải của giảng viên. Cặp giả thuyết: 0 1 : 31,5 : 31,5 H H µ µ = ≠ Tiêu chuẩn kiểm định ( )0X nT S µ− = ; miền bác bỏ ( ){ }/2: 1W T T t nα α= > − Với mẫu cụ thể trên, ( ) ( )0 30,48 31 25,5 2,9 1,756 0 8 3qs x n T s µ− = = = − − Với ( ) ( )/2 0,0250,05 1 24 2,064t n tαα = ⇒ − = = 100 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC Miền bác bỏ { } { }; 2,064 2,064;Wα = −∞ − ∪ +∞ Vì qsT Wα∉ : Chấp nhận H0 Với mức ý nghĩa 5%, có thể kết luận loại quả này đạt tiêu chuẩn. 3. Kết luận Sai lầm là một khía cạnh của kiến thức và nó có tác động trở lại trong quá trình học tập của sinh viên. Nhận biết được những sai lầm khi giải bài tập cụ thể là vô cùng quan trọng trong việc học tập môn Toán nói chung và đặc biệt đối với Lý thuyết xác suất và thống kê ứng dụng với những từ ngữ dễ gây hiểu lầm. Thông qua việc giải bài tập, sinh viên sẽ nhận ra được những sai lầm do chưa hiểu bản chất của vấn đề; đồng thời, với sự chỉnh sửa của giảng viên sẽ giúp sinh viên hiểu một cách đầy đủ và chính xác các khái niệm liên quan đến lý thuyết, từ đó, giúp sinh viên không còn mắc sai lầm khi giải bài tập. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Bùi Văn Nghị (2008), Phương pháp dạy học những nội dung cụ thể môn Toán, NXB Đại học Sư phạm. 2. Chu Trọng Thanh (2006), “Sử dụng các khái niệm công cụ trong Lý thuyết phát sinh nhận thức của J. Piaget vào môn Toán”, Tạp chí Giáo dục, số 207, tháng 2/2009. 3. Lê Thị Hoài Châu (2000), “Những chướng ngại, khó khăn trong dạy học khái niệm xác suất”, Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, số 24, tr. 115 - 121. 4. Nguyễn Bá Kim (2009), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại học Sư phạm. 5. Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn (2010), Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán, NXB Đại học Sư phạm. 6. Nguyễn Huy Hoàng (Chủ biên), Nguyễn Văn Phong, Nguyễn Trung Đông, Nguyễn Tuấn Duy, Dương Phương Liên, Võ Thị Bích Khuê (2021), Giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê ứng dụng, Trường Đại học Tài chính - Marketing. 7. Trần Vui (2017), Từ các lý thuyết học đến thực hành trong giáo dục Toán, NXB Đại học Huế. 8. Trịnh Văn Biều (2010), Các phương pháp dạy học tích cực, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh.
Tài liệu liên quan