Mỗi sai lầm sinh ra một chướng ngại thường tồn tại rất lâu và có thể xuất hiện ngay sau
khi chủ thể đã có ý thức loại bỏ quan niệm sai lầm khỏi hệ thống nhận thức của mình. Vì
vậy, việc giúp sinh viên nhận ra các sai lầm và tìm cách khắc phục những sai lầm đó trong
quá trình lĩnh hội các khái niệm là việc có nhiều ý nghĩa trong quá trình dạy học và góp phần
nâng cao hiệu quả dạy học. Bài viết chỉ ra các sai lầm khi sinh viên giải một bài toán xác
suất - thống kê trong môn học Lý thuyết xác suất và thống kê ứng dụng. Bên cạnh đó, bài viết
cũng dự kiến những sai lầm của sinh viên, đồng thời ứng phó với những sai lầm đó và đưa ra
hướng khắc phục để sinh viên hoàn thiện hơn thông qua các bài toán cụ thể.
8 trang |
Chia sẻ: thuyduongbt11 | Ngày: 10/06/2022 | Lượt xem: 397 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem nội dung tài liệu Giúp học tốt môn Lý thuyết xác suất và thống kê ứng dụng cho sinh viên ngành Kinh tế, trường Đại học Tài chính - Marketing thông qua những sai lầm, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
93
ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG
CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC
Tóm tắt
Mỗi sai lầm sinh ra một chướng ngại thường tồn tại rất lâu và có thể xuất hiện ngay sau
khi chủ thể đã có ý thức loại bỏ quan niệm sai lầm khỏi hệ thống nhận thức của mình. Vì
vậy, việc giúp sinh viên nhận ra các sai lầm và tìm cách khắc phục những sai lầm đó trong
quá trình lĩnh hội các khái niệm là việc có nhiều ý nghĩa trong quá trình dạy học và góp phần
nâng cao hiệu quả dạy học. Bài viết chỉ ra các sai lầm khi sinh viên giải một bài toán xác
suất - thống kê trong môn học Lý thuyết xác suất và thống kê ứng dụng. Bên cạnh đó, bài viết
cũng dự kiến những sai lầm của sinh viên, đồng thời ứng phó với những sai lầm đó và đưa ra
hướng khắc phục để sinh viên hoàn thiện hơn thông qua các bài toán cụ thể.
Từ khóa: Xác suất, thống kê, Lý thuyết kiến tạo, sai lầm
1. Đặt vấn đề
Bài toán “Chia giải thưởng thế nào cho công bằng” là bài toán khá hay liên quan đến xác
suất và cũng có không ít tranh cãi từ cách chia giải thưởng. Đâu là nguyên nhân gây ra các
tranh cãi trên? Chúng ta cùng tìm hiểu bài toán sau: “Hai đối thủ ngang tài cùng chơi một
trận đấu để tranh chức vô địch. Người thắng cuộc là người đầu tiên thắng được 6 ván đấu.
Tuy nhiên, vì lý do bất khả kháng, trò chơi phải dừng lại và không được tiếp tục nữa. Khi đó,
người thứ nhất đã thắng 5 ván, còn người thứ hai chỉ mới thắng 3 ván. Vậy phải phân chia
phần thưởng như thế nào là hợp lý”?
Sai lầm 1: Có ý kiến cho rằng, chia giải thưởng theo tỷ lệ 5 : 3, đúng theo tỷ lệ thắng của
người chơi.
* Bộ môn Toán - Thống kê, Khoa Kinh tế - Luật, Trường Đại học Tài chính - Marketing
GIÚP HỌC TỐT MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT
VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG
CHO SINH VIÊN NGÀNH KINH TẾ,
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH - MARKETING
THÔNG QUA NHỮNG SAI LẦM
12.
ThS. Vũ Anh Linh Duy*
94
ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG
CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC
Sai lầm 2: Có ý kiến khác cho rằng, chia giải thưởng theo tỷ lệ 2 : 1, vì người thứ nhất
hơn người thứ hai 2 ván, mà 2 ván là 1/3 của 6 ván, nên người thứ nhất nhận 1/3, còn lại chia
đôi (tức là người thứ nhất và người thứ hai nhận thêm 1/3 giải).
Hai cách chia trên đều không hợp lý. Nguyên nhân nào dẫn đến sai lầm trên và chia sao
cho công bằng? Sai lầm vì chúng ta không dựa trên xác suất thắng của hai người chơi. Vậy
muốn chia giải thưởng công bằng, ta cần dựa trên xác suất thắng của của hai người chơi. Cụ
thể như sau:
Pascal và Fermat đã độc lập với nhau trong việc giải thích về tỷ lệ giải thưởng nên chia
theo quan điểm xác suất. Lập luận của Fermat như sau: Nếu tiếp tục chơi thêm 3 ván “giả
tạo” nữa thì người thứ hai muốn lấy được tất cả giải, anh ta phải chiến thắng cả 3 ván này.
Vì vậy, xác suất thắng cuộc của anh ta là
1 1 1 1
2 2 2 8
× × = và do đó, xác suất thắng cuộc người
thứ nhất
7
8
.
Vậy, chia phần thưởng theo tỷ lệ là 7 : 1 là hợp lý nhất. Qua bài toán trên, ta thấy việc
hiểu sai vấn đề sẽ gây ra những tranh cãi không hồi kết, nếu các sai lầm không được sửa chữa
một cách chính xác.
Ngày nay, các phương pháp thống kê được áp dụng trong tất cả các lĩnh vực liên quan
đến việc ra quyết định, để đưa ra các suy luận chính xác từ một lượng dữ liệu được đối chiếu
và để đưa ra quyết định khi đối mặt với sự không chắc chắn dựa trên phương pháp thống kê.
Việc sử dụng máy tính hiện đại đã thúc đẩy quá trình tính toán thống kê quy mô lớn và cũng
tạo ra các phương pháp mới không thể thực hiện được bằng tay, nên vấn đề đặt ra là phải hiểu
rõ bản chất và ý nghĩa các khái niệm của môn học thì mới có thể vận dụng tốt. Tuy nhiên,
môn Lý thuyết xác suất và thống kê được xem là môn học trừu tượng nên không ít sinh viên
gặp khó khăn trong quá trình học tập. Đặc biệt, trong việc giải các bài tập, sinh viên luôn dễ
mắc sai lầm do không hiểu hết ý nghĩa và bản chất của các khái niệm cũng như các định lý.
Bài viết này nhằm giúp sinh viên nhận biết và tránh được các sai lầm thường gặp khi giải các
bài toán, qua đó giúp các em học tốt môn học.
2. Nội dung
2.1. Cơ sở lý thuyết
Jean Piaget (1896 - 1980), nhà tâm lý học và triết học người Thụy Sĩ đã đề xuất Lý thuyết
kiến tạo vào đầu thế kỷ 20. Lý thuyết kiến tạo ứng dụng trong dạy học dựa trên việc nghiên
cứu quá trình học tập của con người, từ đó hình thành quan điểm dạy học phù hợp với cơ chế
đó. Cho đến nay, Lý thuyết kiến tạo đã được ứng dụng vào nhiều ngành khoa học, đặc biệt
là trong giáo dục. Ở nhiều quốc gia, Lý thuyết kiến tạo đã trở thành xu hướng tất yếu của đổi
mới giáo dục. Tư tưởng cốt lõi của Lý thuyết kiến tạo là: tri thức được xuất hiện thông qua
việc chủ thể nhận thức tự cấu trúc vào hệ thống bên trong của mình, nhấn mạnh vai trò chủ
thể nhận thức trong việc giải thích và kiến tạo tri thức.
95
ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG
CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC
Theo Brooks (1993), quan điểm về kiến tạo trong dạy học khẳng định rằng, người học
cần phải tạo nên những hiểu biết về thế giới bằng cách tổng hợp những kinh nghiệm mới vào
trong những cái mà họ đã có trước đó. Người học thiết lập nên những quy luật thông qua sự
phản hồi trong mối quan hệ tương tác với những chủ thể và ý tưởng.
Theo M. Briner (1993), người học tạo nên kiến thức của bản thân bằng cách điều khiển
những ý tưởng và cách tiếp cận dựa trên những kiến thức và kinh nghiệm đã có, áp dụng
chúng vào những tình huống mới, hợp thành tổng thể thống nhất giữa những kiến thức mới
thu nhận được với những kiến thức đang tồn tại trong trí óc.
Trí tuệ của người học không bao giờ trống rỗng. Ngay cả khi một đối tượng kiến thức
nào đó chưa được giảng dạy thì họ cũng đã có những biểu tượng, những dạng thức hành
động ngầm ẩn liên quan đến đối tượng kiến thức này. Một số biểu tượng có trong cấu trúc trí
tuệ của người học tạo nên những điều kiện thuận lợi cho việc học tập kiến thức mới. Nhưng
cũng có những biểu tượng, dạng thức hành động khá bền vững tạo nên những chướng ngại
và thường là nguyên nhân dẫn người học tới những sai lầm.
Theo Brousseau (1976), “sai lầm không chỉ đơn giản do thiếu hiểu biết, mơ hồ hay ngẫu
nhiên sinh ra mà còn là hậu quả của một kiến thức trước đây đã từng hữu ích và đem lại thành
công, nhưng bây giờ tỏ ra sai hoặc đơn giản là không còn thích hợp nữa”. Sai lầm còn là sự
thể hiện của một kiến thức của người học, kiến thức mà cần phá hủy hay làm mất sự ổn định
để thay thế nó bởi một kiến thức thích ứng hơn. Và cũng theo Brousseau: “Trong hoạt động
giảng dạy, sai lầm bao giờ cũng góp phần hình thành nên nghĩa của kiến thức thu nhận được”.
2.2. Thiết kế bài học và các bài toán cụ thể
Để thiết kế bài học, giảng viên đưa ra các bài toán khiến sinh viên hiểu chưa đúng hay hiểu
sai về bài toán. Trong mỗi bài toán mà sinh viên thường mắc sai lầm, giảng viên sẽ dự đoán
các sai lầm của sinh viên, gợi ý cách khắc phục các sai lầm, sau đó đưa ra kết luận hoàn chỉnh.
Bài toán 1: Hai xạ thủ mỗi người bắn một phát vào một bia, xác suất trúng bia của mỗi
người lần lượt là 0,7 và 0,8. Tìm xác suất để bia trúng đạn?
Sinh viên trình bày như sau:
Gọi là biến cố “người thứ i bắn trúng bia”
Gọi là biến cố “bia trúng đạn”.
Sai lầm 1:
Nguyên nhân: Sinh viên không phân biệt mối quan hệ giữa các biến cố.
Giảng viên ứng phó với sai lầm 1: Giảng viên yêu cầu sinh viên nhắc lại định nghĩa biến
tổng, tích các biến cố.
Giảng viên điều chỉnh sai lầm 1: Giảng viên gợi ý biến cố “bia bị trúng” hiểu theo nghĩa
có ít nhất người người bắn trúng bia, chứ không phải cả hai phải bắn trúng bia, yêu cầu sinh
viên biểu thị lại biến cố B cho đúng.
96
ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG
CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC
Sai lầm 2: Xác suất của tổng bằng tổng các xác suất, nên sử dụng công thức cộng cho hai
biến cố xung khắc:
Nguyên nhân: Sinh viên cho rằng, hai biến cố xung khắc với nhau.
Giảng viên ứng phó với sai lầm 2: Giảng viên yêu cầu sinh viên nhắc lại định nghĩa tính
xung khắc của các biến cố.
Giảng viên sửa chữa sai lầm 2: Giảng viên điều chỉnh lại công thức tính xác suất thế nào
cho đúng? Đưa ra đáp án đúng để sinh viên so sánh sau khi chỉnh sửa bài làm của mình.
P(B) = P(A1 + A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1A2)
= 0,7 + 0,8 – 0,7.0,8 = 0,94
Bài toán 2: Một túi chứa 10 thẻ đỏ và 6 thẻ xanh. Chọn ngẫu nhiên ra 3 tấm thẻ. Gọi X
là số thẻ đỏ được chọn. Hãy tìm phân phối xác suất của X?
Sinh viên đưa ra lời giải: X là số thẻ đỏ được chọn, các giá trị X có thể nhận {1, 2, 3}.
Sai lầm: Sinh viên không xác định đầy đủ không gian mẫu của phép thử.
Nguyên nhân: Sinh viên cho rằng, X là số thẻ đỏ được lấy ra nên giá trị nhỏ nhất mà X có
thể nhận là 1, bởi sinh viên gán X là tập số nguyên dương nên dẫn đến sai lầm trên.
Giảng viên ứng phó sai lầm:
- Yêu cầu sinh viên thực hiện tính tổng xác suất ứng với X = {1, 2, 3}. Sinh viên sẽ nhận
ra sai lầm vì theo tính chất của bảng phân phối xác suất cho đại lượng ngẫu nhiên rời
rạc thì tổng xác suất bằng 1.
- Liệt kê đầy đủ các trường hợp của không gian mẫu.
Giảng viên sửa chữa sai lầm: Giảng viên yêu cầu sinh viên điều chỉnh lại các giá trị của
X có thể nhận và tính lại xác suất ứng với các giá trị của X. Sau đó, đưa ra lời giải cho sinh
viên đối chiếu với bài làm sau khi chỉnh sửa.
X 0 1 2 3
P
Bài toán 3: Trong một hộp kín có 5 bi trắng, 3 bi đen. Lấy ngẫu nhiên từ hộp này lần lượt
từng viên bi cho đến khi lấy được bi màu đen thì dừng lại. Tìm xác suất để lấy ra ngoài đúng
4 viên, biết cách thức lấy là không hoàn lại.
97
ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG
CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC
Sinh viên làm như sau:
Gọi Ai là biến cố “lấy được bi trắng ở lần lấy thứ i”
là biến cố “lấy được bi đen ở lần lấy thứ i”
Xác suất để lấy được đúng 4 viên bi:
Sai lầm: Sinh viên sử dụng công thức tính xác suất tích các biến cố độc lập nhau.
Nguyên nhân: Sinh viên cho rằng, các biến cố độc lập với nhau nên áp dụng công thức
xác suất của tích của các biến cố độc lập nhau.
Giảng viên ứng phó với sai lầm:
- Yêu cầu sinh viên nhắc lại định nghĩa tính độc lập của các biến cố.
- Nhấn mạnh cụm từ “biết cách thức lấy là không hoàn lại” và yêu cầu sinh viên giải
thích cụm từ đó.
Giảng viên sửa chữa sai lầm:
- Nhấn mạnh các biến cố là các biến cố phụ thuộc nhau.
- Yêu cầu sinh viên viết công thức tính xác suất của tích các biến cố A1, A2, An không
độc lập từng đôi.
- Sinh viên hoàn chỉnh bài làm và đối chiếu với bài làm của giảng viên đưa ra.
Bài toán 4: Điều tra nhu cầu khách hàng về sản phẩm A tại một công ty, người ta phỏng
vấn ngẫu nhiên 380 nhân viên trong 500 nhân viên của công ty thì được biết có 270 nhân
viên có nhu cầu sản phẩm A. Với độ tin cậy 99%, hãy ước lượng tỷ lệ nhu cầu tối thiểu về
sản phẩm A.
Sinh viên làm như sau:
Gọi là tỷ lệ nhu cầu sản phẩm A
Khoảng ước lượng tỷ lệ nhu cầu sản phẩm A:
f p fε ε− < < +
Trong đó:
Tỷ lệ
270
0,54
500
f = =
( ) ( )
/2
1 0,54 1 0,54
2,57 0,0573
500
f f
z
nα
ε
− −
= = =
98
ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG
CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC
Khoảng ước lượng tỷ lệ nhu cầu sản phẩm A: 0,4827 0,5973p< <
Kết luận: Tỷ lệ nhu cầu tối thiểu sản phẩm A: 0,4827p >
Sai lầm 1: Sinh viên không phân biệt tỷ lệ tổng thể và tỷ lệ mẫu.
Sai lầm 2: Sinh viên hiểu miền giá trị của đại lượng trên khoảng
thì giá trị chặn dưới là giá trị tối thiểu, và giá trị chặn trên là giá trị tối đa, nên sinh viên làm
bài toán ước lượng đối xứng rồi kết luận tối đa, tối thiểu.
Nguyên nhân:
- Sinh viên không hiểu được các con số trong đề bài.
- Sinh viên không phân biệt được bài toán ước lượng tỷ lệ đối xứng và ước lượng tỷ lệ
một phía.
Giảng viên ứng phó với hai sai lầm: Giảng viên yêu cầu sinh viên nhắc lại:
- Xác định ý nghĩa các con số trong đề bài.
- Định nghĩa tỷ lệ tổng thể và tỷ lệ mẫu.
- Bài toán ước lượng tỷ lệ đối xứng và ước lượng tỷ lệ một phía.
Giảng viên sửa chữa sai lầm:
- Cần tính lại tỷ lệ mẫu.
- Nhấn mạnh cụm từ “ước lượng tỷ lệ nhu cầu tối thiểu cho sản phẩm A” (đây là bài
toán ước lượng tỷ lệ một phía).
- Sinh viên chỉnh sửa bài làm và so sánh với kết quả của giảng viên.
Tỷ lệ
270
0,7105
380
f = =
( )1 0,7105 0,2895
2,33 0,0542
380
f f
z
nα
ε
− ×
= = =
Khoảng tin cậy bên phải: 0,7105 0,0542 0,6563p > − =
Bài toán 5: Xem xét về trọng lượng một loại quả (tính bằng gam), người ta tiến hành cân
thử một số quả lấy ngẫu nhiên, được số liệu cho trong bảng dưới đây:
Trọng lượng (gam) 25 - 27 27 - 29 29 - 31 31 - 33 33 - 35 35 - 37
Số quả tương ứng 3 5 7 5 3 2
Biết rằng trọng lượng quả là đại lượng có phân phối chuẩn.
Tiêu chuẩn đặt ra cho trọng lượng trung bình của quả là 31,5g. Với mức ý nghĩa 5%, có
thể nói, loại quả trên đạt tiêu chuẩn hay không?
99
ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG
CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC
Sinh viên làm như sau:
Với bộ số liệu này, tính các thống kê đặc trưng mẫu được kết quả: ( )30,48x g= ;
( )2,903s g= .
Cặp giả thuyết thống kê:
0
1
: 31,5
: 31,5
H
H
µ
µ
=
<
Tiêu chuẩn kiểm định
( )0X nT
S
µ−
= ; miền bác bỏ ( ){ }: 1W T T t nα α= < − − .
Với mẫu cụ thể trên,
( ) ( )0 30,48 31 25,5
2,9
1,756
0
8
3qs
x n
T
s
µ−
= = = −
−
Với ( ) ( )0,050,05 1 24 1,711t n tαα = ⇒ − = =
Miền bác bỏ { }; 1,711Wα = −∞ −
Vì qsT Wα∈ : Bác bỏ H0
Kết luận: Với mức ý nghĩa 5%, loại quả này không đạt tiêu chuẩn.
Sai lầm 1: Xác định sai cặp giả thuyết thống kê.
Sai lầm 2: Xác định sai miền bác bỏ, dẫn đến kết luận sai.
Nguyên nhân:
- Sinh viên hiểu theo Toán học nên cho rằng, quả không đạt tiêu chuẩn là quả có trọng
lượng nhỏ hơn 31,5g.
- Sai lầm 1 dẫn đến sai lầm 2.
Giảng viên ứng phó với sai lầm: Giảng viên yêu cầu kiểm định xem trọng lượng trung
bình có bằng 31,5 hay không? Nếu bằng thì 31,5µ = ; còn không bằng thì 31,5µ ≠ . Không
có cơ sở để khẳng định 31,5µ .
Giảng viên sửa chữa sai lầm: Giảng viên yêu cầu sinh viên:
- Xác định lại cặp giả thuyết thống kê.
- Xác định lại miền bác bỏ.
- Sinh viên so sánh lời giải sau khi chỉnh sửa với bài giải của giảng viên.
Cặp giả thuyết: 0
1
: 31,5
: 31,5
H
H
µ
µ
=
≠
Tiêu chuẩn kiểm định
( )0X nT
S
µ−
= ; miền bác bỏ ( ){ }/2: 1W T T t nα α= > −
Với mẫu cụ thể trên,
( ) ( )0 30,48 31 25,5
2,9
1,756
0
8
3qs
x n
T
s
µ−
= = = −
−
Với ( ) ( )/2 0,0250,05 1 24 2,064t n tαα = ⇒ − = =
100
ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG
CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC
Miền bác bỏ { } { }; 2,064 2,064;Wα = −∞ − ∪ +∞
Vì qsT Wα∉ : Chấp nhận H0
Với mức ý nghĩa 5%, có thể kết luận loại quả này đạt tiêu chuẩn.
3. Kết luận
Sai lầm là một khía cạnh của kiến thức và nó có tác động trở lại trong quá trình học tập
của sinh viên. Nhận biết được những sai lầm khi giải bài tập cụ thể là vô cùng quan trọng
trong việc học tập môn Toán nói chung và đặc biệt đối với Lý thuyết xác suất và thống kê
ứng dụng với những từ ngữ dễ gây hiểu lầm. Thông qua việc giải bài tập, sinh viên sẽ nhận
ra được những sai lầm do chưa hiểu bản chất của vấn đề; đồng thời, với sự chỉnh sửa của
giảng viên sẽ giúp sinh viên hiểu một cách đầy đủ và chính xác các khái niệm liên quan đến
lý thuyết, từ đó, giúp sinh viên không còn mắc sai lầm khi giải bài tập.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Bùi Văn Nghị (2008), Phương pháp dạy học những nội dung cụ thể môn Toán, NXB Đại
học Sư phạm.
2. Chu Trọng Thanh (2006), “Sử dụng các khái niệm công cụ trong Lý thuyết phát sinh nhận
thức của J. Piaget vào môn Toán”, Tạp chí Giáo dục, số 207, tháng 2/2009.
3. Lê Thị Hoài Châu (2000), “Những chướng ngại, khó khăn trong dạy học khái niệm xác
suất”, Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, số 24, tr. 115 - 121.
4. Nguyễn Bá Kim (2009), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại học Sư phạm.
5. Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn (2010), Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán,
NXB Đại học Sư phạm.
6. Nguyễn Huy Hoàng (Chủ biên), Nguyễn Văn Phong, Nguyễn Trung Đông, Nguyễn Tuấn
Duy, Dương Phương Liên, Võ Thị Bích Khuê (2021), Giáo trình Lý thuyết xác suất và
thống kê ứng dụng, Trường Đại học Tài chính - Marketing.
7. Trần Vui (2017), Từ các lý thuyết học đến thực hành trong giáo dục Toán, NXB Đại học Huế.
8. Trịnh Văn Biều (2010), Các phương pháp dạy học tích cực, Trường Đại học Sư phạm
Thành phố Hồ Chí Minh.