Luận văn Các phương pháp tìm giá trịn lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM ^ ] BÙI LÊ PHẠM MỸ PHƯƠNG LỚP DH5A2 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TOÁN CHUYÊN NGÀNH PHƯƠNG PHÁP Khóa :2004 – 2008 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG Giảng viên hướng dẫn: Th. S Vương Vĩnh Phát Long Xuyên, An Giang 05 - 2008 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương LỜI CẢM ƠN Trước hết em xin gởi lời cám ơn chân thành đến thầy Vương Vĩnh Phát – người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình để em hoàn thành khoá luận của mình. Em cũng chân thành cám ơn Ban giám hiệu trường Đại học An Giang, toàn thể thầy cô trong khoa sư phạm đặc biệt là các thầy cô trong bộ môn Toán đã tạo điều kiện để em có thể thực hiện khóa luận này. Tiếp theo, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô phản biện đã đóng góp ý kiến cho khóa luận của em để em được học hỏi thêm, biết được những sai sót của bản thân mà khắc phục, chuẩn bị cho công việc dạy học và giáo dục sau khi ra trường. Kế đến, em xin cảm ơn các thầy cô trường THPT Nguyễn Khuyến đã tạo điều kiện và sẵn sàng giúp đỡ, đóng góp ý kiến cho luận văn của em để em được tiến hành khảo sát. Cuối cùng, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới bố mẹ, thầy cô, bạn bè – tất cả những người đã động viên, giúp đỡ công sức và tinh thần cho công việc nghiên cứu của con được hoàn thành tốt đẹp. Lời cuối xin chúc sức khỏe tất cả các thầy các cô, chúc thầy cô luôn hoàn thành tốt các nhiệm vụ được giao. Chân thành cảm ơn ! Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... PHẦN MỞ ĐẦU ................................................................................................. 1 I. Lí do chọn đề tài . .................................................................................. 1 II. Đối tượng nghiên cứu............................................................................ 2 III. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................ 2 IV. Mục đích nghiên cứu............................................................................. 2 V. Phương pháp nghiên cứu....................................................................... 2 VI. Giả thuyết khoa học............................................................................... 2 VII. Lợi ích của luận văn .............................................................................. 2 VIII. Cấu trúc của luận văn ............................................................................ 2 PHẦN NỘI DUNG .......................................................................................... ...4 A. Cơ sở lí luận .......................................................................................... 4 I. Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ......................... 4 II. Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất......................... 4 1. Phương pháp đạo hàm – khảo sát hàm số ....................................... 4 2. Phương pháp dùng các bất đẳng thức.............................................. 6 2.1. Bất đẳng thức Cauchy ............................................................. 6 2.2. Bất đẳng thức Bunhiacopski.................................................... 7 2.3. Các bất đẳng thức lượng giác .................................................. 8 2.4. Các bất đẳng thức trị tuyệt đối cơ bản..................................... 9 3. Phương pháp miền giá trị của hàm số ............................................... 9 4. Phương pháp dùng lũy thừa với số mũ chẵn................................... 10 5. Phương pháp dùng tính chất hàm lồi, hàm lõm .............................. 11 6. Phương pháp tọa độ - vectơ ........................................................... 13 7. Phương pháp lượng giác hóa .......................................................... 14 B. Một số bài toán minh họa cách dùng các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất..................................................................................... 17 C. Ứng dụng của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất vào việc giải toán ........ 33 I. Ứng dụng vào việc giải và biện luận phương trình, bất phương trình, ....................................................................................................... 33 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương II. Ứng dụng vào việc tìm điều kiện để hàm số có chứa tham số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng xác định................................... 37 III. Ứng dụng vào một số bài toán trong thực tế ................................... 40 D. Khảo sát thực tế ..................................................................................... 50 I. Mục đích của việc nghiên cứu ......................................................... 50 II. Biện pháp nghiên cứu ...................................................................... 50 III. Kết quả ........................................................................................... 50 PHẦN KẾT LUẬN ................................................................................................. 56 HỆ THỐNG BÀI TẬP THAM KHẢO.................................................................... 58 PHỤ LỤC ...................................................................................................................... TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................ Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương PHỤ LỤC PHỤ LỤC 1 : TRƯỜNG ĐH AN GIANG CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Khoa sư phạm Độc lập – Tự Do – Hạnh phúc # " # " PHIẾU HỎI Ý KIẾN GIÁO VIÊN Em tên : Bùi Lê Phạm Mỹ Phương MSSV : DTN040604 Em đang thực hiện đề tài khóa luận tốt nghiệp : “Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và một số ứng dụng của nó vào thực tiễn “ Kính mong các thầy cô cho biết một số ý kiến về đề tài này : 1/- Đối với học sinh, bài toán : “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất “ là một bài toán : A/ Rất khó B/ khó C/ dễ D/ Rất dễ 2/- Số lượng các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong các sách giáo khoa là : A/ Rất nhiều B/ Nhiều C/ ít D/ Rất ít 3/- Chúng ta có thường gặp bài toán “ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất “ trong các cuộc thi ( thi tốt nghiệp, đại học, thi học sinh giỏi, … ) hay không ? A/- Thường xuyên B/ thỉnh thoảng C/ ít khi D/ Không có 4/- Cung cấp một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cho học sinh là việc làm : A/ Rất cần thiết B/ cần thiết C/ ít cần D/ Không cần 5/- Thầy có nhìn nhận gì về mức độ hiểu biết của học sinh đối với các ứng dụng của toán học trong thực tế, đặc biệt là dạng toán: “ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất” ? 6/- Theo thầy, việc chỉ ra cho học sinh biết được ứng dụng của việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong thực tiễn có ý nghĩa như thế nào ? ( biết liên hệ giữa bài học và thực tiễn, tăng hứng thú trong học tập, … ) 7/- Ý kiến khác về đề tài : GV ký và ghi rõ họ tên Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương PHỤ LỤC 2: TRƯỜNG ĐH AN GIANG CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Khoa sư phạm Độc lập – Tự Do – Hạnh phúc # " # " PHIẾU THĂM DÒ Họ và tên : …………………………………………Lớp : ……………………… Trường : ………………………………………….. Học lực : …………………. Xin bạn vui lòng chọn câu trả lời mà bạn cho là thích hợp. 1/- Em có cảm thấy thích giải toán hơn khi có các phương pháp để giải nó ? A/ Rất thích B/ thích C/ Không thích lắm D/ không 2/- Tự em có nghĩ đến việc hệ thống lại các phương pháp giải một dạng toán nào đó hay không ? A/ Thường xuyên B/ Thỉnh thoảng C/ Ít khi D/ không có 3/- Thầy ( cô ) của em có thường hệ thống lại các phương pháp giải từng dạng bài tập cho các em hay không ? A/ thường xuyên B/ Thỉnh thoảng C/ Ít khi D/ không có 4/- Đối với bản thân em bài toán : “ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất “ là một bài toán : A/Rất khó B/ khó C/ dễ D/ rất dễ 5/- Đối với bài toán : “tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất “ , em đã được làm : A/ nhiều B/ Ít C/ rất ít D/ không có 6/- Em hiểu biết bao nhiêu về ứng dụng của toán học trong thực tiễn ? A/ Nhiều B/ ít C/ rất ít D/ không biết 7/- Thầy ( cô ) của em có thường giới thiệu cho các em ứng dụng của toán học trong thực tiễn hay không ? A/ Thường xuyên B/ thỉnh thỏang C/ ít khi D/ không có 8/- Nếu biết được một vài ứng dụng của toán học nói chung, của bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất nói riêng thì em có cảm thấy thích học môn toán hơn hay không ? Vì sao ? Ký tên Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương PHỤ LỤC 3 : MỘT SỐ Ý KIẾN CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH PHỔ THÔNG Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bittinger, Morrel – Applied calculus – third edition. [2] Doãn Minh Cường (chủ biên). 2003. “ Toán ôn thi đại học ” . NXB Đại Học Sư phạm. [3] Hoàng Chúng (chủ biên). 1993. “ Các bài toán cực trị ” . NXB Giáo Dục. [4] Nguyễn Đức Đồng (chủ biên). 2000. “Tuyển tập 599 bài toán lượng giác ”. NXB Hải Phòng [5] Nguyễn Đức Đồng (chủ biên). 2001. “ Tuyển tập 670 bài toán rời rạc và cực trị ”. NXB Hải Phòng. [6] Nguyễn Hữu Điển. 2005. “ Giải toán bằng Đại lượng phương pháp cực biên ” . NXB Giáo Dục. [7] Nguyễn Thái Hòe. 2004. “ Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán ”. NXB Giáo Dục. [8] Nguyễn Văn Nho. 2002. “ Lê Hoàng Phò – Phương pháp giải toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất ”. NXB Giáo Dục. [9] Phạm Trọng Thư. 2007. “ Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đại số ”. NXB Đại Học Sư Phạm. [10] Phan Huy Khải. 2005. “ Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số ”. NXB Giáo Dục. [11] Trần Văn Hạo (chủ biên). 2005. “ Chuyên đề Bất đẳng thức luyện thi vào đại học ” . NXB Giáo Dục. [12] Võ Đại Mau – Võ Đại Hoài Đức. 2000. Các phương pháp đặc biệt tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. NXB Trẻ. [13] Vũ Hữu Bình. 2007. “ Nâng cao và phát triển toán 9 ” . NXB Giáo Dục. [14] Ngô Thúc Lanh ( chủ biên ). 2000. Giải tích 12 . NXB Giáo Dục. [15] Toán học và tuồi trẻ (từ tháng 4 đến tháng 12/2007, từ tháng 1 đến tháng 4/2008 . [16] Tuyển chọn theo chuyên đề Toán Học & Tuồi trẻ ( Quyển 1 & Quyển 2) – NXB Giáo Dục. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 1 PHẦN MỞ ĐẦU I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Mục đích của việc giảng dạy môn toán ở trường trung học là dạy học sinh về kiến thức toán, cách giải bài tập, rèn luyện kỹ năng giải toán, giúp học sinh khai thác được các hoạt động tiềm ẩn trong nội dung môn toán và hình thành tư duy logic cho học sinh. Vì vậy, người giáo viên cần phải dạy cho học sinh giải bài tập. Từ đó, yêu cầu được đặt ra là giáo viên phải dạy học sinh phương pháp giải các dạng toán. Chương trình toán trung học có rất nhiều dạng bài tập khác nhau. Trong đó có rất nhiều dạng rất khó như chứng minh bất đẳng thức, biện luận về số nghiệm của phương trình, bất phương trình, ... Và dạng bài : “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng ” cũng nằm trong số đó. Các dạng bài tập này được gọi chung là bài toán tìm cực trị hay bài toán cực trị. Đây thực sự là một chuyên đề khó của chương trình toán trung học bởi vì các bài toán cực trị rất phong phú, phạm vi nghiên cứu của vấn đề này lại rất rộng. Và nó lại là một trong những dạng toán được quan tâm đến nhiều nhất trong các kì thi tuyển chọn học sinh giỏi trong nước và quốc tế. Thế nhưng, sách giáo khoa có rất ít các bài tập dạng này và do những điều kiện khách quan mà sách giáo khoa không hệ thống lại các phương pháp giải. Do đó, việc cần thiết là phải cung cấp cho học sinh các phương pháp giải dạng toán : “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ”. Việc này sẽ giúp các em dễ dàng hơn trong việc giải bài toán cực trị. Việc giải các bài toán này đòi hỏi người làm phải vận dụng kiến thức hợp lí, nhiều khi khá độc đáo và bất ngờ. Nó đưa chúng ta xích gần lại với các bài toán thường gặp trong thực tế là đi tìm cái “ nhất ” trong những điều kiện nhất định ( nhiều nhất, ít nhất, nhanh nhất, chậm nhất, … ). Chính điều đó làm cho học sinh thấy được tính thiết thực của toán học trong cuộc sống. Đồng thời, nó cũng tạo nên sự thích thú cho học sinh trong quá trình giải toán. Trong tương lai, khi vào đời học sinh buộc phải giải quyết nhiều vấn đề do thực tiễn cuộc sống đặt ra. Cho nên, học sinh cần có cách giải quyết tối ưu mới mang lại thành công trong cuộc sống ( Cách giải quyết tối ưu là những giải pháp đúng nhất, ít hao phí nhất về : vật liệu, thời gian, công sức, năng lượng, chi phí thiệt hại … ). Chẳng hạn, những người đi thuyền buồm trên biển phải xác định buồm và bánh lái sao cho thời gian đến đích là ngắn nhất, nhà sản xuất luôn muốn giảm tối đa chi phí sản xuất, nguyên vật liệu mà vẫn đạt lợi nhuận cao nhất … Những lúc như vậy, phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tỏ ra hữu ích. Với những lí do trên và với tư cách là một người giáo viên dạy toán trong tương lai, tôi xin hệ thống lại các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thông qua việc nghiên cứu đề tài : “ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA NÓ VÀO THỰC TIỄN.” Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 2 II. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU : Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và một số ứng dụng của nó trong thực tế. III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU : Hệ thống hóa các phương pháp giải dạng toán : “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng ”. Giới thiệu một số ứng dụng của nó trong thực tiễn. IV. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU : Cung cấp cho học sinh nhiều cách giải dạng toán : “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng ” để học sinh giải toán tốt hơn. Nhờ đó, chất lượng học tập và giảng dạy môn toán được nâng cao. Để học sinh thấy được tính thiết thực cũng như ứng dụng của các phương pháp giải bài toán cực trị nói riêng và của toán học nói chung trong cuộc sống. Điều đó làm cho các em thích thú, say mê học toán hơn, giờ học cũng sinh động hơn. Các em sẽ học tập tốt hơn. Rèn luyện kĩ năng tư duy của học sinh khi giải bài toán tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất. V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU : Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tôi đã sử dụng một số phương pháp sau : Nghiên cứu lý luận : Tôi đã đọc sách, phân tích, đối chiếu các tài liệu toán học, tâm lý học, giáo dục học, lý luận dạy học môn toán, các sách giáo khoa và các tài liệu hướng dẫn giảng dạy. Điều tra thực tế. Trò chuyện, phỏng vấn. Thống kê toán học. VI. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC : Nếu học sinh được trang bị các phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng và thấy được những ứng dụng của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong thực tế thì học sinh sẽ dễ dàng hơn trong việc giải những bài toán cực trị và học sinh sẽ hứng thú học toán hơn. VII. LỢI ÍCH CỦA LUẬN VĂN : Luận văn này đề ra các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mà dựa vào đó, học sinh có thể hệ thống lại các kiến thức có liên quan và có thể giải được các bài toán cực trị, kể cả các bài toán trong thực tế. Đồng thời, luận văn này còn giúp cho học sinh thấy được mối liên hệ và sự gần gũi giữa toán học và thực tiễn. VIII. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN : Lời cảm ơn. Mục lục. Phần mở đầu. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 3 Phần nội dung. A. Cơ sở lý luận. B. Một số bài toán minh họa cách dùng các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. C. Ứng dụng của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất vào việc giải toán. D. Khảo sát thực tế. Phần kết luận. Hệ thống bài tập tham khảo. Phụ lục. Tài liệu tham khảo. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 4 PHẦN NỘI DUNG A. CƠ SỞ LÝ LUẬN I. ĐỊNH NGHĨA GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT : Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D. * Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D (kí hiệu : x D M = max f(x) ∈ hay x D M = max y ∈ ) nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn : 1 1 x D :f(x) M x D:f(x ) = M ∀ ∈ ≤⎧⎨∃ ∈⎩ * Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D (kí hiệu : x D m = min f(x)∈ hay x Dm = min y∈ ) nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn : 2 2 x D:f(x) m x D: f(x ) = m ∀ ∈ ≥⎧⎨∃ ∈⎩ II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT : Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, chúng ta có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau. Ở đây, tôi xin trình bày bảy phương pháp chính như sau : 1. Phương pháp đạo hàm : * Cơ sở của phương pháp này : chủ yếu là dùng đạo hàm để khảo sát chiều biến thiên của hàm số và dựa vào bảng biến thiên cùng với các giá trị đặc biệt trên tập xác định của hàm số mà suy ra kết quả. * Bài toán: Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D. Hãy tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. * Cách giải : - Tính y′ . Cho y′= 0, tìm các nghiệm 1 2 nx , x , ..., x D∈ . - Lập bảng biến thiên. - Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. * Nếu f(x) có tập xác định D = [a; b] thì không cần lập bảng biến thiên : - Tìm các điểm tới hạn 1 2 nx , x , ... , x của f(x) trên [a; b]. - Tính 1 2 nf(a), f(b), f(x ), f(x ), ... , f(x ) . - Kết luận : Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 5 • }{ 1 2 nx [a;b]max f(x) = max f(a), f(b), f(x ), f(x ), ... , f(x )∈ . • }{ 1 2 nx [a;b]min f(x) = min f(a), f(b), f(x ), f(x ), ... , f(x )∈ . * Giả sử hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Hàm f tăng (giảm) trên (a; b) nếu ' 'f (x) 0 ( f (x) 0 ) ≥ ≤ với mọi x thuộc đoạn [a; b] ( dấu “ = ” chỉ xảy ra ở một số hữu hạn điểm thuộc đoạn [a; b] ). - Nếu f(x) tăng trên đoạn [a; b] thì x D min f(x) f(a) ∈ = và x Dmax f(x) f(b) ∈ = . - Nếu f(x) giảm trên đoạn [a; b] thì x D min f(x) f(b)∈ = và x Dmax f(x) f(a) ∈ = . Ví dụ 1 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2y x 18 2x= − − . Giải Tập xác định : D = [ 3; 3]− . Ta có: 2 2 2 18 2x 2x4xy ' 1 2 18 2x 18 2x − +−= − =− − . 2 2y ' 0 18 2x 2x 0 18 2x = 2x= ⇔ − + = ⇔ − − 2 2 2 x 0 x 0 x 0 x 3x 3 18 2x 4x x 3 x 3 ≤⎧≤ ≤ ⎪⎧ ⎧ ⎡⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = −=⎨ ⎨ ⎨− = = ⎢⎩ ⎩ ⎪ = −⎢⎣⎩ . Ta có : x = −3 thì y = − 3. x = 3 thì y = 3. x = 3− thì y = 3 3− . Vậy, giá trị lớn nhất của y là 3, đạt được khi x = 3 và giá trị nhỏ nhất của y là −3 3 , đạt được khi −x = 3 . Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 2 x + 1y = x x 1+ + . Giải Tập xác định: D = . Ta có : 2 2 2 2 2 2 2 (x 1) (2 1)( 1) x 2y' = = (x 1) (x 1) x = 0 y' = 0 x 2x = 0 x = 2 x x x x x x + + − + + − − + + + + ⎡⇔ − − ⇔ ⎢ −⎣ Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 6 10 1 3 − 0 −2 +∞ −∞ x y ' y 0 0 − + − 0 Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, ta được: • Giá trị lớn nhất của y là 1, đạt được khi x = 0. • Giá trị nhỏ nhất của y là 1 3 − , đạt được khi x = −2. LƯU Ý : Phương pháp đạo hàm được sử dụng rộng rãi để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Dùng phương pháp đạo hàm có thể giải hầu hết các bài tập dạng này. 2. Phương pháp dùng các bất đẳng thức : 2.1. Bất đẳng thức Cauchy : Với ia 0 ≥ với mọi i = 1, 2, … , n ta có : n 1 2 n 1 2 na + a + ... + a n a a ...a≥ Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi = =1 2 na a ...