Luận văn Một số định lý thác triển hội tụ trong lý thuyết hàm hình học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ---------------------------------- TÔ HẢI BÌNH MỘT SỐ ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ TRONG LÝ THUYẾT HÀM HÌNH HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2008 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ---------------------------------- Tô Hải Bình MỘT SỐ ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ TRONG LÝ THUYẾT HÀM HÌNH HỌC Chuyờn ngành : GIẢI TÍCH Mó số : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. PHẠM VIỆT ĐỨC THÁI NGUYÊN - 2008 MỤC LỤC Trang Lời nói đầu ................................................................................................ 1 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.................................................................. 3 1.1. Không gian phức hyperbolic ............................................................. 3 1.2. Không gian phức nhúng hyperbolic ................................................... 7 1.3. Một số định lý thác triển ánh xạ chỉnh hình ..................................... 11 Chương 2: Một số định lý thác triển hội tụ ............................................ 19 2.1. Định lý thác triển hội tụ Noguchi .................................................... 19 2.2. Một số định lý thác triển hội tụ qua các siêu mặt .............................. 25 Kết luận .................................................................................................. 46 Tài liệu tham khảo .................................................................................. 47 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 LỜI NÓI ĐẦU Việc thác triển các ánh xạ chỉnh hình là một trong những bài toán quan trọng của giải tích phức. Nhiều tác giả đã nghiên cứu bài toán này từ quan điểm của giải tích phức hyperbolic kể từ khi S. Kobayashi đưa ra khái niệm giả khoảng cách Kobayashi và dùng nó để nghiên cứu lý thuyết hàm hình học. Theo hướng nghiên cứu này, J. Noguchi (xem [7] hoặc [10]) đã chứng minh được định lý thác triển hội tụ sau: “Cho X là không gian phức compact tương đối nhúng hyperbolic trong không gian phức Y. Giả sử M là đa tạp phức và A là siêu mặt phức của M với giao chuẩn tắc. Nếu 1{ : \ }j jf M A X là dãy các ánh xạ chỉnh hình hội tụ đều trên các tập con compact của \M A tới ánh xạ chỉnh hình : \f M A X , thì 1{ }j jf hội tụ đều trên các tập con compact của M tới f , trong đó :jf M Y và :f M Y là các thác triển chỉnh hình duy nhất của jf và f trên M ”. Định lý trên của Noguchi đã mở ra một hướng nghiên cứu bài toán thác triển các ánh xạ chỉnh hình. Đó là nghiên cứu các định lý thác triển hội tụ kiểu Noguchi. “Định lý thác triển kiểu Noguchi” là định lý về các ánh xạ tương tự như định lý của Noguchi về thác triển ánh xạ chỉnh hình mà giữ nguyên tính hội tụ đều địa phương. Gần đây, nhiều định lý thác triển hội tụ kiểu Noguchi đối với các siêu mặt giải tích của các đa tạp phức đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu (xem [4], [5], [7]). Mục đích chính của luận văn là trình bày một số định lý thác triển hội tụ kiểu Noguchi đối với các siêu mặt giải tích. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 Luận văn được chia làm hai chương. Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị, bao gồm các khái niệm không gian hyperbolic, không gian nhúng hyperbolic và một số định lý thác triển các ánh xạ chỉnh hình như định lý của M. Kwack, K 3 -định lý. Chương 2 là nội dung chính của luận văn. Trong chương này chúng tôi chứng minh một số định lý thác triển hội tụ qua các siêu mặt giải tích (không nhất thiết có giao chuẩn tắc). Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của PGS. TS. Phạm Việt Đức. Nhân dịp này, em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy, người đã chỉ bảo và giúp đỡ em rất nhiều trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Em xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô giáo trong Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy và giúp đỡ em hoàn thành khoá học. Đồng thời tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Ninh, trường THPT Hoành Bồ tỉnh Quảng Ninh, gia đình và các bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ về mọi mặt trong suốt quá trình tôi học tập và nghiên cứu đề tài này. Thái Nguyên, tháng 10 năm 2008 Tác giả Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung của chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị về không gian phức hyperbolic, không gian phức nhúng hyperbolic và một số định lý thác triển các ánh xạ chỉnh hình. 1.1. Không gian phức hyperbolic 1.1.1. Định nghĩa. Không gian phức X được gọi là không gian hyperbolic (theo nghĩa Kobayashi) nếu giả khoảng cách Kobayashi Xd là khoảng cách trên X, tức là ( , ) 0 , .Xd p q p q p q X 1.1.2. Một số tính chất của không gian phức hyperbolic 1.1.2.1. Nếu X, Y là các không gian phức, thì X Y là không gian hyperbolic nếu và chỉ nếu cả X và Y đều là không gian hyperbolic. Chứng minh. Vì phép chiếu : X Y X là ánh xạ chỉnh hình nên là giảm khoảng cách đối với các giả khoảng cách Kobayashi trên X Y và trên X. Tức là ta có: (( , ),( , )) ( , ).X Y Xd x y x y d x x Lý luận tương tự với phép chiếu : X Y Y ta có (( , ),( , )) ( , ).X Y Yd x y x y d y y Do đó (( , ),( , )) max{ ( , ), ( , )}.X Y X Yd x y x y d x x d y y Như vậy ta suy ra điều phải chứng minh. , 1.1.2.2. Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y. Nếu Y là hyperbolic thì X cũng là hyperbolic. Hay nói cách khác, không gian con của một không gian hyperbolic là hyperbolic. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 Chứng minh. Vì phép nhúng chính tắc :i X Y là ánh xạ chỉnh hình, nên theo tính chất giảm khoảng cách của giả khoảng cách Kobayashi ta có ngay điều phải chứng minh. 1.1.2.3. Ví dụ + Đĩa r và đa đĩa m r là hyperbolic. + Một miền bị chặn trong m là hyperbolic, vì nó là tập con mở của tích các đa đĩa. + m không là hyperbolic, vì 0.md 1.1.3 Định nghĩa. Giả sử X là không gian phức với hàm khoảng cách d. Một cặp ( , )X d được gọi là tight nếu họ Hol( , )M X là đồng liên tục đối với d, và với mọi đa tạp phức M. 1.1.4. Định lý. Giả sử X là không gian phức và H là hàm độ dài trên X. Khi đó X là hyperbolic nếu và chỉ nếu với mỗi p X , có các lân cận U của p và hằng số 0C sao cho ( ) ( )X x xF CH với mọi x xT X với x U . Chứng minh. ( ) Giả sử D là một đa đĩa quanh điểm p. Vì X là hyperbolic, ( , )XX d là tight (xem [2]) và do đó họ Hol( , )X là họ đồng đều. Từ đó có đĩa quanh 0 và một lân cận U của p sao cho nếu (0) x U thì ( ) D . Nếu ánh xạ R vào X với (0) x U , thì ( )R D . Vì vậy với x U , ta có ( ) ( ).D x X xF F Ta có thể giả sử U là tập con compact của D. Khi đó với , ,x xx U T X ta có ( ) ( ) ( )X x D x xF F CH với hằng số dương C nào đó. ( ) Gọi CHd là khoảng cách trên X sinh bởi CH. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 Theo giả thiết, * 2( )f CH ds với mọi Hol( , )f X , trong đó 2ds là metric Bergman-Poincaré trên . Từ đó ta có ( , ) ( , )CH Xd x y d x y với , .y X Điều này kéo theo X là hyperbolic. , 1.1.5. k-metric Kobayashi trong không gian phức Giả sử X là không gian phức, điểm x X và vectơ k-mật tiếp ( )k xJ X . Ta định nghĩa ( , ) inf{1/kXK x r tồn tại ánh xạ chỉnh hình :f X thỏa mãn (0)f x và ( ) }k xj f r . Hàm : ( ) [0, )kX kK J X được xác định như trên được gọi là k-metric Kobayashi trong không gian phức X. Đối với k-metric Kobayashi ta có các kết quả sau ([16]): (M1) (0 ) 0, .kX xK x X (M2) ( , ) ( , ), , ( ) .k kX X k xK x K x J X (M3) Nếu : ( ) [0, )kF J X là hàm tùy ý thỏa mãn * 0( (0), ( )) (0, ) kF f f K với mọi Hol( , )f X và mọi 0( )kJ , thì ( , ) ( , ), , ( ) .kX k xF x K x x X J X (M4) Cho trước hai không gian phức X và Y, ánh xạ chỉnh hình Hol( , )f X Y , khi đó *( ( ), ( )) ( , ), , ( ) .k kY x X k xK f x f K x x X J X (M5) Với mỗi k  , k-metric Kobayashi : ( ) [0, )kX kK J X là hàm Borel. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6 Giả sử :[ , ] , [ , ] ,a b X a b  là đường cong giải tích thực. Với mỗi [ , ]t a b tồn tại một và chỉ một mầm hàm chỉnh hình Hol( , )t X sao cho (0) ( )t t và ( ) ( )tt s s với 0 đủ nhỏ, và mỗi ( , )s . Từ đó, với mỗi k  , ( ) ( )( ) ( ) ( )k k t t k tj t j J X ta định nghĩa ( ) ( ( ), ( )) b k k X X k a L K t j t dt . Tất cả các định nghĩa trên đều mở rộng được với các đường cong liên tục, giải tích thực từng khúc. Nếu :[ , ]a b X là đường cong giải tích thực từng khúc trong không gian phức X thì 1{ ( )} k X kL là dãy tăng và bị chặn các số thực không âm. Hơn nữa ta có 1 , 0k ( , ) inf {sup ( ( ), ( )) ; }kX X k p qp q K t j t dt với mỗi , ,p q X trong đó ,p q ký hiệu tập tất cả các đường cong liên tục giải tích thực từng khúc nối p với q. Giả sử X là không gian phức và 1{ ( )}k kJ X là họ các phân thớ các jet trên X. Khi đó có các ánh xạ 1( ) ( )k kJ X J X mà các thớ là các không gian afin tuyến tính. Ta đặt ( ) limproj ( ),kJ X J X  và 1( ) { ( ( ) ) ( ); Hol( , )k k x k rJ X J X J X X  sao cho (0) , ( )k x kx j với mọi 1}k . Định nghĩa giả metric vi phân : ( ) [0, )XK J X  xác định bởi ( ) sup ( )kX X k k K K với mọi ( ) ( ).k J X Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7 1.2. Không gian phức nhúng hyperbolic 1.2.1. Định nghĩa. Giả sử X là tập con compact của một không gian metric, và Y là một không gian metric đầy. ( , )C X Y là tập các ánh xạ liên tục từ X vào Y với chuẩn sup. Họ ( , )C X YF được gọi là đồng liên tục tại một điểm 0x X nếu với mỗi 0, tồn tại 0 sao cho với mọi 0, ( , )x X d x x , thì 0( ( ), ( ))d f x f x với mọi f F . Họ F được gọi là đồng liên tục trên X nếu F là đồng liên tục tại mọi điểm x X . 1.2.2. Định lý. (Định lý Ascoli đối với họ đồng liên tục) Giả sử X là tập con compact của một không gian metric, và Y là một không gian metric đầy. Giả sử F là tập con của tập các ánh xạ liên tục ( , )C X Y . Khi đó F là compact tương đối trong ( , )C X Y nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn i) F là họ đồng liên tục trên X. ii) Với mỗi x X , tập hợp { ( ) }x f x fF F là compact tương đối trong Y. 1.2.3. Định nghĩa. Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y. X được gọi là nhúng hyperbolic trong Y nếu với mọi , ,x y X x y luôn tồn tại các lân cận mở U của x và V của y trong Y sao cho ( , ) 0Xd X U X V . 1.2.4. Định lý. Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y. Khi đó các điều kiện sau là tương đương HI1. X là nhúng hyperbolic trong Y. HI2. X là hyperbolic và nếu { },{ }n nx y là các dãy trong X thỏa mãn nx x X , ny y X , ( , ) 0X n nd x y thì x y . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8 HI3. Giả sử { },{ }n nx y là các dãy trong X thỏa mãn nx x X , ny y X . Khi đó, nếu ( , ) 0X n nd x y khi n thì x y . HI4. Cho hàm độ dài H trên Y, tồn tại hàm liên tục, dương trên Y sao cho với mọi ( , )f Hol X ta có *( ) ,f H H trong đó H là chuẩn hyperbolic trên đĩa đơn vị . HI5. Tồn tại hàm độ dài H trên Y sao cho với mọi ( , )f Hol X ta có * .f H H Chứng minh. HI1 HI2. Với mọi , ,x y X x y , từ HI1 ta suy ra ( , ) 0.Xd x y Do đó X là hyperbolic. Với , ,x y X nếu x y thì theo HI1 ta suy ra mâu thuẫn với giả thiết ( , ) 0X n nd x y , n . Vậy HI2 được chứng minh. HI2 HI3. Giả sử HI2 được thỏa mãn. Nếu ,x y X , do tính liên tục của giả khoảng cách Kobayashi Xd ta có ( , ) 0Xd x y . Mà X là hyperbolic nên suy ra x y . Nếu , .x X y X Vì y X nên tồn tại Xd -cầu B( , )x s mà B( , ).y x s Do ny y nên B( , )ny x s với n đủ lớn. Mặt khác, ( , ) 0X nd x x suy ra B( , / 2)nx x s . Điều này mâu thuẫn với giả thiết ( , ) 0X n nd x y . Vậy trường hợp này không xảy ra. Do đó HI3 được chứng minh. HI3 HI4. Giả sử K là tập con compact của Y. Trước hết ta chứng minh tồn tại hằng số 0C sao cho với mỗi ( , )f Hol X ta có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9 *( )f CH H tại mỗi điểm của 1( ).f K Giả sử ngược lại, suy ra tồn tại dãy { } ( , )nf Hol X , tồn tại 1( )n nz f K sao cho ( )n ndf z . Vì là thuần nhất đối với nhóm Aut( ), nên ta có thể giả thiết 0nz , tức là (0) khi .ndf n Do K compact, ta có thể giả sử (0) .nf y K Lấy U là lân cận mở của y trong Y, có thể đồng nhất U với một không gian con đóng của m r . Khi đó, với mỗi k  , có kz và kn  sao cho 1 kz k và ( ) . kn k f z U (*) Thật vậy, giả sử ngược lại, tồn tại 1r sao cho ( )n rf U với mọi 0( ).n n r Theo định lý Ascoli, do (0)nf y , tồn tại dãy con của { } rn f hội tụ đều trên mỗi tập con compact của r . Điều này mâu thuẫn với (0)ndf . Vậy (*) được chứng minh. Đặt (0), ( ). k kk n k n k y f x f z Ta có thể lấy kz sao cho kx nằm trong một tập con compact chứa U. Từ đó, bằng cách lấy dãy con nếu cần ta có thể giả thiết , .kx x x y Khi đó X( , ) (0, ) 0 khi .k k kd x y d z k Điều này mâu thuẫn với HI3. Bây giờ giả sử 1 2 ...K K là dãy các tập con compact của Y thỏa mãn 1 i i K Y và ,i iK U Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 trong đó iU mở và 1.i iU U Theo chứng minh trên, với mỗi iK , tồn tại hằng số 0iC thỏa mãn *( ) .if C H H Do đó, có hàm liên tục, dương trên Y thỏa mãn iC trên iK . Vậy, *( )f H H với mọi hàm độ dài H trên Y. HI4 HI5. Hiển nhiên khi ta lấy hàm độ dài chính là H . HI5 HI1. Giả sử ,x y X và x y . Lấy B ( , ), B ( , )H HU x s V y s là các hình cầu bán kính s ứng với khoảng cách sinh bởi hàm độ dài H. Do H là hàm độ dài và x y , nên ta có thể lấy 0s đủ nhỏ sao cho B ( ,2 ) B ( ,2 )H Hx s y s . Lấy x U X và y V Y ta có ( , ) ( , ) 0.X Hd x y d x y s Thật vậy, từ HI5 suy ra Hd có tính chất giảm khoảng cách với mọi ( , )f Hol X , theo tính chất lớn nhất của giả khoảng cách Kobayashi ta có .X Hd d Từ đó suy ra X là nhúng hyperbolic trong Y. Vậy định lý được chứng minh hoàn toàn. , 1.2.5. Nhận xét i) Không gian phức X là hyperbolic khi và chỉ khi X là nhúng hyperbolic trong chính nó. ii) Nếu các không gian con phức 1X là nhúng hyperbolic trong 1Y và 2X là nhúng hyperbolic trong 2Y thì 1 2X X là nhúng hyperbolic trong 1 2Y Y . iii) Nếu có hàm khoảng cách trên X thỏa mãn ( , ) ( , ) ,Xd p q p q p q X thì X là nhúng hyperbolic trong Y. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 1.3. Một số định lý thác triển ánh xạ chỉnh hình 1.3.1. Định lý. Giả sử X là không gian con phức compact tương đối trong không gian phức Y. Khi đó, nếu X là nhúng hyperbolic trong Y thì mọi ánh xạ chỉnh hình : *f X đều thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình :F Y . Để chứng minh định lý, trước hết ta xét các điều kiện sau, với : *f X là ánh xạ chỉnh hình, KW1. X là nhúng hyperbolic trong Y, và tồn tại một dãy { }kz trong Δ* thỏa mãn 0kz và { ( )}kf z hội tụ tới một điểm y X . Chú ý. Điều kiện về sự tồn tại của dãy { }kz ở trên luôn thỏa mãn nếu X là compact tương đối trong Y. KW2. X là nhúng hyperbolic trong Y, và tồn tại một dãy các số dương { } 0kr  thỏa mãn ( ( ))kf S r y X , trong đó ( ) (0, )k kS r S r là đường tròn bán kính kr . KW3. Ánh xạ chỉnh hình : *f X thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình :F Y . Khi đó, định lý 1.3.1 là trường hợp riêng của định lý sau. 1.3.2. Định lý. Ta có KW1 KW2 KW3. Chứng minh. KW1 KW2. Đặt k kr z , và lấy U là một lân cận hyperbolic, compact tương đối của y (một lân cận U như vậy luôn có thể lấy được, vì về mặt địa phương Y là một không gian con đóng của một đa đĩa trong N ). Để chứng minh KW2, ta chỉ cần chứng minh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 ( ( ))kf S r U với k đủ lớn. Giả sử ngược lại, với k lớn tùy ý, tồn tại điểm ( )k kz S r sao cho ( )kf z U . Vì tính liên tục của khoảng cách Yd xác định tô pô trên Y, ta có thể giả thiết ( )kf z U . Mà U là tập compact, bỏ qua việc lấy dãy con, ta có thể giả sử rằng ( )kf z hội tụ tới một điểm y X . Khi đó ta có y y vì ( )kf z U . Mặt khác ta có *( ( ), ( )) ( , ) 0 khi X k k k kd f z f z d z z k . Mà X nhúng hyperbolic trong Y, theo định lý 1.2.4. HI3, ta nhận được y y . Điều này mâu thuẫn với trên. KW2 KW3. Giả sử U là một lân cận của y, mà ta đồng nhất với một không gian con của một đa đĩa trong N , sao cho bao đóng U của U trong Y là compact và được chứa trong đa đĩa. Theo định lý thác triển Riemann, ta chỉ cần chứng minh tồn tại số 0c sao cho *( )cf U , vì từ đó ta suy ra các hàm tọa độ của f là bị chặn gần 0 do đó f thác triển chỉnh hình được qua điểm thủng 0. Giả sử không tồn tại số c như vậy, tức là với 0kr  , *( ) kr f U . Theo KW2, sau khi đánh số lại dãy, ta có thể giả thiết ( ( ))kf S r U với mọi k. Gọi ka , kb là các số dương, k k ka r b , sao cho { * }k k kA z a z b Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 là vành khuyên lớn nhất có ảnh ( )kf A nằm hoàn toàn trong U. Ta đặt 2( ) itk kt a e và 2( ) itk kt b e , 0 1t là hai đường tròn biên của vành khuyên mở kA . Khi đó ta có ( )kf và ( )kf nằm trong U . Nhưng do tính lớn nhất của vành khuyên kA nên ( )kf và ( )kf không nằm trong U, vì vậy ( )kf và ( )kf nằm trong U . Vì các độ dài hyperbolic của các đường tròn bán kính ka và kb dần đến 0 khi k và f là giảm khoảng cách từ *d tới Xd , nên ta có Xd -đường kính của ( )kf và ( )kf dần tới 0. Theo định lý 1.2.4. HI5, ta có *f H H nên ( ( ), ( )) ( , ) ,Hd f p f q d p q p q . Từ đó do tính lớn nhất của giả khoảng cách Kobayashi ta có H Xd d . Vì vậy Hd -đường kính của ( )kf và ( )kf cũng dần tới 0. Vì U là compact, bằng cách lấy dãy con ta có thể giả thiết rằng ( ) , ( )k kf y f y với ,y y U . Khi đó ta có y y và y y . Nếu lấy kz là một điểm trên ( )kS r , thì ( )kf z y khi k . Ta viết 1( ,..., ) : N Nf f f U  . Không mất tính chất tổng quát ta có thể giả thiết 1 1 1 1 1 1 lim ( ) 0, lim ( ) 0, lim ( ) 0. k k k k k k f y f y f z y Từ đó, với mọi 0k k ta có 1 1 1( ) ( ) ( ).k k kf z f f Nói cách khác, 1( )kf z không nằm trong ảnh của hai đường tròn ,k k qua các ánh xạ f. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 Vì vậy ta có thể tìm được một lân cận đơn liên của 1 1( ) ( )k kf f mà không giao với một đĩa tâm 0, bán kính đủ nhỏ trong  . Giả sử 1( ,..., )N là các hàm tọa độ trong N , khi đó 1 1f f . Với cách chọn các lân cận ở trên, với k đủ lớn ta có 1 1 1 1 1 ( ) log( ( )) 0 log( ( )) k k k k f d f z d f f z , 1 1 1 1 1 ( ) log( ( )) 0 log( ( )) k k k k f d f z d f f z . Do đó, 1 1log( ( )) 0 k k kd f f z . (*) Mặt khác, theo định lý Rouche [11], ta có 1 1 1 log( ( )) 2 k k kd f f z N P i  , trong đó N là số các không điểm và P là số các cực điểm của 1 1( )kf f z trong vành khuyên kA . Rõ ràng 0P , và 1N vì có ít nhất một không