Luận văn Một số tính chất của vành nửa nguyên tố - Đào Thị Trang

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÀO THỊ TRANG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH NỬA NGUYÊN TỐ NGÀY BẢO VỆ: GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN: PGS.TS BÙI XUÂN HẢI GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN 1: GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN 2: CHƯƠNG 1 1.1. Môđun con cốt yếu, đối cốt yếu Môđun con cốt yếu Môđun con đối cốt yếu (1) Nếu trong M có dãy các môđun con thì (2) là một đồng cấu và thì (3) Định lý (1) Nếu trong M có dãy các môđun con thì (2) là một đồng cấu và thì (3) Định lý 1.2. Lớp các môđun sinh và đối sinh M được gọi là (hữu hạn) sinh bởi môđun được đánh số sao cho có toàn cấu nếu tồn tại họ các M được gọi là (hữu hạn) đối sinh bởi môđun được đánh số sao cho có đơn cấu nếu tồn tại họ các với một số với một số là môđun con nhỏ nhất của M sao cho Mệnh đề Cho là lớp các môđun, M là một môđun. Khi đó là môđun con lớn nhất của M sinh bởi (2) (1) M/K đối sinh bởi 1.3. Môđun đơn và nửa đơn R-môđun M được gọi là môđun đơn nếu M khác 0 và M chỉ có hai môđun con là 0 và M Mệnh đề Cho M là R-môđun. Khi đó các mệnh đề sau tương đương: (1) M là R-môđun đơn. (2) M là R-môđun cyclic, và mọi phần tử khác 0 của M đều là phần tử sinh. (3) M đẳng cấu với R/I, I là ideal trái tối đại nào đó của R R-môđun M được gọi là nửa đơn nếu M là tổng trực tiếp của các R-môđun đơn. Cho M là R-môđun. Khi đó các mệnh đề sau tương đương: (1) M nửa đơn. (2) M được sinh bởi các môđun đơn. (3) M là tổng của các môđun con đơn của nó. (4) Mọi môđun con của M đều là hạng tử trực tiếp của M. (5) Mọi dãy khớp ngắn của các R-môđun là chẻ ra. Định lý 1.4. Socle và radical của một môđun Cho M là một R-môđun, môđun con nửa đơn lớn nhất của M sinh bởi lớp các môđun đơn S được gọi là SocM Như vậy Mệnh đề Cho M là R-môđun. Khi đó tối tiểu của M} Cho S là lớp các môđun đơn. Với mỗi R-modun M, Như vậy Mệnh đề Cho M là R-môđun. Khi đó tối đại trong M} được gọi là radical của M và ký hiệu là Rad M CHƯƠNG 2 2.1. Một số tính chất của vành nguyên tố Vành R được gọi là nguyên tố nếu mọi ideal trái khác 0 của R là trung thành. Định lý Cho R là vành giao hoán. Khi đó, R là vành nguyên tố nếu và chỉ nếu R là miền nguyên. Mệnh đề Cho R là vành, các điều kiện sau tương đương: (1) R là vành nguyên tố. (2) Mọi ideal phải khác 0 của R là trung thành. (3) Với mỗi cặp ideal (4) cm► cm► Mệnh đề Mọi vành nguyên thủy là nguyên tố. Mệnh đề Mọi vành nguyên tố và Artin trái là vành đơn. Mệnh đề Nếu R là vành nguyên tố và e khác 0 là lũy đẳng trong R thì eRe là vành nguyên tố. Định lí Cho R là một vành và n >1. Khi đó, R là vành nguyên tố nếu và chỉ nếu M_n(R) là vành nguyên tố. cm► cm► cm► cm► Nếu R là vành nguyên tố và hữu hạn thì R là vành đơn Artin. có chiều dài Mệnh đề Nếu R là vành nguyên tố và thì R là vành chia. là ideal trái đơn Mệnh đề cm► cm► Cho R là vành nguyên tố, nếu thì R là vành nguyên thủy và Mệnh đề cm► 2.2. Một số tính chất của vành nửa nguyên tố Một ideal P của vành R được gọi là nguyên tố nếu R/P là vành nguyên tố. Kí hiệu N(R) là giao tất cả các ideal nguyên tố của R và được gọi là căn nguyên tố của vành R. Vành R được gọi là vành nửa nguyên tố nếu N(R)=0. Định lý Vành R là nửa nguyên tố khi và chỉ khi R không có ideal trái lũy linh khác không. cm► Mệnh đề Cho I là ideal của vành R, các mệnh đề sau tương đương: (1) I là giao của các ideal nguyên tố của R. (2) R/I không có ideal trái lũy linh khác 0. (3) Với mọi a thuộc vào R, aRa nằm trong I suy ra a  thuộc vào I. Hệ quả Cho I là ideal của vành R. Khi đó R/I là vành nửa nguyên tố nếu và chỉ nếu I là giao của các ideal nguyên tố của R. Đặc biệt N(R/N(R))=0. cm► Mệnh đề Cho I là ideal trái tối tiểu của vành R. Khi đó hoặc I2 =0 hoặc I=Re với e là phần tử lũy đẳng của R. Hệ quả Nếu I là ideal trái tối tiểu của vành nửa nguyên tố R thì I=Re với e là phần tử lũy đẳng của R. Mệnh đề Cho R là vành nửa nguyên tố và a thuộc R. Nếu Ra là ideal trái tối tiểu của R thì aR là ideal phải tối tiểu của R. cm► cm► Gọi U(R) là nil ideal lớn nhất duy nhất của R. Khi đó Suy ra N(R) là nil ideal của R. Mệnh đề Định lí (Levitzki ) Nếu R là vành Noether trái thì mọi nil ideal một phía của R là lũy linh. Mệnh đề Nếu R là vành Noether trái thì N(R)=U(R) là ideal lũy linh lớn nhất, duy nhất của R. Cho R là vành. Khi đó Mệnh đề cm► cm► cm► cm► Định lý Nếu R là vành Artin trái thì J(R) là ideal lũy linh lớn nhất, duy nhất của R. Mệnh đề Nếu R là vành Artin thì N(R)=J(R). Hơn nữa, mọi ideal nguyên tố đều tối đại. Mệnh đề Nếu R là vành giao hoán thì N(R) là tập tất cả các phần tử lũy linh của R. Do đó R là vành nửa nguyên tố khi và chỉ khi R không có phần tử lũy linh khác 0. cm► cm► cm► Mệnh đề Vành giao hoán R là nửa nguyên tố khi và chỉ khi R có thể nhúng vào tích của các trường. Mệnh đề Một vành R khác 0 là nửa nguyên tố khi và chỉ khi R là tích trực tiếp của những vành nguyên tố. cm► cm► CÁM ƠN QUÝ THẦY ĐÃ THEO DÕI KÍNH CHÚC QUÝ THẦY SỨC KHỎE ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄