Luận văn Một số tính chất định tính của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tín

- 1 - §¹i häc th¸i nguyªn Tr­êng ®¹i häc s­ ph¹m ---------------------------------------- TrÇn thiÖn to¶n MéT Sè TÝNH CHÊT ®Þnh tÝnh cña hÖ ph­¬ng tr×nh SAI ph©n ÈN TUYÕN TÝNH LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc Thái Nguyên 2008 - 2 - §¹i häc th¸i nguyªn Tr­êng ®¹i häc s­ ph¹m ---------------------------------------- trÇn thiÖn to¶n MéT Sè TÝNH CHÊT ®Þnh tÝnh cña hÖ ph­¬ng tr×nh SAI ph©n ÈN TUYÕN TÝNH Chuyªn nghµnh: Gi¶i tÝch M· sè: 60.46.01 LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc Ng­êi h­íng dÉn khoa häc : pGS-TS T¹ Duy Ph­îng Thái Nguyên 2008 Th¸i Nguyªn 2008 - 3 - Môc lôc Trang Lêi nãi ®Çu...............................................................................................1-2 Ch­¬ng 1. CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH ………………………………………...………...3 1.1 Hệ phương trình sai phân ẩn chứa tham số điều khiển...............................3 1.2 Công thức nghiệm Cauchy của phương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng...................................................................................................................4 1.3 Khái niệm cặp ma trận chính quy................................................................7 1.4 Công thức nghiệm của phương trình sai phân ẩn tuyến tính có điều khiển với cặp ma trận chính qui.............. .................................................................12 Ch­¬ng 2. MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH…………………………..……….19 2.1 Tính điều khiển được của chuỗi thời gian hữu hạn…..............................19 2.2 Tính quan sát được của chuỗi thời gian hữu hạn…..................................29 2.3 Nghiệm, tính điều khiển được và quan sát được của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính……………………….......................................................34 2.4 Tính ổn định và ổn định hóa được của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính………………….......................................................................................42 2.5 Quan sát trạng thái của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính .............57 Ch­¬ng 3. TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH CÓ HẠN CHẾ TRÊN BIẾN ĐIỀU KHIỂN............................................................................................................64 3.1 Tính điều khiển được của hệ phương trình sai phân thường tuyến tính dừng có hạn chế trên biến điều khiển…… ….…………….…......................64 3.2 Tính điều khiển được của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính dừng có hạn chế trên biến điều khiển……………………………………….…...........66 KÕt luËn....................................................................... .............................70 Tµi liÖu tham kh¶o..................................................................................71 - 4 - LỜI NÓI ĐẦU Do nhu cầu của thực tiễn, việc nghiên cứu phương trình vi phân ẩn (phương trình vi phân đại số) và phương trình sai phân ẩn đã được nhiều nhà toán học nước ngoài cũng như ở Việt Nam quan tâm nghiên cứu. Nhiều bài toán thực tế (hệ thống mạng điện, quá trình sản xuất,…) được mô tả bởi phương trình sai phân ẩn có điều khiển. Mặc dù các nghiên cứu định tính (tính điều khiển được và quan sát được, ổn định và ổn định hóa,…) các hệ điều khiển mô tả bởi hệ phương trình vi phân và sai phân thường đã được nghiên cứu khá đầy đủ, nhất là cho các hệ phương trình tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều, nhiều bài toán định tính (tính điều khiển được cho hệ có hạn chế trên biến điều khiển, bài toán ổn định hóa,…) cho hệ phương trình vi phân và sai phân ẩn còn chưa được nghiên cứu đầy đủ. Mục đích của luận văn này là trình bày một số nghiên cứu định tính của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính có tham số điều khiển. Luận văn gồm ba Chương. Chương 1 trình bày các khái niệm và công thức nghiệm của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính theo các tài liệu [6], [3] và [2]. Chương 2 trình bày một số nghiên cứu định tính (tính điều khiển được và quan sát được, ổn định và ổn định hóa, quan sát trạng thái,…) của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính theo tài liệu [6]. Chương 3 trình bày tính điều khiển được của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính có hạn chế trên biến điều khiển theo tài liệu [7]. Mặc dù luận văn được trình bày chủ yếu theo các cuốn sách [6] và [7], nhưng chúng tôi đã cố gắng tổng hợp và sắp xếp theo thứ tự phù hợp với nội dung luận văn. Để hiểu và trình bày vấn đề một cách rõ ràng, chúng tôi đã cố gắng chứng minh chi tiết các định lý. Đặc biệt, nhằm làm sáng tỏ các khái - 5 - niệm và các kết quả, các thí dụ được tính toán cẩn thận, đầy đủ và chi tiết. Các tính toán này thường không được trình bày chi tiết trong các tài liệu trích dẫn. Tác giả chân thành cám ơn PGS-TS. Tạ Duy Phượng, Viện Toán học, người Thầy đã hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này. Xin được cám ơn Trường Đại học Sư phạm (Đại học Thái Nguyên), nơi tác giả đã hoàn thành chương trình Cao học dưới sự giảng dạy nhiệt tình của các Thày,cô. Xin chân thành cám ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Tuyên Quang, trường THPT Na Hang Tuyên Quang đã tạo mọi điều kiện để tác giả hoàn thành chương trình học tập. Và cuối cùng, xin được cám ơn Gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tác giả vượt qua nhiều khó khăn trong học tập. Thái Nguyên, 20.9.2008 Trần Thiện Toản - 6 - CHƯƠNG I CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH 1.1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN CHỨA THAM SỐ ĐIỀU KHIỂN Hệ phương trình sai phân ẩn có tham số điều khiển tổng quát có dạng ( ( 1), ( ),..., (0), ( ), ( 1),..., (0)) 0; ( ) ( ( ), ( 1),..., (0), ( ), ( 1),..., (0)), h x k x k x u k u k u y k g x k x k x u k u k u       (1.1) trong đó k là biến thời gian thực rời rạc, 0,1,2,...k  ; ( ) nx k  được gọi là trạng thái pha; ( ) mu k  được gọi là biến điều khiển; ( ) py k  được gọi là tham số đo đầu ra hay đầu ra. Một trong những trường hợp của hệ (1.1) được quan tâm nhiều là hệ ( ) ( 1) ( ( ), ( )); ( ) ( ( ), ( )), 0,1,2,... E k x k H x k u k y k J x k u k k     (1.2) trong đó H, J là những vectơ hàm của các biến x(k) , u(k) có số chiều tương ứng là n và p . Ma trận E(k) có thể suy biến (định thức có thể bằng 0). Nếu H, J là các vectơ hàm tuyến tính của x(k) và u(k) thì (1.2) trở thành ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( ), 0,1,2,... E k x k A k x k B k u k y k C k x k k      (1.3) Hệ (1.3) được gọi là hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng chứa tham số điều khiển. Trường hợp các ma trận ( ), ( ), ( ), ( )E k A k B k C k là các ma trận hằng thì hệ (1.3) trở thành hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính dừng ( 1) ( ) ( ); ( ) ( ), 0,1,2,... Ex k Ax k Bu k y k Cx k k      (1.4) Đối tượng chính được nghiên cứu trong luận văn này là các hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính (1.3) và (1.4). - 7 - Nhận xét Khi E là ma trận không suy biến thì hệ (1.4) trở thành 1 -1( 1) ( ) ( ) ( ) ( ), 0,1,2,... x k E Ax k E Bu k y k Cx k k       (1.5) Hệ (1.5) là hệ phương trình sai phân thường, nó đã được nghiên cứu khá kĩ trong các tài liệu, thí dụ, [7], [8]. Trong luận văn này, khi nghiên cứu hệ phương trình (1.3), chúng ta thường coi ( )E k là ma trận suy biến, tức là ( )rankE k n với mọi 0,1,2,...k  Tuy nhiên, nhiều kết quả phát biểu cho hệ (1.3) vẫn đúng cho hệ phương trình sai phân thường (1.5) như là trường hợp đặc biệt. 1.2 CÔNG THỨC NGHIỆM CAUCHY CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH KHÔNG DỪNG Xét hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng 0 ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( ); (0) , 0,1,2,... E k x k A k x k f k x x k        (1.6) trong đó x(k) là véc tơ trạng thái n chiều, E(k) và A(k) là ma trận có số chiều là n n , ( )f k là hàm véc tơ của biến số rời rạc k , 0,1,2....k  Ta có công thức biểu diễn nghiệm của hệ sai phân ẩn tuyến tính không dừng thông qua ma trận nghiệm cơ bản Cauchy trong Bổ đề 1.2.1 dưới đây (xem [3]). 1.2.1 Bổ đề. Giả sử ( , )F k i là ma trận hàm có số chiều n n thỏa mãn phương trình ma trận ( , 1) ( ) ( , ) ( ), 0,1,..., 1F k i E i F k i A i i k    (1.7) với điều kiện ban đầu - 8 - ( , 1) , ( , ) 0,nF k k I F k i i k    . (1.8) Khi ấy nghiệm của hệ (1.6) có thể được tính theo công thức sau: 1 0 0 ( ) ( ) ( , 1) (0) ( , ) ( ), 1,2,... k i E k x k F k E x F k i f i k       (1.9) Ở đây nI được kí hiệu là ma trận đơn vị cấp n. Chứng minh Viết lại (1.7) theo i, sau đó cho i thay đổi từ 0 đến k-1, thời điểm k cố định, ta có: ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( ), 0,1,2,..., 1E i x i A i x i f i i k      . (1.10) Giả sử ( , )F k i là ma trận n n . Nhân hai vế của (1.10) với ( , )F k i ta được: ( , ) ( 1) ( 1) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ), 0,1,2,..., 1F k i E i x i F k i A i x i F k i f i i t      . (1.11) Lấy tổng hai vế của các đẳng thức (1.11) theo i từ 0 đến 1k ta được: 1 1 0 0 ( , ) ( 1) ( 1) [ ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )] k k i i F k i E i x i F k i A i x i F k i f i          . (1.12) Do vế trái của (1.12) có thể viết dưới dạng: 1 0 ( , ) ( 1) ( 1) k i F k i E i x i     1 0 ( , 1) ( ) ( ) ( , 1) ( ) ( ) ( , 1) (0) (0) k i F k i E i x i F k k E k x k F k E x         nên (1.12) có thể viết dưới dạng ( , 1) ( ) ( ) ( , 1) (0) (0)F k k E k x k F k E x    1 1 0 0 ( , 1) ( ) ( ) [ ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )] k k i i F k i E i x i F k i A i x i F k i f i          . Do giả thiết ( , 1) nF k k I  nên 1 0 ( ) ( ) ( , 1) (0) (0) ( , 1) ( ) ( ) k i E k x k F k E x F k i E i x i        1 0 [ ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )] k i F k i A i x i F k i f i     . - 9 - hay 1 0 ( ) ( ) ( , 1) (0) (0) [ ( , ) ( ) ( , 1) ( )] ( ) k i E k x k F k E x F k i A i F k i E i x i        1 0 ( , ) ( ) k i F k i f i    . Do ( , 1) ( ) ( , ) ( ), 0,1,..., 1F k i E i F k i A i i k    . nên từ phương trình trên kết hợp với điều kiện ban đầu 0(0)x x ta có: 1 0 0 ( ) ( ) ( , 1) (0) ( , ) ( ) k i E k x k F k E x F k i f i      . Đây chính là điều phải chứng minh. Nhận xét Công thức (1.9) tỏ ra hiệu quả khi nghiên cứu tính điều khiển được của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng (xem [3]). Khi ( ) nE k I nó trở về công thức nghiệm cho phương trình của hệ phương trình sai phân thường tuyến tính không dừng trong [8]. Tuy nhiên nó có hạn chế sau đây: Trong công thức biểu diễn nghiệm (1.9), ta thấy ( )x k chưa được tính ở dạng tường minh (vẫn còn ( )E k kèm theo). Sau đây ta sẽ đi tìm nghiệm của (1.6) trong trường hợp các ma trận ( )E k , ( )A k là các ma trận hằng với giả thiết rằng ( , )E A là cặp ma trận chính quy. Dựa vào Bổ đề 1.3.2 dưới đây, ta có thể chứng minh công thức nghiệm cho hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính dừng có tham số điều khiển. 1.3 KHÁI NIỆM CẶP MA TRẬN CHÍNH QUY 1.3.1 Định nghĩa Cặp ma trận , n nE A  được gọi là chính quy nếu tồn tại một số phức   sao cho định thức 0E A   hay đa thức 0sE A  . - 10 - 1.3.2 Bổ đề Cặp ma trận  ,E A là chính quy nếu và chỉ nếu tồn tại hai ma trận không suy biến P và Q sao cho 1 0 0 nIQEP N      , 1 2 0 0 n AQAP I      , (1.13) trong đó 1 2n n n  , 111 n nA  , 1nI và 2nI là hai ma trận đơn vị tương ứng cấp 1n và 2n ; 2 2n nN  là ma trận lũy linh (tức là tồn tại một số tự nhiên h sao cho 0hN  ). Chứng minh Điều kiện cần Giả sử tồn tại các ma trận không suy biến P và Q sao cho (1.13) là đúng. Ta chọn 1( )Aa s , trong đó 1( )As là phổ của ma trận 1A (tập tất cả các giá trị riêng của 1A , tức là các số  sao cho 1 0I Aa   ). Vì 1( )As chỉ có hữu hạn số nên có vô số các số 1( )Aa s . Khi đó ta có  1 1 1 1 1 1 1 0. E A Q Q E A PP Q QEP QAP P Q I A P a a a a               Suy ra 0E Aa   . Vậy theo Định nghĩa 1.3.1, cặp ma trận ( , )E A là chính quy. Điều kiện đủ Giả sử ( , )E A là cặp ma trận chính quy. Theo định nghĩa, tồn tại số a sao cho 0E Aa   . Xét hai ma trận 1ˆ ( )E E A Ea   và 1ˆ ( )A E A Aa   . Ta có:           1 1 1 1 1 ( ) ˆ ˆ . E A E A I E A A E A E I E A A I E A E A I E a a a a a a a a a                      Mặt khác, từ phân tích dạng chính tắc Jordan trong lý thuyết về ma trận (xem [10]), tồn tại một ma trận không suy biến T sao cho - 11 - 1 1 2 ˆ ˆ ˆ( , )TET diag E E  , trong đó 1 11ˆ n nE  là ma trận không suy biến và 2 22ˆ n nE  là ma trận lũy linh (tồn tại một số tự nhiên h để 22 ˆ h nE O , trong đó 2nO là ma trận vuông gồm tất cả các phần tử bằng 0). Chứng tỏ ma trận 2 2 ˆ nI Ea là không suy biến. Đặt 1 1 1 1 2 ˆ ˆ( ,( ) ) ( )Q diag E I E T E Aa a     và 1P T . Khi đó  1 1 1 11 2ˆ ˆ,( ) ( )QEP diag E I E T E A ETa a      =  1 1 11 2ˆ ˆ ˆ,( )diag E I E TETa   =  1 11 2 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ,( ) ( , )diag E I E diag E Ea  = = 1 1 1 1 11 2 22 2 ˆ ˆ 0 0 0 ˆ ˆˆ ˆ 0 ( )0 ( ) 0 nIE E I E EI E E aa                                1 1 0 , 0 n n I diag I N N        , trong đó 12 2ˆ ˆ: ( )N I E Ea   là ma trận lũy linh do 2Eˆ là ma trận lũy linh. Tương tự, ta cũng có:  1 1 1 11 2ˆ ˆ,( ) ( )QAP diag E I E T E A ATa a       = 1 1 1 1 2 1 2 1 2 ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ,( )) ( ,( )) (( ),( ))diag E I E TAT diag E I E diag I E I Ea a a a       2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ( ) 0 ( ) 0 ˆ ˆ 00 ( ) 0 ( ) n E I E E I E II E I E a a a a                                  21 ( , )ndiag A I , trong đó 11 1 2ˆ ˆ: ( )A E I Ea  . Vậy bổ đề 1.3.2 được chứng minh. 1.3.3 Thí dụ Xét cặp ma trận ( , )E A dưới đây - 12 - 0 1 1 1 0 1 1 1 0 , 0 2 0 1 0 1 1 0 1 E A                   . (1.14) Tính toán trực tiếp ta có:     2 2 2 0 1 1 1 0 1 1 1 det 1 1 0 0 2 0 det 2 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 det 2 ( 1) (2 )( 1) 0. 1 ( 1) 1 s s sE A s s s s s s s s s s s s s s s s                                                             Do đó,  ,E A là cặp ma trận chính quy. Phương pháp trực tiếp kiểm tra tính chính quy của cặp ma trận sẽ gặp khó khăn khi E, A là các ma trận cấp cao. Từ quan điểm tính toán, Luenbeger đã đưa ra một tiêu chuẩn khác kiểm tra tính chính qui của cặp ma trận  ,E A , được gọi là thuật toán trộn. Cho  E A là ma trận cấp n2n. Nếu E là không suy biến thì  ,E A là cặp ma trận chính quy và dừng thuật toán. Còn nếu E là suy biến, bằng cách biến đổi hàng ta có thể chuyển  E A về ma trận khối dạng 1 1 20 E A A     , (1.15) trong đó 1 q nE  có hạng dòng đầy đủ với q rank E . Khi đó, ta trộn dòng khối thứ hai trong (1.15) để đưa nó về dạng 1 1 2 0 E A A     . (1.16) Nếu   11 2 2 / E E A A      là không suy biến thì  ,E A là cặp ma trận chính quy và dừng thuật toán. Còn không, ta lặp lại thuật toán. Thuật toán sẽ kết thúc theo - 13 - cách sau đây: Ma trận có dạng n cột không suy biến dẫn tới  ,E A là cặp ma trận chính quy hoặc cuối cùng là một dòng không xuất hiện trong ma trận (1.16) dẫn tới  ,E A là cặp ma trận không chính quy. 1.3.4 Thí dụ Xét cặp ma trận  ,E A trong Thí dụ 1   0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 2 0 1 0 1 1 0 1 E A         . (1.17) Ma trận E là suy biến. Biến đổi dòng trong (1.17) như sau: Cộng dòng thứ hai với dòng thứ 3, sau đó nhân dòng thứ nhất với (-1) và cộng với dòng thức ba ta được:   0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 2 0 1 1 0 0 2 0 1 1 0 0 2 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2 1 0 0 0 2 2 0 E A                           . (1.18) Trộn (1.18) bằng cách đổi chỗ ma trận  0 0 0 và  2 2 2 0A   ở dòng cuối cùng, ta được 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 2 0 2 2 0 0 0 0       . Ma trận trái cấp 33 là không suy biến, do đó  ,E A là cặp ma trận chính quy. - 14 - 1.4 CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH ẨN VỚI CẶP MA TRẬN CHÍNH QUY Xét hệ ( 1) ( ) ( )Ex k Ax k Bu k   , ( ) ( ) ( )y k C k x k , 0,1,2,...k  (1.19) Bổ đề 1.3.2 chỉ ra rằng, với giả thiết chính quy của cặp ma trận  ,E A , hệ (1.19) có thể đưa về dạng sau: 1 1 1 1 2 2 2 ( 1) ( ) ( ) ( ); (1.20 ) ( 1) ( ) ( ) ( ), 0,1,2,.... (1.20 ) x k A x k B k u k a Nx k x k B k u k k b         Thật vậy, do ( , )E A là cặp ma trận chính quy nên theo Bổ đề 1.3.2 tồn tại hai ma trận không suy biến ,P Q sao cho 11 2 00 , 00 n n AIQEP QAP IN               . Đưa vào biến mới 1( ) ( )z k P x k hay 1 2 ( )( ) ( ) ( ) z k x k Pz k P z k        và đặt 1 2 ( )( ) ( ) B kQB k B k      . Khi ấy (1.19) có thể viết lại như sau: 1 1 2 2 ( 1) ( ) ( ) ( )( 1) ( ) z k z k EP AP B k u k z k z k                . (1.21) Nhân hai vế của (1.21) với Q ta được: 1 1 2 2 ( 1) ( ) ( ) ( )( 1) ( ) z k z kQEP QAP QB k u k z k z k                . Theo Bổ đề 1.3.2 ta có 11 1 11 2 2 22 0 0 ( 1) ( ) ( ) ( )0( 1) ( ) ( )0 n n AI z k z k B k u k Iz k z k B kN                                       . Từ đây ta có - 15 - 1 1 1 1 2 2 2 ( 1) ( ) ( ) ( ); (1.22 ) ( 1) ( ) ( ) ( ), 0,1,2,... (1.22 ) z k A z k B k u k a Nz k z k B k u k k b         Đây chính là công thức (1.20). Từ nay về sau, ta luôn giả thiết cặp ma trận  ,E A là chính qui. Như vậy, để nghiên cứu hệ phương trình sai phân (1.19) ta chỉ cần nghiên cứu hệ (1.22) (thường được viết dưới dạng (1.20)). Xét hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn có tham số điều khiển (1.22). 1.4.1 Mệnh đề Với mỗi điều kiện ban đầu 11(0) nz  và dãy điều khiển ( ), 0,1,2,...u i i , nghiệm của (1.22a) có dạng 1 1 1 1 1 1 1 0 ( ) (0) ( ) ( ) k k k i i z k A z A B i u i      . (1.23a) Chứng minh Ta sẽ chứng minh công thức (1.23a) bằng phương pháp quy nạp. Với 1k  ta có 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 (1) (0) ( ) ( ) (0) (0) (0)i i z A z A B i u i A z B u      . Giả sử với mọi k s công thức (1.23a) đúng, khi ấy công thức (1.23a) đúng với k s : 1 1 1 1 1 1 1 0 ( ) (0) ( ) ( ) s s s i i z s A z A B i u i      . Ta sẽ chứng minh công thức (1.23a) đúng với 1k s  . Thật vậy, từ (1.20a) và qui nạp ta có: 1 1 1 1( 1) ( ) ( ) ( )z s A z s B s u s   = = 1 1 1 1 1 1 1 1 0 ( (0) ( ) ( )) ( ) ( ) s s s i i A A z A B i u i B s u s      = 1 1 1 1 1 1 1 0 (0) ( ) ( ) ( ) ( ) s s s i i A z A B i u i B s u s      - 16 - = 1 1 1 1 1 0 (0) ( ) ( ) s s s i i A z A B i u i    . Vậy công thức (1.23a) được chứng minh. Công thức (1.23a) thực chất là công thức nghiệm của hệ phương trình sai phân thường tuyến tính đã biết trong các tài liệu (xem, thí dụ, [7], [8]). 1.4.2 Mệnh đề Giả sử L>0 là một số cố định cho trước. Khi đó với điều kiện cuối 2( )z L và dãy điều khiển ( )u k , 0,1,2,...,k L cho trước, nghiệm của phương trình 2 2 2( 1) ( ) ( ) ( )Nz k z k B k u k   , 0,1,2,...,k L (1.20b) được tính theo công thức sau: 1 2 2 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) L k L k i i z k N z L N B k i u k i        , 0,1,2,...,k L . (1.23b) Chứng minh Ta có 2 2 2( 1) ( ) ( ) ( )Nz k z k B k u k   . Suy ra 2 2 2( ) ( 1) ( 1) ( 1)Nz L z L B L u L     . Do đó   1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 3 2 1 2 3 2 ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) ( 2) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) ( 2) ( 1) ( 1) ( 3) ( 3) ( L k L k L k L k L k L k L k L k L k L k L k N z L N z L N B L u L N Nz L N B L u L N z L B L u L N B L u L N Nz L N B L u L N B L u L N z L B L u L                                                      2 1 1 1 0 2 2 2 2 0 0 3) ( 2)