Luận văn Nghiên cứu tính lôi đa thức và lồi hữu tỷ

lời nói đầu Cho K là một tập compact trong Cn, ta gọi bao lồi đa thức K̂ của K là tập có dạng: K̂ = {z; z ∈ Cn, |p(z)| 6 supK |p| cho mọi đa thức chỉnh hình p}. Cũng vậy ta định nghĩa bao lồi hữu tỷ r(K) của K là tập có dạng: r(K) = {z ∈ Cn sao cho với mỗi đa thức p mà p(z) = 0 thì {p = 0} ∩ K 6= ∅}. Vấn đề đặt ra là chúng ta cần mô tả cấu trúc của K̂\K và r(K)\K. Hai tác giả Julien Duval và Nessim Sibony đã mô tả K̂\K và r(K)\K bởi những dòng d−ơng đóng song chiều (1,1) T trên Cn\K với giá bị chặn và ddcT 6 0 trên Cn\K. Trong luận văn này dòng d−ơng đóng vai trò trung tâm trong việc nghiên cứu tính lồi đa thức và lồi hữu tỷ . Đầu tiên chúng ta xây dựng những siêu mặt phức không giao với một tập compact cho tr−ớc trong phần bù của giá của một dòng d−ơng đóng ddcϕ (ϕ là hàm đa điều hoà d−ới). Sau đó chúng ta cũng nhận đ−ợc một kết quả t−ơng tự trong không gian Hausdorff metric của giá của một dòng d−ơng đóng song bậc (1,1) bởi những siêu mặt giải tích. Cụ thể cho T = ddcϕ là một dòng d−ơng song chiều (n-1,n-1) trong Cn với ϕ là một hàm đa điều hoà d−ới. Chúng tôi chứng minh đ−ợc rằng Cn\suppT có thể đ−ợc vét cạn bởi những tập compact lồi hữu tỷ. Hơn nữa hàm ϕ nói trên là giới hạn của một dãy hàm 1 Nk log|fk| trong L1loc(B) ở đây B là hình cầu đơn vị trong Cn, fk là những hàm chỉnh hình và Nk là những số nguyên d−ơng. Phần tiếp theo chúng tôi xét tính lồi đa thức. Với K là một tập compact cho ở trên, T là một dòng d−ơng song bậc (1,1) trên Cn\K, với giá bị chặn. Nếu ddcT 6 0 thì suppT ⊂ K̂. Ng−ợc lại cho x ∈ K̂\K bất kỳ thì có một dòng T ≥ 0 song bậc (1,1) giá compact sao cho ddcT = à − δx ở đây à là độ đo xác suất trên K còn δx là độ lớn Dirac tại x. Nh− thông th−ờng chúng ta đồng nhất những dòng song bậc (n,n) trên Cn với những phân bố. Từ đó suy 1 ra rằng nếu K̂ 6= K thì K̂\K là giá của một dòng d−ơng song bậc (1,1) T với ddcT 6 0. Cũng trong luận văn chúng tôi đề cập đến khái niệm cặp Runge yếu trong Cn và một vài kết quả về cặp Runge yếu đ−ợc đ−a ra trong [10]. Nh− chúng ta đã biết: Nếu hai tập D,D′ là những tập mở giả lồi của Cn sao cho D′ ⊂ D và mỗi hàm chỉnh hình trên D′ có thể xấp xỉ đều trên mỗi tập compact bởi những hàm chỉnh hình trên D thì (D′, D) đ−ợc gọi là một cặp Runge. Vấn đề đặt ra là liệu còn có khái niệm nào yếu hơn khái niệm trên nữa không với suy nghĩ đó tác giả đã đ−a ra khái niệm cặp Runge yếu. Mỗi hàm chỉnh hình trên D′ có thể đ−ợc xấp xỉ đều trên mỗi tập compact bởi những th−ơng p/q, ở đó p, q là những hàm chỉnh hình trên D và q 6= 0 trên D, cặp (D′, D) thoả mãn tính chất đó gọi là một cặp Runge yếu. Tác giả đã đ−a ra điều kiện để nhận biết một cặp Runge yếu đó là Định lý 2.2.4 ch−ơng 2 mà kết quả này đ−ợc lập luận t−ơng tự nh− Định lý 4.3.3 trong [7]. Trong tr−ờng hợp D′ là tập compact t−ơng đối trong D thì sử dụng Định lý 2.1.3 ch−ơng 2 trong luận văn và cách chứng minh t−ơng tự nh− một kết quả của Julien Duval và Nessim Sibony: Cho K là một tập compact trong Cn. Với mỗi x 6∈ r(K) có một dạng d−ơng đóng (1,1) ω trơn, d−ơng chặt tại x và triệt tiêu trong một lân cận của r(K). Ng−ợc lại giả sử x ∈ suppS, ở đây S là một dòng d−ơng đóng song bậc (1, 1) sao cho suppS ∩K = ∅ thì x 6∈ r(K), ta có thể đặc tr−ng hoá cặp Runge yếu trong hệ những dòng d−ơng đóng trên D mà triệt tiêu trên một tập compact bất kỳ của D′ và d−ơng chặt gần ∂D′. Kết quả này đ−ợc chúng tôi trình bày trong Định lý 2.2.5 ch−ơng 2 của luận văn. Luận văn đ−ợc hoàn thành d−ới sự h−ớng dẫn tận tình của Tiến sĩ Nguyễn Quang Diệu. Nhân dịp này, Tôi xin đ−ợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến ng−ời thầy của mình. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy phản biện 2 đã dành thời gian đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho tôi. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các thầy cô của Bộ môn Lý thuyết hàm tr−ờng Đại học S− phạm Hà Nội đã dạy bảo trong suốt những năm tháng tôi học tập tại tr−ờng. Hà nội ngày 30 tháng10 năm 2006. Tác giả luận văn Đỗ Viết Tuân 3 Mục lục Ch−ơng 1. Một số kiến thức chuẩn bị 5 1.1. Khái niệm hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Một số tính chất của hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Hàm chỉnh hình nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. Định nghĩa hàm đa điều hòa d−ới . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5. Một số tính chất của hàm đa điều hòa d−ới . . . . . . . . . . . 11 1.6. Một số khái niệm về miền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7. Một số tính chất của miền giả lồi . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.8. Độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.9. Phân bố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.10. Dòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ch−ơng 2. Xấp xỉ dòng d−ơng đóng bởi siêu mặt phức 24 2.1. Xây dựng siêu mặt và xấp xỉ dòng . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2. Cặp Runge yếu trong Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Ch−ơng 3. Bao lồi đa thức và dòng d−ơng đóng 37 3.1. Bao lồi đa thức và dòng d−ơng đóng . . . . . . . . . . . . . . 37 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4 Ch−ơng 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm hàm chỉnh hình Định nghĩa 1.1.1. Cho hàm f xác định trên miền D ⊂ C. Xét giới hạn lim 4z→0 f(z +4z)− f(z) 4z ; z, z +4z ∈ D Nếu tại điểm z giới hạn này tồn tại thì nó đ−ợc gọi là đạo hàm phức của f tại z, kí hiệu là f ′(z) hay df dz (z). Nh− vậy f ′(z) = lim 4z→0 f(z +4z)− f(z) 4z Định nghĩa 1.1.2. Cho hàm f(z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy xác định trong miền D ⊂ C. Hàm f đ−ợc gọi là R2-khả vi tại z = x+ iy nếu các hàm u(x, y), v(x, y) khả vi thực tại (x, y). Sau đây chúng tôi xin đ−a ra điều kiện cần và đủ để một hàm là C− khả vi đó là định lý Cauchy-Riemann Định lý 1.1.3. (Điều kiện Cauchy-Riemann) Để hàm f C- khả vi tại z = x + iy ∈ D điều kiện cần và đủ là f R2- khả vi tại z và điều kiện Cauchy-Riemann thoả mãn tại z 5  ∂u ∂x (x, y) = ∂v ∂y (x, y) ∂u ∂y (x, y) = −∂v ∂x (x, y) (1.1) Nhận xét: Giả sử f là hàm R2- khả vi tại z ∈ D ⊂ C, xét vi phân df = ∂f ∂x dx+ ∂f ∂y dy Vì dz = dx+idy và dz = dx−idy suy ra dx = 1 2 (dz+dz), dy = 1 2i (dz−dz). Vậy ta có df = ∂f ∂x 1 2 (dz + dz) + ∂f ∂y 1 2i (dz − dz) = 1 2 ( ∂f ∂x − i∂f ∂y )dz + 1 2 ( ∂f ∂x + i ∂f ∂y )dz Nếu đặt ∂f ∂z = 1 2 ( ∂f ∂x − i∂f ∂y ); ∂f ∂z = 1 2 ( ∂f ∂x + i ∂f ∂y )dz thì df = ∂f ∂z dz + ∂f ∂z dz Bởi vì ∂f ∂z = 1 2 ( ∂f ∂x + i ∂f ∂y )dz = 1 2 [( ∂u ∂x − ∂v ∂y ) + i( ∂v ∂x + ∂u ∂y )] nên f thoả mãn điều kiện Cauchy-Riemann nếu và chỉ nếu ∂f ∂z (z) = 0. Nói cách khác hàm R2- khả vi f tại z là C- khả vi tại đó nếu và chỉ nếu ∂f ∂z (z) = 0. Định nghĩa 1.1.4. Hàm f xác định trong miền D ⊂ C với giá trị trong C gọi là chỉnh hình tại z0 nếu tồn tại r > 0 để f C- khả vi tại mọi z ∈ D(z0, r) ⊂ D. Nếu f chỉnh hình tại mọi z0 ∈ D thì ta nói f chỉnh hình trên D. 6 1.2 Một số tính chất của hàm chỉnh hình Định lý 1.2.1. Giả sử D ⊂ C là một miền và A(D) là tập các hàm chỉnh hình trên D. Khi đó i, A(D) là một không gian véc tơ trên C ii, A(D) là một vành iii, Nếu f ∈ A(D) và f(z) 6= 0,∀z ∈ D thì 1/f ∈ A(D) iv, Nếu f ∈ A(D) và f chỉ nhận giá trị thực thì f là không đổi. Định lý 1.2.2. (Định lý Taylor) Nếu hàm f(z) chỉnh hình trên hình tròn |z − z0| < R thì trong hình tròn này f(z) là tổng của chuỗi Taylor của nó tại z0. Cụ thể là f(z) = ∞∑ n=0 Cn(z − z0)n, |z − z0| < R ở đây các hệ số Cn đ−ợc xác định một cách duy nhất theo công thức Cn = fn(z0) n! = 1 2pii ∫ |η−z0|=r f(η) |η − z0|n+1dη với 0 < r < R Hệ quả 1.2.3. Hàm f(z) xác định trên miền D là chỉnh hình khi và chỉ khi với mọi z0 ∈ D hàm f có thể khai triển đ−ợc thành chuỗi luỹ thừa theo z − z0 mà nó hội tụ tới f(z) với bán kính hội tụ R ≥ d(z0, ∂D) Định lý 1.2.4. (Định lý duy nhất ) Giả sử f và g là các hàm chỉnh hình trên miền D. Nếu f(zn) = g(zn) trên một dãy các điểm khác nhau {zn} ⊂ D mà nó hội tụ tới một điểm a ∈ D, thì f ≡ g 7 1.3 Hàm chỉnh hình nhiều biến Định nghĩa 1.3.1. Hàm l : Cn → C gọi là R - tuyến tính (t−ơng ứng C- tuyến tính) nếu i, l(z′ + z”) = l(z′) + l(z”) ∀z′, z” ∈ Cn ii, l(λz) = λl(z) ∀z ∈ Cn,∀λ ∈ R (t−ơng ứng ∀λ ∈ C). Hiển nhiên hàm l : Cn → C R- tuyến tính là C-tuyến tính nếu l(iz) = il(z) ∀z ∈ Cn. Trong tr−ờng hợp l(λz) = λl(z) ta nói l là C- phản tuyến tính. Định nghĩa 1.3.2. Hàm f : Ω→ C, Ω là mở trong Cn gọi là R- khả vi (t−ơng ứng C- khả vi) tại z ∈ Ω nếu f(z + h) = f(z) + l(h) + 0(h) ở đây l là R- tuyến tính (t−ơng ứng C- tuyến tính) và 0(h) h → 0 khi h→ 0 Nhận xét: Hàm l (nếu tồn tại là duy nhất) gọi là R- tuyến tính (t−ơng ứng C- tuyến tính) tại z, ký hiệu là f ′(z) hay df(z). Bằng cách viết zj = xj + iyj, zj = xj − iyj j = 1, . . . , n ta có dzj = dxj + idyj, dzj = dxj − idyj suy ra dxj = dzj + dzj 2 , dyj = dzj − dzj 2i 8 Do df = n∑ j=1 ( ∂f ∂xj dxj + ∂f ∂yj dyj) = n∑ j=1 ( ∂f ∂xj dzj + dzj 2 + ∂f ∂yj dzj − dzj 2i ) = n∑ j=1 ( 1 2 ( ∂f ∂xj − i ∂f ∂yj )dzj + 1 2 ( ∂f ∂xj + i ∂f ∂yj )dzj) Nếu đặt ∂f ∂zj = 1 2 ( ∂f ∂xj − i ∂f ∂yj ), ∂f ∂zj = 1 2 ( ∂f ∂xj + i ∂f ∂yj ) j = 1, . . . , n Ta có df = n∑ j=1 ( ∂f ∂zj dzj + ∂f ∂zj dzj) Ta kí hiệu ∂f ∂z = n∑ j=1 ∂f ∂zj dzj, ∂f ∂z = n∑ j=1 ∂f ∂zj dzj thì df = ∂f ∂z + ∂f ∂z Định lý 1.3.3. Hàm R - khả vi tại z ∈ Cn là C - khả vi khi và chỉ khi ∂f ∂zj = 0⇔ ∂f ∂zj = 0 ∀j = 1, . . . , n Định nghĩa 1.3.4. i, Hàm gọi là chỉnh hình tại z ∈ Cn nếu nó C- khả vi trong một lân cận của z. ii, f : Ω→ Cm với Ω mở trong Cn gọi là chỉnh hình tại z nếu fj chỉnh hình tại z với mọi j = 1, . . . , n ở đây f = (f1, . . . , fm) Định lý 1.3.5. Giả sử P = P (a, r) = {z ∈ Cn : |z − aj| < rj ∀j = 9 1, . . . , n} là đa đĩa tâm a bán kính r = (r1, . . . , rn) và Γ = {z ∈ Cn : |z − aj| = rj ∀j = 1 . . . , n}. Giả sử f là hàm liên tục trên P và chỉnh hình trên P , khi đó f(z) = ∞∑ |α|=0 Cα(z − a)α với Cα = ( 1 2pii )n ∫ Γ f(ξ) (ξ − a)α+1dξ ở đây dξ = dξ1 . . . dξn. Định lý 1.3.6. Giả sử Ω là mở trong Cn (n > 1) và K là tập compact trong Ω với Ω\K liên thông. Khi đó mọi hàm chỉnh hình f trên Ω\K có thể mở rộng duy nhất tới một hàm chỉnh hình f˜ trên Ω. 1.4 Định nghĩa hàm đa điều hoà d−ới Định nghĩa 1.4.1. Hàm u : Ω −→ [−∞,∞) đ−ợc gọi là nửa liên tục trên nếu lim z→z0 supu(z) 6 u(z0) với mọi z0 ∈ D Một cách t−ơng đ−ơng tập u−1([−∞, a)) là mở với mọi −∞ < a < +∞. Định nghĩa 1.4.2. Cho tập con Ω mở của C và một ánh xạ u : Ω −→ [−∞,∞), ánh xạ u đ−ợc gọi là điều hòa d−ới nếu : i, u là nửa liên tục trên ii, Với mọi x ∈ Ω, mọi r > 0 sao cho D(x, r) ⊂⊂ Ω với 0 < r < d(x,∂Ω) thì u thỏa mãn bất đẳng thức sau : 10 u(x) 6 1 2pi 2pi∫ 0 u(x+ reiθ)dθ Kí hiệu tập các hàm điều hòa d−ới trên Ω là SH(Ω). Định nghĩa 1.4.3. Cho Ω là một tập con mở trong Cn. Một hàm u : Ω −→ [−∞,∞) đ−ợc gọi là đa điều hoà d−ới nếu: i, u là nửa liên tục trên và u 6≡ −∞ trên bất cứ thành phần liên thông nào của Ω. ii, Với mọi z ∈ Ω và mọi w ∈ Cn thì hàm ζ 7→ u(z + ζw) là điều hoà d−ới trong một lân cận của 0 trên mặt phẳng phức. Kí hiệu tập các hàm đa điều hòa d−ới trên Ω là PSH(Ω). Định nghĩa 1.4.4. Cho Ω là một tập mở trong Cn. Đặt dc = i(∂ − ∂) và d = ∂ + ∂. Một hàm ϕ : Ω −→ [−∞,∞) là đa điều hòa d−ới nếu và chỉ nếu ϕ ∈ L1loc(Ω) và ddcϕ ≥ 0. Định nghĩa 1.4.5. Một hàm ϕ đ−ợc gọi là đa điều hòa trong Ω nếu ϕ đa điều hòa d−ới trong Ω và điều hòa trên mỗi mặt phẳng phức cắt Ω. Kí hiệu tập các hàm đa điều hòa trong Ω là PH(Ω ). 1.5 Một số tính chất của hàm đa điều hoà d−ới Mệnh đề 1.5.1. Cho Ω là một tập mở trong Cn và f là một hàm chỉnh hình trên Ω thì Ref, Imf , |f | và log|f | là đa điều hoà d−ới trên Ω. Định lý 1.5.2. Cho Ω là một tập con mở trong Cn và u : Ω −→ [−∞,∞). hàm u đ−ợc gọi là đa điều hòa d−ới nếu u là nửa liên tục trên, u 6≡ −∞ trên bất cứ thành phần liên thông nào của Ω và với mọi x ∈ Ω và b ∈ Cn thì 11 u(x) 6 1 2pi 2pi∫ 0 u(x+ reiθ)dθ với mọi r > 0 mà {x+ tb : t ∈ C : |t| < 1} ⊂ Ω. Định lý 1.5.3. Cho Ω là một tập mở trong Cn. i, Nếu ϕ, ψ là những hàm đa điều hòa d−ới trên Ω thì max(ϕ, ψ) cũng đa điều hòa d−ới trên Ω ii, Nếu dãy hàm {ϕn} có ϕn đa điều hòa d−ới trên Ω và hội tụ tới ϕ thì ϕ cũng đa điều hòa d−ới trên Ω iii, Nếu dãy hàm {ϕn} đa điều hòa d−ới và bị chặn trên đều địa ph−ơng trên Ω thì (supnϕn)∗ cũng đa điều hòa d−ới Ω iv, Nếu hàm ϕ đa điều hòa d−ới và bị chặn trên trên Ω thì ϕ là hằng số. Cho hàm ρ ∈ C∞(Cn) sao cho ρ chỉ phụ thuộc ‖ z ‖ và suppρ = {ρ(z) 6= 0} = B(0, 1) với B(0, 1) là hình cầu tâm tại 0 và bán kính 1 và ∫ Cn ρdλ(z) = 1 trong đó λ là độ đo Lơ be của Cn. Với ∀ε > 0 đặt ρε = ε−nρ(z ε ) khi đó ta có định lý sau: Định lý 1.5.4. (Tính trơn của hàm đa điều hòa d−ới) Giả sử ϕ ∈PSH(Ω) và ϕε(z) = (ϕ ∗ ρε)(z) = ∫ Cn ϕ(z − z′)ρε(z′)dλ(z′) khi đó : i, ϕε ∈ C∞(Ωε) ∩ PSH(Ωε) với Ωε = {z ∈ Ω, d(z, ∂Ω) > ε} ii, ϕε là hàm tăng theo ε và ϕε(z) hội tụ tới ϕ(z) khi ε→ 0. Định lý 1.5.5. Cho u là hàm đa điều hoà d−ới trên Ω là một tập con mở của Cn và v là hàm đa điều hoà d−ới trên V mở của Ω sao cho lim sup z→x v(z) 6 u(x) với x ∈ Ω ∩ ∂V thì hàm: 12 w =  max(u, v) trên V u trên Ω\V (1.2) cũng đa điều hoà d−ới trên Ω Định lý 1.5.6. Giả sử ϕ ∈ C2(Ω). Dạng Lϕ(z, ω) = n∑ j,k=1 ∂2ϕ ∂zj∂zk (z)ωjωk đ−ợc gọi là dạng Levi của ϕ tại z. Hàm ϕ ∈ C2(Ω) là đa điều hòa d−ới khi và chỉ khi Lϕ(z, ω) ≥ 0 với ∀z ∈ Ω,∀ω ∈ Cn Định nghĩa 1.5.7. Cho Ω là một tập con mở trong Cn một hàm ϕ đ−ợc gọi là đa điều hòa d−ới chặt trên Ω nếu dạng Lêvi của ϕ: Lϕ(z, ω) = n∑ j,k=1 ∂2ϕ ∂zj∂zk (z)ωjωk là d−ơng chặt với mọi z ∈ Ω và với mọi ω ∈ Cn. Định nghĩa 1.5.8. Cho Ω là một tập con mở trong Cn và hàm ϕ đa điều hòa d−ới chặt trên Ω thì tồn tại một hàm d−ơng chặt f ∈ C∞(Ω;R) sao cho : n∑ j,k=1 ∂2ϕ ∂zj∂zk (z0)ωjωk ≥ f(z0) n∑ j=1 |wj|2 với mỗi z0 ∈ Ω và ω ∈ Cn. Định lý 1.5.9. Cho một hàm ϕ thực trơn thì những khẳng định sau t−ơng đ−ơng: i, ϕ là hàm đa điều hòa . 13 ii, ∂2ϕ ∂zj∂zk = 0 với mọi j, k = 1, . . . n. iii, Có một hàm chỉnh hình f sao cho ϕ = Ref . 1.6 một số khái niệm về miền Trong phần này chúng tôi xin trình bày một số khái niệm về các bao lồi chỉnh hình, bao đa điều hoà duới, bao lồi đa thức, miền chỉnh hình, miền Runge, miền giả lồi và một số kết quả về miền giả lồi, về giải bài toán ∂ đã đ−ợc trình bày rất chi tiết trong cuốn sách "An introduction to complex analysis in several variables" của L.Hormander. Định nghĩa 1.6.1. ( Bao lồi chỉnh hình) Nếu K là tập con compact của Ω thì bao lồi chỉnh hình K̂AΩ của K xác định bởi K̂AΩ = {z; z ∈ Ω, |f(z)| 6 sup K |f | nếu f ∈ A(Ω)} Định nghĩa 1.6.2. (Bao đa điều hoà d−ới) Nếu K là tập con compact của Ω mở ⊂ Cn ta định nghĩa bao đa điều hoà d−ới K̂PSHΩ của K bởi: K̂PSHΩ = {z; z ∈ Ω, u(z) 6 sup K u cho mọi u ∈ PSH(Ω)} Định nghĩa 1.6.3. ( Bao lồi đa thức) Cho K là tập con compact trong Cn bao lồi đa thức K̂Cn của K đ−ợc xác định bởi K̂ = K̂Cn = {z; z ∈ Cn, |p(z)| 6 sup K |p| cho mọi đa thức chỉnh hình p} Định nghĩa 1.6.4. (Miền chỉnh hình ) 14 Một tập mở Ω ⊂ Cn đ−ợc gọi là miền chỉnh hình nếu không có những tập mở Ω1 và Ω2 trong Cn có những tính chất sau: i, ∅ 6= Ω1 ⊂ Ω2 ∩ Ω. ii, Ω2 là liên thông và không chứa trong Ω . iii, Với mỗi ϕ ∈A(Ω) tồn tại hàm ϕ2 ∈A(Ω2) sao cho ϕ = ϕ2 trong Ω1. Định nghĩa 1.6.5. (Miền Runge) Một miền chỉnh hình Ω ⊂ Cn đ−ợc gọi là miền Runge nếu mọi hàm f ∈A(Ω) có thể đ−ợc xấp xỉ đều trên mỗi tập compact bất kỳ trong Ω bởi những đa thức chỉnh hình . Định nghĩa 1.6.6. (Miền giả lồi) Cho Ω mở trong Cn, δ là một hàm liên tục trong Cn sao cho δ > 0 trừ tại điểm 0 và δ(tz) = |t|δ(z), t ∈ C, z ∈ Cn Đặt δ(z, {Ω) = inf w∈{Ω δ(z − w) thì Ω là miền giả lồi nếu hàm −logδ(z, {Ω) là đa điều hoà d−ới trong Ω. 1.7 Một số tính chất của miền giả lồi Trong phần này chúng tôi đ−a ra một số kết quả đ−ợc trình bày trong [7] không chứng minh, đ−ợc sử dụng trong luận văn này. Định lý 1.7.1. Nếu Ω là một tập mở trong Cn thì những điều kiện sau là t−ơng đ−ơng: i, −logδ(z, {Ω) là đa điều hoà d−ới trong Ω. ii, Tồn tại một hàm u đa điều hoà d−ới trong Ω sao cho 15 Ωc = {z; z ∈ Ω, u(z) < c} ⊂⊂ Ω với ∀c ∈ R. iii, K̂PSHΩ ⊂⊂ Ω nếu K ⊂⊂ Ω. Chứng minh: Xem chứng minh Định lý 2.6.7 trang 46 trong [7]. Định lý 1.7.2. Cho K là một tập con compact của tập mở giả lồi Ω ⊂ Cn thì K̂AΩ = K̂ PSH Ω . Chứng minh: Xem chứng minh Định lý 4.3.4 trang 91 trong [7]. Định lý 1.7.3. Cho Ω là một tập mở giả lồi trong Cn, cho K một tập con cmpact của Ω và V là một lân cận của K̂PSHΩ , thì tồn tại một hàm u ∈ C∞(Ω) sao cho : i, u là đa điều hoà d−ới chặt . ii, u 0 trong Ω ∩ {V . iii, {z ∈ Ω : u(z) < c} ⊂⊂ với ∀c ∈ R. Chứng minh: Xem chứng minh Định lý 2.6.11 trang 48 trong [7]. Định lý 1.7.4. Cho p là hàm đa điều hoà d−ới chặt lớp C∞ trong Ω sao cho Kc = {z; z ∈ Ω, p(z) 6 c} ⊂⊂ Ω với mọi c ∈ R. thì với mỗi hàm chỉnh hình trong lân cận của K0 có thể đ−ợc xấp xỉ đều trong chuẩn L2 trên K0 bởi những hàm trong A(Ω). Chứng minh: Xem chứng minh Bổ đề 4.3.1 trang 89 trong [7]. Định lý 1.7.5. Cho Ω là một miền mở giả lồi trong Cn và ϕ ∈ PSH(Ω). Cho g ∈ L2p,q+1(Ω, ϕ) với ∂g = 0 thì có một nghiệm u ∈ L2p,q(Ω, loc) của ph−ơng trình ∂u = g sao cho 16 ∫ Ω |u|2e−ϕ(1 + |z|2)−2dλ 6 ∫ Ω |g|2e−ϕdλ Chứng minh: Xem chứng minh Định lý 4.4.2 trang 94 trong [7] . Bổ đề 1.7.6. Cho K là một tập compact lồi đa thức và U là một lân cận của K , thì có thể tìm thấy những đa thức P1 ,. . . , Pm sao cho K ⊂ {z, |Pj(z)| 6 1, j = 1, . . . ,m} = L ⊂ U L đ−ợc gọi là đa diện lồi đa thức . Chứng minh: Xem chứng minh Bổ đề 2.7.4 trang 53 trong [7]. Định lý 1.7.7. Cho Ω là một miền mở trong Cn và ph−ơng trình ∂u = f có một nghiệm u ∈ C∞(p,q)(Ω) cho mọi f ∈ C∞(p,q+1)(Ω) với ∂f = 0 (p, q ≥ 0) thì Hr(Ω,C) ≈{Những dạng f chỉnh hình của bậc r với ∂f = 0 }/ {∂g với g chỉnh hình bậc r − 1} . Vì vậy Hr(Ω,C) = 0 khi r > n. Đặc biệt nếu Ω là một miền Runge trong Cn thì Vì vậy Hr(Ω,C) = 0 khi r ≥ n. ( ở đây Hr(Ω,C) là nhóm đối đồng điều thứ r của Ω với hệ số phức). Chứng minh: Xem chứng minh Định lý 2.7.10 và 2.7.11 trang 58 trong [7] Bổ đề 1.7.8. Nếu φ là một hàm điều hoà d−ới liên tục trong X ∈ Rn và φj là một dãy những hàm điều hoà d−ới , φj 6 φ sao cho φj(x)→ φ(x) khi j →∞ với mọi x trong một tập E trù mật của X thì φj → φ trong L1loc(X). Chứng minh: Bởi Bổ đề 4.1.9 trong [8] thì dãy φj là tiền compact trong L1loc và gọi giới hạn của nó là hàm điều hoà d−ới ψ, dễ thấy ψ 6 φ và cũng theo 4.1.8 trong [8] 17 ta có ψ(x) ≥ φ(x) khi x ∈ E vì vậy φ(x) 6 ∫ |y−x|<r ψ(y)dy/ ∫ |y|<r dy (r > 0) nếu x ∈ E Vì cả 2 vế là hàm liên tục theo x nên nó cũng đúng với những x còn lại . Khi r → 0 ta kết luận rằng φ 6 ψ. Vì vậy suy ra φ = ψ.Ơ Bổ đề 1.7.9. Nếu u ∈ L2(Br) Br = {z ∈ Cn, |z| < r} và ∂u ∈ L∞(Br) thì u là liên tục trong Br và |u(0)| 6 c(sup Br r|∂u|+ r−n||u||L2(Br)) Chứng minh: Xem chứng minh Bổ đề 15.1.8 trang 277 trong [8]. Định lý 1.7.10. (Định lý Hahn-Banach về tách các tập lồi) Giả sử E là không gian véc tơ tôpô, A và B là hai tập lồi rời nhau với A là mở. Khi đó tồn tại dạng tuyến tính liên tục f trên E sao cho f(A) và f(B) rời nhau. Dạng tuyến tính liên tục f nh− vậy gọi là tách A và B. Chứng minh: Xem chứng minh Định lý 3.1.4 trang 65 trong [1] 1.8 Độ đo Cho Ω là một tập mở trong Cn. Kí hiệu C0(Ω,C) là tập tất cả những hàm liên tục trên Ω và có giá compact trong Ω. Định nghĩa 1.8.1. Độ đo Borel là một độ đo d−ơng trên σ- đại số Borel của một không gian vectơ tôpô. Định nghĩa 1.8.2. Độ đo xác suất à trên Ω là một độ đo Borel chính quy d−ơng và à(K) = 1 với mỗi K compact trong Ω 18 Đị