Luận văn Sự hội tụ kỳ vọng có điều kiện và martingale trong đại số von Newmann

Lý thuyết sác xuất và thống kê là một bộ phận của bài toán học nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên và ứng dụng chúng vào thực tế. Các khái niệm đầu tiên của sác xuất thống kê do các nhà toán học có tên tuổi Pierre Fermat và Bailes Pascal xây dựng tà thế kỷ thứ 17 dựa trên việc nghiên cứu các quy luật trong trò chơi may rủi. Sau gần 3 thế kỷ phát triển, lý thuyết sác xuất đã được A.N.Kolmogorow tiên đề hóa

pdf66 trang | Chia sẻ: ngatran | Lượt xem: 1620 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận văn Sự hội tụ kỳ vọng có điều kiện và martingale trong đại số von Newmann, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Môc lôc Trang Më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1. Kú väng cã ®iÒu kiÖn vµ Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 - 13 1.1. Kú väng cã ®iÒu kiÖn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. C¸c ®Æc tr­ng cña kú väng cã ®iÒu kiÖn . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Thêi ®iÓm dõng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 2. Sù héi tô hÇu ®Òu trong ®¹i sè von Neumann . . . . . . . . . 14 - 30 2.1. §¹i sè von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2. D¹ng kh¸c cña héi tô hÇu ch¾c ch¾n trong ®¹i sè von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3. Mét d¹ng kh«ng giao ho¸n cña §Þnh lý Egoroff . . . . . . . 27 3. Sù héi tô cña kú väng cã ®iÒu kiÖn vµ martingale trong ®¹i sè von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 - 62 3.1. Kú väng cã ®iÒu kiÖn trong ®¹i sè von Neumann . . . . . . 31 3.2. Sù héi tô hÇu ®Òu cña kú väng cã ®iÒu kiÖn vµ martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Tµi liÖu tham kh¶o. HÖ thèng ký hiÖu (Ω,F ,P) Kh«ng gian x¸c suÊt ®Çy ®ñ. G σ−®¹i sè con cña F. (Fn, n ∈ N) D·y kh«ng gi¶m c¸c σ - ®¹i sè con cña F. (ξn, n ∈ N) D·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn t­¬ng thÝch víi (Fn, n ∈ N). Lp TËp tÊt c¶ c¸c biÕn ngÉu nhiªn kh¶ tÝch cÊp p, 1 6 p 6∞. E(ξ) = ∫ Ω ξ(ω)dP Kú väng cña biÕn ngÉu nhiªn ξ. EG(ξ) = E(ξ|G) Kú väng cã ®iÒu kiÖn cña ξ biÕt G. τ ∈ T Thêi ®iÓm dõng bÞ chÆn. H Kh«ng gian Hilbert. B(H) TËp tÊt c¶ c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh bÞ chÆn trªn H. C∗ C∗ - ®¹i sè. A §¹i sè von Neumann A. A′ Ho¸n tËp cña A. ProjA TËp tÊt c¶ c¸c phÐp chiÕu trùc giao trong A. A∞ = W ∗{An;n > 1} §¹i sè von Neumann sinh bëi (An). φ Tr¹ng th¸i trªn A. Më §Çu Lý thuyÕt x¸c suÊt vµ thèng kª lµ mét bé phËn cña to¸n häc, nghiªn cøu c¸c hiÖn t­îng ngÉu nhiªn vµ øng dông chóng vµo thùc tÕ. C¸c kh¸i niÖm ®Çu tiªn cña x¸c suÊt do c¸c nhµ to¸n häc tªn tuæi Pierre Fermat (1601 - 1665) vµ Bailes Pascal (1623 - 1662) x©y dùng tõ thÕ kû thø 17 dùa trªn viÖc nghiªn cøu c¸c quy luËt trong trß ch¬i may rñi. Sau gÇn 3 thÕ kû ph¸t triÓn, lý thuyÕt x¸c suÊt ®· ®­îc A.N. Kolmogorov tiªn ®Ò ho¸. Cã thÓ nãi, cuèn s¸ch "C¸c c¬ së cña lý thuyÕt x¸c suÊt" do «ng xuÊt b¶n lÇn ®Çu tiªn b»ng tiÕng §øc, n¨m 1933 ®­îc coi lµ b»ng chøng khai sinh ra x¸c suÊt hiÖn ®¹i. Dùa trªn nÒn t¶ng ®ã, nhiÒu h­íng nghiªn cøu chuyªn s©u cña x¸c suÊt ®· ra ®êi, trong ®ã cã lý thuyÕt vÒ kú väng cã ®iÒu kiÖn vµ martingale. §Ò tµi luËn v¨n cña t«i: "Sù héi tô cña kú väng cã ®iÒu kiÖn vµ martingale trong ®¹i sè von Neumann" lµ mét phÇn nhá thuéc h­íng nghiªn cøu ®ã. §Ó cã thÓ hiÓu vµ n¾m b¾t ®­îc mét sè kÕt qu¶ cña ®Ò tµi, t«i x©y dùng luËn v¨n theo 3 ch­¬ng nh­ sau: Ch­¬ng 1: Kú väng cã ®iÒu kiÖn vµ martingale. Ch­¬ng 2: Sù héi tô hÇu ®Òu trong ®¹i sè von Neumann. Ch­¬ng 3: Sù héi tô cña kú väng cã ®iÒu kiÖn vµ martingale trong ®¹i sè von Neumann. Hai ch­¬ng ®Çu lµ nÒn t¶ng, trong ®ã mét sè ®Æc tr­ng cña kú väng cã ®iÒu kiÖn trong kh«ng gian Lp vµ c¸c d¹ng héi tô trong ®¹i sè von Neumann ®­îc coi lµ quan träng nhÊt. Néi dung chÝnh cña luËn v¨n n»m trong Ch­¬ng 3. ë ®ã, c¸c §Þnh lý 3.2.9 ; 3.2.11 vµ §Þnh lý 3.2.16 vÒ sù héi tô hÇu ®Òu cña kú väng cã ®iÒu kiÖn trong ®¹i sè von 1 Neumann lµ ®¸ng chó ý nhÊt. Hoµn thµnh ®­îc luËn v¨n trªn, tr­íc tiªn t«i muèn bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn PGS.TS Phan ViÕt Th­, ng­êi ®· tËn t×nh h­íng dÉn, chØ b¶o cho t«i trong suèt qu¸ tr×nh t«i thùc hiÖn luËn v¨n. T«i còng muèn ®­îc göi lêi c¶m ¬n ®Õn c¸c thÇy c« thuéc Khoa To¸n - C¬ - Tin häc, Bé m«n X¸c suÊt thèng kª, Phßng §µo t¹o, Phßng Sau ®¹i häc tr­êng §HKHTN - §HQGHN vµ c¸c thÇy bªn ViÖn To¸n häc ®· gi¶ng d¹y, rÌn luyÖn t«i trong suèt thêi gian t«i häc tËp t¹i tr­êng, còng nh­ tÊt c¶ c¸c b¹n líp cao häc khãa 2007 - 2009 ®· t¹o ®iÒu kiÖn thuËn lîi ®Ó t«i hoµn thµnh b¶n luËn v¨n nµy. LuËn v¨n còng lµ mãn quµ nhá cña t«i dµnh kÝnh tÆng bè mÑ, vî con vµ nh÷ng ng­êi th©n trong gia ®×nh ®· dµnh nh÷ng t×nh c¶m yªu th­¬ng nhÊt cho t«i. Cuèi cïng, do kh¶ n¨ng vµ thêi gian cã h¹n nªn luËn v¨n kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng sai sãt. V× vËy, t«i rÊt mong nhËn ®­îc sù h­íng dÉn, chØ b¶o cña c¸c thÇy c«, sù hîp t¸c cña c¸c b¹n ®Ó t«i cã thÓ hoµn thiÖn h¬n. Hµ Néi, ngµy 10 th¸ng 12 n¨m 2009. Häc viªn: §inh Thanh TuÊn. 2 Ch­¬ng 1. kú väng cã ®iÒu kiÖn vµ martingale 1.1 Kú väng cã ®iÒu kiÖn Kú väng cã ®iÒu kiÖn lµ mét c«ng cô c¬ b¶n vµ h÷u hiÖu cña lý thuyÕt x¸c suÊt. V× vËy, trong phÇn nµy t«i xin tr×nh bµy v¾n t¾t c¸c tÝnh chÊt cña to¸n tö kú väng cã ®iÒu kiÖn. Tr­íc hÕt, ta cã ®Þnh nghÜa sau: 1.1.1. §Þnh nghÜa. Cho (Ω,F ,P) lµ kh«ng gian x¸c suÊt ®Çy ®ñ, G lµ σ− ®¹i sè con cña F vµ ξ ∈ L1. Ta gäi biÕn ngÉu nhiªn, ký hiÖu lµ E(ξ|G) hay EG(ξ) lµ kú väng cã ®iÒu kiÖn cña ξ víi G ®· cho, nÕu nã tho¶ m·n: i) E(ξ|G) lµ G− ®o ®­îc vµ E(ξ|G) ∈ L1. ii) Víi mäi A ∈ G, ta cã: ∫ A E(ξ|G)dP = ∫ A ξdP. Chó ý: 1) NÕu ξ = 1A, A ∈ F th× P(A|G) := E(1A|G) ®­îc gäi lµ x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn cña biÕn cè A víi ®iÒu kiÖn σ− ®¹i sè G ®· cho. 2) NÕu η lµ biÕn ngÉu nhiªn ®· cho vµ G = σ(η) lµ σ− ®¹i sè sinh bëi η th× E(ξ|η) := E(ξ|G) ®­îc gäi lµ kú väng cã ®iÒu kiÖn cña ξ biÕt η. 1.1.2. VÝ dô. Cho (Ω,F ,P) lµ kh«ng gian x¸c suÊt, (Bi)i∈K,K ⊂ N lµ mét ph©n ho¹ch nµo ®ã cña Ω, G = σ{(Bi)i∈K} vµ ξ ∈ L1. Khi ®ã: EG(ξ) = ∑ k∈K EBk(ξ)1Bk víi EBk(ξ) = 1 P(Bk) ∫ Bk ξdP, k ∈ K. 3 1.1.3. C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña kú väng cã ®iÒu kiÖn . Trong suèt môc nµy ta lu«n gi¶ thiÕt (Ω,F ,P) lµ kh«ng gian x¸c suÊt ®Çy ®ñ cè ®Þnh, c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®Òu kh¶ tÝch vµ G ⊂ F lµ σ− ®¹i sè con nµo ®ã cña F . Khi ®ã, kú väng ®iÒu kiÖn cã c¸c tÝnh chÊt sau: 1. NÕu c lµ h»ng sè th× E(c|G) = c (h.c.c). 2. NÕu ξ > η(h.c.c) th× E(ξ|G) > E(η|G) (h.c.c). 3. NÕu a, b lµ h»ng sè ; ξ, η lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn th×: E(aξ + bη|G) = aE(ξ|G) + bE(η|G) (h.c.c). 4. E(ξ|{φ,Ω}) = E(ξ) (h.c.c). 5. E(ξ|F) = ξ (h.c.c). 6. E ( E(ξ|G)) = E(ξ) (h.c.c). 7. TÝnh t­¬ng thÝch: NÕu G1,G2 lµ c¸c σ− ®¹i sè con cña F vµ G1 ⊂ G2 th×: E ( E(ξ|G2)|G1 ) = E(ξ|G1) = E ( E(ξ|G1)|G2 ) (h.c.c). 8. TÝnh kh«ng gi·n:∣∣E(ξ|G)∣∣ 6 E(|ξ|∣∣G) (h.c.c) vµ ∣∣∣∣E(ξ|G)∣∣∣∣ 1 6 ||ξ||1. 9. NÕu ξ vµ G ®éc lËp th× E(ξ|G) = E(ξ) (h.c.c). 10. NÕu η lµ G− ®o ®­îc, E(|η|) <∞ vµ E(|ξη|) <∞ th×: E(ξη|G) = ηE(ξ|G) (h.c.c). §èi víi kú väng cã ®iÒu kiÖn, ngoµi nh÷ng tÝnh chÊt trªn cßn cã mét sè tÝnh chÊt quan träng sau ®©y: Nhãm tÝnh chÊt chuyÓn qua giíi h¹n: 11. §Þnh lý héi tô ®¬n ®iÖu Levy: a) NÕu ξn ↑ ξ (h.c.c) vµ tån t¹i n ∈ N sao cho E(ξ−n ) <∞ th×: E(ξn|G) ↑ E(ξ|G) (h.c.c). b) NÕu ξn ↓ ξ (h.c.c) vµ tån t¹i n ∈ N sao cho E(ξ+n ) <∞ th×: E(ξn|G) ↓ E(ξ|G) (h.c.c). 12. Bæ ®Ò Fatou: Gi¶ sö η lµ biÕn ngÉu nhiªn kh¶ tÝch, khi ®ã: 4 a) NÕu ξn 6 η (h.c.c) th× E(lim ξn|G) 6 limE(ξn|G) (h.c.c). b) NÕu ξn > η (h.c.c) th× E(lim ξn|G) > limE(ξn|G) (h.c.c). 13. §Þnh lý bÞ chÆn Lebesgue: Gi¶ sö η kh¶ tÝch, |ξn| 6 η (h.c.c) vµ ξn h.c.c−−→ ξ, n ∈ N. Khi ®ã: E(lim n ξn|G) = lim n E(ξn|G) (h.c.c). 14. BÊt ®¼ng thøc Jensen: Gi¶ sö ϕ : I → R lµ hµm låi d­íi, I ⊂ R vµ ξ lµ biÕn ngÉu nhiªn nhËn gi¸ trÞ trong I. Khi ®ã, nÕu ξ vµ ϕ(ξ) kh¶ tÝch th×: ϕ ( E(ξ|G)) 6 E(ϕ(ξ)|G). V× khu«n khæ cã h¹n cña luËn v¨n, còng nh­ c¸c chøng minh chi tiÕt cã thÓ t×m ®­îc trong [1] , [9] nªn t«i xin phÐp ®­îc bá qua c¸c gi¶i thÝch cô thÓ mµ b­íc ngay sang phÇn quan träng sau. 1.2 C¸c ®Æc tr­ng cña kú väng cã ®iÒu kiÖn Tr­íc tiªn, ta sÏ nghiªn cøu nã trªn kh«ng gian L2. Trong kh«ng gian L2, ta cã thÓ ®Þnh nghÜa mét tÝch v« h­íng nh­ sau: = ∫ Ω ξ.ηdP = E(ξ.η) ξ, η ∈ L2 Râ rµng, tÝch v« h­íng nµy x¸c ®Þnh trªn L2 chuÈn ||.||2 ®· cã: ||ξ||2 = ( ) 1 2 = (∫ Ω |ξ|2dP ) 1 2 . V× ( L2, ||.||2 ) lµ kh«ng gian Banach nªn ( L2, ) lµ kh«ng gian Hilbert. Tõ kÕt qu¶ thuéc vÒ gi¶i tÝch hµm ta thu ®­îc kh¼ng ®Þnh sau ®©y: 1.2.1. §Þnh lý. NÕu M lµ mét kh«ng gian vÐc t¬ con ®ãng cña kh«ng gian Hilbert L2 th× mçi phÇn tö ξ cña L2 ®­îc biÓu diÔn duy nhÊt d­íi d¹ng : ξ = η+ζ, trong ®ã η ∈ M ; ζ ∈ M⊥ víi M⊥ = {H ∈ L2 := 0,M ∈ M}. 5 Tõ nay vÒ sau, ta gäi η lµ h×nh chiÕu trùc giao cña ξ trªn kh«ng gian M. 1.2.2. Bæ ®Ò. Kú väng ®iÒu kiÖn EG(.), h¹n chÕ trªn L2 lµ phÐp chiÕu vu«ng gãc tõ kh«ng gian Hilbert L2 xuèng kh«ng gian vÐc t¬ con ®ãng L2(G) cña nã, trong ®ã: L2(G) = { ξ ∈ L2 : ξ lµ G- ®o ®­îc } . Chøng minh. DÔ thÊy, L2(G) lµ kh«ng gian vect¬ con ®ãng cña kh«ng gian L2. Khi ®ã, nÕu ξ ∈ L2 th× theo §Þnh lý trªn ta cã ξ = η + ζ, η ∈ L2(G) vµ ζ ∈ L⊥2 (G). Víi B ∈ G ta thÊy 1B ∈ L2(G) nªn:∫ Ω 1BζdP == 0, hay ∫ B ζdP = 0, suy ra ∫ B ξdP = ∫ B (η + ζ)dP = ∫ B ηdP, B ∈ G. Do ®ã, theo ®Þnh nghÜa cña E(.|G) ta cã : η = E(ξ|G). VËy EG(.) thu hÑp trªn L2 lµ phÐp chiÕu trùc giao tõ kh«ng gian L2 lªn kh«ng gian L2(G), nghÜa lµ, nÕu ξ ∈ L2 vµ η ∈ L2(G) th×: E(ξ|G) ∈ L2(G), vµ: ∫ Ω EG(ξ)ηdP = ∫ Ω ξηdP. 1.2.3. §Þnh lý. §Ó to¸n tö tuyÕn tÝnh T : L2 → L2 lµ to¸n tö kú väng ®iÒu kiÖn, ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ: T lµ phÐp chiÕu trùc giao, kh«ng ©m vµ bÊt biÕn ®èi víi hµm h»ng. 6 Chøng minh. (⇒) Cho T : L2 → L2 lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh. Gi¶ sö nã còng lµ kú väng ®iÒu kiÖn E(.|G) víi G lµ σ− ®¹i sè con cña F. Lóc ®ã, theo Bæ ®Ò 1.2.2 th× T ph¶i lµ phÐp chiÕu trùc giao tõ L2 lªn L2(G), h¬n n÷a theo TÝnh chÊt 1.1.3 th× T ph¶i lµ to¸n tö kh«ng ©m vµ b¶o toµn h»ng sè. (⇐) §Ó chøng minh ®iÒu kiÖn ®ñ cña ®Þnh lý, ta ®Æt: M = {ξ ∈ L2 : Tξ = ξ}. Tõ nh÷ng gi¶ thiÕt vÒ T , dÔ dµng kiÓm tra ®­îc r»ng M tháa m·n c¸c gi¶ thiÕt cña HÖ qu¶ I.1.2- [6], tøc lµ, tån t¹i σ− ®¹i sè con G cña F sao cho M = L2(G). VËy T cã hai tÝnh chÊt c¬ b¶n: 1) T (ξ) ∈ L2(G), ξ ∈ L2. 2) ∫ Ω T (ξ)ηdP = ∫ Ω ξηdP, víi ξ ∈ L2, η ∈ L2(G). §Æc biÖt víi η = 1A, A ∈ G th× 1A ∈ L2(G), nªn tõ ®¼ng thøc trªn, ta cã:∫ A T (ξ)dP = ∫ Ω T (ξ)1AdP = ∫ Ω ξ1AdP = ∫ A ξdP, vµ nh­ vËy th× T (ξ) = E(ξ|G). §Þnh lý ®­îc chøng minh. Sau ®©y, ta sÏ nghiªn cøu kú väng cã ®iÒu kiÖn trªn kh«ng gian Lp 1.2.4. §Þnh lý. Cho tr­íc mét sè p > 1. Khi ®ã to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc T tõ Lp vµo Lp lµ to¸n tö kú väng cã ®iÒu kiÖn (tøc lµ T = E(.|G)) víi G lµ σ− ®¹i sè con nµo ®ã cña F khi vµ chØ khi T tho¶ m·n hai tÝnh chÊt sau: i) ∫ Ω TξdP = ∫ Ω ξdP, ξ ∈ Lp. 7 ii) T (ξ.Tη) = Tξ.Tη víi ξ ∈ Lp, η ∈ L∞. Chøng minh. §iÒu kiÖn cÇn suy ngay ra tõ ®Þnh nghÜa vµ tÝnh chÊt kú väng cã ®iÒu kiÖn. §Ó chøng minh ®iÒu kiÖn ®ñ ta tiÕn hµnh theo hai b­íc sau: B­íc 1: Ta chøng minh T (L∞) ⊂ L∞. ThËt vËy, víi ξ ∈ L∞, ta lËp d·y (ξn, n ∈ N) trong Lp nh­ sau: ξ1 = ξ; ξn+1 = ξ.T (ξn) víi n > 1. Râ rµng ξn ∈ Lp. Víi n > 1 th× theo (ii) ta cã: Tξn+1 = T (ξ.T (ξn)) = Tξ.T (ξn). L¹i tiÕp tôc biÓu diÔn ξn nh­ vËy, cuèi cïng ta sÏ ®­îc Tξn = (Tξ)n. V× (Tξ)n ∈ Lp víi mäi n, nªn suy ra Tξ ∈ Ls víi mäi s <∞. H¬n n÷a, do Tξn+1 = T (ξ.T ξn) vµ T liªn tôc nªn:∥∥∥Tξn+1∥∥∥ p 6 ∥∥∥T∥∥∥.∥∥∥ξ.T ξn∥∥∥ p 6 ∥∥∥T∥∥∥.∥∥∥ξ∥∥∥ ∞ . ∥∥∥Tξn∥∥∥ p . V×: ∥∥∥Tξ∥∥∥ p 6 ∥∥∥T∥∥∥.∥∥∥ξ∥∥∥ p 6 ∥∥∥T∥∥∥.∥∥∥ξ∥∥∥ ∞ , nªn: ∥∥∥(Tξ)n∥∥∥ p = ∥∥∥Tξn∥∥∥ p 6 (∥∥∥T∥∥∥.∥∥∥ξ∥∥∥ ∞ )n . Nh­ng: ∥∥∥(Tξ)n∥∥∥ p = ∥∥∥Tξ∥∥∥n np nªn ∥∥∥Tξ∥∥∥n np 6 (∥∥∥T∥∥∥.∥∥∥ξ∥∥∥ ∞ )n , suy ra: ∥∥∥Tξ∥∥∥ np 6 ∥∥∥T∥∥∥.∥∥∥ξ∥∥∥ ∞ , víi n > 1. V× ta cã Tξ ∈ ⋂ s<∞ Ls vµ hä chuÈn ∥∥∥Tξ∥∥∥ s s→∞−−−→ ∥∥∥Tξ∥∥∞, suy ra, nÕu ξ ∈ L∞ 8 th× Tξ ∈ L∞ vµ ∥∥∥Tξ∥∥∥ ∞ 6 ∥∥∥T∥∥∥.∥∥∥ξ∥∥∥ ∞ . VËy ta ®· chøng minh ®­îc T (L∞) ⊂ L∞. B­íc 2: XÐt ®¹i sè Λ = { ζ : ζ ∈ L∞, T (ξζ) = T (ξ).ζ ∀ξ ∈ Lp } , theo MÖnh ®Ò I.1.5 - [6] th× Λ lµ ®¹i sè con cña L∞ chøa gi¸ trÞ h»ng, suy ra Λ trong Lp sÏ cã d¹ng Lp(G) víi G lµ σ− ®¹i sè con ®Çy ®ñ nµo ®ã cña F . Lóc ®ã, nÕu ζ ∈ Lp(G) th× tån t¹i d·y con (ζn, n ∈ N) cña Λ héi tô trong Lp ®Õn ζ. V× T lµ to¸n tö liªn tôc tõ Lp vµo Lp nªn ta cã: T (ξ)ζn Lp−→ T (ξ)ζ, n ∈ N, ξ ∈ Lp, T (ξζn) Lp−→ T (ξζ), n ∈ N, ξ ∈ Lp Nh­ng v× tõng ζn ∈ Λ, nªn ta còng cã: T (ξ)ζn = T (ξζn), n ∈ N. §iÒu nµy cho ta: T (ξ)ζ = T (ξζ), ξ ∈ Lp, ζ ∈ Lp. Do ®ã theo (i) th×:∫ Ω ξζdP = ∫ Ω T (ξζ) = ∫ Ω T (ξ)ζdP. VËy víi mäi A ∈ G cè ®Þnh, lÊy ζ = 1A ta nhËn ®­îc∫ A ξdP = ∫ A T (ξ)dP. Cuèi cïng ®Ó chøng minh T lµ to¸n tö kú väng cã ®iÒu kiÖn E(.|G) ta chØ cÇn ph¶i chøng minh r»ng T (ξ) ∈ Lp(G), ξ ∈ Lp. ThËt vËy, theo b­íc 1 vµ (ii) ta cã : T (η) ∈ Λ ⊂ Lp(G), η ∈ L∞. MÆt kh¸c nÕu ξ ∈ Lp th× lu«n tån t¹i d·y biÕn ngÉu nhiªn ®¬n gi¶n (ηn, n ∈ N) cña L∞ sao cho ηn Lp−→ ξ. Kh¼ng ®Þnh nµy cïng víi tÝnh liªn tôc cña T trong Lp kÐo theo T (ηn) Lp−→ T (ξ), n ∈ N. L­u ý r»ng T (ηn) ∈ Λ nªn T (ξ) ∈ Λ = Lp(G). §Þnh lý ®­îc chøng minh. 9 1.3 Thêi ®iÓm dõng Ngoµi kú väng cã ®iÒu kiÖn, thêi ®iÓm dõng còng ®­îc xem nh­ lµ mét c«ng cô m¹nh kh¸c ®Ó nghiªn cøu martingale. C«ng cô nµy ®­îc hiÓu mét c¸ch ®¬n gi¶n nh­ sau: Gi¶ sö (ξn, n ∈ N) lµ d·y thu nhËp cña mét ng­êi ch¬i nµo ®ã trong trß ch¬i ngÉu nhiªn hai ng­êi vµ Fn lµ σ− ®¹i sè c¸c "th«ng tin" mµ ng­êi ch¬i biÕt ®­îc cho tíi v¸n thø n, n ∈ N. Râ rµng (Fn, n ∈ N) lµ d·y t¨ng vµ (ξn, n ∈ N) lµ d·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn t­¬ng thÝch víi (Fn, n ∈ N), nghÜa lµ tõng ξn lµ Fn - ®o ®­îc. Dùa vµo d·y (Fn, n ∈ N), ng­êi ch¬i ®­a ra mét chiÕn l­îc hoÆc ch¬i tiÕp hoÆc dõng l¹i. Thêi ®iÓm dõng ®­îc ®Þnh nghÜa d­íi ®©y chÝnh lµ m« h×nh ngÉu nhiªn cña c¸c chiÕn l­îc nãi trªn. 1.3.1. §Þnh nghÜa. BiÕn ngÉu nhiªn τ : Ω → N gäi lµ thêi ®iÓm dõng ®èi víi hä kh«ng gi¶m c¸c σ− ®¹i sè con (Fn, n ∈ N) cña F, nÕu: {ω : τ (ω) = n} = {τ = n} ∈ Fn, n ∈ N. H¬n n÷a, nÕu tån t¹i k ∈ N sao cho P(τ < k) = 1 th× τ gäi lµ thêi ®iÓm dõng bÞ chÆn. §Ó cho tiÖn, tõ nay vÒ sau ta ký hiÖu tËp tÊt c¶ c¸c thêi ®iÓm dõng bÞ chÆn lµ T. H¬n thÕ, ta ®Þnh nghÜa thø tù: τ 6 σ nÕu vµ chØ nÕu τ 6 σ(h.c.c). Lóc ®ã, (T,6) lµ mét tËp ®Þnh h­íng vµ N cã thÓ coi lµ tËp con cña T. 1.3.2. NhËn xÐt. 10 i) Víi τ ∈ T, ta ®Þnh nghÜa Fτ = { A ∈ F : A ∩ {τ = n} ∈ Fn, n ∈ N } . Lóc ®ã Fτ lµ σ− ®¹i sè, h¬n thÕ, nÕu τ, σ ∈ T tho¶ m·n σ 6 τ (h.c.c) th× Fσ ⊂ Fτ . ii) E(ξ|Fτ ) = ∑ n∈N E(ξ|Fn) víi ξ ∈ L1, τ ∈ T. 1.4 Martingale 1.4.1. §Þnh nghÜa (d·y t­¬ng thÝch). D·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn (ξn, n ∈ N) ®­îc gäi lµ t­¬ng thÝch (thÝch nghi) víi hä c¸c σ− ®¹i sè F1 ⊂ F2 ⊂ .... ⊂ Fn ⊂ F, nÕu ξn lµ Fn - ®o ®­îc víi mäi n ∈ N, tøc lµ: ξn ∈ L0(Fn) víi mäi n ∈ N. Tõ ®©y trë ®i, nÕu ta kh«ng gi¶ thiÕt g× thªm th× (Fn, n ∈ N) lu«n ®­îc hiÓu lµ mét d·y kh«ng gi¶m c¸c σ - ®¹i sè con ®Çy ®ñ cña F ,Fn ↑ F vµ (ξn, n ∈ N) lµ d·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn kh¶ tÝch, t­¬ng thÝch víi (Fn, n ∈ N). Tõ gi¶ thiÕt nµy vµ NhËn xÐt 1.3.2, ta thÊy mçi d·y (ξn, n ∈ N) c¶m sinh ra mét d·y (suy réng) c¸c biÕn ngÉu nhiªn kh¶ tÝch (ξτ , τ ∈ T) t­¬ng thÝch víi d·y kh«ng gi¶m c¸c σ - ®¹i sè con (Fτ , τ ∈ T) cña F, nghÜa lµ, tõng ξτ lµ Fτ - ®o ®­îc. Ta cã ®Þnh nghÜa sau: 1.4.2. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö (Ω,F ,P) lµ kh«ng gian x¸c suÊt. Khi ®ã, d·y (ξn, n ∈ N) ®­îc gäi lµ: a) martingale, nÕu: Víi mäi m 6 n th× E(ξn|Fm) = ξm. P − h.c.c b) martingale trªn, nÕu: Víi mäi m 6 n th× E(ξn|Fm) 6 ξm P− h.c.c. c) martingale d­íi, nÕu: Víi mäi m 6 n th× E(ξn|Fm) > ξm P− h.c.c. 11 KÕt qu¶ sau ®©y rÊt gi¶n ®¬n nh­ng cùc kú quan träng: 1.4.3. MÖnh ®Ò. Ta cã c¸c kh¼ng ®Þnh d­íi ®©y: α) D·y (ξn, n ∈ N) lµ martingale trªn khi vµ chØ khi d·y c¸c sè ( E(ξτ ), τ ∈ T ) lµ d·y kh«ng t¨ng. β) D·y (ξn, n ∈ N) lµ martingale d­íi khi vµ chØ khi d·y c¸c sè ( E(ξτ ), τ ∈ T ) lµ d·y kh«ng gi¶m. γ) D·y (ξn, n ∈ N) lµ martingale khi vµ chØ khi tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña d·y ( E(ξτ ), τ ∈ T ) ®Òu b»ng mét h»ng sè cè ®Þnh (nµo ®ã). 1.4.4. VÝ dô. (1). Gi¶ sö ξ lµ biÕn ngÉu nhiªn kh¶ tÝch. Khi ®ã d·y ( ξn = E(ξ|Fn), n ∈ N ) lµ martingale vµ ta sÏ gäi lµ martingale chÝnh quy. ThËt vËy: i) (ξn, n ∈ N) lµ d·y t­¬ng thÝch v× E(ξ|Fn) lµ hiÓn nhiªn ®o ®­îc ®èi víi Fn kÐo theo ξn lµ ®o ®­îc ®èi víi Fn. ii) Do ξ kh¶ tÝch nªn: E (|ξn|) = E(|E(ξ|Fn)|)6 E((|ξ|) | Fn)= E(|ξ|) <∞ iii) ξn−1 = E(ξ|Fn−1) = E ( (ξ|Fn) | Fn−1 ) = E(ξn|Fm). (2). Gi¶ sö (ηn, n ∈ N) lµ d·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn kh¶ tÝch, ®éc lËp víi E(ηn) = 0, n ∈ N. Khi ®ã, d·y tæng riªng: S = η0 + η1 + ....+ ηn, lµ martingale ®èi víi (Fn = σ(η0, η1, ..., ηn), n ∈ N). 12 (3). Gi¶ sö (ζn, n ∈ N) lµ d·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn kh¶ tÝch, ®éc lËp víi E(ζn) = 1, n ∈ N. Khi ®ã, d·y: S = n∏ k=0 ζk, lµ martingale ®èi víi (Fn = σ(ζ0, ζ1, ..., ζn), n ∈ N). Do khu«n khæ cã h¹n cña luËn v¨n, nhiÒu tÝnh chÊt vµ ®Æc tr­ng kh¸c cña to¸n tö kú väng cã ®iÒu kiÖn còng nh­ martingale ch­a ®­îc nh¾c ®Õn. Nh÷ng ai quan t©m cã thÓ t×m ®äc thªm trong [1] , [6] , [9] . . . . . . 13 Ch­¬ng 2. Sù héi tô hÇu ®Òu trong ®¹i sè von Neumann 2.1 §¹i sè von Neumann Trong phÇn nµy t«i tr×nh bµy mét sè vÊn ®Ò liªn quan ®Õn ®¹i sè von Neumann. Tr­íc hÕt ta nh¾c l¹i mét sè ®Þnh nghÜa c¬ b¶n sau: 2.1.1. §Þnh nghÜa. Mét kh«ng gian vect¬ thùc X ®­îc gäi lµ kh«ng gian tiÒn Hilbert (hay kh«ng gian Unita), nÕu trong ®ã cã x¸c ®Þnh mét hµm hai biÕn (x, y), gäi lµ tÝch v« h­íng cña hai vect¬ x, y tháa m·n c¸c tÝnh chÊt sau ®©y: i) (x, y) = (y, x) ii) (x+ y, z) = (x, z) + (y, z) iii) (αx, y) = α(x, y), víi mäi α thùc iv) (x, x) = ‖x‖2 V× mét kh«ng gian tiÒn Hilbert lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn, nªn mäi kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt cña kh«ng gian ®Þnh chuÈn ®Òu cã thÓ ¸p dông cho nã. Nãi riªng, mét kh«ng gian tiÒn Hilbert cã thÓ ®ñ hoÆc kh«ng ®ñ. Mét kh«ng gian tiÒn Hilbert ®ñ gäi lµ kh«ng gian Hilbert. 2.1.2. §Þnh nghÜa. Mét ®¹i sè A ®­îc gäi lµ mét ®¹i sè Banach nÕu nã tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau ®©y: i) A lµ kh«ng gian Banach; ii) Cã mét tÝch: A×A→ A sao cho, víi mäi x, y, z ∈ A;λ ∈ C, ta cã: (xy)z = x(yz), (x+ y)z = xz + yz, 14 x(y + z) = xy + xz, λ(xy) = (λx)y = x(λy) H¬n n÷a, cã mét phÇn tö ®¬n vÞ e : ex = xe = x,∀x ∈ A; iii) ‖e‖ = 1; iv) ‖xy‖ 6 ‖x‖‖y‖, víi mäi x, y ∈ A. 2.1.3. §Þnh nghÜa. i) Mét ®¹i sè A ®­îc gäi lµ mét ∗ - ®¹i sè nÕu A lµ mét ®¹i sè phøc cïng víi phÐp tuyÕn tÝnh liªn hîp ∗ mµ nã lµ mét ph¶n ®¼ng cÊu, nghÜa lµ, víi mäi x, y ∈ A vµ λ ∈ C, ta cã: (x+ y)∗ = x∗ + y∗, (λx)∗ = λx∗, x∗∗ = x vµ (xy)∗ = y∗x∗. ii) Mét chuÈn trªn ∗ - ®¹i sè A tháa m·n: ‖x∗x‖ = ‖x‖2, víi mäi x ∈ A, gäi lµ mét C∗- chuÈn. NÕu víi chuÈn nµy, A ®Çy ®ñ th× A ®­îc gäi lµ mét C∗ - ®¹i sè. 2.1.4. T«p« låi ®Þa ph­¬ng trªn B(H). Cho H lµ kh«ng gian Hilbert. Ký hiÖu B(H) lµ C∗− ®¹i sè tÊt c¶ c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh bÞ chÆn trªn H. Khi ®ã: i) Mét t«p« låi ®Þa ph­¬ng trong B(H) ®­îc cho bëi chuÈn to¸n tö: ‖x‖ = ‖x‖∞ = sup h∈H ‖h‖61 ‖xh‖. ii) Mét t«p« m¹nh trªn B(H) lµ mét kh«ng gian t«p« låi ®Þa ph­¬ng liªn kÕt víi hä nöa chuÈn x 7→ ‖x(h)‖, víi x ∈ B(H) vµ h ∈ H. Nãi c¸ch kh¸c, d·y {xλ} héi tô m¹nh ®Õn x khi vµ chØ khi {xλ(h)} héi tô ®Õn x(h), víi mäi h ∈ H. iii) Mét t«p« σ−m¹nh (hay siªu m¹nh) trªn B(H) ®­îc cho bëi nöa chuÈn: x 7→ ( ∞∑ i=1 ‖xhi‖2)1/2, 15 víi {hi} lµ d·y c¸c phÇn tö bÊt kú trong H, sao cho: ∑∞ i=1 ‖xhi‖2 <∞. iv) Mét t«p« yÕu trªn B(H) lµ mét kh«ng gian t«p« låi ®Þa ph­¬ng liªn kÕt víi nöa chuÈn x 7→ |(x(h), g)|, víi x ∈ B(H) vµ h, g ∈ H. Nãi c¸ch kh¸c, d·y {xλ} héi tô yÕu ®Õn x ∈ B(H) khi vµ chØ khi ( (xλ − x)(h), g ) → 0 víi mäi h, g ∈ H. v) Mét t«p« σ−yÕu (hay siªu yÕu) trªn B(H) ®­îc x¸c ®Þnh bëi nöa chuÈn: x 7→ | ∞∑ i=1 (xhi, gi)|, víi ∑∞ i=1 ‖hi‖2 <∞, vµ ∑∞ i=1 ‖gi‖2 <∞. 2.1.5. §Þnh nghÜa. Víi mçi tËp con A ⊂ B(H), ta ký hiÖu A′ lµ ho¸n tËp cña A, tøclµ: A′ = {y ∈ B(H) : xy = yx,∀x ∈ A}. DÔ dµng chØ ra ®­îc A′ lµ ®ãng yÕu. NÕu A′ lµ tù liªn hîp th× A′ lµ mét C∗− ®¹i sè. Tõ nay vÒ sau ta sÏ ký hiÖu A′′ thay cho (A′)′ 2.1.6. §Þnh nghÜa. Mét C∗− ®¹i sè con ®ãng yÕu A ⊂ B(H) ®­îc gäi lµ mét ®¹i sè von Neumann. Nãi c¸ch kh¸c
Tài liệu liên quan