Luận văn Tốc độ hội tụ và xấp xỉ hữu hạn chiều cho nghiệm hiệu chỉnh của bất đẳng thức biến phân đơn điệu

Cho X là một không gian Banach phản xạ thực, X * là không gian liên hợp của X , cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là k.k, A : X ? X * là toán tử đơn điệu đơn trị và K là một tập con lồi đóng trong X . Với f ? X * , hãy tìm x 0 ? K sao cho hA(x 0 ) - f, x - x 0i = 0 ?x ? K, (0.1) ở đây hx * , xi kí hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục x * ? X * tại x ? X . Bài toán được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân (variational inequality). Nếu K = X thì bài toán (0.1) có dạng phương trình toán tử A(x) = f. (0.2) Bất đẳng thức biến phân đơn điệu là lớp bài toán nảy sinh ra từ nhiều vấn đề của toán học ứng dụng như phương trình vi phân, các bài toán vật lý toán, tối ưu hoá. Ngoài ra nhiều vấn đề thực tế như các bài toán cân bằng mạng giao thông đô thị, các mô hình cân bằng kinh tế. đều có thể mô tả được dưới dạng của một bất đẳng thức biến phân đơn điệu. Rất tiếc là bất đẳng thức biến phân đơn điệu, nói chung, lại là bài toán đặt không chỉnh. Do tính không ổn định của bài toán đặt không chỉnh nên việc giải số của nó gặp khó khăn. Lý do là một sai số nhỏ trong dữ kiện của bài toán có thể dẫn đến một sai số bất kỳ trong lời giải. Vì thế nảy sinh vấn đề tìm các phương pháp giải ổn định cho các bài toán đặt không chỉnh, sao cho khi sai số của dữ kiện đầu vào càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng của bài toán ban đầu. 4 S? húa b?i Trung tõm H?c li?u – é?i h?c Thỏi Nguyờn Năm 1963, A. N. Tikhonov đưa ra phương pháp hiệu chỉnh nổi tiếng và kể từ đó lý thuyết các bài toán đặt không chỉnh được phát triển hết sức sôi động và có mặt ở hầu hết các bài toán thực tế. Mục đích của đề tài luận văn nhằm nghiên cứu một phương pháp giải ổn định bất đẳng thức biến phân đơn điệu trên cơ sở xây dựng nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều cho bất đẳng thức biến phân . Nghiên cứu sự hội tụ và đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh với toán tử ngược đơn điệu mạnh trong không gian Banach phản xạ thực dựa trên việc chọn tham số hiệu chỉnh tiên nghiệm. Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản nhất về toán tử đơn điệu, bài toán đặt không chỉnh và bất đẳng thức biến phân. Trong chương 2 sẽ trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bất đẳng thức biến phân đơn điệu. Kết quả chính của chương này là đánh giá tốc độ hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh với tham số hiệu chỉnh được chọn tiên nghiệm. Đồng thời xây dựng nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều và đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh này. ở phần cuối của chương là kết quả số có tính chất minh hoạ cho phương pháp nghiên cứu, chương trình thực nghiệm được viết bằng ngôn ngữ MATLAB. Kết quả về sự hội tụ và tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều của bất đẳng thức biến phân (0.1) được đăng tải trên Tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học Thái Nguyên, số 5 năm 2009. Em mong muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo Tiến sĩ Nguyễn Thị Thu Thuỷ, cô đã rất tận tình hướng dẫn, chỉ bảo em trong suốt thời gian 5 S? húa b?i Trung tõm H?c li?u – é?i h?c Thỏi Nguyờn em thực hiện khóa luận và trực tiếp hướng dẫn em hoàn thành khóa luận này. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các giáo sư , tiến sĩ ở Viện Toán học , Viện Công nghệ thông tin thuộc Viện Khoa học và Công nghệ Việt nam, các thầy giáo, cô giáo trong Trường Đại học Khoa học nói chung và Khoa Toán-Tin nói riêng đã hết lòng giảng dạy, truyền đạt cho em nhiều kiến thức khoa học trong suốt thời gian em học tập tại Trường. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới những người thân, những người bạn của tôi đã động viên và cổ vũ tôi rất nhiều trong suốt thời gian vừa qua. Do điều kiện, thời gian và trình độ có hạn nên khóa luận này không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các quý thầy cô và toàn thể các bạn