Một số bài toán đặc trưng của phân phối mũ hai chiều

Một số bài toán đặc trưng của phân phối mũ hai chiều Vũ Thị Thảo Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Luận văn ThS Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán học Mã số 60 46 01 06 Người hướng dẫn: PGS.TS. Đào Hữu Hồ Năm bảo vệ: 2013 Abstract. Giới thiệu khái niệm phân phối nhiều chiều, phân phối có điều kiện, phân phối biên duyên, phân phối của tổng, phân phối đuôi, phân phối của các X(ci), tính mất trí nhớ, hàm sống sót,...tương ứng với phân phối mũ. Nghiên cứu một số dạng khác nhau của phân phối mũ hai chiều, theo các quan điểm dựa trên phân phối biên duyên, tốc độ thất bại, thời gian chờ đợi, dựa trên các đặc tính vật lý, tính mất trí nhớ, lý thuyết độ tin cậy. Trình bày các kết qủa mới về các đặc trưng của phân phối mũ hai chiều dạng Gumbel. Keywords. Xác suất; Thống kê toán học; Mũ hai chiều; Toán học. LỜI NÓI ĐẦU Khi nghiên cứu một biến ngẫu nhiên nào đó, thông tin đầy đủ nhất, quan trọng nhất mà ta mong muốn có được là ta xác định xem quy luật phân phối của biến ngẫu nhiên đó là phân phối nào. Chính vì vậy từ những thập niên 50 - 60 - 70 của thế kỷ trước bài toán đặc trưng phân phối xác suất đã phát triển rất mạnh mẽ. Tuyển tập các kết quả theo hướng này đã được ba nhà khoa học lớn trên thế giới: Linnik Yu.V, Kagan A.M và Rao C.R. tổng kết lại trong cuốn "Characterization Problems in Mathematical Statistics" xuất bản năm 1972. Một tính chất S được gọi là tính chất đặc trưng cho họ phân phối F = {F (x, θ), θ ∈ O} nếu X ≈ F ∈ F thì ta có tính chất S và ngược lại, nếu có tính chất S thì ta suy ra X có phân phối thuộc họ F . Trong cuốn chuyên khảo trên rất nhiều tính chất đặc trưng cho các họ phân phối xác suất quen thuộc đã được chỉ ra. Song kết quả chủ yếu tập trung vào biến ngẫu nhiên một chiều. Trên thực tế các phân phối nhiều chiều quen thuộc cũng chỉ là phân phối chuẩn và phân phối đa thức. Vì vậy xây dựng các phân phối nhiều chiều khác và các tính chất đặc trưng của chúng đang là bài toán mở, thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học trên thế giới. Luân văn ” Một số bài toán đặc trưng của phân phối mũ hai chiều ” đi theo hướng nghiên cứu trên đối với họ phân phối mũ. Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương: Chương 1: Một số kết quả cần dùng Chương này giới thiệu khái niệm phân phối nhiều chiều, phân phối có điều kiện, phân phối biên duyên, phân phối của tổng, phân phối đuôi, phân phối i của các X, tính mất trí nhớ, hàm sống sót,...tương ứng với phân phối mũ. Chương 2: Phân phối mũ hai chiều Trong chương này luận văn giới thiệu một số dạng khác nhau của phân phối mũ hai chiều, theo các quan điểm dựa trên phân phối biên duyên, tốc độ thất bại, thời gian chờ đợi, dựa trên các đặc tính vật lý, tính mất trí nhớ, lý thuyết độ tin cậy... Chương 3: Đặc trưng của phân phối mũ hai chiều Chương này trình bày các kết qủa mới về các đặc trưng của phân phối mũ hai chiều dạng Gumbel. Các kết quả trình bày trong chương 2 và chương 3 của luận văn được dựa trên luân án tiến sỹ của tác giả Muraleedharan Nair K.R. thuộc trường Đại học Khoa học và Kỹ thuật Cochin - Ấn độ. ii Tài liệu tham khảo [1] Đào Hữu Hồ, (2012. In lần thứ 13). Xác Suất thống kê, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội. [2] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên, (2009). Lý thuyết Xác suất, NXB giáo dục. [3] Abrahams J. and Thomas J.B. (1984). A note on the characterization of bivariate densities by conditional densities, Commun. Statist. A, 13(3), 395- 400. [4] Arnold B.C, (1973). Some characterization of the exponential distribution by geometric compounding, SIAM.J.Appl.Maths, 24; 242-244. [5] Azlarov T.A. and Vilodin N.A. (1986). Characterization problems associated with the exponential distribution, Springer-Verlag. [6] Basu A.P. (1971). Bivariate failure rate, J.Amer. statist. Assoc. 66, 103-104. [7] Block H. W, (1973). Monotone hazard and failure rates for absolutely con- tinuous multivariate failure distributions. Department of Mathematics Re- search Report 73 - 20, University of Pittsburg. [8] Block H. W, (1974). Constant multivariate hazard rate and continuous mul- tivariate extensions, Department of Mathematics Research Report 74-12 University of Pittsburg. 63 [9] Block H. W, (1977). A characterization of a bivariate exponential distribu- tion, Ann.Statist. , 5, 808-812. [10] Bloch H.W, and Basu A.P. (1974). A continuous bivariate exponential ex- tension, J.Amer. Statist. Assoc. 69, 1031 - 1037. [11] Downton F, (1970), Bivariate exponential distributions in reliability theory, J.Roy. Statist. Soc., Series B,33, No.3, 408-417. [12] Durling F.C, (1975), The bivariate Burr distribution in G.P. Patil, S. Kotz and J.K. Ord (Eds) Statistical distributions in scientific work, vol. I, Models and Structures, 329-335, Dordrecht, Reidel. [13] Farlie D.J.G. (1960), The performance of some correlation coefficients for a general bivariate distribution, Biometrika 47, 307-323. [14] Freund J.E, (1961). A bivariate extension of the exponential distribution, J.Amer. Statist. Assoc. ,56, 971- 977. [15] Galambos J and Kotz S (1978). Characterizations of probability distribu- tions, Springer-Verlag. [16] Gumbel E.J. (1960). Bivariate exponential distributions, J. Amer. Statist. Assoc. 55, 698- 707. [17] Gupta R.C. (1975). On characterization of distributions by conditional ex- pectations, Commun. Statistics A, 4, 99-103. [18] Johnson N.L. and Kotz S. (1972). Distributions in Statistics, Continuous univariate distribution I John Wiley. [19] Johnson N.L. and Kotz S. (1975). A vector valued multivariate hazard rate, J.Multiv. Anal. 5, 53-66. 64 [20] Lindley D.V. and Singpurwala N.D. (1986). Multivariate distributions for the life lengths of a system sharing a common environment, J. Appl. Prob. 23, 418-431. [21] Mardia K.V. (1962). Multivariate Pareto distributions, Ann.Math.Statist, 33, 1008-1015. [22] Marshall A.W, (1975). Some comments on the hazard gradient, Stoch. Proc. Appl. 3, 293-300. [23] Marshall A.W. and Olkin I. (1967). A multivariate exponential distribution, J. Amer. Statist. Assoc. 62, 30-44. [24] Moran P.A.P (1967). Testing for correlation between non-negative variates, Biometrika, 54, 385- 394 . [25] Morgenstern D. (1956). Einfache Beispiele Zweidimensionalar Verteilungen Milt fur, Math. Stat. 8, 234-235 in Jonhnson and Kotz (1970). [26] Nair K.R.M. and Nair N.U. (1988 a). On characterizing the bivariate expo- nential and geometric distributions, Ann, Inst. Statist. Math.40, 267-271. [27] Paulson A.S. (1973). A characterization of the exponential distributions and a bivariate exponential distribution, Sankhya A, 35, 69-78. [28] Puri P.S and Rubin H (1974). On a characterization of the family of distri- butions with constanob multivariate failure rates, Ann. Prob. 2, 738-740. [29] Raftery A.E. (1984). A continuous bivariate exponential distributions, Com- mun. Statist, Theory and Methods, 13, 947- 965. [30] Rao C.R. and Rubin H (1964). On a characterization of the Poisson distri- butions, Sankhya. A, 26, 294-298. 65 [31] Renyi A (1956). A characterization of the Poisson process, selected papers of Alfred Renyi Vol.I, Akademia Kaido, Budapest. [32] Sarkar K.S, (1987). A continuous bivariate exponential distributions, J.Amer. Statist. Assoc. 82, 398, 667-675. [33] Seshadri V. and Patil G.P. (1964). A characterization of bivariate distribu- tions by the marginal and conditional distributions of the same component, Am. Inst. Statist. math. 15, 215- 221. [34] Shanbhag D.N. (1970). Characterizations for exponential and geometric dis- tribution, J.Amer. Statist. Assoc. 65, 1256-1259. [35] Zahedi H. (1985). Some new classes of multivariate survival distribution functions, J. Statist. Plann and Inf. II, 171-188. [36] Reimhardt H.E. (1968). Characterizing the exponential distribu- tion,Biometrcs 24, 437-438. [37] Nagaraja H.N. (1975). Characterization of some distributions by conditional moments, J.Ind. Statist.Assoc. 13, 57-61. [38] Mukherjee S.P. and D.Roy (1986). Some characterizations of the exponential and ralated life distributions, Cal. Statist. Assoc. Bull. 189-197. [39] Gupta P.L. and Gupta R.C. (1983). On the moments ò residual life in reliability and some characterization results, Commun. Statistics A, 12, 449- 461. [40] Talwalker S. (1970). A characterization of the double Poisson distribution, Sankhya, A, 32, 265-270. 66 [41] Patil G.P. and Ratnaparkhi M.V. (1975). Problems of damaged random variables and related characterizations, (in Statistical characterizations in scientific work Vol. 3) Ed.G.P.Patil, S.Kotz and J.K.Ord, D-Reidel. [42] Characterizations of the Gumbel’s bivariate exponential distribution, Statis- tical Vol. 21 (1990) (Reference 39) . 67