Một số kết quả về sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu toàn cục cho hệ phương trình Navier - Stokes trong miền tổng quát

ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH * HNKHCN Lần VI tháng 05/2020 164 Một số kết quả về sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu toàn cục cho hệ phương trình Navier - Stokes trong miền tổng quát Vũ Thị Thùy Dương1,*, Nguyễn Thị Thu Hương 2, 1Khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh 2Khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh * Email: vuthuyduong309@gmail.com Mobile: 0975586775 Tóm tắt Từ khóa: Hệ phương trình Navier-Stokes; Nghiệm yếu, Sự tồn tại nghiệm, Bất đẳng thức năng lượng. Phương trình Parabolic phi tuyến tổng quát có dạng ( , , ).t xu u F x t u  Việc nghiên cứu các phương trình và hệ phương trình parabolic phi tuyến đã đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng. Hiện nay, nhiều vấn đề theo hướng này vẫn còn là vấn đề mở đối với các chuyên gia. Cùng với sự phát triển không ngừng của Toán học cũng như khoa học, kỹ thuật nhiều bài toán liên quan đến sự tồn tại nghiệm cổ điển, tính duy nhất và độ trơn của nghiệm các phương trình Parabolic phi tuyến đã xuất hiện. Hệ phương trình Navier- Stokes là một trong những phương trình Parabolic phi tuyến đang rất được quan tâm, đặc biệt, gần đây có rất nhiều các nghiên cứu về sự tồn tại, tính chính quy, độ trơn và dáng điệu tiệm cận cho các loại nghiệm của hệ phương trình Navier- Stokes. 1. NGHIỆM YẾU TOÀN CỤC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVEIER - STOKES TRONG MIỀN TỔNG QUÁT 1.1. Hệ phương trình Navier - Stokes trong miền tổng quát Giả sử rằng sự chuyển động của dòng chảy được miêu tả bởi hệ phương trình . t u u u u p f      (1) trong đó div 0u  với  0,T , .t x  Hệ phương trình này được gọi là hệ phương trình Navier- Stokes. Phương trình đầu tiên mô tả sự cân bằng của các lực theo định luật II Newton. Điều kiện div 0u  thể hiện dòng chảy là đồng nhất và không nén được. Hằng số 0  được gọi là độ nhớt của dòng chảy. Nó phụ thuộc vào tính chất vật lý của dòng chảy và luôn là hằng số cố định, t u nghĩa là đạo hàm theo hướng thời gian, ta có thể viết ' t d u u u u dt t      . Số hạng 1 1 . ... t t n n u u u u u u u x x              mô tả gia tốc của các hạt nhỏ trong dòng chảy. Số hạng  2 21 ... nu D D u       miêu tả lực ma sát giữa các hạt nhỏ của dòng chảy.  1,..., np D D p  là gradient của áp suất p. Hệ phương trình Navier- Stokes là một hệ thống gồm (n + 1) phương trình đạo hàm riêng với (n + 1) biến  1, ,..., nt x x và (n + 1) hàm chưa biết  1, ,..., np u u . Để nghiên cứu hệ phương trình ta thêm điều kiện biên 0u   (2) nếu   . Điều này có nghĩa là (t,x) 0u  với [0, )t T và x . Do đó ta sẽ thêm điều kiện ban đầu 0 (0)u u (3) là vận tốc ban đầu tại thời điểm t = 0. Điều này có nghĩa là 0 (0, ) ( )u x u x với .x Hệ phương trình (1) cùng với điều kiện (2), (3) được gọi là bài toán với điều kiện hỗn hợp biên ban đầu 0 ,f u cho hệ phương trình Navier- Stokes. Mục tiêu của bài báo là giới thiệu về sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH * HNKHCN Lần VI tháng 05/2020 165 cho hệ phương trình Navier- Stokes trong miền tổng quát 3R . Trong trường hợp n = 2, thì những vấn đề trên đã được giải quyết bởi Olga - Ladyzhenskaya, Viện sĩ Viện hàn lâm Khoa học Nga và được công bố trong [2]. Trong trường hợp n = 3 thì vấn đề về sự tồn tại của nghiệm yếu cho hệ phương trình Navier - Stokes đã được H.Sohr đưa ra trong [5] với miền 3R và trong [1] với miền tổng quát bất kỳ. Tuy nhiên vấn đề về sự duy nhất của nghiệm yếu trong miền tổng quát vẫn còn để ngỏ cho đến ngày nay. Sau H.Sohr, rất nhiều nhà toán học đã nghiên cứu về sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu đối với hệ Navier- Stokes, xem [3], [4], [5] 1.2. Nghiệm yếu của hệ phương trình Navier – Stokes Giả sử 3R là miền tổng quát,  20u L  là giá trị ban đầu, 0 divf f F  trong đó          1 2 2 20 0, ; , 0, ; .loc locf L T L F L T L    Xét hệ phương trình Navier – Stokes trong miền tổng quát:  00 div 0 0 t t u u u u p f u u u u x               (4) Khi đó      2 2 1,20,0, ; 0, ;u L T L L T W     với 0 T  được gọi là nghiệm yếu của hệ phương trình (4) nếu thỏa mãn hệ thức   ,, 0, ,w , w , w ,w 0 t TT T u u uu u           với mọi     0 0,w 0, ; .C T C    Xem [4]. 2. SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU TOÀN CỤC CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES 2.1. Sự tồn tại của nghiệm yếu toàn cục cho hệ phương trình Navier – Stokes Định lý 2.1. Giả sử 3R là một miền bất kỳ, 0 T  và  20u L  và 0 divf f F  trong đó          1 2 2 20 0, ; , 0, ; .loc locf L T L F L T L    Khi đó, tồn tại một nghiệm yếu          2 2 1,20,0, ; 0, ;Wloc locu L T L L T     của hệ phương trình Navier – Stokes (4) với điều kiện ban đầu 0,f u thỏa mãn các tính chất sau a)    2: 0,u T L  là liên tục yếu với   00u u . b) u thỏa mãn bất đẳng thức năng lượng     2 2 2 0 02 22 0 0 0 1 1 , 2 2 , , 0, . t t t u t u d u f u d F u d t T                c) Nghiệm yếu u thỏa mãn     2 2 2 2 0 02,2; ' 2 2,1; '2, ; ' 2,2; ' 1 1 8 2 2 4 , ' 0, . T TT T u t u u f F T T           2.2. Tính duy nhất nghiệm yếu toàn cục cho hệ phương trình Navier - Stokes Để chứng minh tính duy nhất của nghiệm yếu toàn cục của hệ phương trình Navier- Stokes ta cần một số bổ đề và định lý sau. Bổ đề 2.2. Giả sử , 2,3nR n  là một miền bất kỳ, 0 T  và          2 2 1,20,, 0, ; 0, ;Wloc locu v L T L L T     . Khi đó ta có kết luận sau: a)                 2 2 1, ,v t u t u t v t u t v t u t L    và với                               2 2 , , 1 , , 5 2 1 , 0 2 v t u t u t div u t v t u t v t u t u t v t u t div v t u t u t                với hầu khắp  0,t T . b) Với 2 ,2q s    thỏa mãn 2 2 n n q s   và    0 ' , , 0, ' ' , 0T T C C s n C C s n      ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH * HNKHCN Lần VI tháng 05/2020 166 ta có   2 2 1 2, ; ' 2 ,2; ' 2 , ; ' 1 1 1 1 2 , ; ' 2, ; ' 1 11 1 2 2 ' 2,2; ' ' . s s T T T s s s q s T s T s s T T u Cv A u Cv A u u Cv A u u C v E u                      Định lý 2.3. Giả sử , 2,3nR n  là một miền bất kỳ 4 0 ,T s n     cho  20u L  và 0f f divF  trong đó          1 2 2 20 0, ; , 0, ; .loc locf L T L F L T L    Giả sử          2 2 1,20,0, ; 0, ;Wloc locu L T L L T     là nghiệm yếu của hệ phương trình Navier – Stokes (4) với điều kiện ban đầu 0,f u . Khi đó,    2: 0,u T L  là liên tục yếu với   00u u trừ ra những tập có độ đo không trong  0,T . Ta có định lý về đẳng thức năng lượng và tính liên tục mạnh của u . Định lý 2.4. Giả sử 3R là một miền bất kỳ, 0 T  và  20u L  , 0f f divF  trong đó          1 2 2 20 0, ; , 0, ; .loc locf L T L F L T L    Cho          2 2 1,20,0, ; 0, ;Wloc locu L T L L T     là một nghiệm yếu của hệ phương trình Navier – Stokes (4) với điều kiện ban đầu 0,f u và     2 20, ;locuu L T L  . Khi đó    2: 0,u T L  là liên tục mạnh với   00u u trừ ra những tập có độ đo không trong [0; T). Ta thu được đẳng thức năng lượng     2 2 2 02 22 0 0 1 1 , 2 2 t t u t u d u f u d         với mọi  0,t T và bất đẳng thức   2 2 2 2 0 02,2; ' 2 2,1; '2, ; ' 1 2,2; ' 1 2 8 2 4 T TT T u t u u f F          với mọi  ' 0, .T T 2.2.1. Phương pháp làm giảm Giả sử , 1nR n  là một miền bất kỳ 0 0,    là miền bị chặn. Lấy    : ;nrB x y R x y r    là một hình cầu mở tâm x, bán kính 0r  và lấy hàm  0 nF C R thỏa mãn các tính chất sau:    1 1 0 sup 0 ,0 1, 1 B F B F Fdx    (6)    , nF x F x x R    . Lấy  0 , 0nF C R   xác định bởi    1 1: , nF x F x x R     (2.11) Khi đó  sup 0F B và     1 n nR R F x dx F y dy    với 1 , .ny dy dx    Xét hàm bất kỳ  1locu L  và   : 0u x  với mọi x , khi đó  1 nlocu L R và      : , n n R u x F x y u y dy y R    . Nếu u liên tục trên  thì     0 0 lim ,u x u x x     (7) Bổ đề 2.5. Giả sử , 1nR n  là một miền bất kỳ, 1 , .q     Khi đó, với mọi  qu L  , ta có    q qL L F u u    (8) và   0 lim F u u    (9) với chuẩn xác định trong  .qL  Ta sẽ sử dụng hai bất đẳng thức sau để chứng minh tính duy nhất của nghiệm yếu toàn cục cho hệ phương trình Navier – Stokes trong miền tổng quát. Cho 1 1 1, 1 , ' ' p p p p      . Khi đó         1 1 ' ' . (10) p p p p u x v x dx u x dx v x dx                    Bất đẳng thức (10) gọi là bất đẳng thức Holder cho không gian  pL  . Ta cũng cần bất đẳng thức Young  1 1a b a b a b         với , 0.a b  2.2.2. Tính duy nhất nghiệm yếu toàn cục cho hệ phương trình Navier - Stokes trong miền tổng quát Định lý 2.6. Giả sử nR với 2,3n  là một miền bất kỳ, 0 T  và giá trị ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH * HNKHCN Lần VI tháng 05/2020 167  20u L  , 0 divf f F  trong đó          1 2 2 20 0, ; , 0, ; .loc locf L T L F L T L    Cho          2 2 1,20,, 0, ; 0, ;Wloc locu w L T L L T     là hai nghiệm yếu của hệ phương trình Navier – Stokes (4) với điều kiện ban đầu 0,f u thỏa mãn     2 2 2 0 02 22 0 0 1 1 , (11) 2 2 t t u t u d u f u d         với mọi  0,t T và ,2n q s    sao cho 2 1 n q s   . Khi đó, u w trong  0,T . Chứng minh. Nếu u w trong mỗi khoảng  0,T với 0 'T T  thì ta có u w trong cả khoảng  0,T . Vì vậy, ta có thể giả sử 0 T  có           2 1 2 2 2 0 0, ; , 0, ; . n n loc locf L T L F L T L    Theo giả thiết, ta có:     0, ; ns qlocw L T L  suy ra      2 2 20, ; n locww L T L  . Áp dụng Định lý 2.4 ta thu được    2: 0,w T L  là liên tục mạnh với   00w u trừ ra những tập có độ đo bằng không trong  0,T và thỏa mãn đẳng thức năng lượng     2 2 2 02 22 0 0 1 1 , (12) 2 2 t t w t w d u f w d         với mọi  0,t T . Bước tiếp theo ta sẽ chỉ ra rằng         0 2 0 2 0 0 0 0 , 2 , , , (13) , , t t t t t u t w t u w d u f u d f w d uu w d ww u d                           thỏa mãn với mọi  0,t T . Đầu tiên, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng 2 1 n q s   với ,2 .n q s    Khi đó, ta chọn 1 1,q s với 1 12 ,2q s    thỏa mãn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 , , 2 2 2 n n q q s s q s       . Áp dụng Bổ đề 2.2 , ta được  1 1 1 1 1 2 , ; (14) s Tq s T u C E u    và 1 1, ; q s T w  Từ bất đẳng thức Holder suy ra 1 1, , ; , ; 2,2; , < (15) T q s T q s T T ww u C w w u      với   0C C n  . Ta có , , , (16)uu w div uu w u u w          với hầu hết  0,t T . Tiếp theo ta xác định 2 2, 2s q  sao cho 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 , 2 2q q s s     suy ra 2 2 1 1 1 1 1 ,1 q q s s     . Theo Bổ đề 2.2(a) và bất đẳng thức Holder, ta được 2 2 2 2 1 1 1 , ; , ; 1 , ; , ; 2 , ; 2,2; , ; , div , div (17) q s T q s T q s T q s T q s T T q s T uu w uu w C uu w C u u w C u u w            với    1 1 2 20, 0C C n C C n    . Do đó 0 , t uu w d    và 0 , t ww u d    với mọi  0,t T . Vậy         0 2 0 2 0 0 0 0 , 2 , , , , , t t t t t u t w t u w d u f u d f w d uu w d ww u d                           thỏa mãn với mọi  0,t T . Để chứng minh công thức (13) ta sẽ dựa vào phương pháp làm giảm với n = 1. Xét hàm  0F C   với tính chất (6) . Khi đó  0 , 0F C     xác định bởi    1 1: , .F t F t t R      ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH * HNKHCN Lần VI tháng 05/2020 168 và hàm giảm    2: 0,u T L   xác định bởi          0 : : , 0, t u F u t F t u d t T          . Tương tự, ta xác định    0, , , ,w f F uu ww     . Xét 0 '0 <t T T  , cố định 0 0  với 0 0, 0 't T T    và 00    , theo tính chất của phương pháp làm giảm ta được: u ,w  có đạo hàm liên tục mạnh trong  0 , 't T . Ta sẽ cần thêm hàm thử đặc biệt     0 0 0,, , ' ,v h C t T h C         trong điều kiện của nghiệm yếu. Suy ra              0 , , , , , d u t h u t h dt div uu t h f t h F t h                 với mọi  0 , 't t T . Thay  h w t  với  0 , 't t T , ta có                  0 , , , , , d u t w u t w dt div uu t w f t w F t w                     Tương tự ta có            0 , , , , , d w u w u dt div ww u f t u F t u                     với mọi  0 , 't t T . Lấy tổng hai phương trình và lấy tích phân hai vế, ta được        0 0 , , ' , ' , d d u w u w dt dt dt u T w T u t w t                      Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được                           0 0 0 ' 0 0 0 ' ' ' 0 0 ' , ' , 2 , , , , , , , . T t T t T t T t u T w T u t w t u w dt divuu w ww u dt f w f u dt F w F u dt                                             Tiếp theo, ta sẽ xét giới hạn khi 0  . Sử dụng tính chất (9) và các ước lượng (14), (15) và (17) , ta có         2,2; 2,2; 2,2; 2,2;2,2; , , , , T T T TT u u w w ww ww divuu divuu w w               đều dần tới 0 khi 0  . Từ tính chất (7) và tính liên tục của    2: 0,w T L  ta có     20 lim 0w T' w T'    Do    2: 0,u T L  liên tục yếu nên      2 0 lim ' ' , 0,u T u T h h L        . Suy ra         0 lim ' , ' ' , 'u T w T u T w T        Tương tự, thay 'T bằng 0t ta được         0 2 0 0 0 20 lim , 0 , 0 t u t w t u w u     . Vậy cho 0  trong mỗi số hạng của phương trình trên và cho 0 0t  ta chứng minh được (13) với t được thay bởi 'T . Trong phần tiếp theo, ta sẽ chứng minh bất đẳng thức           2 2 2 0 2 0 1 (18) 2 , t t u t w t u w d w u w u w d               với mọi  0 ,t t T . Thật vậy, đầu tiên ta sẽ chỉ ra (18) là hoàn toàn xác định. Từ (14) và Bổ đề 2.2(b), ta có     1 1 1 1 1 1 1 21 1 2 , ; 2, ; 2,2; 22 1 2, ;2,2; (19) s s q s T T T ss TT u w C A u w u w C u w u w               với  1, 0C C s n  . Từ (14), ta có         1 1 1 1 0 1 , ; , ; 2,2; 22 11 2 , ; 2, ;2,2; , (20) t q s T q s T T ss q s T TT w u w u w d C w u w u w C w u w u w                   với    1 1 2 2 10, , 0C C n C C s n    . Vậy (18) là hoàn toàn xác định. Để chứng minh (18) ta sử dụng (16) và đẳng thức ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH * HNKHCN Lần VI tháng 05/2020 169   , , , , . uu w ww u w w u w,u u w w u u                Từ Bổ đề 2.2(a) ta có       2 2 , 1 1 , 0 2 2 w w u u w u w, w w u, w div w u w                 Từ đó suy ra     , , , . uu w ww u w w u u w           (20) Lấy tổng của (11) và (12) trừ đi (13) và sử dụng (20) ta suy ra (18) . Xét 'T bất kỳ với 0 ' TT  , đặt W: u w  và   2'22 ' 2 0 20 ' 1 W sup W W 2 T T t T t d       . Lấy sup cả hai vế của (18) ta được bất đẳng thức '2 ' 0 W 2 W W T T w, d    . Từ (19), thay T bằng 'T và sử dụng bất đẳng thức Young ta có   1 1 2 2 1 2 1' , ; ' 2,2; ' 2,2; ' 2, ; ' 1 , ; ' 2,2; ' 2,2; ' 2, ; ' 2 2 , ; ' ' W W W W W W W W (21) s s T q s T T T T q s T T T T q s T T C w C w C w               với    1 1 2 2 10, , , 0C C n C C s n    . Do     0, ; ns qw L T L  và 2C không phụ thuộc vào 'T ta có thể chọn 'T thỏa mãn 2 , ; ' 1 q s T C w  . Suy ra   22 , ; ' '1 W 0q s T TC w   . Vậy ' W 0 T   hay u w trong  0, 'T . Do 2C không phụ thuộc vào 'T ta có thể lặp lại quá trình trên nếu ' TT  . Ta xác định ,wu bằng cách    : ' ,w : ' ,0 'u u T t w T t t T T       và    0 w 0u  . Khi đó, theo chứng minh trên ta cũng chỉ ra rằng u w trong  ', ''T T với ' ''T T T  . Lặp lại hữu hạn bước quá trình trên ta được u w trong  0,T . Định lý được chứng minh 3. KẾT LUẬN Phương trình Navier - Stokes mô tả chuyển động của dòng chảy chất lỏng và chất khí trong tự nhiên, thường được nhắc tới nhiều trong động lực học chất lưu (Fluid Dynamics). Dựa vào phương trình này, tuỳ vào từng trường hợp cụ thể trong thực tế, ta sẽ có những giá trị tương ứng cho các biến trong phương trình. Sau đó dùng phương pháp số kết hợp lập trình dựa trên phương trình này, ta sẽ có những hình vẽ mô phỏng chuyển động của chất lưu. Từ đó ta có thể dự đoán, thay đổi giá trị và quan sát chỉ đơn giản bằng phần mềm mà không cần thực nghiệm thực tế. Có thể liệt kê một số hiện tượng/sự vật thực tế có sự hiện diện của phương trình Navier - Stokes như: nhiệt lượng lưu thông khi một chiếc máy bay đang bay, dòng nước đang chảy qua những vật cản , luồng khí di chuyển trong một số sự vật hiện tượng Bài báo trình bày về sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu toàn cục của hệ phương trình Navier - Stokes trong miền tổng quát bất kỳ trong không gian ba chiều khi thêm điều kiện (11). Qua đó ta có thể nghiên cứu và mô tả các hiện tượng về sự chuyển động của chất lỏng hay chất khí trong thực tiễn cuộc sống. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Hermann Sohr (2001), The Navier– Stokes Equations, Birkhauser Advanced Texts, Birkhauser Verlag, Basel. [2]. O. A. Ladyzhenskaya (1969), The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flow, Gordon and Breach, New York. [3]. R. Fawig, H. Kozono, H. Sohr (2007), “Energy based regularity critrria for the Navier - Stokes equations”, FB Math., TU Darmstadt. [4]. H. Kozono, H. Sohr (1996), “Remark on uniqueness of weak solutions to the Navier - Stokes equations”, Analysis., Vol 16, pp. 255-271, R. Oldenbourg Verlag Munchen. [5]. R. Fawig, H. Sohr (2009), “Existence, uniqueness and regularity of stationary solutions to inhomogeneous Navier - Stokes equations in nR ”, Czechoslovak Mathematical Journal, Vol 59, pp. 61-79.