Một tiêu chuẩn kiểm tra số vô tỉ và ứng dụng

Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 MỘT TIÊU CHUẨN KIỂM TRA SỐ VÔ TỈ VÀ ỨNG DỤNG Phạm Văn Hoằng, Hội Toán học HN; Nguyễn Chí Quân, Lớp CLC, Khoa Toán, ĐHSP HN Tóm tắt nội dung Đặt vấn đề: Trong bài báo [1], chúng tôi đã xem xét bài toán tìm giới hạn của một số dãy tổng riêng. Một vấn đề đáng quan tâm là giới hạn của các dãy tổng riêng là số vô tỉ hay hữu tỉ. Bài báo này, chúng tôi tập trung vào việc đưa ra tiêu chuẩn để một số thực là số vô tỉ, từ đó ứng dụng để xem xét giới hạn của các dãy tổng riêng và một số bài toán liên quan. 1 Một số khái niệm Cho a là một số thực. Ta nói phần nguyên của a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a, kiế hiệu là [a]. Phần lẻ của a được xác định a− [a], kí hiệu {a}. Như vậy, ta luôn có 0 ≤ {a} < 1. Nếu 0 ≤ a < 1 thì {a} = a. Xét dãy số (un), ta xét dãy tổng riêng (Sn) được xây dựng như sau: Sn = u1 + u2 + · · ·+ un. Nếu (Sn) có giới hạn là c thì ta kí hiệu: u1 + u2 + · · ·+ un + · · · = +∞ ∑ 1 ui. Chẳng hạn, nếu un = u1.qn, n = 1, 2 . . . thì với 0 < q < 1, ta có công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: u1 + u2 + ..+ un + · · · = u11− q . Ta dễ thấy x +∞ ∑ 1 ui = +∞ ∑ 1 (x.ui). 2 Kết quả chính Ta có nhận xét như sau: Nếu a là số hữu tỉ thì luôn tồn tại số nguyên n sao cho {na} = 0. Câu hỏi đặt ra là nếu a là số vô tỉ thì có tồn tại n nguyên sao cho {na} = 0? Bài toán 2.1. Cho α là số vô tỉ. Với e > 0 tùy ý, luôn tồn tại n sao cho 0 < {nα} < e. Chứng minh. Xét khai triển thập phân của α α = A, a1a2 . . . an.. 1 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 Khai triển này là thập phân vô hạn không tuần hoàn. Theo nguyên lý Dirichle, với mỗi p, tồn tại i > j sao cho 0 < |{(10i − 10j)α}| = |0, aiai+1 . . .− 0, ajaj+1 . . .| < 2. +∞ ∑ i=p+1 9 10i = 2 10p Từ đó, với e > 0 bất kì, chọn n0 sao cho 2 10n0 < e, ta sẽ thu được đpcm. Bài toán 2.2. Cho α là một số vô tỉ. tập {nα, n ∈ Z} là trù mật trong đoạn [0; 1]. Theo Bài toán 1, với e > 0 bất kì thì tồn tại n0 sao cho {n0α} < e. |{nα} − {x}| < λ. Giả sử {nα} = c. Khi đó, k ∈ Z sao cho |{knα} − x| < c. Như vậy, ta cần chứng minh: ∀ε > 0 bất kì thì tồn tại n ∈ Z sao cho n0α = k+ c. Với x ∈ [0; 1] bất kì, ∃n1 ∈ Z sao cho n1c ≤ x ≤ (n1 + 1)c⇒ n1c < 1. Khi đó, |{n1n0α} − x| = |{n1k+ n1c} − x| = |n1c− x| < c < e. ⇒ {nα} trù mật trên [0; 1]. Như vậy ta thấy một tính chất của số vô tỉ: {nα} có thể nhỏ tùy ý nhưng khác 0. Và ta có một kết quả mạnh hơn: Định lý 2.1. α là số vô tỉ⇔ ∀e > 0, ∃n ∈ Z sao cho 0 < {nα} < e. Chứng minh, ⇒: Giả sử α là số vô tỉ. Theo Bài toán 1, ta có ∀e > 0, ∃n ∈ Z sao cho 0 < {nα} < e. ⇔: Giả sử α là số thực thỏa mãn ∀e > 0, ∃n ∈ Z sao cho 0 < {nα} < e. Giả sử phản chứng α không là số vô tỉ, vậy α ∈ Q. Khi đó, tồn tại n ∈N∗ sao cho nα ∈ Z. Khi đó, lấy 0 < ε < min{{α}, {2α}, . . . , {(n− 1)α}}, ta sẽ thấy được điều mâu thuẫn. Từ đó ta sẽ thu được điều phải chứng minh. Như vậy, ta thấy được thêm môt tính chất khác biệt nữa giữa số hữu tỉ và số vô tỉ. Đây có thể coiĐịnh lí 1 như là một tiêu chuẩn để chứng minh giới hạn của một dãy tổng riêng là số vô tỉ hay số hữu tỉ. 3 Một số ứng dụng 3.1 Tính chất giới hạn dãy tổng riêng dạng nghịch đảo Bài toán 3.1. Cho dãy số dương (un) thỏa mãn tính chất u1 ∈N∗; un+1un ∈N ∗, n = 1, 2, 3, . . . (3.1) Xét dãy số Sn được xác định bởi Sn = n ∑ i=1 1 ui . Giả sử dãy (sn) hội tụ đến c. 2 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 Khi đó: a) c là số vô tỉ nếu lim n→∞ un+1 un = +∞. b) c là số hữu tỉ nếu lim n→∞ un+1 un = a < +∞. Chứng minh. a) Giả sử lim n→∞ un+1 un = +∞. Với 0 < e < 1, xét λ = e 1+ e , tồn tại n0 ∈ N sao cho un un+1 < λ, ∀n ≥ n0. Khi đó, ta có un.Sm = m ∑ 1 un un+i ≤ m∑ 1 λi = λ 1− λm 1− λ . Vậy ta có un un+1 < un.Sm < λ 1− λm 1− λ . Cho m→ ∞, ta được un un+1 < un.c < λ 1− λ = e < 1. Vậy 0 < {un.c} = un.c < e. Theo Định lí 1, c là số vô tỉ. b) Giả sử lim n→∞ un+1 un = a < +∞. Khi đó, với 0 < e < 1 2 , ∃n0N, sao cho ∀n ≥ n0 thì a− e ≤ un+1 un ≤ a+ e. Vì (a+ e)− (a− e) = 2e < 1 và un+1 un ∈N∗ nên tồn tại k ∈N∗ để un+1 un = k, ∀n ≥ n0. Ta có c = ∞ ∑ 1 1 ui = + ∞ ∑ n0 un0 ui = n0−1 ∑ 1 1 ui + 1 un0 ∞ ∑ 0 1 ki = n0−1 ∑ 1 1 ui + 1 un0 . 1 1− 1k ∈ Q. Hệ quả 3.1. e là số vô tỉ. Thật vậy, ta có khai triển e = 2+ ∞ ∑ 1 1 i! . Đây là trường hợp đặc biệt của Bài toán 3 với ui = i! và limn→∞ un+1 un = lim n→∞(n+ 1) = +∞ nên ∞ ∑ 1 1 i! là số vô tỉ và e là số vô tỉ. 3.2 Tính chất giới hạn dãy tổng riêng theo khai triển hệ cơ số 2 Trong mục này, ta xét dãy số (un) được xác định bởi un = n ∑ i=1 ci 2i , ci = 0 hoặc ci = 1 (3.2) Ta có dãy (un) hội tụ ( dãy tăng bị chặn trên bởi 1 ) về số thực không âm c và 0 ≤ c ≤ 1. Bài toán 3.2. Biết rằng dãy (un) thỏa mãn điều kiện (3.2) và ck(k+1) = 1 với k ∈ N và ci = 0 trong các trường hợp còn lại. Chứng minh rằng c là số vô tỉ. Ta có 1 22n+2 < {2n(n+1)c} = {2n(n+1) n∑ i=1 ci 2i } = 2n(n+1) n ∑ i=1 ci 2i < 1 22n+1 Từ đó ta suy ra được c thỏa mãn điều kiện Định lí 1. Vậy c là một số vô tỉ (đpcm). Tiếp theo, ta đặt δ(n) là chỉ số mang chữ số 1 thứ n tính từ bên trái sang. Đặt φ(n) = δ(n) − δ(n − 1), áp dụng cách chứng minh của bài 2 ta nhận được kết quả sau: 3 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 Bài toán 3.3. Cho dãy (un) thỏa mãn điều kiện (3.2). Nếu lim n→+∞ sup φ(n) = +∞ thì c là giá trị vô tỉ. Bây giờ ta xét trường hợp lim n→+∞ sup φ(n) = c1 < +∞ Khi đó, ta có lim n→+∞ inf φ(n) ≤ limn→+∞ sup φ(n) < +∞ . Tức là tồn tại lim n→+∞ inf φ(n) = c2 < +∞ Ta có thể chỉ ra một trường hợp mà c là giá trị hữu tỉ. Ví dụ 3.1. Xét dãy (un) trong đó c3i+2 = 0∀i ∈N, còn lại bằng 1. Dễ dàng chỉ ra +∞ ∑ i=1 ci 2i = 5 7 , lim n→+∞ inf φ(n) = 1 và limn→+∞ sup φ(n) = 2. Câu hỏi đặt ra bây giờ đó là: Liệu có tồn tại trường hợp +∞ ∑ i=1 ci 2i là một giá trị vô tỉ hay không? Câu trả lời là có. Ví dụ 3.2. Ta xét dãy số (un) xác định như sau +∞ ∑ i=1 ci 2i sao cho: δ(1) = 3,φ(n) = δ(n)− δ(n− 1) = n+ 2. Theo KQ trên thì +∞ ∑ i=1 ci 2i là số vô tỉ. Khi đó, 1- +∞ ∑ i=1 ci 2i cũng là số vô tỉ, limn→+∞ inf φ(n) = 1 và limn→+∞ sup φ(n) = 2. Như vậy, trong trường hợp lim n→+∞ sup φ(n) < +∞ thì ta chưa thể kết luận được gì về giá trị hội tụ của chuỗi số. Như ta đã biết, khi viết một số hữu tỉ dưới dạng thập phân thì sẽ có hai trường hợp: hữu hạn hoặc là vô hạn tuần hoàn. Liệu điều đó có đúng cho các hệ cơ số khác? Ta có kết quả sau cho hệ cơ số 2: Bài toán 3.4. Khi khai triển một số hữu tỉ sang hệ cơ số 2 thì khai triển đó, hoặc là hữu hạn hoặc là vô hạn tuần hoàn-tức là tồn tại n0,k nguyên dương sao cho an+k = an ∀n ≥ n0. Chứng minh. Ta chỉ cần xét các số hữu tỉ m n < 1. Có 3 trường hợp xảy ra: + n lẻ. Khi đó: Chọn số j nhỏ nhất sao cho: n|2j − 1. Xét khai triển nhị phân của m(2j − 1) n = q ∑ i=1 2q−iai (aq−1 6= 0) Dễ dàng thấy được q ≤ j. Đặt: ai = 0 ∀q < i ≤ j. Khi đó m n = j ∑ i=1 2j−iai 2j − 1 = 0, (a1a2 . . . aj)2. + n = 2k với k ≥ 1. Trường hợp này là hiển nhiên. 4 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 + n = 2ka với k ≥ 1,a lẻ và a > 1. Chọn số p nguyên sao cho: pa < m < (p+ 1)a và viết p = q ∑ i=1 2q−iai (aq−1 6= 0) Dễ dàng thấy được q ≤ k . Khi đó 2k( m 2ka − q ∑ i=1 2q−iai 2k ) = m− pa a < 1. Theo chứng minh trên thì 2k( m 2ka − q ∑ i=1 2q−iai 2k ) có khai triển sang hệ sơ số 2 là vô hạn tuần hoàn. Suy ra m n có khai triển sang hệ cơ số 2 là vô hạn tuần hoàn. Như vậy, bài toán được chứng minh. 3.3 Hàm liên tục trên R có tỷ số hai chu kì là một số vô tỉ Ta nói hàm f (x) tuần hoàn với chu kì T trên tập D nếu ∀x ∈ D, x + T ∈ D và f (x+ T) = f (x), ∀x ∈ D. Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên gọi là chu kì cơ bản của hàm f (x). Định nghĩa 3.1. Hàm số g(x) được gọi là liên tục đều trên tập E ⊂ R nếu ∀ε > 0, tồn tại λ sao cho |g(x)− g(y)| < ε ∀x, y ∈ E và |x− y| < λ. Ta có kết quả sau: Bài toán 3.5. Cho hàm số f (x) liên tục trên R, tuần hoàn với hai chu kì T1 , T2 sao cho T1T2 là số vô tỉ. Chứng minh khi đó f (x) là hàm hằng. Sử dụng phép biến đổi hàm : f (x)→ f (T2x), ta có thể coi hàm số f (x) có chu kì tuần hoàn là 1 và α = T1T2 ∈ I. Ta sẽ chứng minh kết quả: ∀x ∈ R, ∀λ > 0 tùy ý, tồn tại m, nN∗ sao cho |nα−m− x| < λ (3.3) Vì α ∈ I nên theo Định lí 1, lấy được n0 sao cho n0α = c, 0 < c < λ. Ta chọn n1 sao cho n1c ≤ {x} < (n+ 1)c Giả sử n0α = k+ c, (k ∈ Z), suy ra n1n0α = n1k+ n1c. Đặt n = n1n0,m = n1k− [x]. Khi đó, |nα− m− x| = |n1n0 − n1k+ [x]− x| = |n1c− {x}| < c < λ. Như vậy, bất đẳng thức 3.3 được chứng minh. Nhận xét 3.1. Ta dễ dàng chứng minh được hàm f (x) là hàm số liên tục đều trên R. Xét f (−x), (x bất kì). Vì f có chu kì bằng 1, nên ta có: f (−x) = f (n− x), ∀n ∈ Z f (0) = f (m), ∀m ∈ Z Theo tính chất liên tục đều, và theo bất đẳng thức 3.3, với cách chọn m, n như trên ⇒ | f (nα)− f (m)| < e⇒ | f (−x)− f (0)| < e Do e có thể nhỏ tùy ý nên f là hàm hằng. 5 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 Tài liệu [1] Phạm Văn Hoằng, Một số phương pháp tính giới hạn của dãy tổng riêng, Kỷ yếu Hội thảo Hội Toán học Hà Nội, Lạng Sơn, tháng 3-năm 2019, 79-85. [2] Đoàn Quỳnh (CB), Tài liệu chuyên toán, NXB GDVN, 2016. Số điện thoại liên hệ: 0988.667.555 6