Ôn tập tóm tắt chương trình thi đại học môn toán

PHẦN MỘT: ÔN TẬP TÓM TẮT CHƯƠNG TRÌNH THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN I- GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1. Giai thừa : n! = 1.2...n 0! = 1 n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) ... n 2. Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn; mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là : m + n. 3. Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n cách chọn hiện tượng 2. Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là : m x n. 4. Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau. Số cách xếp : Pn = n !. 5. Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. Số cách chọn : )!kn(!k !nCkn −= 6. Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số cách : = =− k k n n n!A , A (n k)! k n kC .P Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vị 7. Tam giác Pascal : 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 4 4 3 4 2 4 1 4 0 4 3 3 2 3 1 3 0 3 2 2 1 2 0 2 1 1 0 1 0 0 CCCCC CCCC CCC CC C Tính chất : k 1n k n 1k n kn n k n n n 0 n CCC CC,1CC +− − =+ === 8. Nhị thức Newton : * n0nn11n1n0n0nn baC...baCbaC)ba( +++=+ − a = b = 1 : ... 0 1 nn n nC C ... C 2+ + + = n Với a, b ∈ {±1, ±2, ...}, ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa : nn1n0n C,...,C,C * nnn1n1nn0nn xC...xaCaC)xa( +++=+ − Ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa bằng cách : nn1n0n C,...,C,C - Đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, ... a = ±1, ±2, ... TRANG 1 - Nhân với xk , đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, ... , a = ±1, ±2, ... - Cho a = ±1, ±2, ..., hay ∫∫ ±± 2 0 1 0 ...hay β α ∫ Chú ý : * (a + b)n : a, b chứa x. Tìm số hạng độc lập với x : k n k k mnC a b Kx − = Giải pt : m = 0, ta được k. * (a + b)n : a, b chứa căn . Tìm số hạng hữu tỷ. m r k n k k p q nC a b Kc d − = Giải hệ pt : ⎩⎨ ⎧ ∈ ∈ Zq/r Zp/m , tìm được k * Giải pt , bpt chứa : đặt điều kiện k, n ∈ N...C,A knkn * ..., k ≤ n. Cần biết đơn giản các giai thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung. * Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vị (xếp, không bốc), tổ hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc rồi xếp). * Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp hoặc thiếu trường hợp. * Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta thấy số cách chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau : số cách chọn thỏa p. = số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p. Cần viết mệnh đề phủ định p thật chính xác. * Vé số, số biên lai, bảng số xe ... : chữ số 0 có thể đứng đầu (tính từ trái sang phải). * Dấu hiệu chia hết : - Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8. - Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4. - Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8. - Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3. - Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9. - Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5. - Cho 6 : chia hết cho 2 và 3. - Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75. II- ĐẠI SỐ 1. Chuyển vế : a + b = c ⇔ a = c – b; ab = c ⇔ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎩⎨ ⎧ = ≠ == b/ca 0b 0cb a/b = c ⇔ ; ⎩⎨ ⎧ ≠ = 0b bca 1n21n2 baba ++ =⇔= TRANG 2 2n 2n 2n 2n b aa b a b, a b a 0 ⎧ == ⇔ = ± = ⇔ ⎨ ≥⎩ ⎩⎨ ⎧ α=⇔=≥ ±=⇔= α abbloga,0a ab ba ⎩⎨ ⎧ > < ⎩⎨ ⎧ < > >= ⇔<−<⇔<+ b/ca 0b b/ca 0b 0c,0b cab;bcacba 2. Giao nghiệm : ⎩⎨ ⎧ <⇔< < ⎩⎨ ⎧ >⇔> > }b,amin{x bx ax ;}b,amax{x bx ax ⎧⎨Γ⎧ > ∨< < < ⎧ ⎩⇔ ⇔⎨ ⎨< Γ≥ ⎧⎩⎩ ⎨Γ⎩ p x a p qa x b(nếua b) ; x b VN(nếua b) q Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm. 3. Công thức cần nhớ : a. : chỉ được bình phương nếu 2 vế không âm. Làm mất phải đặt điều kiện. ⎩⎨ ⎧ ≤≤ ≥ ⎩⎨ ⎧ ⇔≤= ≥⇔= 22 ba0 0b ba, ba 0b ba ⎩⎨ ⎧ ≥ ≥ ⎩⎨ ⎧ ∨≥ <⇔≥ 2ba 0b 0a 0b ba )0b,anếu(b.a )0b,anếu(b.aab <−− ≥= b. . : phá . bằng cách bình phương : 22 aa = hay bằng định nghĩa : )0anếu(a )0anếu(a a <− ≥= baba; ba 0b ba ±=⇔=⎩⎨ ⎧ ±= ≥⇔= a b b a ≤ ⇔ − ≤ ≤ b b 0 a b b 0hay a b a ≥⎧≥ ⇔ < ⎨ ≤ − ∨ ≥⎩ b 0baba 22 ≤−⇔≤ c. Mũ : .1a0nếuy,1anếuy,0y,Rx,ay x ↑>∈= TRANG 3 0 m / n m m n m nn m n m n m n m.n n n n n n n m n a 1 ; a 1/ a ; a .a a a / a a ; (a ) a ; a / b (a/ b) a .b (ab) ; a a (m n,0 a 1) a = 1 − + − = = = = = = = = ⇔ = < ≠ ∨ α=α ><⇔< alognm a, )1a0nếu(nm )1anếu(nm aa d. log : y = logax , x > 0 , 0 < a ≠ 1, y ∈ R y↑ nếu a > 1, y↓ nếu 0 < a < 1, α = logaaα loga(MN) = logaM + logaN (⇐ ) loga(M/N) = logaM – logaN (⇐ ) 2aaa2a MlogMlog2,Mlog2Mlog == (⇒) logaM3 = 3logaM, logac = logab.logbc logbc = logac/logab, Mlog 1Mlog aa α=α loga(1/M) = – logaM, logaM = logaN ⇔ M = N a a 0 M N(nếua 1) log M log N M N 0(nếu0 a 1 > < < ) Khi làm toán log, nếu miền xác định nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh dùng công thức làm thu hẹp miền xác định. Mất log phải có điều kiện. 4. Đổi biến : a. Đơn giản : Rxlogt,0at,0xt,0xt,0xt,Rbaxt ax2 ∈=>=≥=≥=≥=∈+= Nếu trong đề bài có điều kiện của x, ta chuyển sang điều kiện của t bằng cách biến đổi trực tiếp bất đẳng thức. b. Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện của t. Nếu x có thêm điều kiện, cho vào miền xác định của f. c. Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx. Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều kiện của t. d. Hàm số hợp : từng bước làm theo các cách trên. 5. Xét dấu : a. Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) : không đổi dấu. b. Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) 0. c. Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm được : xét tính liên tục và đơn điệu của f, nhẩm 1 nghiệm của pt f(x) = 0, phác họa đồ thị của f , suy ra dấu của f. 6. So sánh nghiệm phương trình bậc 2 với α : f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) * S = x1 + x2 = – b/a ; P = x1x2 = c/a TRANG 4 Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm. Với đẳng thức g(x1,x2) = 0 không đối xứng, giải hệ pt : ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = += = 21 21 x.xP xxS 0g Biết S, P thỏa S2 – 4P ≥ 0, tìm x1, x2 từ pt : X2 – SX + P = 0 * Dùng Δ, S, P để so sánh nghiệm với 0 : x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0, 0 < x1 < x2 ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > > >Δ 0S 0P 0 x1 < x2 < 0 ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ < > >Δ 0S 0P 0 * Dùng Δ, af(α), S/2 để so sánh nghiệm với α : x1 < α < x2 ⇔ af(α) < 0 α < x1 < x2 ⇔ ; x⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ <α >α >Δ 2/S 0)(f.a 0 1 < x2 < α ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ α< >α >Δ 2/S 0)(f.a 0 α < x1 < β < x2 ⇔ a.f( ) 0 a.f( ) 0 β ⎨⎪ α < β⎩ ; x1 < α < x2 < β ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ β<α >β <α 0)(f.a 0)(f.a 7. Phương trình bậc 3 : a. Viête : ax3 + bx2 + cx + d = 0 x1 + x2 + x3 = – b/a , x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a , x1.x2.x3 = – d/a Biết x1 + x2 + x3 = A , x1x2 + x1x3 + x2x3 = B , x1.x2.x3 = C thì x1, x2, x3 là 3 nghiệm phương trình : x3 – Ax2 + Bx – C = 0 b. Số nghiệm phương trình bậc 3 : • x = α ∨ f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) : 3 nghiệm phân biệt ⇔ ⎩⎨ ⎧ ≠α >Δ 0)(f 0 2 nghiệm phân biệt ⇔ ⎩⎨ ⎧ ≠α =Δ∨⎩⎨ ⎧ =α >Δ 0)(f 0 0)(f 0 1 nghiệm ⇔ ( ) Δ⎧Δ ⎨ α⎩ = 0 < 0 hay f = 0 • Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao giữa (C) : y = f(x) và (d) : y = m. • Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao giữa (Cm) : y = f(x, m) và (Ox) : y = 0 TRANG 5 3 nghiệm ⇔ ⎩⎨ ⎧ < >Δ 0y.y 0 CTCĐ 'y 2 nghiệm ⇔ ⎩⎨ ⎧ = >Δ 0y.y 0 CTCĐ 'y 1 nghiệm ⇔ Δy' ≤ 0 ∨ ⎩⎨ ⎧ > >Δ 0y.y 0 CTCĐ 'y c. Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành CSC : ⇔ ⎩⎨ ⎧ = >Δ 0y 0 uốn 'y d. So sánh nghiệm với α : • x = xo ∨ f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) : so sánh nghiệm phương trình bậc 2 f(x) với α. • Không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của f(x) = y: (C) và y = m: (d) , đưa α vào BBT. • Không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của (Cm) : y = ax3 + bx2 + cx + d (có m) ,(a > 0) và (Ox) α < x1 < x2 < x3 ⇔ y ' CĐ CT CĐ 0 y .y 0 y( ) 0 x Δ >⎧⎪ <⎪⎨ α <⎪⎪α <⎩ α x1 x1 < α < x2 < x3 ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ <α >α < >Δ CT CTCĐ 'y x 0)(y 0y.y 0 αx1 x x x1 < x2 < α < x3 ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ α< <α < >Δ CĐ CTCĐ 'y x 0)(y 0y.y 0 α x1 x x x1 < x2 < x3 < α ⇔ y ' CĐ CT CT 0 y .y 0 y( ) 0 x Δ >⎧⎪ ⎪⎪ < α⎩ α x1 x x 8. Phương trình bậc 2 có điều kiện : TRANG 6 f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), x ≠ α 2 nghiệm ⇔ , 1 nghiệm ⇔ ⎩⎨ ⎧ >Δ ≠α 0 0)(f ⎩⎨ ⎧ ≠α =Δ ⎩⎨ ⎧ =α >Δ 0)(f 0 0)(f 0 Vô nghiệm ⇔ Δ < 0 ∨ ⎩⎨ ⎧ =α =Δ 0)(f 0 Nếu a có tham số, xét thêm a = 0 với các trường hợp 1 nghiệm, VN. 9. Phương trình bậc 4 : a. Trùng phương : ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0) ⇔ ⎩⎨ ⎧ = ≥= 0)t(f 0xt 2 t = x2 ⇔ x = ± t 4 nghiệm ⇔ ; 3 nghiệm ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > > >Δ 0S 0P 0 ⎩⎨ ⎧ > = 0S 0P 2 nghiệm ⇔ ; 1 nghiệm ⇔ ⎩⎨ ⎧ > =Δ < 02/S 0 0P ⎩⎨ ⎧ = =Δ ⎩⎨ ⎧ < = 02/S 0 0S 0P VN ⇔ Δ < 0 ∨ ⇔ Δ < 0 ∨ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ < > ≥Δ 0S 0P 0 0 0 P S ⎧⎪ >⎨⎪ <⎩ 4 nghiệm CSC ⇔ ⎩⎨ ⎧ = << 12 21 t3t tt0 Giải hệ pt : ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = += = 21 21 12 t.tP ttS t9t b. ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0. Đặt t = x + x 1 . Tìm đk của t bằng BBT : 2t ≥ c. ax4 + bx3 + cx2 – bx + a = 0. Đặt t = x – x 1 . Tìm đk của t bằng BBT : t ∈ R. d. (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + b = c + d. Đặt : t = x2 + (a + b)x. Tìm đk của t bằng BBT. e. (x + a)4 + (x + b)4 = c. Đặt : 2 baxt ++= , t ∈ R. TRANG 7 10. Hệ phương trình bậc 1 : ⎩⎨ ⎧ =+ =+ 'cy'bx'a cbyax . Tính : D = 'b b 'a a , Dx = 'b b 'c c , Dy = 'c c 'a a D ≠ 0 : nghiệm duy nhất x = Dx/D , y = Dy/D. D = 0, Dx ≠ 0 ∨ Dy ≠ 0 : VN D = Dx = Dy = 0 : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết). 11. Hệ phương trình đối xứng loại 1 : Từng phương trình đối xứng theo x, y. Đạt S = x + y, P = xy. ĐK : S2 – 4P ≥ 0. Tìm S, P. Kiểm tra đk S2 – 4P ≥ 0; Thế S, P vào pt : X2 – SX + P = 0, giải ra 2 nghiệm là x và y. (α, β) là nghiệm thì (β, α) cũng là nghiệm; nghiệm duy nhất ⇒ α = β ⇒ m = ? Thay m vào hệ, giải xem có duy nhất nghiệm không. 12. Hệ phương trình đối xứng loại 2 : Phương trình này đối xứng với phương trình kia. Trừ 2 phương trình, dùng các hằng đẳng thức đưa về phương trình tích A.B = 0. Nghiệm duy nhất làm như hệ đối xứng loại 1. 13. Hệ phương trình đẳng cấp : ⎩⎨ ⎧ =++ =++ 'dy'cxy'bx'a dcybxyax 22 22 Xét y = 0. Xét y ≠ 0 : đặt x = ty, chia 2 phương trình để khử t. Còn 1 phương trình theo y, giải ra y, suy ra t, suy ra x. Có thể xét x = 0, xét x ≠ 0, đặt y = tx. 14. Bất phương trình, bất đẳng thức : * Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng cơ bản của ., , log, mũ có thể giải trực tiếp, các dạng khác cần lập bảng xét dấu. Với bất phương trình dạng tích AB < 0, xét dấu A, B rồi AB. * Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều số âm : có đổi chiều Chia bất phương trình : tương tự. * Chỉ được nhân 2 bất pt vế theo vế , nếu 2 vế không âm. * Bất đẳng thức Côsi : a, b ≥ 0 : ab 2 ba ≥+ Dấu = xảy ra chỉ khi a = b. a, b, c ≥ 0 : 3 abc 3 cba ≥++ Dấu = xảy ra chỉ khi a = b = c. * Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2).(c2 + d2); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d 15. Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm : TRANG 8 Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x) và (d) : y = m. Số nghiệm bằng số điểm chung. Nếu có điều kiện của x ∈ I, lập BBT của f với x ∈ I. 16. Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn luôn nghiệm, có nghiệm x ∈ I : Nếu tách được m, dùng đồ thị, lập BBT với x ∈ I. f(x) ≤ m : (C) dưới (d) (hay cắt) f(x) ≥ m : (C) trên (d) (hay cắt) III- LƯỢNG GIÁC + 2π 0 2− π 1. Đường tròn lượng giác : Trên đường tròn lượng giác, góc α đồng nhất với cung AM, đồng nhất với điểm M. Ngược lại, 1 điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số các số thực x + k2π. 2− π 2π0 Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các góc đặc biệt : bội của 6 π ( 3 1 cung phần tư) và 4 π ( 2 1 cung phần tư) α 0A x+k2π M x = α + n k2 π : α là 1 góc đại diện, n : số điểm cách đều trên đường tròn lượng giác. 2. Hàm số lượng giác : 3. Cung liên kết : * Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hiệu π (ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cos đối, tg cotg hiệu π). cotg chiếu xuyên tâm tg Mcos chiếu ⊥ sin M * Đổi hàm, không đổi dấu : phụ * Đổi dấu, đổi hàm : hiệu 2 π (sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu). 4. Công thức : a. Cơ bản : đổi hàm, không đổi góc. b. Cộng : đổi góc a ± b, ra a, b. c. Nhân đôi : đổi góc 2a ra a. d. Nhân ba : đổi góc 3a ra a. e. Hạ bậc : đổi bậc 2 ra bậc 1. Công thức đổi bậc 3 ra bậc 1 suy từ công thức nhân ba. f. Đưa về 2 atgt = : đưa lượng giác về đại số. g. Tổng thành tích : đổi tổng thành tích và đổi góc a, b thành (a ± b) / 2. h. Tích thành tổng : đổi tích thành tổng và đổi góc a, b thành a ± b. TRANG 9 5. Phương trình cơ bản : sinα = 0⇔ cosα = – 1 hay cosα = 1⇔ α = kπ, sinα = 1 ⇔ α = 2 π + k2π; sinα = –1 ⇔ α = – 2 π + k2π, cosα = 0 ⇔ sinα = –1 hay sinα = 1 ⇔ α = 2 π + kπ, cosα = 1 ⇔ α = k2π, cosα = – 1 ⇔ α = π + k2π sinu = sinv ⇔ u = v + k2π ∨ u = π – v + k2π cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2π tgu = tgv ⇔ u = v + kπ cotgu = cotgv ⇔ u = v + kπ 6. Phương trình bậc 1 theo sin và cos : asinu + bcosu = c * Điều kiện có nghiệm : a2 + b2 ≥ c2 * Chia 2 vế cho 22 ba + , dùng công thức cộng đưa về phương trình cơ bản. (cách khác : đưa về phương trình bậc 2 theo 2 utgt = ) 7. Phương trình đối xứng theo sin, cos : Đưa các nhóm đối xứng về sin + cos và sin.cos. Đặt : t = sinu + cosu = 2t 12 sin u , 2 t 2,sin u.cos u 4 2 π −⎛ ⎞+ − ≤ ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 8. Phương trình chứa ⏐sinu + cosu⏐ và sinu.cosu : Đặt : 2 12 0 2 4 2 tt sinu cosu sin u , t ,sinu.cosuπ −⎛ ⎞= + = + ≤ ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 9. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu : Đặt : π −⎛ ⎞= − = − − ≤ ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 21 tt sin u cos u 2 sin u , 2 t 2,sin u.cos u 4 2 10. Phương trình chứa ⏐sinu – cosu⏐ và sinu.cosu : Đặt : 212 0 2 4 2 tt sinu cosu sin u , t ,sinu.cosuπ −⎛ ⎞= − = − ≤ ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 11. Phương trình toàn phương (bậc 2 và bậc 0 theo sinu và cosu) : Xét cosu = 0; xét cosu ≠ 0, chia 2 vế cho cos2u, dùng công thức 1/cos2u = 1 + tg2u, đưa về phương trình bậc 2 theo t = tgu. 12. Phương trình toàn phương mở rộng : * Bậc 3 và bậc 1 theo sinu và cosu : chia 2 vế cho cos3u. * Bậc 1 và bậc – 1 : chia 2 vế cho cosu. 13. Giải phương trình bằng cách đổi biến : Nếu không đưa được phương trình về dạng tích, thử đặt : * t = cosx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x. * t = sinx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π – x. * t = tgx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π + x. * t = cos2x : nếu cả 3 cách trên đều đúng TRANG 10 * t = tg 2 x : nếu cả 3 cách trên đều không đúng. 14. Phương trình đặc biệt : * ⎩⎨ ⎧ = =⇔=+ 0v 0u 0vu 22 * ⎩⎨ ⎧ = =⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥ ≤ = Cv Cu Cv Cu vu * ⎩⎨ ⎧ = =⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +=+ ≤ ≤ Bv Au BAvu Bv Au * sinu.cosv = 1 ⇔ ⎩⎨ ⎧ −= −=∨⎩⎨ ⎧ = = 1vcos 1usin 1vcos 1usin * sinu.cosv = – 1 ⇔ ⎩⎨ ⎧ = −=∨⎩⎨ ⎧ −= = 1vcos 1usin 1vcos 1usin Tương tự cho : sinu.sinv = ± 1, cosu.cosv = ± 1. 15. Hệ phương trình : Với F(x) là sin, cos, tg, cotg a. Dạng 1 : ⎩⎨ ⎧ =± =± )2(nyx )1(m)y(F)x(F . Dùng công thức đổi + thành nhân, thế (2) vào (1) đưa về hệ phương trình : ⎩⎨ ⎧ =− =+ byx ayx b. Dạng 2 : ⎩⎨ ⎧ =± = nyx m)y(F).x(F . Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân thành +. c. Dạng 3 : ⎩⎨ ⎧ =± = nyx m)y(F/)x(F . Dùng tỉ lệ thức : db ca db ca d c b a − −=+ +⇔= biến đổi phương trình (1) rồi dùng công thức đổi + thành x. d. Dạng khác : tìm cách phối hợp 2 phương trình, đưa về các pt cơ bản. 16. Toán Δ : * Luôn có sẵn 1 pt theo A, B, C : A + B + C = π * A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2. * A, B, C ∈ (0, π) ; A/2, B/2, C/2 ∈ (0, π/2) A + B ∈ (0, π) ; (A + B)/2 ∈ (0, π/2) ; A – B ∈ (– π, π) , (A – B)/2 ∈ (– π/2, π/2) Dùng các tính chất này để chọn k. * Đổi cạnh ra góc (đôi khi đổi góc ra cạnh) : dùng định lý hàm sin : TRANG 11 a = 2RsinA hay định lý hàm cos : a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA * pr R4 abcCsinab 2 1ah 2 1S a ==== )cp)(bp)(ap(p −−−= * Trung tuyến : 222a ac2b22 1m −+= * Phân giác : ℓa = cb 2 Acosbc2 + IV- TÍCH PHÂN 1. Định nghĩa, công thức, tính chất : * F là 1 nguyên hàm của f ⇔ f là đạo hàm của F. Họ tất cả các nguyên hàm của f : = F(x) + C (C ∈ R) ∫ dx)x(f * α+ α= + = +α +∫ ∫ 1udu u C ; u du C 1 , α ≠ – 1 u udu ln u C; e du e C; u = + = +∫ ∫ ∫ += Caln/adua uu ; sinudu cosu C= − +∫ ∫ += Cusinuducos ∫ ; +−= Cgucotusin/du 2 ∫ += Ctguucos/du 2 * = = −∫b ba a f(x)dx F(x) F(b) F(a) * ∫ ∫ ∫∫∫ +=−== ba ca ba cbabaa ,;0 ∫ ∫ ∫∫∫∫ =+=+ b a b a b a b a b a fkkf;gf)gf( 2. Tích phân từng phần : udv uv vdu= −∫ ∫ Thường dùng khi tính tích phân các hàm hỗn hợp. a. ∫ ∫ ∫ = nnnxn xu:xcosx;xsinx,ex b. ∫ = xlnu:xlnxn c. ∫ ∫ == dxedvhayeu:xcose,xsine xxxx từng phần 2 lần, giải phương trình ẩn hàm ʃ 3. Các dạng thường gặp : TRANG 12 a. : u = sinx. ∫ + xcos.xsin 1n2m : u = cosx. ∫ + xsin.xcos 1n2m : hạ bậc về bậc 1 ∫ xcos.xsin n2m2 b. : u = tgx (n ≥ 0) ∫ xcos/xtg n2m2 : u = cotgx (n ≥ 0) ∫ xsin/xgcot n2m2 c. chứa a∫ 2 – u2 : u = asint chứa u∫ 2 – a2 : u = a/cost chứa a∫ 2 + u2 : u = atgt d. , R : hàm hữu tỷ ∫ )xcos,x(sinR R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) : u = cosx R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) : u = sinx R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx) : u = tgx ∨ u = cotgx R đơn giản : 2 xtgu = ∫ π −π= 2/ 0 x 2 uđặtthử: ∫ π −π= 0 xuđặtthử: e. ∫ +=∈++ nqq/pnm bxau:Zn/)1m(,)bxa(x f. ∫ +=∈+++ nnqq/pnm bxaxu:Zqpn 1m,)bxa(x g. u 1khx:cbxax)khx/[(dx 2 =++++∫ h. ∫ ++ )dcx/()bax(,x(R , R là hàm hữu tỷ : )dcx/()bax(u ++= i. chứa (a + bx∫ k)m/n : thử đặt un = a + bxk. 4. Tích phân hàm số hữu tỷ : : bậc P < bậc Q ∫ )x(Q/)x(P * Đưa Q về dạng tích của x + a, (x + a)n, ax2 + bx + c (Δ < 0) * Đưa P/Q về dạng tổng các phân thức đơn giản, dựa vào các thừa số của Q : n n 2 21n )ax( A... )ax( A ax A)ax(, ax Aax ++++++→++→+ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ =+=<Δ+++++++ +→<Δ++ ∫ ∫ at