Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn; mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là : m + n.
3. Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n cách chọn hiện tượng 2. Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là : m x n.
28 trang |
Chia sẻ: vietpd | Lượt xem: 1424 | Lượt tải: 4
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Ôn tập tóm tắt chương trình thi đại học môn toán, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
PHẦN MỘT: ÔN TẬP TÓM TẮT CHƯƠNG TRÌNH THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
I- GIẢI TÍCH TỔ HỢP
1. Giai thừa : n! = 1.2...n
0! = 1
n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) ... n
2. Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn;
mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là :
m + n.
3. Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n
cách chọn hiện tượng 2. Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là :
m x n.
4. Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau. Số cách xếp : Pn = n !.
5. Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. Số cách chọn :
)!kn(!k
!nCkn −=
6. Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số
cách : = =−
k k
n n
n!A , A
(n k)!
k
n kC .P
Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vị
7. Tam giác Pascal :
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
4
4
3
4
2
4
1
4
0
4
3
3
2
3
1
3
0
3
2
2
1
2
0
2
1
1
0
1
0
0
CCCCC
CCCC
CCC
CC
C
Tính chất :
k
1n
k
n
1k
n
kn
n
k
n
n
n
0
n
CCC
CC,1CC
+−
−
=+
===
8. Nhị thức Newton :
* n0nn11n1n0n0nn baC...baCbaC)ba( +++=+ −
a = b = 1 : ... 0 1 nn n nC C ... C 2+ + + = n
Với a, b ∈ {±1, ±2, ...}, ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa :
nn1n0n C,...,C,C
* nnn1n1nn0nn xC...xaCaC)xa( +++=+ −
Ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa bằng cách : nn1n0n C,...,C,C
- Đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, ... a = ±1, ±2, ...
TRANG 1
- Nhân với xk , đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, ... , a = ±1, ±2, ...
- Cho a = ±1, ±2, ..., hay ∫∫
±± 2
0
1
0
...hay
β
α
∫
Chú ý :
* (a + b)n : a, b chứa x. Tìm số hạng độc lập với x : k n k k mnC a b Kx
− =
Giải pt : m = 0, ta được k.
* (a + b)n : a, b chứa căn . Tìm số hạng hữu tỷ.
m r
k n k k p q
nC a b Kc d
− =
Giải hệ pt : ⎩⎨
⎧
∈
∈
Zq/r
Zp/m
, tìm được k
* Giải pt , bpt chứa : đặt điều kiện k, n ∈ N...C,A knkn * ..., k ≤ n. Cần biết đơn
giản các giai thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung.
* Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vị (xếp, không bốc), tổ
hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc rồi xếp).
* Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp hoặc thiếu trường
hợp.
* Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta thấy
số cách chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau :
số cách chọn thỏa p.
= số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p.
Cần viết mệnh đề phủ định p thật chính xác.
* Vé số, số biên lai, bảng số xe ... : chữ số 0 có thể đứng đầu (tính từ trái sang
phải).
* Dấu hiệu chia hết :
- Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.
- Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4.
- Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8.
- Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3.
- Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9.
- Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5.
- Cho 6 : chia hết cho 2 và 3.
- Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75.
II- ĐẠI SỐ
1. Chuyển vế : a + b = c ⇔ a = c – b; ab = c ⇔ ⎢⎢⎣
⎡
⎩⎨
⎧
=
≠
==
b/ca
0b
0cb
a/b = c ⇔ ; ⎩⎨
⎧
≠
=
0b
bca 1n21n2 baba ++ =⇔=
TRANG 2
2n
2n 2n 2n b aa b a b, a b
a 0
⎧ == ⇔ = ± = ⇔ ⎨ ≥⎩
⎩⎨
⎧ α=⇔=≥
±=⇔= α abbloga,0a
ab
ba
⎩⎨
⎧
>
<
⎩⎨
⎧
<
>
>=
⇔<−<⇔<+
b/ca
0b
b/ca
0b
0c,0b
cab;bcacba
2. Giao nghiệm :
⎩⎨
⎧ <⇔<
<
⎩⎨
⎧ >⇔>
>
}b,amin{x
bx
ax
;}b,amax{x
bx
ax
⎧⎨Γ⎧ > ∨< < < ⎧ ⎩⇔ ⇔⎨ ⎨< Γ≥ ⎧⎩⎩ ⎨Γ⎩
p
x a p qa x b(nếua b)
;
x b VN(nếua b) q
Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm.
3. Công thức cần nhớ :
a. : chỉ được bình phương nếu 2 vế không âm. Làm mất phải đặt điều kiện.
⎩⎨
⎧
≤≤
≥
⎩⎨
⎧ ⇔≤=
≥⇔= 22 ba0
0b
ba,
ba
0b
ba
⎩⎨
⎧
≥
≥
⎩⎨
⎧ ∨≥
<⇔≥ 2ba
0b
0a
0b
ba
)0b,anếu(b.a
)0b,anếu(b.aab <−−
≥=
b. . : phá . bằng cách bình phương : 22 aa = hay bằng định nghĩa :
)0anếu(a
)0anếu(a
a <−
≥=
baba;
ba
0b
ba ±=⇔=⎩⎨
⎧
±=
≥⇔=
a b b a ≤ ⇔ − ≤ ≤ b
b 0
a b b 0hay
a b a
≥⎧≥ ⇔ < ⎨ ≤ − ∨ ≥⎩ b
0baba 22 ≤−⇔≤
c. Mũ : .1a0nếuy,1anếuy,0y,Rx,ay x ↑>∈=
TRANG 3
0 m / n m m n m nn
m n m n m n m.n n n n
n n n m n
a 1 ; a 1/ a ; a .a a
a / a a ; (a ) a ; a / b (a/ b)
a .b (ab) ; a a (m n,0 a 1) a = 1
− +
−
= = =
= = =
= = ⇔ = < ≠ ∨
α=α
><⇔< alognm a,
)1a0nếu(nm
)1anếu(nm
aa
d. log : y = logax , x > 0 , 0 < a ≠ 1, y ∈ R
y↑ nếu a > 1, y↓ nếu 0 < a < 1, α = logaaα
loga(MN) = logaM + logaN (⇐ )
loga(M/N) = logaM – logaN (⇐ )
2aaa2a MlogMlog2,Mlog2Mlog == (⇒)
logaM3 = 3logaM, logac = logab.logbc
logbc = logac/logab, Mlog
1Mlog aa α=α
loga(1/M) = – logaM, logaM = logaN ⇔ M = N
a a
0 M N(nếua 1)
log M log N
M N 0(nếu0 a 1
> < < )
Khi làm toán log, nếu miền xác định nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh
dùng công thức làm thu hẹp miền xác định. Mất log phải có điều kiện.
4. Đổi biến :
a. Đơn giản : Rxlogt,0at,0xt,0xt,0xt,Rbaxt ax2 ∈=>=≥=≥=≥=∈+=
Nếu trong đề bài có điều kiện của x, ta chuyển sang điều kiện của t bằng cách
biến đổi trực tiếp bất đẳng thức.
b. Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện của t. Nếu x có thêm điều kiện,
cho vào miền xác định của f.
c. Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx. Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều
kiện của t.
d. Hàm số hợp : từng bước làm theo các cách trên.
5. Xét dấu :
a. Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ số
bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) :
không đổi dấu.
b. Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) 0.
c. Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm được : xét tính liên tục và đơn điệu
của f, nhẩm 1 nghiệm của pt f(x) = 0, phác họa đồ thị của f , suy ra dấu của f.
6. So sánh nghiệm phương trình bậc 2 với α :
f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
* S = x1 + x2 = – b/a ; P = x1x2 = c/a
TRANG 4
Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm. Với đẳng thức g(x1,x2) = 0
không đối xứng, giải hệ pt :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
+=
=
21
21
x.xP
xxS
0g
Biết S, P thỏa S2 – 4P ≥ 0, tìm x1, x2 từ pt : X2 – SX + P = 0
* Dùng Δ, S, P để so sánh nghiệm với 0 :
x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0, 0 < x1 < x2 ⇔ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
>
>Δ
0S
0P
0
x1 < x2 < 0 ⇔ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
>
>Δ
0S
0P
0
* Dùng Δ, af(α), S/2 để so sánh nghiệm với α : x1 < α < x2 ⇔ af(α) < 0
α < x1 < x2 ⇔ ; x⎪⎩
⎪⎨
⎧
<α
>α
>Δ
2/S
0)(f.a
0
1 < x2 < α ⇔ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
α<
>α
>Δ
2/S
0)(f.a
0
α < x1 < β < x2 ⇔
a.f( ) 0
a.f( ) 0
β ⎨⎪ α < β⎩
; x1 < α < x2 < β ⇔ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
β<α
>β
<α
0)(f.a
0)(f.a
7. Phương trình bậc 3 :
a. Viête : ax3 + bx2 + cx + d = 0
x1 + x2 + x3 = – b/a , x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a , x1.x2.x3 = – d/a
Biết x1 + x2 + x3 = A , x1x2 + x1x3 + x2x3 = B , x1.x2.x3 = C
thì x1, x2, x3 là 3 nghiệm phương trình : x3 – Ax2 + Bx – C = 0
b. Số nghiệm phương trình bậc 3 :
• x = α ∨ f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) :
3 nghiệm phân biệt ⇔ ⎩⎨
⎧
≠α
>Δ
0)(f
0
2 nghiệm phân biệt ⇔ ⎩⎨
⎧
≠α
=Δ∨⎩⎨
⎧
=α
>Δ
0)(f
0
0)(f
0
1 nghiệm ⇔ ( )
Δ⎧Δ ⎨ α⎩
= 0
< 0 hay
f = 0
• Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng
sự tương giao giữa (C) : y = f(x) và (d) : y = m.
• Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế :
dùng sự tương giao giữa (Cm) : y = f(x, m) và (Ox) : y = 0
TRANG 5
3 nghiệm ⇔
⎩⎨
⎧
<
>Δ
0y.y
0
CTCĐ
'y
2 nghiệm ⇔
⎩⎨
⎧
=
>Δ
0y.y
0
CTCĐ
'y
1 nghiệm ⇔ Δy' ≤ 0 ∨ ⎩⎨
⎧
>
>Δ
0y.y
0
CTCĐ
'y
c. Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành CSC :
⇔
⎩⎨
⎧
=
>Δ
0y
0
uốn
'y
d. So sánh nghiệm với α :
• x = xo ∨ f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) : so sánh nghiệm phương trình bậc 2
f(x) với α.
• Không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của
f(x) = y: (C) và y = m: (d) , đưa α vào BBT.
• Không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương
giao của (Cm) : y = ax3 + bx2 + cx + d (có m) ,(a > 0) và (Ox)
α < x1 < x2 < x3 ⇔
y '
CĐ CT
CĐ
0
y .y 0
y( ) 0
x
Δ >⎧⎪ <⎪⎨ α <⎪⎪α <⎩
α x1
x1 < α < x2 < x3 ⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<α
>α
<
>Δ
CT
CTCĐ
'y
x
0)(y
0y.y
0
αx1 x x
x1 < x2 < α < x3 ⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
α<
<α
<
>Δ
CĐ
CTCĐ
'y
x
0)(y
0y.y
0
α x1 x x
x1 < x2 < x3 < α ⇔
y '
CĐ CT
CT
0
y .y 0
y( ) 0
x
Δ >⎧⎪ ⎪⎪ < α⎩
α x1 x x
8. Phương trình bậc 2 có điều kiện :
TRANG 6
f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), x ≠ α
2 nghiệm ⇔ , 1 nghiệm ⇔ ⎩⎨
⎧
>Δ
≠α
0
0)(f
⎩⎨
⎧
≠α
=Δ
⎩⎨
⎧
=α
>Δ
0)(f
0
0)(f
0
Vô nghiệm ⇔ Δ < 0 ∨ ⎩⎨
⎧
=α
=Δ
0)(f
0
Nếu a có tham số, xét thêm a = 0 với các trường hợp 1 nghiệm, VN.
9. Phương trình bậc 4 :
a. Trùng phương : ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0) ⇔
⎩⎨
⎧
=
≥=
0)t(f
0xt 2
t = x2 ⇔ x = ± t
4 nghiệm ⇔ ; 3 nghiệm ⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
>
>Δ
0S
0P
0
⎩⎨
⎧
>
=
0S
0P
2 nghiệm ⇔ ; 1 nghiệm ⇔
⎩⎨
⎧
>
=Δ
<
02/S
0
0P
⎩⎨
⎧
=
=Δ
⎩⎨
⎧
<
=
02/S
0
0S
0P
VN ⇔ Δ < 0 ∨ ⇔ Δ < 0 ∨
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
>
≥Δ
0S
0P
0
0
0
P
S
⎧⎪ >⎨⎪ <⎩
4 nghiệm CSC ⇔
⎩⎨
⎧
=
<<
12
21
t3t
tt0
Giải hệ pt :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
+=
=
21
21
12
t.tP
ttS
t9t
b. ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0. Đặt t = x +
x
1 . Tìm đk của t bằng BBT : 2t ≥
c. ax4 + bx3 + cx2 – bx + a = 0. Đặt t = x –
x
1 . Tìm đk của t bằng BBT : t ∈ R.
d. (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + b = c + d. Đặt : t = x2 + (a + b)x. Tìm đk
của t bằng BBT.
e. (x + a)4 + (x + b)4 = c. Đặt :
2
baxt ++= , t ∈ R.
TRANG 7
10. Hệ phương trình bậc 1 : ⎩⎨
⎧
=+
=+
'cy'bx'a
cbyax
. Tính :
D =
'b
b
'a
a
, Dx = 'b
b
'c
c
, Dy = 'c
c
'a
a
D ≠ 0 : nghiệm duy nhất x = Dx/D , y = Dy/D.
D = 0, Dx ≠ 0 ∨ Dy ≠ 0 : VN
D = Dx = Dy = 0 : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết).
11. Hệ phương trình đối xứng loại 1 :
Từng phương trình đối xứng theo x, y. Đạt S = x + y, P = xy.
ĐK : S2 – 4P ≥ 0. Tìm S, P. Kiểm tra đk S2 – 4P ≥ 0;
Thế S, P vào pt : X2 – SX + P = 0, giải ra 2 nghiệm là x và y.
(α, β) là nghiệm thì (β, α) cũng là nghiệm; nghiệm duy nhất
⇒ α = β ⇒ m = ?
Thay m vào hệ, giải xem có duy nhất nghiệm không.
12. Hệ phương trình đối xứng loại 2 :
Phương trình này đối xứng với phương trình kia. Trừ 2 phương trình, dùng các
hằng đẳng thức đưa về phương trình tích A.B = 0.
Nghiệm duy nhất làm như hệ đối xứng loại 1.
13. Hệ phương trình đẳng cấp :
⎩⎨
⎧
=++
=++
'dy'cxy'bx'a
dcybxyax
22
22
Xét y = 0. Xét y ≠ 0 : đặt x = ty, chia 2 phương trình để khử t. Còn 1 phương
trình theo y, giải ra y, suy ra t, suy ra x. Có thể xét x = 0, xét x ≠ 0, đặt y = tx.
14. Bất phương trình, bất đẳng thức :
* Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng cơ bản của ., , log, mũ có
thể giải trực tiếp, các dạng khác cần lập bảng xét dấu. Với bất phương trình
dạng tích AB < 0, xét dấu A, B rồi AB.
* Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều
số âm : có đổi chiều
Chia bất phương trình : tương tự.
* Chỉ được nhân 2 bất pt vế theo vế , nếu 2 vế không âm.
* Bất đẳng thức Côsi :
a, b ≥ 0 : ab
2
ba ≥+
Dấu = xảy ra chỉ khi a = b.
a, b, c ≥ 0 : 3 abc
3
cba ≥++
Dấu = xảy ra chỉ khi a = b = c.
* Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d
(ac + bd)2 ≤ (a2 + b2).(c2 + d2); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d
15. Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm :
TRANG 8
Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x) và (d) : y = m. Số
nghiệm bằng số điểm chung.
Nếu có điều kiện của x ∈ I, lập BBT của f với x ∈ I.
16. Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn luôn nghiệm, có nghiệm x ∈ I :
Nếu tách được m, dùng đồ thị, lập BBT với x ∈ I.
f(x) ≤ m : (C) dưới (d) (hay cắt)
f(x) ≥ m : (C) trên (d) (hay cắt)
III- LƯỢNG GIÁC
+
2π
0
2− π
1. Đường tròn lượng giác :
Trên đường tròn lượng giác, góc α đồng nhất với cung AM,
đồng nhất với điểm M. Ngược lại, 1 điểm trên đường tròn
lượng giác ứng với vô số các số thực x + k2π. 2− π 2π0
Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các góc đặc biệt :
bội của
6
π (
3
1 cung phần tư) và
4
π (
2
1 cung phần tư) α
0A
x+k2π
M
x = α +
n
k2 π : α là 1 góc đại diện, n : số điểm cách đều
trên đường tròn lượng giác.
2. Hàm số lượng giác :
3. Cung liên kết :
* Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hiệu π (ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cos
đối, tg cotg hiệu π).
cotg
chiếu xuyên tâm
tg
Mcos
chiếu ⊥
sin
M
* Đổi hàm, không đổi dấu : phụ
* Đổi dấu, đổi hàm : hiệu
2
π (sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu).
4. Công thức :
a. Cơ bản : đổi hàm, không đổi góc.
b. Cộng : đổi góc a ± b, ra a, b.
c. Nhân đôi : đổi góc 2a ra a.
d. Nhân ba : đổi góc 3a ra a.
e. Hạ bậc : đổi bậc 2 ra bậc 1. Công thức đổi bậc 3 ra bậc 1 suy từ công thức
nhân ba.
f. Đưa về
2
atgt = : đưa lượng giác về đại số.
g. Tổng thành tích : đổi tổng thành tích và đổi góc a, b thành (a ± b) / 2.
h. Tích thành tổng : đổi tích thành tổng và đổi góc a, b thành a ± b.
TRANG 9
5. Phương trình cơ bản : sinα = 0⇔ cosα = – 1 hay cosα = 1⇔ α = kπ,
sinα = 1 ⇔ α =
2
π + k2π; sinα = –1 ⇔ α = –
2
π + k2π,
cosα = 0 ⇔ sinα = –1 hay sinα = 1 ⇔ α =
2
π + kπ,
cosα = 1 ⇔ α = k2π, cosα = – 1 ⇔ α = π + k2π
sinu = sinv ⇔ u = v + k2π ∨ u = π – v + k2π
cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2π
tgu = tgv ⇔ u = v + kπ
cotgu = cotgv ⇔ u = v + kπ
6. Phương trình bậc 1 theo sin và cos : asinu + bcosu = c
* Điều kiện có nghiệm : a2 + b2 ≥ c2
* Chia 2 vế cho 22 ba + , dùng công thức cộng đưa về phương trình cơ bản.
(cách khác : đưa về phương trình bậc 2 theo
2
utgt = )
7. Phương trình đối xứng theo sin, cos :
Đưa các nhóm đối xứng về sin + cos và sin.cos.
Đặt : t = sinu + cosu =
2t 12 sin u , 2 t 2,sin u.cos u
4 2
π −⎛ ⎞+ − ≤ ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠
8. Phương trình chứa ⏐sinu + cosu⏐ và sinu.cosu :
Đặt :
2 12 0 2
4 2
tt sinu cosu sin u , t ,sinu.cosuπ −⎛ ⎞= + = + ≤ ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠
9. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu :
Đặt : π −⎛ ⎞= − = − − ≤ ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠
21 tt sin u cos u 2 sin u , 2 t 2,sin u.cos u
4 2
10. Phương trình chứa ⏐sinu – cosu⏐ và sinu.cosu :
Đặt :
212 0 2
4 2
tt sinu cosu sin u , t ,sinu.cosuπ −⎛ ⎞= − = − ≤ ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠
11. Phương trình toàn phương (bậc 2 và bậc 0 theo sinu và cosu) :
Xét cosu = 0; xét cosu ≠ 0, chia 2 vế cho cos2u, dùng công thức
1/cos2u = 1 + tg2u, đưa về phương trình bậc 2 theo t = tgu.
12. Phương trình toàn phương mở rộng :
* Bậc 3 và bậc 1 theo sinu và cosu : chia 2 vế cho cos3u.
* Bậc 1 và bậc – 1 : chia 2 vế cho cosu.
13. Giải phương trình bằng cách đổi biến :
Nếu không đưa được phương trình về dạng tích, thử đặt :
* t = cosx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x.
* t = sinx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π – x.
* t = tgx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π + x.
* t = cos2x : nếu cả 3 cách trên đều đúng
TRANG 10
* t = tg
2
x : nếu cả 3 cách trên đều không đúng.
14. Phương trình đặc biệt :
* ⎩⎨
⎧
=
=⇔=+
0v
0u
0vu 22
* ⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
≤
=
Cv
Cu
Cv
Cu
vu
* ⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=+
≤
≤
Bv
Au
BAvu
Bv
Au
* sinu.cosv = 1 ⇔ ⎩⎨
⎧
−=
−=∨⎩⎨
⎧
=
=
1vcos
1usin
1vcos
1usin
* sinu.cosv = – 1 ⇔ ⎩⎨
⎧
=
−=∨⎩⎨
⎧
−=
=
1vcos
1usin
1vcos
1usin
Tương tự cho : sinu.sinv = ± 1, cosu.cosv = ± 1.
15. Hệ phương trình : Với F(x) là sin, cos, tg, cotg
a. Dạng 1 : ⎩⎨
⎧
=±
=±
)2(nyx
)1(m)y(F)x(F
. Dùng công thức đổi + thành nhân,
thế (2) vào (1) đưa về hệ phương trình : ⎩⎨
⎧
=−
=+
byx
ayx
b. Dạng 2 : ⎩⎨
⎧
=±
=
nyx
m)y(F).x(F
. Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân thành
+.
c. Dạng 3 : ⎩⎨
⎧
=±
=
nyx
m)y(F/)x(F
.
Dùng tỉ lệ thức :
db
ca
db
ca
d
c
b
a
−
−=+
+⇔= biến đổi phương trình (1) rồi dùng
công thức đổi + thành x.
d. Dạng khác : tìm cách phối hợp 2 phương trình, đưa về các pt cơ bản.
16. Toán Δ :
* Luôn có sẵn 1 pt theo A, B, C : A + B + C = π
* A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2.
* A, B, C ∈ (0, π) ; A/2, B/2, C/2 ∈ (0, π/2)
A + B ∈ (0, π) ; (A + B)/2 ∈ (0, π/2) ;
A – B ∈ (– π, π) , (A – B)/2 ∈ (– π/2, π/2)
Dùng các tính chất này để chọn k.
* Đổi cạnh ra góc (đôi khi đổi góc ra cạnh) : dùng định lý hàm sin :
TRANG 11
a = 2RsinA hay định lý hàm cos : a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA
* pr
R4
abcCsinab
2
1ah
2
1S a ====
)cp)(bp)(ap(p −−−=
* Trung tuyến : 222a ac2b22
1m −+=
* Phân giác : ℓa = cb
2
Acosbc2
+
IV- TÍCH PHÂN
1. Định nghĩa, công thức, tính chất :
* F là 1 nguyên hàm của f ⇔ f là đạo hàm của F.
Họ tất cả các nguyên hàm của f :
= F(x) + C (C ∈ R) ∫ dx)x(f
*
α+
α= + = +α +∫ ∫
1udu u C ; u du C
1
, α ≠ – 1
u udu ln u C; e du e C;
u
= + = +∫ ∫ ∫ += Caln/adua uu
; sinudu cosu C= − +∫ ∫ += Cusinuducos
∫ ; +−= Cgucotusin/du 2 ∫ += Ctguucos/du 2
* = = −∫b ba
a
f(x)dx F(x) F(b) F(a)
* ∫ ∫ ∫∫∫ +=−== ba ca ba cbabaa ,;0 ∫
∫ ∫∫∫∫ =+=+
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
fkkf;gf)gf(
2. Tích phân từng phần :
udv uv vdu= −∫ ∫
Thường dùng khi tính tích phân các hàm hỗn hợp.
a. ∫ ∫ ∫ = nnnxn xu:xcosx;xsinx,ex
b. ∫ = xlnu:xlnxn
c. ∫ ∫ == dxedvhayeu:xcose,xsine xxxx
từng phần 2 lần, giải phương trình ẩn hàm ʃ
3. Các dạng thường gặp :
TRANG 12
a. : u = sinx. ∫ + xcos.xsin 1n2m
: u = cosx. ∫ + xsin.xcos 1n2m
: hạ bậc về bậc 1 ∫ xcos.xsin n2m2
b. : u = tgx (n ≥ 0) ∫ xcos/xtg n2m2
: u = cotgx (n ≥ 0) ∫ xsin/xgcot n2m2
c. chứa a∫ 2 – u2 : u = asint
chứa u∫ 2 – a2 : u = a/cost
chứa a∫ 2 + u2 : u = atgt
d. , R : hàm hữu tỷ ∫ )xcos,x(sinR
R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) : u = cosx
R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) : u = sinx
R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx) : u = tgx ∨ u = cotgx
R đơn giản :
2
xtgu =
∫
π
−π=
2/
0
x
2
uđặtthử:
∫
π
−π=
0
xuđặtthử:
e. ∫ +=∈++ nqq/pnm bxau:Zn/)1m(,)bxa(x
f. ∫ +=∈+++ nnqq/pnm bxaxu:Zqpn 1m,)bxa(x
g.
u
1khx:cbxax)khx/[(dx 2 =++++∫
h. ∫ ++ )dcx/()bax(,x(R , R là hàm hữu tỷ : )dcx/()bax(u ++=
i. chứa (a + bx∫ k)m/n : thử đặt un = a + bxk.
4. Tích phân hàm số hữu tỷ :
: bậc P < bậc Q ∫ )x(Q/)x(P
* Đưa Q về dạng tích của x + a, (x + a)n, ax2 + bx + c (Δ < 0)
* Đưa P/Q về dạng tổng các phân thức đơn giản, dựa vào các thừa số của Q :
n
n
2
21n
)ax(
A...
)ax(
A
ax
A)ax(,
ax
Aax ++++++→++→+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ =+=<Δ+++++++
+→<Δ++ ∫ ∫ at