Phương pháp lặp giải bài toán biên tam điều hòa phi tuyến

Kỷ yếu Hội nghị KHCN Quốc gia lần thứ XII về Nghiên cứu cơ bản và ứng dụng Công nghệ thông tin (FAIR); Huế, ngày 07-08/6/2019 DOI: 10.15625/vap.2019.00049 PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN TAM ĐIỀU HÒA PHI TUYẾN Nguyễn Quốc Hưng1, Đặng Quang Á2, Vũ Vinh Quang3 1Viện Toán ứng dụng và Tin học - Trƣờng ĐHBK Hà Nội 2 Trung tâm Tin học và Tính toán, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam 3Trƣờng ĐHCNTT&TT - Đại học Thái Nguyên hung.nguyenquoc@hust.edu.vn, dangquanga@cic.vast.vn, vvquang@ictu.edu.vn TÓM TẮT: Trong báo cáo này, chúng tôi xét bài toán biên tam điều hòa dạng ( ) , trong đó là toán tử Laplace và là một miền bị chặn. Bài toán này xuất hiện trong mô hình hóa dòng chảy quay chậm của chất lỏng nhớt cao và cũng được sử dụng trong mô hình hóa hình học. Bằng cách đưa bài toán trên về một phương trình toán tử, sau đó sử dụng các định lý điểm bất động, chúng tôi đã thiết lập được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán. Tiếp theo, chúng tôi đề xuất một phương pháp lặp cả ở mức liên tục và mức rời rạc giải bài toán trên. Nhiều thí dụ minh họa tính đúng đắn của các kết quả lý thuyết và hiệu quả của phương pháp lặp. Từ khóa: Phương trình tam điều hòa, bài toán biên phi tuyến, phương pháp lặp. I. GIỚI THIỆU Nhiều bài toán trong lĩnh vực vật lý, cơ học đƣợc mô tả bởi các phƣơng trình đạo hàm riêng (PDE) cấp cao. Loại phƣơng trình cấp cao thông dụng nhất là phƣơng trình song điều hòa (một loại phƣơng trình cấp bốn) - mô hình trong lý thuyết đàn hồi phẳng, lý thuyết bản mỏng [13], lý thuyết dòng chảy [11] và gần đây PDE cấp bốn còn xuất hiện trong phân tích ảnh và thiết kế hình học [14]. Loại phƣơng trình này đã đƣợc nghiên cứu nhiều kể cả về định tính lẫn định lƣợng. Mới đây, do nhu cầu phát triển của khoa học và công nghệ ngƣời ta bắt đầu quan tâm đến PDE cấp sáu mà tiêu biểu là phƣơng trình tam điều hòa (triharmonic equation) ( ). Ở đây là toán tử Laplace trong không gian 2 hoặc 3 chiều. Phƣơng trình này là mô hình của pha tinh thể [13], hay là mô hình hóa dòng chảy quay chậm của chất lỏng nhớt cao [12] và là công cụ hữu hiệu trong mô hình hóa hình học [14]. Do phƣơng trình tam điều hòa có nhiều ứng dụng trong thực tế nên ngƣời ta quan tâm nhiều đến phƣơng pháp giải các bài toán biên cho phƣơng trình này với giả thiết rằng bài toán có nghiệm duy nhất và đủ trơn. Có thể kể đến đóng góp của Gudi và Neilan [6], ở đó phƣơng pháp phần tử hữu hạn đã đƣợc sử dụng. Các nỗ lực giải phƣơng trình tam điều hòa tuyến tính hoặc phi tuyến với điều kiện biên bằng phƣơng pháp sai phân thuộc về Mohanty và các cộng sự [7, 8, 9]. Trong các công trình này họ đã xây dựng các lƣợc đồ sai phân với độ đúng cấp hai hoặc cấp bốn nhƣng việc giải các hệ phƣơng trình rời rạc thu đƣợc chƣa đƣợc quan tâm. Năm 2006, trong [1] khi nghiên cứu bài toán biên Neumann cho phƣơng trình kiểu song điều hòa Dang đã đề xuất phƣơng pháp đƣa bài toán biên về phƣơng trình với toán tử đối xứng, xác định dƣơng đối với một hàm trung gian trong không gian Hilbert và xây dựng phƣơng pháp lặp giải bài toán này. Sau đó, phát triển ý tƣởng đƣa các bài toán biên về phƣơng trình toán tử đối với hàm trung gian chứ không phải ẩn hàm, Dang và các cộng sự trong [2-5] đã thành công khi xét một số bài toán biên phi tuyến cho phƣơng trình vi phân đạo hàm thƣờng và đạo hàm riêng cấp bốn. Các bài toán này đƣợc đƣa về phƣơng trình toán tử đối với thành phần phi tuyến. Nhiều kết quả về tồn tại, duy nhất và tính dƣơng của nghiệm đã đƣợc thiết lập dƣới các điều kiện dễ kiểm tra. Sự hội tụ và đánh giá sai số của phƣơng pháp lặp cũng đƣợc chứng minh bằng lý thuyết và kiểm tra bằng thực nghiệm. Phƣơng pháp do nhóm nghiên cứu của Dang đề xuất đƣợc một số nhà nghiên cứu đánh giá cao và trích dẫn nhiều khi nghiên cứu về các loại bài toán biên phi tuyến. Trong bài báo này chúng tôi tiếp tục phát triển phƣơng pháp trên để nghiên cứu về định tính cũng nhƣ lời giải số cho bài toán biên tam điều hòa. Kết quả chính thu đƣợc là sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán và phƣơng pháp lặp tìm nghiệm này. Chúng tôi cũng đƣa ra một số thí dụ minh họa cho các kết quả lý thuyết và hiệu quả của phƣơng pháp lặp đƣợc đề xuất. II. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM Xét bài toán biên tam điều hòa ( ) , (1) (2) trong đó là một miền bị chặn trong không gian với biên đủ trơn, ( ) là một hàm liên tục theo các biến ( ) trong một miền giới nội sẽ đƣợc xác định sau. Nguyễn Quốc Hƣng, Đặng Quang Á, Vũ Vinh Quang 389 Để nghiên cứu bài toán (1)-(2), chúng tôi đƣa nó về bài toán điểm bất động của toán tử đƣợc xác định bởi công thức ( )( ) ( ( ) ( ) ( )), (3) trong đó ( ) là nghiệm của bài toán ( ) (4) (5) với ( ) là một hàm liên tục trong ̅. Bổ đề 1: Hàm ( ) là điểm bất động của toán tử , tức ( ) là nghiệm của phƣơng trình toán tử , nếu và chỉ nếu ( ) đƣợc xác định từ bài toán biên (4)-(5) là nghiệm của bài toán biên (1)-(2). Chứng minh: Chứng minh đƣợc suy ra trực tiếp từ cách xác định toán tử theo (3), kết hợp với giả thiết ( ) là nghiệm của bài toán (4)-(5). Bổ đề 2 [10 ]: Đối với nghiệm của bài toán biên ( ) với là hàm liên tục có đánh giá ‖ ‖ ‖ ‖, trong đó ‖ ‖ ̅ ( ) với là bán kính của hình cầu chứa . Bây giờ, với là một số dƣơng bất kỳ ta định nghĩa miền nhƣ sau: *( ) +. Định lí 1. Giả sử tồn tại các số , sao cho: i) ( ) ( ) . ii) ( ) ( ) ( ) , . iii) ( ) . Khi đó bài toán (1)-(2) có nghiệm duy nhất ( ) thỏa mãn các đánh giá ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ . Chứng minh: Vì toán tử đƣợc xác định bởi (3), từ giả thiết i) của Định lí 1 có thể chứng tỏ đƣợc rằng ánh xạ hình cầu , - * ( ̅) ‖ ‖ + vào chính nó. Sử dụng điều kiện Lipchitz ở giả thiết ii) và điều kiện co ở giả thiết iii) của đinh lí này, chúng ta chứng minh đƣợc là ánh xạ co. Do đó theo định lí điểm bất động Banach, tồn tại một điểm bất động , - của toán tử . Theo Bổ đề 1 thì bài toán (1)-(2) có nghiệm duy nhất ( ) tƣơng ứng. III. PHƯƠNG PHÁP LẶP Ở MỨC LIÊN TỤC Để tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán (1)-(2), sử dụng phƣơng pháp phân rã bài toán tam điều hòa về ba bài toán cấp hai, chúng tôi đề xuất phƣơng pháp lặp sau đây Bƣớc 0: Cho xấp xỉ ban đầu , -, chẳng hạn ( ) ( ) . Bƣớc 1: Với k=0,1,2,,giải liên tiếp ba bài toán cấp 2 (6) (7) (8) . (9) (10) . (11) Bƣớc 2: Cập nhật ( ) (12) Định lí 2. Với những giả thiết của Định lí 1, phƣơng pháp lặp trên hội tụ và có đánh giá ‖ ‖ ‖ ‖, trong đó là nghiệm chính xác của bài toán (1)-(2) và đƣợc xác định theo iii) của Định lí 1. 390 PHƢƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN TAM ĐIỀU HÒA PHI TUYẾN Chứng minh: Chúng ta thấy rằng phƣơng pháp lặp nêu trên là một quá trình lặp liên tiếp tìm điểm bất động của toán tử với xấp xỉ ban đầu trong hình cầu , - Do đó phƣơng pháp lặp này hội tụ với tốc độ cấp số nhân và ta có đánh giá ‖ ‖ ‖ ‖. Từ đó suy ra ‖ ‖ ‖ ‖. IV. PHƯƠNG PHÁP LẶP Ở MỨC RỜI RẠC Phƣơng pháp lặp (6)-(12) chính là phƣơng pháp lặp tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán (1)-(2) ở mức liên tục. Để hiện thực hóa tính toán, trên cơ sở phƣơng pháp lƣới chúng tôi chuyển phƣơng pháp lặp về mức rời rạc nhƣ sau: Giả sử , - , -, chia bởi lƣới đều cỡ . Ký hiệu {( )| } là tập các điểm trong của lƣới và là tập các điểm biên của lƣới. Ký hiệu . Khi đó bài toán ( ) ( ) đƣợc đƣa về bài toán sai phân ( ) ( ) trong đó ( ) là hàm lƣới xác định trên và là toán tử Laplace rời rạc, xấp xỉ toán tử Laplace ( ) và ta có đánh giá ‖ ‖ ( ) ( ), . Khi đó phƣơng pháp lặp (6)-(12) đƣợc đƣa về phƣơng pháp lặp ở mức sai phân sau: Bƣớc 0: Cho ( ) Bƣớc 1: Với k=0,1,2,, giải liên tiếp ba bài toán sai phân (13) (14) (15) (16) (17) (18) trong đó lần lƣợt là các hàm lƣới của các hàm tại bƣớc lặp thứ k. Bƣớc 2: Cập nhật ( ), (19) Chúng ta sẽ đánh giá sai số thực sự của phƣơng pháp ‖ ‖. Ta có ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖. Theo kết quả của Định lí 2, ta có ‖ ‖ ‖ ‖. Vì vậy ta chỉ cần đánh giá ‖ ‖. Xuất phát từ bƣớc k =0, ta có đánh giá ‖ ‖ ( ), theo phƣơng pháp quy nạp và sử dụng công thức cập nhật (19) ta thu đƣợc ‖ ‖ ( ). Từ đó ta có ‖ ‖ ( ) ‖ ‖ tức là sai số của phƣơng pháp là tổng hợp sai số cấp hai của phƣơng pháp rời rạc hóa và sai số của phƣơng pháp lặp ở mức vi phân. V. MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1 (bài toán với nghiệm chính xác biết trƣớc) Xét bài toán biên (( ) ) Nguyễn Quốc Hƣng, Đặng Quang Á, Vũ Vinh Quang 391 trong đó ( ) ( ), ( ). Đối với bài toán này, chúng ta thấy rằng các điều kiện của Định lí 1 đều đƣợc thỏa mãn, do đó bài toán cũng có duy nhất nghiệm. Có thể thấy nghiệm chính xác của bài toán là . Kết quả chạy thực nghiệm cho cỡ lƣới 64×64, máy Intel(R)-Core(TM) i3, điều kiện dừng lặp ‖ ‖ đƣợc thể hiện ở Bảng 2. Bảng 1. Tốc độ hội tụ của Ví dụ 1 k ‖ ‖ ‖ ‖ Thời gian (s) 1 1.0027 0.0027 0.2650 2 0.0021 6.0259×e-4 0.5148 3 1.4439×e-9 2.1256×e-5 0.7956 4 5.7732×e-15 0.6317×e-7 1.0296 Ví dụ 2. (không biết nghiệm chính xác) Xét bài toán biên ( ) ( ) trong đó ( ) ( ), ( ). Đối với bài toán này, ta thấy rằng các điều kiện của Định lí 1 đều đƣợc thỏa mãn, (chẳng hạn chọn ) do đó bài toán có duy nhất nghiệm. Để tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán, chia miền ( ) ( ) bằng lƣới đều 64×64, áp dụng thuật toán thu gọn khối lƣợng tính toán giải liên tiếp ba bài toán sai phân trong sơ đồ (13)-(19) trên từng bƣớc lặp. Tiêu chuẩn dừng lặp đƣợc chọn là ‖ ‖ . Chƣơng trình đƣợc chạy trên máy Intel(R)-Core(TM) i3. Kết quả về tốc độ hội tụ của phƣơng pháp lặp đƣợc cho trong Bảng 1. Bảng 2. Tốc độ hội tụ của Ví dụ 2 TOL Số lần lặp Thời gian(s) e-11 4 0.9516 e-12 6 1.4352 e-15 7 1.6692 e-18 8 1.9344 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ đƣợc mô tả trong Hình 1. Hình 1. Nghiệm xấp xỉ của bài toán trong Ví dụ 2 VI. KẾT LUẬN Qua các kết quả thực nghiệm, chúng tôi thấy rằng phƣơng pháp lặp do chúng tôi đề xuất tìm nghiệm số của bài toán biên dạng tam điều hòa với hệ điều kiện biên thuần nhất hội tụ rất nhanh, sai số của phƣơng pháp đạt độ chính xác cấp hai so với bƣớc lƣới. Nếu sử dụng lƣợc đồ sai phân với độ chính xác cấp bốn thì sai số của phƣơng pháp sẽ đạt độ chính xác cấp bốn. Phƣơng pháp lặp này có thể áp dụng đối với các bài toán tam điều hòa với hệ điều kiện biên không thuần nhất. Phát triển phƣơng pháp trong bài báo này cho phƣơng trình tam điều hòa phi tuyến với các loại điều kiện biên khác là chủ đề nghiên cứu của chúng tôi trong tƣơng lai. 392 PHƢƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN TAM ĐIỀU HÒA PHI TUYẾN LỜI CÁM ƠN Nghiên cứu này đƣợc tài trợ bởi Quỹ Phát triển Khoa học và Công nghệ Quốc gia (NAFOSTED) trong đề tài mã số 102.01-2017.306. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Q. A. Dang,“Iterative method for solving the Neumann boundary value problem for biharmonic tye equation”, Journal of Computational and Applied Mathematics, 96, pp.634-643, 2006. [2] Q. A. Dang, Q.L. Dang and T. K. Q. Ngo, “A novel efficient method for nonlinear boundary value problems”, Numerical Algorithms, 76, pp.427-439, 2017. [3] Q. A. Dang, T. K. Q. Ngo, “Existence results and iterative method for solving the caltilever beam equation with fully nonlinear term”, Nonlinear Analysis: Real World Applications, 36, pp.56-68, 2017. [4] Q. A. Dang, T. K. Q. Ngo, “New Fixed Point Approach for a Fully Nonlinear Fourth Ordered Boundary Value Problem ”, Bol. Soc. Paran. Math., 36, 4, 2018. [5] Quang A. Dang, Thanh Huong Nguyen, “Existence result and iterative method for solving a nonlinear biharmonic equation of Kirchhoff type”, Computers & Mathematics with Applications, 76, pp.11-22, 2018. [6] T. Gudi and M. Neilan, “An interior penalty method for a sixth order elliptic equation”, IMA Journal of Numerical Analysis, pp.1-19, 2011. [7] B. N. Mishra and M. K. Mohanty, “Single Cell Numerov Type Discretization for 2D Biharmonic and Triharmonic Equations on Uniqual Mesh”, Journal of Mathematical and Computational Science, 3, pp.242-253, 2013. [8] R. K. Mohanty, M. K. Jain and B. N. Mishra, “A Novel Numerical Method of O(h4) for Three-dimensional Physics”, 26, pp.1417-1433, 2010. [9] R. K. Mohanty, “Single Cell Compact Finite Difference Discretizations of Order Two and Four for Multi- dimensional Triharmonic Problems”, Numerical Method for Partial Differential Equation, 26, pp.228-246, 2013. [10] D. Gilbarg and N.S. Trudinger, “Elliptic Partial Differential Equations of Elliptic type”, Second Edition, Springer, 1998. [11] Langlois L., “Slow viscous flow”, Macmillan, New York, 1964. [12] D. Lenic, “On the boundary integral equations for a two-dimentional slowly rotating highly viscous fluid flow”, Advances in Applied Mathematics and Mechanics, 1, pp.140-150, 2009. [13] Timoshenco S. P. and Woinowsky-Krieger S. , “Theory of plates and shells”, McGraw-Hill, New York, 1970. [14] H. Ugail, “Partial Defferential Equations for Geometric Design”, Springer, 2011. ITERATIVE METHOD FOR A NONLINEAR TRIHARMONIC BOUNDARY VALUE PROBLEM Nguyen Quoc Hung, Dang Quang A, Vu Vinh Quang ABSTRACT: In this paper we consider the following the boundary value problem ( ) , where is the Laplace operator and is a bounded domain. This problem appears in theory of slowly rotating highly viscous fluid flow and geometric design. For solving this problem we use the method based on the reduction of it to finding fixed points of a nonlinear operator for the nonlinear term. The existence and uniqueness of a solution and the convergence of an iterative method for the solution are established under some easily verified conditions. Some examples are given to demonstrate the applicability of the obtained theoretical results and the efficiency of the iterative method. Keywords: Nonlinear triharmonic boundary value problem; Iterative method; Numerical solution.