Tiểu luận Giải bài toàn tương tác giữa vật dẫn cân bằng và điện trường bằng phương trình Poisson và bằng phương pháp ảnh điện

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ SEMINAR ĐIỆN HỌC Giải bài toàn tương tác giữa vật dẫn cân bằng và điện trường bằng phương trình Poisson và bằng phương pháp ảnh điện Thành phố Hồ Chí Minh, 2012 NHÓM THỰC HIỆN: Lớp Sư phạm Lý 2 Thành viên: Lê Đại Nam (NT) 37102062 Nguyễn Sơn Hoành 37102030 Trần Thị Diệu Linh 37102052 Mục lục nội dung 1 Lý do chọn đề tài: ................................................................................................................3 2 Sơ lược về vật dẫn cân bằng tĩnh điện và hiện tượng hưởng ứng tĩnh điện: ...........................3 2.1 Vật dẫn cân bằng tĩnh điện: ...........................................................................................3 2.1.1 Vật dẫn : ................................................................................................................3 2.1.2 Điều kiện cân bằng tĩnh điện của vật dẫn: ..............................................................3 2.1.3 Các tính chất của vật dẫn cân bằng tĩnh điện: .........................................................4 2.2 Hiện tượng hưởng ứng tĩnh điện (điện hưởng): ..............................................................5 2.3 Bài toán tương tác giữa vật dẫn cân bằng và trường ngoài: ............................................5 3 Phương trình Poisson của vật dẫn cân bằng đặt trong trường ngoài: .....................................6 3.1 Thành lập phương trình Poisson: ...................................................................................6 3.2 Đưa về phương trình Laplace: .......................................................................................6 3.3 Điều kiện biên để khử về phải của phương trình Poisson: ..............................................6 3.4 Một số ví dụ cơ bản:......................................................................................................7 3.4.1 Quả cầu kim loại nối đất trong điện trường đều: .....................................................7 3.4.2 Mặt phẳng kim loại vô hạn nối đất trong điện trường đều: ......................................9 4 Phương trình Poisson của vật dẫn cân bằng tương tác với điện tích điểm: ............................9 4.1 Điều kiện biên để khử về phương trình Laplace: ...........................................................9 4.2 Giải phương trình Laplace đối với một số bài toán cụ thể: ........................................... 10 4.2.1 Mặt phẳng kim loại rộng vô hạn nối đất tương tác với một điện tích điểm: .......... 10 4.2.2 Quả cần kim loại nối đất tương tác với một điện tích điểm: .................................. 11 4.3 Phương pháp giải đối với bài toán tổng quát: ............................................................... 13 5 Phương pháp ảnh điện: ...................................................................................................... 13 5.1 Cơ sở lý thuyết ............................................................................................................ 13 5.2 Một số ví dụ tiêu biểu: ................................................................................................ 13 5.2.1 Mặt phẳng kim loại rộng vô hạn nối đất tương tác với điện tích điểm: .................. 13 5.2.2 Quả cầu kim loại nối đất tương tác với điện tích điểm: ......................................... 14 5.2.3 Quả cầu kim loại cô lập tương tác với điện tích điểm: .......................................... 15 6 Một số lưu ý khi dùng phương pháp ảnh điện: ................................................................... 16 6.1 Cách lấy ảnh điện: ....................................................................................................... 16 6.2 Thế năng tương tác giữa điện tích và ảnh: ................................................................... 16 7 Một số bài tập áp dụng: ..................................................................................................... 17 1 Lý do chọn đề tài: Hưởng ứng tĩnh điện là một hiện tượng phổ biến trong thiên nhiên. Mặc dù, việc giải thích định tính đối với các hiện tượng có liên quan thì tương đối dễ dàng nhưng việc giải quyết định lượng các bài toàn có liên quan là một công việc vô cùng khó khăn. Tiêu biểu nhất chính là bài toán vật dẫn cân bằng tĩnh điện được đặt trong điện trường ngoài. Có nhiều phương pháp dùng để giải quyết bài toán trên: phương pháp giải phương trình Poisson, phương pháp hàm Green, phương pháp ảnh điện, Ở cấp độ phổ thông, chúng ta thường gặp các bài toán vật dẫn cân bằng tương tác với điện tích điểm và giải quyết chúng bằng phương pháp ảnh điện. Tuy nhiên, việc áp dụng máy móc phương pháp ảnh điện rất dễ dẫn đến những sai lầm. Để có thể hiểu rõ hơn về phương pháp ảnh điện, về phạm vi ứng dụng và để tránh những sai lầm mắc phải, chúng tôi so sánh cách giải bài toán tương tác giữa vật dẫn cân bằng và điện tích điểm theo phương pháp ảnh điện và phương pháp giải phương trình Poisson. Ngoài ra, chúng tôi còn đưa ra những lưu ý có liên quan đến phương pháp ảnh điện nhằm giải quyết một số bài toán cụ thể. 2 Sơ lược về vật dẫn cân bằng tĩnh điện và hiện tượng hưởng ứng tĩnh điện: 2.1 Vật dẫn cân bằng tĩnh điện: 2.1.1 Vật dẫn : Vật dẫn là vật có chứa các hạt mang điện tích tự do; các hạt mang điện này có thể chuyển động trong toàn bộ vật dẫn. Có nhiều loại vật dẫn (rắn, lỏng và khí) nhưng chúng ta chủ yếu đề cập đến vật dẫn kim loại. Trong các vật dẫn kim loại, các điện tích tự do chính là các electron tự do, hay các electron dẫn chuyển động tự do từ nguyên tử này đến nguyên tử khác trong mạng tinh thể kim loại. 2.1.2 Điều kiện cân bằng tĩnh điện của vật dẫn: Khi vật dẫn đạt trạng thái cân bằng tĩnh điện, các điện tích tự do sẽ đứng yên (không xuất hiện chuyển động có hướng) trong vật dẫn. Chính từ điều kiện này, ta có: xét một điện tích q nằm cân bằng bên trong vật dẫn. Khi đó, lực điện tác dụng lên điện tích này là 0F =
  . Do đó, điện trường bên trong vật dẫn cân bằng tĩnh điện là 0inE =  . Như vậy, ta có điều kiện thứ nhất vế sự cân bằng tĩnh điện của vật dẫn cân bằng. a) Điều kiện thứ nhất: “ Vector cường độ điện trường inE  tại mọi điểm trong vật dẫn phải bằng không: 0inE =  ” Ngoài ra, để không xuất hiện dòng chuyển dời có hướng của các điện tích trên bề mặt của vật dẫn, điện trường ngoài ngay tại bề mặt vật dẫn phải vuông góc với bề mặt vật dẫn. Từ đó, ta có thêm điều kiện thứ hai về sự cân bằng tĩnh điện của vật dẫn cân bằng. b) Điều kiện thứ hai: “Thành phần tiếp tuyến của vector cường độ điện trường E tại mọi điểm trên mặt ngoài vật dẫn phải bằng không: 0tE =  ”. Khi điều kiện này được thỏa mãn, các hạt mang điện tự do bên trong và trên bề mặt vật dẫn không có chuyển động có hướng, khi đó chúng chỉ có chuyển động nhiệt hỗn loạn. Và khi đó, cường độ dòng điện bên trong và bề mặt vật dẫn cân bằng cũng bằng 0. 2.1.3 Các tính chất của vật dẫn cân bằng tĩnh điện: a) Vật dẫn cân bằng tĩnh điện là một vật đẳng thế: Từ định nghĩa, ta có: điện thế tại một điểm M nào đó là Mψ thì điện trường tại điểm M là M ME grad ψ= −




 . Do đó, điện trường bên trong vật dẫn cân bằng tĩnh điện là 0E grad ψ= − =




  constψ⇒ = , hay nói cách điện thế tại mọi điểm bên trong vật dẫn là như nhau. Đối với tại các điểm nằm trên bề mặt vật dẫn, ta cũng có: nE grad E constψ ψ= − = ⇒ =





 , tức là điện thế tại mọi điểm trên bề mặt vật dẫn cũng như nhau. Như vậy, từ hai điều kiện cân bằng tĩnh điện của vật dẫn, ta rút ra được kết luận: vật dẫn cân bằng tĩnh điện là một vật đẳng thế. b) Điện tích của vật dẫn cân bằng tĩnh điện chỉ nằm trên bề mặt vật dẫn, bên trong vật dẫn không có điện tích: Để chứng minh có điều này, ta xét định lý Ostrogradsky – Gauss cho một mặt Gauss Σ bất kỳ bên trong vật dẫn cân bằng tĩnh điện. Khi đó, ta có: 0 0 0in in in in inD dS q E dS q qε= ⇒ = = ⇒ =∑ ∑ ∑∫ ∫    Điều này đúng với mọi mặt Gauss bất kỳ bên trong vật, do đó, bên trong vật dẫn cân bằng tĩnh điện không có điện tích. Điều này đồng nghĩa với việc điện tích của vật dẫn cân bằng tĩnh điện chỉ nằm trên bề mặt vật dẫn. c) Sự phân bố điện tích trên bề mặt vật dẫn cân bằng tĩnh điện phụ thuộc vào hình dạng của nó: Đây là tính chất mà lý thuyết và thực nghiệm đều chứng minh được. Đối với các vật có hình dạng bất kỳ, điện tích sẽ phân bố không đồng đều. Điều này cũng dễ hiểu, bởi vì do điện trường luôn nằm vuông góc với bề mặt của vật dẫn, nên tại các chỗ nhọn đường sức điện trường tập trung nhiều hơn tại các chỗ lõm, do đó mà điện tích tập trung tại các chỗ nhọn nhiều hơn tại các chỗ lõm. Chính sự phân bố điện tích không đều giữa các chỗ lồi và lõm khác nhau nên sự phân bố điện tích trên bề mặt vật dãn cân bằng tĩnh điện phụ thuộc vào hình dạng của nó. d) Điện trường trên bề mặt vật dẫn cân bằng tĩnh điện: Giả sử ta xét một mặt Gauss như hình bên, mặt Gauss này là một mặt trụ có tiết diện dS, bao lấy một diện tích dS rất bé nằm trên bề mặt vật dẫn. Điện trường bên ngoài vật dẫn tại điểm đó là E, mật độ điện mặt tại điểm đó là σ . Áp dụng định lý Ostrogradsky – Gauss cho mặt trụ trên, ta có: 0 out in outD dS D dS dq E σ ε + = ⇒ = . Hay viết dưới dạng vector, ta có: 0 outE n σ ε =   . Ta thấy điện trường này có độ lớn gấp đôi điện trường của một mặt phẳng vô hạn tích điện với mất độ tương ứng gây ra. Điều này có thể giải thích như sau: outE  là điện trường tổng hợp do phần diện tích dS gây ra tại điểm M và do phần còn lại của vật (S – dS) gây ra lên vật tại điểm M. Hai thành phần điện trường đó lần lượt là E1 và E2. Ta có: 1 2outE E E= +    . Xét một điểm N nằm bên trong vật dẫn, và ở rất gần điểm M, khi đó: điện trường tại N bằng 0, do phần diện tích dS gây ra và phần còn lại (S – dS) gây ra: 1 2 0inE E E′ ′= + =    . Ta dễ dàng thấy: 1 1 1 2 2 2out E E E E E E  ′ = − ⇒ = ′ =       . Điện trường E1 này xem như do một mặt phẳng rộng vô hạn gây ra với mật độ điện mặt σ . Khi đó ta tính được: 1 02 E nσ ε =  . Ta cũng rút ra được: 1 0 2outE E n σ ε = =   . 2.2 Hiện tượng hưởng ứng tĩnh điện (điện hưởng): Giả sử ta đặt vật dẫn A tích điện Q lại gần một vật B nào đó. Khi đó, trên vật dẫn B xuất hiện điện tích q. Giữa hai vật A và B đã xuất hiện hiện tượng hưởng ứng tĩnh điện. Điện tích q được gọi là điện tích hưởng ứng. Nếu mọi đường sức từ vật dẫn A đều sang vật dẫn B thì |q| = |Q|, ta nói giữa hai vật A và B xảy ra hiện tượng điện hưởng toàn phần. Nếu không phải tất cả các đường sức từ vật dẫn A đều sang vật dẫn B thì |q| < |Q|, ta nói giữa hai vật A và B xảy ra hiện tượng điện hưởng một phần. 2.3 Bài toán tương tác giữa vật dẫn cân bằng và trường ngoài: Giả sử ta có một vật dẫn cân bằng S đặt trong điện trường ngoài ( có thể là điện trường đều, điện trường do điện tích điểm gây ra hoặc do vật dẫn khác gây nên). Khi đó, chúng ta cần phải tính toán và xác định một số đại lượng vật lý có liên quan đến tương tác giữa vật dẫn và điện trường ngoài này. Tùy theo nhu cầu của từng tính huống cụ thể, chúng ta thường cần phải xác định: điện trường tổng hợp bên ngoài, điện thế bên ngoài, mật độ điện tích phân bố trên bề mặt vật dẫn, lực do trường ngoài tác dụng lên vật dẫn, v.v.v. Những dạng bài toán này thuộc dạng bài toán tương tác giữa vật dẫn cân bằng và điện trường ngoài. Để giải bài toán này, chúng ta có thể đi theo hai hướng: giải phương trình Poisson hoặc sử dụng phương pháp ảnh điện. Chúng ta sẽ khảo sát cụ thể từng phương pháp trên. 3 Phương trình Poisson của vật dẫn cân bằng đặt trong trường ngoài: 3.1 Thành lập phương trình Poisson: Đối với một điện trường tĩnh bất kỳ, ta luôn có: ( ) 1E grad ψ= −




 , với ψ là điện thế tương ứng tại một điểm nào đó. Nếu ta xét trong chân không thì định lý Ostrogradsky – Gauss có thể viết lại thành: đối với một mặt Gauss Σ nào đó thì: 0 iEdS q dVε ρ= =∑∫ ∫  với ρ là mật độ điện tích trong miền không gian V giới hạn bởi mặt Gauss trên. Áp dụng định lý Divergence cho vế trái của phương trình, ta có: ( )0 0 2divEdV dV divE ρε ρ ε = ⇒ =∫ ∫  Từ (1) và (2) ta có được phương trình Poisson: ( ) 0 3ρψ ε ∆ = − với ∆ là toán tử Laplace. Trong bài toán vật dẫn cân bằng tĩnh điện tương tác với điện trường ngoài, sự khác biệt giữa bài toán này và các bài toán tĩnh điện khác nằm ở các điều kiện biên. 3.2 Đưa về phương trình Laplace: Để đưa phương trình Poisson (3) về dạng phương trình Laplace, ta xét phương trình (3) đối với các điểm bên ngoài vật dẫn cân bằng và các điện tích trong không gian. Khi đó 0ρ = . Phương trình (3) trở thành phương trình Laplace: ( )0 4ψ∆ = 3.3 Điều kiện biên để khử về phải của phương trình Poisson: Để giải phương trình Laplace (4) trong bài toán vật dẫn cân bằng tĩnh điện tương tác với trường ngoài, ta phải đưa các điều kiện biên vào để việc khử về phải của phương trình Poisson (3) là thích hợp. Ở đây nhóm đưa ra một số điều kiện biên đặc biệt thường sử dụng trong bài toán này: - Điều kiện biên thể hiện sự xuất hiện của vật dẫn cân bằng: điện thế trên mặt S là hằng số S constψ = , phương trình Laplace xét trong không gian và bỏ đi mọi điểm bên trong mặt S. - Điều kiện biên thể hiện sự xuất hiện của điện trường đều: điện thế tại những điềm nằm rất xa vật dẫn cân bằng chỉ do điện trường gây ra: . r S E rψ = −≫   . - Điều kiện biên thể hiện sự xuất hiện của điện tích điểm: điện thế tại các vị trí của điện tích điểm M vô cùng lớn: M ψ = ∞ . Tuy nhiên, để khử dạng vô cùng trong điều kiện biên này, chúng ta sẽ sử dụng một thủ thuật nho nhỏ được đề cập đến trong phần sau. 3.4 Một số ví dụ cơ bản: 3.4.1 Quả cầu kim loại nối đất trong điện trường đều: Ta xét bài toán trong hệ tọa độ trụ ( ), ,r zϕ đặt tại gốc. Do quả cầu kim loại này nối đất nên điện thế trên bề mặt kim loại này là 2 2 2 0z r Rψ + = = . Ở cách tâm rất xa thì điện thế xem như chỉ do điện trường đều gây ra: ( )2 2 .z r E zψ + →∞→− Do bài toán lúc này có tính đối xứng trụ (với trục là trục Oz) nên toán tử Laplace được viết thành: 2 2 1 r r r r z ∂ ∂ ∂ ∆ = + ∂ ∂ ∂  . ( do đối xứng trụ nên không phụ thuộc vào góc ϕ , do đó toán tử Laplace lúc này không có thành phần 2 2 2 1 r ϕ ∂ ∂ ). Phương trình (4) trở thành: 2 2 2 2 2 2 1 10 0r r r r z r r r z ψ ψ ψ ψ ψ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  + = ⇔ + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  . Ta biết rằng ( )2 2 .z r E zψ + →∞→− , do đó, ( ) ( )0, . ,r z E z r zψ ψ= − + với ( )2 20 0z rψ + →∞→ . Ngoài ra, ta lại có: ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 20 0 10 . 0 , ,z r R z r R z r RE z r z z r zψ ψ ψ ψ ψ+ = + = + == ⇒ = − + = ⇒ = . Cuối cùng ta có dạng: ( ) ( )1, . . ,r z E z z r zψ ψ= − + với điều kiện biên: ( ) 2 2 2 2 2 1 1 0 z r z r R E ψ ψ + →∞ + = →  = . Như vậy ta có thể dự đoán một dạng nghiệm của ( )1 ,r zψ như sau: ( ) 2 1 2 2, n R r z E r z ψ  =   +  . Thay nghiệm ( ) ( )1, . . ,r z E z z r zψ ψ= − + như ta đã dự đoán vào trong phương trình Laplace, ta tìm được n. Cụ thể là: ( ) 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 22 2 2 0 0 3 3 2 n z z z r r r z n n z r z r z z R n ψ ψ ψ ψ∂ ∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ⇔ −  = ⇔   +  =  + Thay vào ta được nghiệm của điện thế như sau: ( ) 3 2 2 2 2, . 1 R r z E z r z ψ      = −  +     . Do điện trường ngoài và vật dẫn này duy nhất nên điện thế bên ngoài phải duy nhất, như vậy nghiệm trên chính là nghiệm của bài toán chúng ta đang khảo sát. Thật ra, nếu bài toán này, ta sử dụng hệ tọa độ cầu kết hợp với phép khai triển đa cực và hai điều kiện biên như trên thì phép tính sẽ đơn giản hơn rất nhiều. Điện trường ngoài tổng hợp bởi quả cầu và điện trường đều là: 5/22 2 2 2 2 2 5/22 2 2 2 21 . 3 . z z z r r r E e E e z E gr r z R R r z rz R R ad r E e z E e r ψ ψ ψ   ∂  = − =  ∂   − −   +     = − ⇒         + ∂ = −  = ∂   




    Tại bề mặt của quả cầu thì: 2 2 2 . 3 3. 3 z z r r z zR E Rzr R E E e E E E e  = ′⇒ =  =      Từ đây ta cũng xác định được mật độ điện mặt trên quả cầu là 0 0 3zE E R σ ε ε′= = . Việc xác định mật độ điện mặt giúp ta xác định được lực do điện trường ngoài tác dụng lên quả cầu nối đất: dF dqE F qE= ⇒ =     với 0q dSσ= =∫ Do đó, lực do điện trường tác dụng lên quả cầu bằng 0. Điều này có thể giải thích là do lực điện tác dụng lên nửa “âm” và nửa “dương” cân bằng với nhau. 3.4.2 Mặt phẳng kim loại vô hạn nối đất trong điện trường đều: Ta xét bài toán trong hệ tọa độ trụ ( ), ,r zϕ đặt tại gốc O nào đó. Do mặt phẳng kim loại này nối đất nên điện thế trên bề mặt kim loại này là 0 0zψ = = . Bài toán này khác với bài toán trên ở chỗ, tính đối xứng của bài toán. Nếu bài toán 3.4.1 là một bài toán đối xứng trụ thì ở bài toán này, ta thấy rằng mọi điểm nằm trong một mặt phẳng song song với mặt phẳng vô hạn kia đều có tính đối xứng như nhau. Hay nói cách khác, mặt đẳng thế tại một điểm bất ký là một mặt song song với mặt z = 0. Điện tích phân bố đều trên tấm kim loại σ và điện trường bên ngoài vật dẫn là 02 E E σ ε ′ = + . Tại bề mặt vật dẫn, từ phần 2.1.2d, ta đã có: 0 0 và 2E E E Eσ σ ε ε ′ ′= ⇒ = = . Điện thế tại một điểm M bất ký lúc này là ( ), , 2 .r z E zψ ϕ = 4 Phương trình Poisson của vật dẫn cân bằng tương tác với điện tích điểm: 4.1 Điều kiện biên để khử về phương trình Laplace: Như đã đề cập ở phần 3.3, khi có một điện tích điểm q đặt tại vị trí M thì ta có điều kiện biên Mψ = ∞ . Tuy nhiên, với điều kiện biên này, chúng ta chưa đủ cơ sở để có thể thể hiện hoàn chỉnh được điện tích điểm q đặt trong không gian. Do đó, chúng tôi đưa ra một cách thể hiện điều kiện biên này như sau: Xét một lân cận ε bao quanh điểm M, khi đó, điện thế tại lân cận trên xem như là chỉ do điện tích điểm q gây ra, và ta biểu diễn dưới dạng toán học là: 0 04M q εε ψ piε ε→− → . Với cách biểu diễn này, ta có thể biểu diễn được điện tích điểm hiện diện trong không gian. (Trong điện động lực học, người ta biểu diễn điện tích điểm bằng hàm Delta Dirac xuất hiện ở vế phải phương trình Poisson, do đó, đây có thể xem là một cách khéo léo nhằm khử vế phải). 4.2 Giải phương trình Laplace đối với một số bài toán cụ thể: 4.2.1 Mặt phẳng kim loại rộng vô hạn nối đất tương tác với một điện tích điểm: Ta xét mặt phẳng rộng vô hạn ở phần 3.4.2 tương tác với một điện tích điểm đặt tại điểm ( ) ( ), , 0,0,r z aϕ = . Khi đó, ta có các điều kiện biên như sau: Do mặt phẳng này nối đất nên 0 0zψ = = . Điện tích điểm đặt tại 0M nên 0 0 04M q εε ψ piε ε→− → . Ta dễ dàng nhận thấy rằng, bài toán này có tính đối xứng trụ, với trục là trục Oz, do đó, điện thế không phụ thuộc vào góc ϕ . Phương trình Laplace trở thành: 2 2 2 2 2 2 1 10 0r r r r z r r r z ψ ψ ψ ψ ψψ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∆ = + = ⇔ + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  . Để giải nghiệm này, ta xem xét điều kiện biên. Từ điều kiện biên thứ hai, ta thấy rằng ψ bao gồm do điện tích q và mặt phẳng rộng vô hạn trên gây ra. Ngoài ra, ta biết được phương trình Laplace có nghiệm riêng dạng ( )22 i i A r z a+ − , rất giống với điện thế do một điện tích điểm gây ra. Do đó, ta thử xét phương trình trên với nghiệm sau: ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 22 2 2 1 2 i i i A A A r z a r z a r z a ψ = = + + − + − + − ∑ . Từ điều kiện biên thứ hai, ta giả sử khi đó điện thế chỉ còn có số hạng thứ nhất, khi đó: 1 0 1 4 qA a a piε  =   = Từ điều kiện biên thứ nhất, ta có: 22 02 2 2 2 2 20 2 2 40 4 qAAq r a r a a a piε piε  = − + = ⇒  + +  = , để tránh vi phạm điều kiên biên thứ hai thì ta chỉ chọn được: 2 0 2 4 qA a a piε  = −   = − Vậy điện thế lúc này của ta có dạng: ( ) ( ) ( )2 22 20 1 1 , 4