Toán học - Đồ thị (Graph 2)

Đồ thị (Graph 2) Lê Sỹ Vinh Bộ môn Khoa Học Máy Tính – Khoa CNTT Đại Học Công Nghệ - ĐHQGHN Email: vinhbio@gmail.com Đồ thị (graph) • G = (V, E) – V: Tập đỉnh – E = { (u,v) | u, v ∈ V}: Tập cạnh Ví dụ: Biểu diễn bản đồ đường đi trong thành phố bằng đồ thị G = (V, E) – V: Tập hợp các điểm trong thành phố – E: Tập hợp các đường đi trong thành phố, mỗi đường đi nối hai điểm Đi qua đồ thị theo chiều rộng (Breadth first search) • Đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị, mỗi đỉnh đúng một lần • Bắt đầu xuất phát từ một đỉnh s, lần lượt thăm các đỉnh liền kề với s. Tiếp tục quá trình thăm các đỉnh theo nguyên tắc: Đỉnh nào được thăm trước thì các đỉnh liền kề với đỉnh đó sẽ được thăm trước • Xem ví dụ Đi qua đồ thị theo chiều sâu (Depth first search) //Đi qua đồ thị theo chiều sâu xuất phát từ v DepthFirstSearch (v) { for (mỗi đỉnh u kề với v) if (u chưa được thăm) { thăm u và đánh dấu u đã được thăm DepthFirstSearch (u) } } Xem ví dụ Sắp xếp topo Cho đồ thị có hướng nhưng không có chu trình G = (V, E) (Directed acylic graph / DAG) Sắp xếp các đỉnh của đồ thị G thành một danh sách sao cho nếu có cung (u,v) ∈ E, thì đỉnh u phải đứng trước đỉnh v. G A B C F E D Sắp xếp topo TopoSort (u) { for (mỗi đỉnh v kề u) if ( v chưa thăm) TopoSort(v); Xen u vào đầu danh sách T; Đánh dấu u đã thăm; } //Sắp xếp các đỉnh của đồ thị định hướng //không có chu trình G =(V,E) thành danh sách topo. TopoSortGraph(G) { for (mỗi đỉnh u ∈ V) Đánh dấu u chưa được thăm; Khởi tạo danh sách topo T rỗng; for (mỗi đỉnh u ∈ V) if (u chưa thăm) TopoSort (u); } Đường đi giữa hai điểm Cho đồ thị G = (V, E) Giữa hai đỉnh (x0, xk) có đường đi, nếu tồn tại (x1,,xk-1 ) thỏa mãn (xi, xi+1) ∈ E, ∀i = 0(k-1) Đồ thị liên thông (Connected graph) Cho đồ thị G = (V, E), G được gọi là liên thông nếu tồn tại đường đi giữa hai đỉnh bất kì của đồ thị Tìm tất cả các thành phần liên thông Cho đồ thị G = (V, E), tìm tất cả các thành phần liên thông của đồ thị. Đỉnh i của đồ thị được gán nhãn ci cho biết thuộc miền liên thông ci. Tìm các thành phần liên thông //Đi qua đồ thị theo bề rộng xuất phát từ v FindConnectedComponent (v, ci) { (1) Khởi tạo hàng đợi Q rỗng; (2) Xen v vào hàng đợi Q; (3) Đánh dấu đỉnh v đã được thăm, và gán nhãn v bằng ci (4) while (hàng đợi Q không rỗng) { (5) Lấy đỉnh w ở đầu hàng đợi Q; (6) for (mỗi đỉnh u kề w) (7) if ( u chưa được thăm) { (8) Xen u vào đuôi hàng đợi Q; (9) Đánh dấu u đã được thăm, và gán nhãn u bằng ci } (10) Loại w ra khỏi hàng đợi Q } // hết vòng lặp while. } Tìm các thành phần liên thông // Tìm các thành phần liên thông của đồ thị G=(V, E) FindAllConnectedComponent (G) { (10) for (mỗi v ∈V) (11) Đánh dấu v chưa được thăm; (12) ci = 0; (13) for (mỗi v ∈V) (14) if (v chưa được thăm) { (15) FindConnectedComponent(v, ci); (16) ci = ci + 1 } } Đường đi ngắn nhất Cho đồ thị G=(V, E), cạnh (u, v) ∈ E có độ dài weight (u,v) > 0. Tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh s đến đỉnh e Tư tưởng thuật toán Dijkstra (thuật toán gán nhãn) dist[v] = Khoảng cách đường đi ngắn nhất từ s đến v pre[v] = u: Đỉnh liền phía trước trên đường đi ngắn nhất từ s đến v Gán nhãn (sửa nhãn): Nếu dist[u] + weight (u, v) < dist [v] thì dist [v] = dist[u] + weight (u, v) pre[v] = u s →→ u → v Thuật toán Dijkstra Known = {tập hợp các đỉnh đã xác định được đường đi ngắn nhất từ s đến} Unknown = {tập hợp các đỉnh chưa xác định được đường đi ngắn nhất từ s đến} Tiến hành quá trình lặp, tại bước i tìm đỉnh u ∈ unknown có khoảng cách nhỏ nhất. if u = e then kết thúc else { known = known ∪ {u} unknown = unknown – {u} Dùng u để sửa nhãn cho các đỉnh thuộc tập unknown tiến hành bước thứ (i + 1) } Dijkstra Algorithm { Known = {s}; Unknown = {E} – {s} for v ∈ unknown { dist[v] = weight [s, v]; pre[v] = s; } u = s; // at the first step while (u != e ){ chọn u sao cho dist[u] = min {dist[x] | x ∈ unknown} Known = Known ∪ {u} Unknown = Unknown – {u} for v ∈ Unknown if dist[u] + weight [u, v] < dist[v] { //sửa nhãn cho v từ u dist[v] = dist[u] + weight[u,v]; pre[v] = u; } } path = {e} while (e != s) { e = pre[e] path = {e} ∪ path } }