Toán học - Phép tính vi tích phân hàm một biến

PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Nguyễn Văn Phong Toán cao cấp - MS: MAT1006 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 1 / 23 Nội dung 1 HÀM SỐ 2 HÀM SỐ SƠ CẤP 3 CÁC PHÉP TOÁN 4 GIỚI HẠN HÀM SỐ 5 HÀM LIÊN TỤC 6 ĐẠO HÀM 7 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 1 / 23 Hàm số Định nghĩa Hàm số f là một liên kết mỗi phần tử x ∈ X ⊂ R với một phần tử duy nhất y ∈ Y ⊂ R, ký hiệu f (x). Ta viết f : X → Y x 7→ y = f (x) Khi đó y được gọi là ảnh của x qua f (hay ta còn nói f biến x thành y); X được gọi là miền xác định của f , ký hiệu Df ; Tập Y = {y = f (x) |x ∈ D } là tập ảnh của f hay còn gọi là tập xác định của f , ký hiệu Rf . Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 2 / 23 Đơn ánh - Toàn ánh - Song ánh 1. Hàm f : X → Y là đơn ánh nếu ∀x ∈ D, f (x) = f (x ′)⇒ x = x ′. 2. Hàm f : X → Y là toàn ánh nếu f (X ) = Y ⇔ ∀y ∈ Y ,∃x ∈ X : f (x) = y . 3. Hàm f : X → Y là song ánh nếu ∀y ∈ Y ,∃!x ∈ X : f (x) = y . Nghĩa là, f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 3 / 23 Hàm sơ cấp 1. Hàm luỹ thừa và căn thức: f (x) = xn và f (x) = n √ x với x ∈ N 2. Hàm mũ và Logarit: f (x) = ax và f (x) = logax , với 0 < a 6= 1. 3. Hàm lượng giác: f (x) = sin x ; f (x) = cos x ; f (x) = tan x . 4. Hàm lượng giác ngược: f (x) = arcsin x ; f (x) = arccos x ; f (x) = arctan x . Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 4 / 23 Các phép toán Với các hàm số f , g : X → Y , ta có i) (f ± g) (x) = f (x)± g(x) ii) (f · g) (x) = f (x) · g(x) iii) (f /g) (x) = f (x)/g(x) iv) f : X → Y ; g : Y → Z . Hàm h : X → Z xác định h(x) = g ◦ f(x) = g [f(x)]. Được gọi là hàm hợp của f và g . v) Cho f : X → Y là một song ánh. Khi đó, ∀y ∈ Y ,∃!x = f −1(y) ∈ X : f (x) = y . Bấy giờ hàm f −1 : Y → X được gọi là hàm ngược của f và ∀x ∈ X , y ∈ Y , ta có x = f−1(y)⇔ f(x) = y Hơn nữa, ta có f [ f−1(x) ] = x và f−1 [f(x)] = x Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 5 / 23 Ví dụ Xác định g ◦ f , f ◦ g , f ◦ f , g ◦ g , với a) f (x) = cos x và g(x) = x2 b) f (x) = 2x + 1 và g(x) = x − 1 2 c) Phân tích hàm sau thành các hàm sơ cấp f (x) = √ ln (tan (cos (2x + 1))) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 6 / 23 Giới hạn hàm số Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định trên Df . Ta nói L là giới hạn của f tại a, ký hiệu lim x→a f (x) = L Với mọi ε > 0 cho trước, ta tìm được một số δ > 0 sao cho ∀x ∈ Df nếu |x − a| < δε thì |f (x)− L| < ε. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 7 / 23 Giới hạn trái - Giới hạn phải Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định trên Df . Ta nói L là giới hạn trái của f tại a, ký hiệu lim x→a− f (x) = L Với mọi ε > 0 cho trước, ta tìm được một số δ > 0 sao cho ∀x ∈ Df nếu −δε < x − a < 0 thì |f (x)− L| < ε. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 8 / 23 Giới hạn trái - Giới hạn phải Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định trên Df . Ta nói R là giới hạn phải của f tại a, ký hiệu lim x→a+ f (x) = R Với mọi ε > 0 cho trước, ta tìm được một số δ > 0 sao cho ∀x ∈ Df nếu 0 < x − a < δε thì |f (x)−R| < ε. Ta nói lim x→a f (x) tồn tại nếu lim x→a− [f (x)] = lim x→a+ [f (x)] = lim x→a [f (x)] Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 9 / 23 Các tính chất của giới hạn i) Nếu f (x) = C (hằng số) thì lim x→a f (x) = C ii) Nếu f (x) > b thì lim x→a f (x) > b iii) Nếu ϕ (x) 6 f (x) 6 ψ (x) và lim x→aϕ (x) = limx→aψ (x) = A thì limx→a f (x) = A iv) Nếu lim x→a f (x) = A và limx→a g (x) = B thì a. lim x→a [f (x)± g (x)] = lim x→a f (x)± lim x→a g (x) = A± B b. lim x→a [f (x) g (x)] = lim x→a f (x) lim x→a g (x) = AB c. lim x→a [f (x)/g (x)] = lim x→a f (x) / lim x→a g (x) = A/B ; B 6= 0 d. lim x→a [f (x)]g(x) = [ lim x→a f (x) ] lim x→a g(x) = AB Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 10 / 23 Các dạng vô định thường gặp 1. Dạng ∞−∞ xảy ra khi ta tính lim x→a [f (x)± g (x)] 2. Dạng ∞ ∞ hay 0 0 xảy ra khi ta tính lim x→a [f (x) /g (x)] 3. Dạng 0×∞ xảy ra khi ta tính lim x→a [f (x) · g (x)] 4. Dạng 1∞; 00; ∞0 xảy ra khi ta tính lim x→a [f (x)] g(x) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 11 / 23 Một số giới hạn cơ bản 1) lim x→0 sin x x = 1 2) lim x→0 1− cos x x2 = 1 2 3) lim x→0 tan x x = 1 4) lim x→0 ex − 1 x = 1 5) lim x→0 ln(1 + x) x = 1 6) lim x→0 arcsin x x = 1 7) lim x→0 arctan x x = 1 8) lim x→0 (1 + x)α − 1 x = α 9) lim x→∞ ( 1 + 1 x )x = e 10) lim x→0 (1 + x) 1 x = e Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 12 / 23 Vô cùng bé Định nghĩa Hàm α (x) được gọi là vô cùng bé (VCB), khi x → a nếu lim x→aα (x) = 0 Hơn nữa, nếu α (x) và β (x) là hai VCB khi x → a, khi đó 1. α(x)± β(x), α(x)× β(x), Cα(x) cũng là VCB, khi x → a 2. α(x)× g(x) cũng là VCB, khi x → a, với hàm g(x) bị chặn Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 13 / 23 So sánh hai vô cùng bé Cho α (x) và β (x) là hai VCB khi x → a, ta đặt k = lim x→a α(x) β(x) . Khi đó 1. Nếu k = 0 ta nói α(x) là VCB cấp cao hơn β(x), 2. Nếu k =∞ ta nói α(x) là VCB cấp thấp hơn β(x), 3. Nếu k 6= 0 ∧ k 6=∞ ta nói α(x) và β(x) là hai VCB cùng cấp. Đặc biệt nếu k = 1 ta nói α(x) và β(x) là hai VCB tương đương, ký hiệu α(x) ∼ β(x). Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 14 / 23 Vô cùng bé Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao Giả sử f (x) và g (x) là tổng hữu hạn của các VCB khi x → a, khi đó lim x→a f (x) g(x) = lim x→a VCB cấp thấp nhất của tử VCB cấp thấp nhất của mẫu Một số VCB tương đương khi x→ 0 cần nhớ sin x ∼ x tan x ∼ x arcsin x ∼ x arctan x ∼ x ex − 1 ∼ x ln(1 + x) ∼ x n √ 1 + x − 1 ∼ xn 1− cos x ∼ x 2 2 ax − 1 ∼ xlna (1 + x)r − 1 ∼ rx Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 15 / 23 Hàm liên tục Định nghĩa Hàm f (x) xác định trên Df gọi là liên tục tại a, nếu i) f (x) xác định tại a ∈ Df , ii) lim x→a f (x) tồn tại, iii) lim x→a f (x) = f (a). Ví dụ. Xét tính liên tục của các hàm sau đây a) f (x) = 3x + 1 tại x = 1, b) f (x) = x |x | tại x = 0, c) f (x) = { 2x + 1, x > 0 1, x 6 0 tại x = 0. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 16 / 23 Đạo hàm Định nghĩa Hàm số f : (a, b)→ R gọi là khả vi tại x0 ∈ (a, b) nếu giới hạn lim ∆x→0 f (x0 + ∆x)− f (x0) ∆x tồn tại Giới hạn này gọi là đạo hàm của f tại x0, ký hiệu f ′(x0) = lim ∆x→0 f (x0 + ∆x)− f (x0) ∆x = lim ∆x→0 ∆f ∆x Ý nghĩa: Tính xấp xỉ bởi công thức y − y0 = f ′ (x0) (x − x0) Tính vận tốc tức thời Tỷ lệ thay đổi của f (x) đối với x tại điểm x0 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 17 / 23 Đạo hàm cấp cao Định nghĩa Giả sử f có đạo hàm cấp n, f n, tại x ∈ (a, b). Khi đó, đạo hàm cấp n + 1 của f được định nghĩa f (n+1)(x) = (f (n))′(x) Tính chất. Nếu f khả vi tại x thì f liên tục tại x Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 18 / 23 Các tính chất Nếu f , g là các hàm số khả vi tại x ∈ (a, b) thì: 1. (f + g)′(x) = f ′(x) + g ′(x) 2. (αf )′(x) = αf ′(x), với α ∈ R 3. (fg)′(x) = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x) 4. ( f g )′ (x) = f ′(x)g(x)− f (x)g ′(x) g 2(x) 5. (g ◦ f )′(x) = g ′(f (x))f ′(x) 6. Nếu f −1 tồn tại, khả vi tại y = f (x) và f ′(x) 6= 0 thì (f −1)′(y) = 1 f ′(x) = 1 f ′(f −1(y)) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 19 / 23 Đạo hàm các hàm sơ cấp f (x) f ′(x) f (x) f ′(x) xn nxn−1 n √ x 1 n n √ xn−1 ex ex ln x 1 x sin x cos x arcsin x 1√ 1 + x2 cos x − sin x arccos x − 1√ 1 + x2 tan x 1 cos2 x = 1 + tan2 x arctan x 1 1 + x2 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 20 / 23 Ứng dụng đạo hàm 1. Tính gần đúng Áp dụng, công thức sau: f (x)− f (x0) = f ′ (x0) (x − x0) (1) 2. Khai triển Taylor Giả sử f : (a, b)→ R khả vi đến cấp n + 1. Khi đó, với x0, x ∈ (a, b), ta có công thức khai triển Taylor sau f (x) = f (x0) + f ′ (x0) 1! (x − x0) + f ′′ (x0) 2! (x − x0)2 + ... + f (n) (x0) n! (x − x0)n +Rn (x) Trong đó Rn là phần dư. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 21 / 23 Ứng dụng đạo hàm 3. Khai triển Maclaurent Trong khai triển Taylor, khi x0 = 0, ta có công thức khai triển Maclaurent f (x) = f (0) + f ′ (0) 1! (x) + f ′′ (0) 2! (x)2 + ... + f (n) (0) n! (x)n +Rn (x) Trong đó Rn là phần dư. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 22 / 23 Ứng dụng đạo hàm 4. Quy tắc L’hospital Giả sử lim x→a f (x) g(x) có dạng 0 0 hay ∞ ∞ . Khi đó, Nếu lim x→a f ′(x) g ′(x) = A thì lim x→a f (x) g(x) = A Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 23 / 23