Ước lượng không chệch với mẫu ngẫu nhiên hình học

185 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC Tóm tắt Mẫu ngẫu nhiên với cỡ mẫu là một biến ngẫu nhiên có phân phối hình học (gọi tắt là mẫu hình học) sẽ được giới thiệu trong bài viết này. Trung bình mẫu hình học và phương sai mẫu hình học hiệu chỉnh sẽ được ước lượng bằng phương pháp ước lượng không chệch. Kết quả đạt được là cơ sở lý thuyết để xây dựng các bài toán thống kê liên quan đến mẫu này. Từ khóa: Ước lượng không chệch, phân phối hình học, mẫu ngẫu nhiên hình học 1. Giới thiệu Xét tổng thể và ta quan tâm đến một (hay một vài) dấu hiệu nào đó. Các dấu hiệu này thay đổi qua từng phần tử của và được xem như một biến ngẫu nhiên . Mẫu có kích thước là một bộ gồm quan sát với các thành phần là các bản sao độc lập, cùng phân phối với . Với phương pháp chọn mẫu đơn giản, ta tiến hành quan sát đám đông và mỗi lần chọn một phần tử của mẫu cho đến khi đủ kích thước mẫu là thì dừng lại. Vấn đề đặt ra là với kích thước mẫu bằng bao nhiêu thì đủ? Tất nhiên, càng lớn càng tốt. Tuy nhiên, với càng lớn thì việc chọn mẫu càng khó thực hiện, ngược lại bé thì tính đại diện của mẫu thấp. Trong thực tế, nhiều quan sát hay phép thử chỉ dừng lại khi bắt gặp “dấu hiệu trội” nào đó. Chẳng hạn như một vận động viên điền kinh nhảy cao quyết tâm phá kỷ lục cho nên anh ta thực hiện các lần nhảy cho đến khi nào đạt được thì dừng, hay bắn không hạn chế vào một tấm bia cho đến khi trúng thì dừng. Tiến hành chọn mẫu bằng phương pháp đơn giản với dấu hiệu quan sát cho đến khi gặp phải “dấu hiệu trội” nào đó thì dừng. Mẫu chọn được bằng cách này có kích thước là một biến ngẫu nhiên có phân phối hình học và được gọi tắt là mẫu ngẫu nhiên hình học. *Bộ môn Toán - Thống kê, Khoa Kinh tế - Luật, Trường Đại học Tài chính - Marketing ƯỚC LƯỢNG KHÔNG CHỆCH VỚI MẪU NGẪU NHIÊN HÌNH HỌC 23. ThS. Phan Trí Kiên* 186 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC Mục đích chính của viết bài là đưa ra khái niệm mẫu ngẫu nhiên hình học. Trung bình và phương sai hiệu chỉnh của mẫu ngẫu nhiên hình học sẽ được ước lượng bằng phương pháp ước lượng không chệch. Kết quả đạt được là cơ sở lý thuyết để xây dựng các bài toán thống kê như ước lượng, kiểm định với mẫu này. 2. Mẫu ngẫu nhiên hình học Xét dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối Bernoulli với tham số được định nghĩa như sau: Đặt Khi đó: (2.1) Biến ngẫu nhiên có hàm phân phối xác suất như (2.1) được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối hình học với tham số Nếu xem biến Bernoulli nhận giá trị 0 là “thất bại” thì biến ngẫu nhiên hình học nhận giá trị hàm ý rằng, “thất bại” đầu tiên xảy ra ở lần thử thứ k trong dãy các phép thử Bernoulli. Giả sử xác suất gặp phải dấu hiệu nào đó trong tổng thể là , ở đây dấu hiệu được xem là một “dấu hiệu trội” nào đó trong tổng thể . Cho là một biến ngẫu nhiên quan sát, độc lập với . Để xác định mẫu ngẫu nhiên hình học với biến quan sát , ta tiến hành lập mẫu gồm các thành phần của mẫu là trong đó là các bản sao độc lập, cùng phân phối với biến ngẫu nhiên và thành phần được chọn khi xuất hiện dấu hiệu đầu tiên thì dừng lại. Ví dụ: Biết rằng xác suất chọn phải sản phẩm xấu trong một kho hàng gồm nhiều sản phẩm là . Giả sử là biến ngẫu nhiên chỉ một đặc tính nào đó (trọng lượng, chất lượng, hàm lượng) của các sản phẩm trong kho. Tiến hành chọn một mẫu với các thành phần là các bản sao độc lập, cùng phân phối với biến ngẫu nhiên cho đến khi gặp phải sản phẩm xấu thì dừng. Khi đó, mẫu chọn được là một mẫu hình học. 3. Ước lượng không chệch Cho là một biến ngẫu nhiên có phân phối hình học với tham số Theo Kalashnikov, V. (1997)1, các mô-men bậc nhất và bậc hai của lần lượt là: 1 Kalashnikov, V. (1997), Geometric Sum: Bounds for Rare Events with Applications. Kluwer Academic Publishers, pp. 5. 187 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC Xét mẫu hình học với kỳ vọng Giả sử rằng, độc lập với các Ta xét trung bình mẫu theo nghĩa: và phương sai mẫu hiệu chỉnh theo nghĩa: Định nghĩa: Một ước lượng của tham số được gọi là không chệch nếu ngược lại thì được gọi là ước lượng chệch của , khi đó, độ chệch được xác định bởi Mệnh đề 1: Cho mẫu hình học với kỳ vọng Khi đó, trung bình mẫu là một ước lượng không chệch của kỳ vọng Chứng minh Ta có: Mệnh đề được chứng minh. Mệnh đề 2: Cho mẫu hình học với kỳ vọng và phương sai Khi đó, phương sai mẫu hiệu chỉnh: là ước lượng chệch của với độ chệch 188 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC Chứng minh Ta có: (3.1) Vì độc lập với cho nên: (3.2) 189 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC Mặt khác, (3.3) Từ (3.1), (3.2) và (3.3) ta được: Vậy, là ước lượng chệch của với độ chệch Mệnh đề đã được chứng minh. Chú ý: Với mẫu ngẫu nhiên hình học , xét phương sai mẫu Từ phép chứng minh của Mệnh đề 2, ta có: 190 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC 4. Kết luận Dựa trên các kết quả liên quan đến các định lý giới hạn của tổng ngẫu nhiên hình học (xem [1], [3] và [4]), các bài toán thống kê như: ước lượng khoảng tin cậy cho trung bình, ước lượng khoảng tin cậy cho tỷ lệ, kiểm định các giả thuyết với mẫu hình học hoàn toàn có thể xây dựng được. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Kotz, S., Kozubowski, T. J. and Podgórsky, K. (2001), The Laplace Distribution and Generalization. Springer Science + Business Media, LLC. 2. Kalashnikov, V. (1997), Geometric Sum: Bounds for Rare Events with Applications. Kluwer Academic Publishers. 3. Tran Loc Hung and Phan Tri Kien (2020), On the rates of convergence in weak limit theorems for geometric random sums of the strictly stationary sequence of m-dependent random variables. Lithuanian Mathematical Journal, 60, pp. 173 - 188. 4. Tran Loc Hung and Phan Tri Kien (2020), On the rates of convergence in weak limit theorems for normalized geometric sums. Bulletin of the Korean Mathematical Society, 57, No. 5, pp. 1115 - 1126.