Vật lý chất rắn - Chương 2: Sóng phản xạ và mạng đảo

VẬT LÝ CHẤT RẮN TS. Ngô Văn Thanh Viện Vật Lý Hà Nội - 2016 Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 2 Tài liệu tham khảo [1] Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics, 8th Eds. (John Wiley & Sons, 2005) [2] Đào Trần Cao, Cơ sở vật lý chất rắn, (NXB ĐHQG Hà Nội, 2007). [3] Charles Kittel, Mở đầu vật lý chất rắn, (Đặng Mộng Lân và Trần Hữu Phát dịch), (NXB KHKT Hà Nội, 1984). [4] Nguyễn Ngọc Long, Vật lý chất rắn, (NXB ĐHQG Hà Nội, 2007). [5] Lê Khắc Bình, Nguyễn Nhật Khanh, Vật lý chất rắn, (NXB ĐHQG TP. HCM, 2002) Website : Email : nvthanh@iop.vast.ac.vn Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 3 CHƯƠNG 2. SÓNG PHẢN XẠ VÀ MẠNG ĐẢO 1. Nhiễu xạ của sóng bởi tinh thể 2. Biên độ sóng tán xạ 3. Vùng Brillouin 4. Biểu diễn Fourier của các cơ sở Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 4 1. Nhiễu xạ của sóng bởi tinh thể  Diffraction of waves by crystals  Định luật Bragg  Giả thiết sóng tới bị phản xạ từ các mặt phẳng song song của các nguyên tử trong tinh thể  Tương tự như phản xạ gương: => góc tới = góc phản xạ  Chùm nhiễu xạ có thể tìm thấy khi các tia phản xạ từ các mặt phẳng nguyên tử giao thoa tăng cường với nhau  Xem như là sự tán xạ đàn hồi, năng lượng của tia X không thay đổi khi phản xạ  Định luật Bragg : điều kiện giao thoa tăng cường: • Điều kiện này được thỏa mãn khi  Định luật Bragg là hệ quả của tính tuần hoàn mạng tinh thể Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 5 1. Nhiễu xạ của sóng bởi tinh thể Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 6 2. Biên độ sóng tán xạ  Giải tích Fouries  Phép biến đổi tịnh tiến :  Tính chất vật lý : nồng độ hạt tải; mật độ điện tử; mật độ moment từ • Bất biến đối với phép biến đổi tịnh tiến  Mật độ điện tử là một hàm tuần hoàn theo tọa độ  Xét trường hợp 1 chiều, khai triển theo chuỗi Fourier • p : số nguyên dương • Cp, Sp : hằng số thực • Đối số góc 2/a đảm bảo hàm n(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ a. Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 7 2. Biên độ sóng tán xạ  Mạng đảo  : là nút của mạng đảo hoặc điểm trong không gian Fourier • Là các số hạng khả dĩ trong chuỗi Fourier tương ứng với tính tuần hoàn mạng. Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 8 2. Biên độ sóng tán xạ  Biểu diễn phức  p : số tự nhiên (âm, zero, dương)  np : là số phức để đảm bảo n(x) là số thực  Điều kiện :  Xét tổng với  Sử dụng điều kiện trên, ta có  Trường hợp tổng quát (3D)  Tìm một vector bất biến đối vơi phép biến đổi tịnh tiến , thỏa mãn Biên độ tán xạ tia X Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 9 2. Biên độ sóng tán xạ  Biến đổi ngược chuỗi Fourier (Inversion of Fourier Series)  Biểu thức xác định hệ số Fourier  Thay biểu thức mật độ điện tử vào, ta có  Nếu , giá trị của tích phân  Nếu , ta có :  Trường hợp 3 chiều • Vc : thể tích của ô tinh thể Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 10 2. Biên độ sóng tán xạ  Các vector mạng đảo (Reciprocal Lattice Vectors)  Ký hiệu các vector trục :  Nếu là các vector tối giản của mạng thuận thì cũng là vector tối giản của mạng đảo  Tính chất trực giao :  Các nút mạng đảo được xác định qua bộ các vector :  : được gọi là vector mạng đảo  Xét biến đổi tịnh tiến  đối với mật độ điện tử Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 11 2. Biên độ sóng tán xạ  Xét số hạng  Thay vào ta có :  Mật độ điện tử trong không gian mạng đảo cũng bất biến đối với phép biến đổi tịnh tiến  Tóm lại:  Mọi tinh thể bao gồm 2 mạng, mạng thuận và mạng đảo  Hình ảnh nhiễu xạ của tinh thể mà ta quan sát thấy chính là ảnh của mạng đảo  Hình ảnh quan sát được qua kính hiển vi (giả định) là hình ảnh của mạng thuận Thứ nguyên • Mạng thuận có thứ nguyên độ dài [length] • Mạng đảo có thứ nguyên 1/(độ dài) [1/length]  Mạng đảo là 1 mạng trong không gian Fourier kết hợp với tinh thể Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 12 2. Biên độ sóng tán xạ  Các điều kiện nhiễu xạ  Định lý : tập hợp các vector mạng đảo quyết định cho sự tồn tại của phản xạ tia X.  : vector sóng tới và sóng phản xạ Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 13 2. Biên độ sóng tán xạ  Xét điểm O và  Độ lệch về đường đi giữa 2 tia :  Độ lệch góc pha : • Hoặc :  Đối với sóng nhiễu xạ  Độ lệch góc pha :  Độ lệch pha toàn phần :  Hệ số pha của sóng tán xạ từ thể tích  Giả thiết :  Biên độ sóng tán xạ từ một yếu tố thể tích tỷ lệ với nồng độ điện tử nội tại  Biên độ tán xạ sóng điện từ với : được gọi là vector tán xạ Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 14 2. Biên độ sóng tán xạ  Sử dụng biểu thức khai triển Fourier của nồng độ điện tử, ta có  Xét trường hợp suy ra  Tán xạ đàn hồi của photon có năng lượng bảo toàn  Tần số của chùm tia ló == tần số chùm tia tới  Biến đổi  Điều kiện nhiễu xạ  Nếu là vector mạng đảo thì cũng là một vector mạng đảo điều kiện nhiễu xạ trở thành:  Đây là cách viết khác của điều kiện nhiễu xạ • d : khoảng cách giữa 2 mặt phằng song song • Chỉ số mặt phẳng : Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 15 2. Biên độ sóng tán xạ  Các phương trình Laue  Từ các phương trình : Nhân vô hướng với và  Phép dựng hình Ewald • : vector tia X tới • Vẽ hình cầu bán kính • Giao điểm của hình cầu và các nút của mạng đảo thỏa mãn • Dựng góc  : chính là góc Bragg Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 16 3. Vùng Brillouin  Brillouin zones  Định nghĩa :  Ô tối giản Wigner-Seitz trong không gian mạng đảo  Biến đổi công thức điều kiện  Chọn vector mạng đảo • Gốc vector tại nút mạng đảo  Đựng mặt phẳng vuông góc đi qua trung điểm của  Chùm tia X sẽ bị nhiễu xạ nếu vector sóng có biên độ và hướng thỏa mãn điều kiện trên  Hướng của chùm nhiễu xạ Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 17 3. Vùng Brillouin  Sóng có vector sóng vẽ từ gốc và kết thúc tại mặt phẳng bất kỳ thì sẽ thỏa mãn điều kiện nhiễu xạ  Tập hợp các mặt phẳng này chia không gian Fourier thành nhiều mảnh  Hình vuông ở giữa là ô tối giản của mạng đảo == ô Wigner-Seitz Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 18 3. Vùng Brillouin  Vùng Brillouin thứ nhất => là ô trung tâm của mạng đảo có thể tích bé nhất  bao quanh bởi các mặt phẳng pháp tuyến chia đôi các vector mạng đảo vẽ từ điểm gốc  Vector mạng thuận có độ dài :  Vector cơ sở của mạng đảo có độ dài :  Biên vùng Brillouin thứ 1 : Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 19 3. Vùng Brillouin  Mạng đảo của mạng sc (simple cubic)  Vector mạng thuận :  : các vector trực giao có độ dài bằng đơn vị (vector đơn vị)  Các vector tịnh tiến tối giản của mạng đảo  Mạng đảo cũng là một mạng lập phương đơn giản có hằng số mạng là :  Biên vùng Brillouin thứ nhất là các mặt phẳng pháp tuyến của 6 vectors mạng đảo :  Vị trí các điểm giữa :  Vùng Brillouin thứ nhất: là hình lập phương đơn giản • Độ dài mỗi cạnh = ; => thể tích : Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 20 3. Vùng Brillouin  Mạng đảo của mạng bcc (body centered cubic)  Vector mạng thuận :  Thể tích của ô tối giản  Vector tịnh tiến tối giản của mạng đảo  Dạng tổng quát của vector mạng đảo Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 21 3. Vùng Brillouin  Vùng Brillouin thứ nhất  Bao gồm 12 vectors ngắn nhất • Tổ hợp của các biểu thức với dấu khác nhau  Ô tối giản của mạng đảo  Là hình hộp tạo bởi các vectors  Mỗi ô chỉ chứa một nút mạng đảo  Thể tích của ô Wigner-Seitz Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 22 3. Vùng Brillouin  Mạng đảo của mạng fcc (face centered cubic)  Vector mạng thuận :  Thể tích của ô tối giản  Vector mạng đảo  Thể tích của ô tối giản Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 23 3. Vùng Brillouin  Các vector mạng đảo ngắn nhất : 8 vectors  Các phằng cắt nhau tại 6 vectors :  Vùng Brillouin thứ nhất là hình 8 mặt, trong đó có 6 mặt nằm trong hình lập phương có cạnh Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 24 4. Biểu diễn Fourier của các cơ sở  Biên độ tán xạ  Khi vector sóng thoả mãn điều kiện nhiễu xạ  Xét tinh thể gồm N ô cơ sở, ta có biểu thức biên độ tán xạ :  : được gọi là “hệ số cấu trúc” (structure factor) • định nghĩa : là tích phân theo một ô đơn lẻ với toạ độ tại một góc là  Nồng độ toàn phần của điện tử của mọi nguyên tử tại vị trí  : nồng độ của điện tử đóng góp bởi nguyên tử thứ j trong mỗi ô.  hệ số cấu trúc Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 25 4. Biểu diễn Fourier của các cơ sở  Định nghĩa hệ số dạng nguyên tử (atomic form) • Thể hiện tính chất của nguyên tử  Viết lại hệ số cấu trúc :  Vector vị trí của nguyên tử j  Xét tích  Cuối cùng ta có hệ số cấu trúc :  Hệ số này không đòi hỏi phải là một số thực vì cường độ tán xạ = số thực Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 26 4. Biểu diễn Fourier của các cơ sở  Hệ số cấu trúc của mạng bcc  Ô cơ sở có dạng hình lập phương  Ô cơ sở của mạng bcc có 2 nguyên tử tại vị trí : 000 và  số nguyên lẻ  số nguyên chẵn  Hệ số cấu trúc của mạng fcc  Ô cơ sở của mạng fcc có 2 nguyên tử tại vị trí : 000 và  Ô cơ sở có dạng hình lập phương  Nếu các chỉ số là số nguyên, chẵn :  Nếu 1 chỉ số chẵn + 2 chỉ số lẻ : S = 0  Nếu 1 chỉ số lẻ + 2 chỉ số chẵn : S = 0  Mạng fcc không có sóng phản xạ nếu như các chỉ số bao gồm cả số chẵn và lẻ Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 27 4. Biểu diễn Fourier của các cơ sở  Hệ số dạng nguyên tử  Xét sự tán xạ từ một nguyên tử đơn lẻ  Tính đến hiệu ứng nhiễu xạ  Định nghĩa hệ số dạng nguyên tử  Giả thiết, vector tạo với vector một góc  Xét tích :  Nếu phân bố của điện tử có dạng đối xứng cầu quanh gốc toạ độ :  Lấy tích phân từ -1 đến 1 :  Nếu toàn bộ điện tử tập trung tại