Xác suất và thống kê - Chương VII: kiểm định giả thuyết (buổi 11)

XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ (Buổi 11) Chương VII KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT  Các khái niệm chung  Kiểm định giả thuyết về một kỳ vọng  Kiểm định giả thuyết về hai kỳ vọng Slide Bài giảng Toán V I. CÁC KHÁI NIỆM CHUNG Giả thuyết thống kê Định nghĩa: Giả thuyết thống kê (gọi tắt là giả thuyết) là khẳng định hoặc phỏng đoán về một giá trị xác định của tham số hoặc phân phối của một hoặc nhiều tổng thể. Ví dụ 7.1 Giả sử X là chiều cao của người trưởng thành ở Việt Nam, Y là chiều cao của người trưởng thành ở Thái Lan. Mỗi khẳng định sau đây đều là một giả thuyết thống kê: + E(X) = 1.65; + E(X) = E(Y); + X có phân phối chuẩn với kỳ vọng là 1,6 và phương sai 0,4. Khi bác bỏ giả thuyết, tức là ta chấp nhận một khẳng định trái với giả thuyết, khẳng định đó gọi là đối thuyết. Giả thuyết được ký hiệu H0, đối thuyết được ký hiệu H1. CÁC KHÁI NIỆM CHUNG Kiểm định một phía và kiểm định hai phía CÁC KHÁI NIỆM CHUNG Chỉ tiêu kiểm định là một thống kê. Nhận xét:Từ một mẫu cụ thể, ta sẽ tính được giá trị của chỉ tiêu kiểm định Tập giá trị của chỉ tiêu kiểm định được chia thành hai phần. Nếu giá trị cụ thể của chỉ tiêu kiểm định thu được từ mẫu cụ thể rơi vào phần một và từ đó ta chấp nhận giả thuyết thì phần đó được gọi là miền chấp nhận giả thuyết phần còn lại được gọi là miền bác bỏ giả thuyết, con số nằm giữa miền chấp nhận và bác bỏ được gọi là giá trị tới hạn. CÁC KHÁI NIỆM CHUNG Hai loại sai lầm và mức ý nghĩa Định nghĩa: Bác bỏ giả thuyết trong khi giả thuyết đúng được gọi là sai lầm loại I. Chấp nhận giả thuyết trong khi giả thuyết sai được gọi là sai lầm loại II. Xác suất mắc sai lầm loại I được ký hiệu là α và gọi là mức ý nghĩa. CÁC KHÁI NIỆM CHUNG Thủ tục tổng quát để kiểm định một giả thuyết 1. Xác định tham số cần quan tâm, từ đó phát biểu giả thuyết. 2. Xác định đối thuyết (Từ đây ta có kiểm định một phía hay hai phía. 3. Chọn mức ý nghĩa α (Xác suất mắc sai lầm loại I). 4. Chọn chỉ tiêu kiểm định và xác định miền bác bỏ giả thuyết. 5. Tính giá trị của chỉ tiêu kiểm định dựa vào mẫu quan sát được. 6. Quyết định: Bác bỏ hoặc chấp nhận giả thuyết tùy thuộc vào việc giá trị của chỉ tiêu kiểm định nằm trong miền bác bỏ hay chấp nhận giả thuyết. II. KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ MỘT KỲ VỌNG Trường hợp đã biết σ Chỉ tiêu kiểm định là n X Z / 0    Miền bác bỏ giả thuyết là ),(),( 2/2/   zz KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ MỘT KỲ VỌNG Ví dụ 7.2 Một nhà sản xuất dụng cụ thể thao đưa ra một loại dây câu mới, họ khẳng định khối lượng trung bình dây có thể chịu là 8 kg, với độ lệch chuẩn là 0,5 kg. Để kiểm định giả thuyết μ = 8 kg, với đối thuyết là μ ≠ 8 kg, 50 dây ngẫu nhiên được kiểm tra và khối lượng trung bình dây có thể chịu là 7,8 kg. Hãy kiểm định khẳng định của nhà sản xuất với mức ý nghĩa 0,01. Chú ý : + Nếu đối thuyết là μ > μ0 , thì miền bác bỏ gt là:(zα ; + ∞). + Nếu đối thuyết là μ < μ0 , thì miền bác bỏ gt là: (- ∞; -zα ). Ở trên ta đã sử dụng định lý giới hạn trung tâm nên nếu tổng thể có phân phối chuẩn thì cỡ mẫu là bao nhiêu thì không quan trọng, nhưng tổng thể không có phân phối chuẩn thì cỡ mẫu phải đủ lớn. KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ MỘT KỲ VỌNG Ví dụ 7.3 Một mẫu ngẫu nhiên gồm 100 trường hợp báo tử trong suốt năm ngoái cho thấy tuổi thọ trung bình là 71,8 năm. Giả sử rằng tổng thể có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn là 8,9 năm, dựa vào mẫu đã cho có thể cho rằng tuổi thọ trung bình trong những năm gần đây là hơn 70 năm hay không. Cho mức ý nghĩa là 0,05. KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ MỘT KỲ VỌNG Trường hợp chưa biết σ, ta phải có tổng thể có phân phối chuẩn Chỉ tiêu kiểm định là nS X T / 0 Miền bác bỏ với đối thuyết hai phía là: (-∞, -tα/2,n-1) ∪ (tα/2,n-1 ; + ∞) Ví dụ 7.4 Một báo cáo khẳng định mỗi máy hút bụi tiêu thụ khoảng 46 kWh / 1 năm. Từ một mẫu gồm 12 gia đình được nghiên cứu, cho thấy máy hút bụi tiêu thụ trung bình 42 kWh mỗi năm với độ lệch chuẩn 11,9 kWh. Liệu có thể nói, với mức ý nghĩa 0,05, trung bình máy hút bụi tiêu thụ không bằng 46 kWh mỗi năm hay không? Giả sử tổng thể đang xét có phân phối chuẩn. KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ MỘT KỲ VỌNG Chú ý: + Nếu đối thuyết là μ > μ0 , thì miền bác bỏ gt là: (tα,n-1 ; + ∞). + Nếu đối thuyết là μ < μ0 , thì miền bác bỏ gt là: (- ∞; -tα,n-1). Giá trị tα, n-1 được tra từ bảng A.4 với n – 1 bậc tự do. KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ MỘT KỲ VỌNG Ví dụ 7.2 Một nhà sản xuất dụng cụ thể thao đưa ra một loại dây câu mới, họ khẳng định khối lượng trung bình dây có thể chịu là 8 kg, với độ lệch chuẩn là 0,5 kg. Để kiểm định giả thuyết μ = 8 kg, với đối thuyết là μ ≠ 8 kg, 50 dây ngẫu nhiên được kiểm tra và khối lượng trung bình dây có thể chịu là 7,8 kg. Hãy kiểm định khẳng định của nhà sản xuất với mức ý nghĩa 0,01. Chú ý : + Nếu đối thuyết là μ > μ0 , thì miền bác bỏ gt là:(zα ; + ∞). + Nếu đối thuyết là μ < μ0 , thì miền bác bỏ gt là: (- ∞; -zα ). Ở trên ta đã sử dụng định lý giới hạn trung tâm nên nếu tổng thể có phân phối chuẩn thì cỡ mẫu là bao nhiêu thì không quan trọng, nhưng tổng thể không có phân phối chuẩn thì cỡ mẫu phải đủ lớn. KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ MỘT KỲ VỌNG Trường hợp chưa biết σ, nhưng cỡ mẫu lớn Chỉ tiêu kiểm định là 0 / X Z S n   Miền bác bỏ với đối thuyết: H1: µ ≠ µ0 là (-∞, -zα/2) ∪ (zα/2; +∞) Miền bác bỏ với đối thuyết: H1: µ > µ0 là (zα/2; +∞) Miền bác bỏ với đối thuyết: H1: µ < µ0 là (-∞; -zα/2) KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ HIỆU HAI KỲ VỌNG Nếu đã biết σ1 và σ2 và các tổng thể có phân phối chuẩn hoặc cỡ mẫu đủ lớn, thì Chỉ tiêu kiểm định được chọn là 2 2 2 1 2 1 021 nn dXX Z     - Miền bác bỏ gt với đối thuyết hai phía là: (-∞, -zα/2) ∪ (zα/2; + ∞). - Nếu đối thuyết là μ1 – μ2 > d0, thì miền bác bỏ gt là: (zα ; + ∞). - Nếu đối thuyết là μ1 – μ2 < d0, thì miền bác bỏ gt là: (-∞; -zα ). KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ HIỆU HAI KỲ VỌNG Ví dụ 7.5 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ HIỆU HAI KỲ VỌNG Cả hai tổng thể có phân phối chuẩn(hoặc xấp xỉ chuẩn) với phương sai bằng nhau chưa biết: Chỉ tiêu kiểm định được chọn là 21 021 /1/1 )( nnS dXX T p    - Miền bác bỏ với đối thuyết hai phía là: - Nếu đối thuyết là μ1 – μ2 > d0, thì miền bác bỏ gt là: 1 2 1 2/2, 2 /2, 2 ( ; ) ( ; )n n n nt t        - Nếu đối thuyết là μ1 – μ2 < d0, thì miền bác bỏ gt là: );( 2, 21 nnt 1 2, 2 ( ; )n nt    2 )1()1( 21 2 2 21 2 12    nn nSnS S pVới KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ HIỆU HAI KỲ VỌNG Ví dụ 7.6 Một thí nghiệm được thực hiện nhằm so sánh mức độ mài mòn của hai loại kim loại khác nhau. 12 miếng kim loại I được kiểm tra bằng cách đưa vào máy đo độ mài mòn. 10 miếng kim loại II được kiểm tra tương tự. Trong mỗi trường hợp, độ sâu của sự mài mòn được ghi lại. Mẫu ứng với kim loại I có trung bình mài mòn là 85 đơn vị, với độ lệch mẫu bằng 4; trong khi mẫu ứng với kim loại II có trung bình là 81 và độ lệch mẫu là 5. Có thể kết luận, với mức ý nghĩa 0.05, rằng mức độ mài mòn của kim loại I hơn kim loại II ít nhất là 2 đơn vị được không? Giả sử các mật độ đều xấp xỉ chuẩn với phương sai bằng nhau. KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ HIỆU HAI KỲ VỌNG Cả hai tổng thể có phân phối chuẩn(hoặc xấp xỉ chuẩn) với phương sai khác nhau, chưa biết: Chỉ tiêu kiểm định được chọn là 2 2 2 1 2 1 021 )( n S n S dXX T    - Miền bác bỏ với đối thuyết hai phía là: ),(),( ,2/,2/  vv tt  )]1/()/[()]1/()/[( )//( 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 2 2 21 2 1    nnsnns nsns v Giả thuyết đúng, thì T có phân phối student với số bậc tự do là: - Nếu đối thuyết là μ1 – μ2 > d0, thì miền bác bỏ gt là: - Nếu đối thuyết là μ1 – μ2 < d0, thì miền bác bỏ gt là: );( , vt ),( , vt