Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

1 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán học là một ngành khoa học đang giữ vị trí quan trọng trong các lĩnh vực ứng dụng của đời sống con người. Các kiến thức và phương pháp của Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán học đã hỗ trợ hữu hiệu các nhà nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực khác nhau như Vật lý, hóa học, sinh học, nông học, kinh tế học, Ngày nay, lý thuyết Xác suất và Thống kê toán học đã được đưa vào giảng dạy ở hầu hết các ngành đào tạo trong các trường Đại học và Cao đẳng trong và ngoài nước. Do đối tượng sinh viên rất đa dạng, với trình độ toán cơ bản khác nhau, chúng tôi đã cố gắng tìm những cách tiếp cận đơn giản và hợp lý để biên soạn Tập bài giảng “Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán học” dành cho sinh viên khối ngành kinh tế - Trường Đại học sư phạm kỹ thuật Nam Định. Tập bài giảng gồm 5 chương, 2 chương đầu dành cho phần xác suất và 3 chương sau dành cho thống kê toán học. Chương 1: Khái niệm cơ bản về xác suất Chương 2: Biến ngẫu nhiên Chương 3: Lý thuyết ước lượng Chương 4: Lý thuyết kiểm định Chương 5: Phân tích hồi quy Tập bài giảng được trình bày một cách thích hợp đối với sinh viên khối ngành kinh tế, sau mỗi phần lý thuyết đều có các ví dụ để minh họa trực tiếp khái niệm, định lý hoặc thuật toán giúp người học tiếp thu kiến thức dễ dàng. Cuối mỗi chương chúng tôi biên soạn phần hướng dẫn tự học nhằm giúp sinh viên chuẩn bị tốt phần tự học ở nhà phù hợp với hình thức đào tạo theo hệ thống tín chỉ. Đặc biệt, sinh viên cần chú ý đến các nhận xét, bình luận để hiểu sâu hơn, mở rộng tổng quát hơn các kết quả và hướng ứng dụng vào thực tế. Tiếp theo, chúng tôi biên soạn các câu hỏi ôn tập bao trùm toàn bộ nội dung vừa được học giúp sinh viên kiểm tra kiến thức vừa học, có những câu hỏi yêu cầu sinh viên phải vận dụng kiến thức tổng hợp và sáng tạo để giải quyết. Phần bài tập tổng hợp chủ yếu để giúp sinh viên kiểm tra kiến thức, khả năng tổng hợp và vận dụng kiến thức. Mặc dù, đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên Tập bài giảng không thể tránh khỏi những thiếu sót, các tác giả mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp và bạn đọc để Tập bài giảng được hoàn thiện hơn. Các tác giả 2 MỤC LỤC Lời nói đầu ........................................................................................................... 1 Chƣơng 1: Khái niệm cơ bản về xác suất .......................................................... 6 1.1. Giải tích tổ hợp ...................................................................................... 6 1.1.1. Quy tắc đếm ......................................................................................... 6 1.1.2. Hoán vị ................................................................................................ 7 1.1.3. Chỉnh hợp ............................................................................................ 7 1.1.4. Chỉnh hợp lặp ...................................................................................... 7 1.1.5. Tổ hợp................................................................................................. 8 1.2. Phép thử và biến cố ................................................................................ 8 1.2.1. Khái niệm ............................................................................................ 8 1.2.2. Các phép toán và mối quan hệ giữa các biến cố. ................................ 9 1.2.3. Nhóm đầy đủ các biến cố .................................................................. 12 1.2. Xác suất ............................................................................................... 12 1.3.1. Khái niệm xác suất ............................................................................ 12 1.3.2. Các định nghĩa xác suất ..................................................................... 12 1.3.3. Tính chất của xác suất ....................................................................... 14 1.3.4. Các công thức tính xác suất ............................................................... 14 Hướng dẫn tự học chương 1 ............................................................................ 22 Câu hỏi ôn tập chương 1.................................................................................. 27 Bài tập chương 1 .............................................................................................. 28 Hướng dẫn và đáp số bài tập chương 1 ........................................................... 33 Chƣơng 2: Biến ngẫu nhiên .............................................................................. 34 2.1. Khái niệm về biến ngẫu nhiên ................................................................. 34 2.1.1. Định nghĩa ........................................................................................ 34 2.1.2. Phân loại biến ngẫu nhiên ................................................................ 34 2.2. Các phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên ........................................... 34 2.2.1. Bảng phân phối xác suất ................................................................... 34 2.2.2. Hàm phân phối xác suất ................................................................... 37 2.2.3. Hàm mật độ xác suất ........................................................................ 39 2.3. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên ..................................................... 42 2.3.1. Kỳ vọng ............................................................................................ 42 2.3.2. Phương sai ........................................................................................ 43 2.3.3. Mode 45 3 2.3.4. Median ..46 2.4. Các phân phối xác suất thường dùng ....................................................... 46 2.4.1. Phân phối nhị thức ............................................................................. 46 2.4.2. Phân phối Poisson ............................................................................ 48 2.4.3. Phân phối chuẩn ................................................................................ 49 2.4.4. Phân phối khi bình phương .............................................................. 56 2.4.5. Phân phối Student ............................................................................ 56 2.4.6. Phân phối Fisher – Sendecor ............................................................. 57 Hướng dẫn tự học chương 2 ............................................................................ 59 Câu hỏi ôn tập chương 2 ................................................................................. 62 Bài tập chương 2 ............................................................................................. 63 Hướng dẫn và đáp số bài tập chương 2 ........................................................... 67 Chƣơng 3: Lý thuyết ƣớc lƣợng ..................................................................... 711 3.1. Lý thuyết mẫu ........................................................................................... 71 3.1.1. Khái niệm về mẫu ngẫu nhiên .......................................................... 71 3.1.2. Các phương pháp lấy mẫu ................................................................. 72 3.1.3. Bảng phân phối thực nghiệm ............................................................ 73 3.1.4. Các đặc trưng mẫu............................................................................. 74 3.1.5. Cách tính các đặc trưng mẫu ............................................................. 76 3.2. Ước lượng điểm ....................................................................................... 80 3.2.1. Khái niệm ước lượng điểm................................................................ 80 3.2.2. Các tính chất của ước lượng điểm .................................................. 811 3.3. Ước lượng khoảng .................................................................................... 82 3.3.1. Khái niệm ước lượng khoảng ............................................................ 82 3.3.2. Khoảng tin cậy cho kỳ vọng ............................................................. 83 3.3.3. Khoảng tin cậy cho phương sai ........................................................ 90 3.3.4. Khoảng tin cậy cho tỷ lệ.................................................................... 94 Hướng dẫn tự học chương 3 ............................................................................ 99 Câu hỏi ôn tập chương 3 ............................................................................... 100 Bài tập chương 3 ........................................................................................... 101 Hướng dẫn và đáp số bài tập chương 3 ......................................................... 104 Chƣơng 4: Kiểm định giả thuyết thống kê ................................................... 105 4.1. Giả thuyết thống kê ................................................................................ 105 4.2. Quy tắc kiểm định .................................................................................. 105 4.2.1. Tiêu chuẩn kiểm định ...................................................................... 105 4 4.2.2. Quy tắc kiểm định ........................................................................... 106 4.3. Các dạng miền tới hạn ............................................................................ 106 4.3.1. Kiểm định đối xứng ........................................................................ 106 4.3.2. Kiểm định trái .................................................................................. 107 4.3.3. Kiểm định phải ................................................................................ 107 4.4. Kiểm định về kỳ vọng ............................................................................ 107 4.4.1. Bài toán 1: Phương sai VX = σ2 đã biết .......................................... 108 4.4.2. Bài toán 2: Phương sai VX = σ2 chưa biết ...................................... 110 4.5. Kiểm định phương sai ............................................................................ 113 4.5.1. Bài toán 1: Kỳ vọng EX đã biết .................................................... 113 4.5.2. Bài toán 1: Kỳ vọng EX chưa biết ................................................. 114 4.6. Kiểm định về tỷ lệ .................................................................................. 115 4.6.1. Kiểm định hai phía .......................................................................... 115 4.6.2. Kiểm định phía trái .......................................................................... 116 4.6.3. Kiểm định phía phải ........................................................................ 116 4.7. Kiểm định về sự bằng nhau của hai kỳ vọng ......................................... 118 4.7.1 Bài toán 1: Trường hợp biết 2 1VX   và 2 2VY   ............................. 118 4.7.2. Bài toán 2: Trường hợp chưa biết 2 1VX   và 2 2VY   .................... 119 4.8. Kiểm định sự bằng nhau của 2 tỷ lệ ....................................................... 121 4.8.1. Kiểm định hai phía .......................................................................... 121 4.8.2. Kiểm định phía trái .......................................................................... 122 4.8.3. Kiểm định phía phải ........................................................................ 122 Hướng dẫn tự học chương 4 ........................................................................ 1244 Câu hỏi ôn tập chương 4.............................................................................. 1255 Bài tập chương 4 .......................................................................................... 1266 Hướng dẫn và đáp số bài tập chương 4 ....................................................... 1300 Chƣơng 5: Phân tích hồi quy ....................................................................... 1311 5.1. Biến ngẫu nhiên nhiều chiều ................................................................ 1311 5.1.1. Khái niệm về biến ngẫu nhiên 2 chiều .......................................... 1311 5.1.2. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 2 chiều rời rạc ............... 1311 5.1.3. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 2 chiều liên tục .............. 1333 5.2. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 2 chiều ..................................... 1355 5.2.1. Các số đặc trưng của các biến thành phần .................................... 1355 5.2.2. Hệ số tương quan ........................................................................... 1355 5 5.2.3. Hệ số tương quan mẫu .................................................................. 1377 5.2.4. Tiêu chuẩn độc lập của hai biến ngẫu nhiên ................................. 1388 5.2.5. Kiểm định giả thuyết về hệ số tương quan ................................. 13939 5.3. Hồi quy ................................................................................................. 1400 5.3.1. Mô hình tuyến tính ........................................................................ 1400 5.3.2. Công thức ước lượng hệ số của đường hồi quy tuyến tính ........... 1411 Hướng dẫn tự học chương 5 ........................................................................ 1455 Câu hỏi ôn tập chương 5 ............................................................................. 1466 Bài tập chương 5 ........................................................................................ 1477 Hướng dẫn và đáp số bài tập chương 5 ....................................................... 1511 Phụ lục: Các bảng số ..................................................................................... 1555 Tài liệu tham khảo ......................................................................................... 1622 6 CHƢƠNG 1: KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT Chúng ta sống và làm việc trong một môi trường có nhiều biến động. Người sản xuất và kinh doanh cần dự báo được chính xác ngày mai thị trường sẽ ra sao, thị hiếu, nhu cầu của khách hàng thế nào. Lý thuyết xác suất là công cụ quan trọng để mô tả, nghiên cứu thị trường. Chương này sẽ giới thiệu các khái niệm và một số công thức tính xác suất cơ bản nhất. 1.1. Giải tích tổ hợp Từ lâu, trong đời sống con người đã gặp và giải quyết các bài toán tổ hợp. Những kiến thức về tổ hợp có nhiều ứng dụng trong khoa học và thực tiễn, đặc biệt là các ứng dụng trong máy tính, vi mạch, quy hoạch toán học, toán kinh tế, Trong phần này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản nhất của giải tích tổ hợp có ứng dụng trong lý thuyết xác suất. 1.1.1. Quy tắc đếm a. Quy tắc cộng Công việc A có thể thực hiện bằng m phương án khác nhau hoặc 1A , hoặc 2A , , hoặc Am . Mỗi phương án iA có in cách thực hiện. Số cách để thực hiện công việc A là 1 m i i n = å . Ví dụ 1.1: Một nhóm có 15 sinh viên gồm 5 nam và 10 sinh viên nữ. Chọn ngẫu nhiên từ nhóm đó ra một sinh viên làm nhóm trưởng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? Giải: Công việc của ta là chọn 1 sinh viên làm nhóm trưởng, công việc này có 2 phương án thực hiện: - Phương án 1: Nhóm trưởng là sinh viên nam – có 5 cách chọn. - Phương án 2: Nhóm trưởng là sinh viên nữ – có 10 cách chọn. Vậy số cách để chọn một sinh viên là nhóm trưởng là: n = 5 + 10 = 15 (cách) b. Quy tắc nhân Công việc A được chia thành m công đoạn 1 2A , ,..., mA A . Ứng với mỗi cách thực hiện công đoạn iA có 1in + cách thực hiện công đoạn 1Ai+ . Số cách để thực hiện công việc A là 1 m i i n = Õ . Ví dụ 1.2: Một doanh nhân dự định đi từ Kiên Giang tới Hà Nội, qua Thành phố Hồ Chí Minh. Hỏi ông ta có bao nhiêu cách đi, biết rằng từ Kiên Giang tới Thành phố Hồ 7 Chí Minh có thể dùng một trong ba phương tiện: ô tô, tàu thủy, máy bay; từ Thành phố Hồ Chí Minh tới Hà Nội có thể dùng một trong bốn phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy, máy bay. Giải Công việc A: đi từ Kiên Giang tới Hà Nội được chia thành 2 công đoạn - Công đoạn 1: đi từ Kiên Giang Thành phố Hồ Chí Minh, có 3 cách thực hiện. - Công đoạn 2: đi từ Thành phố Hồ Chí Minh tới Hà Nội , có 4 cách thực hiện. Vậy số cách đi từ Kiên Giang tới Hà Nội là: 3.4 12= (cách). 1.1.2. Hoán vị Định nghĩa: Cho một tập có n phần tử. Mỗi cách sắp đặt các phần tử của tập hợp đó theo một thứ tự nhất định gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Số các hoán vị của n phần tử, kí hiệu là nP : ( )! 1.2.3.... 1nP n n n= = - Ví dụ 1.3. Sắp chỗ ngổi cho 3 học sinh A, B, C trên một bàn, ta có số cách sắp xếp là 3! 6= cách như sau: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. 1.1.3. Chỉnh hợp Định nghĩa: Lấy ngẫu nhiên ra k phần tử từ một tập có n phần tử, hai cách lấy gọi là khác nhau nếu chúng có ít nhất một phần tử khác nhau hoặc thứ tự lấy ra của các phần tử khác nhau. Số cách lấy ra k phần tử như vậy gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử, ký hiệu là: knA , xác định bởi công thức : k nA = )!( ! kn n  Quy ước: 0! = 1 Ví dụ 1.4: Chọn ngẫu nhiên 2 người trong 5 người đi làm nhiệm vụ, người nào được chọn trước sẽ làm nhóm trưởng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. Giải: Số cách chọn là 25 20A = cách 1.1.4. Chỉnh hợp lặp Định nghĩa: Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử và mỗi phần tử có thể lặp lại lấy từ n phần tử đã cho. Số các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử, kí hiệu là k n ~ A : k n ~ A = kn Ví dụ 1.5: Với các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể viết được bao nhiêu số có 3 chữ số? 8 Giải: Số các số có 3 chữ số là chỉnh hợp lặp chập 3 của 4. Ta có: ° 3 4A = 4 3 = 64 1.1.5. Tổ hợp Định nghĩa: Lấy ngẫu nhiên ra k phần tử từ một tập có n phần tử, hai cách lấy gọi là khác nhau nếu chúng có ít nhất một phần tử khác nhau. Số cách lấy ra k phần tử như vậy gọi là tổ hợp chập k của n phần tử, ký hiệu là: knC , xác định bởi công thức : k nC = )!kn(!k !n !k a kn   Tính chất: 0 nC = n nC = 1 k nC = kn nC  1k 1nC   + k 1nC  = k nC Ví dụ 1.6. Có bao nhiêu cách lập hội đồng gồm 3 người trong tổng số 8 người? Giải Hội đồng là nhóm 3 người lấy ngẫu nhiên từ 8 người, do đó số cách lập hội đồng là ( ) 3 8 8! 56 3! 8 3 ! C = = - (cách) 1.2. Phép thử và biến cố 1.2.1. Khái niệm Trong tự nhiên và xã hội, mỗi hiện tượng đều gắn liền với các điều kiện cơ bản, và các hiện tượng đó chỉ có thể xảy ra khi nhóm các điều kiện cơ bản gắn liền với nó được thực hiện. Do đó, khi muốn nghiên cứu một hiện tượng, ta cần thực hiện nhóm các điều kiện cơ bản ấy. Chẳng hạn khi muốn nghiên cứu chất lượng của một lô sản phẩm, ta phải lấy ngẫu nhiên một hoặc một số sản phẩm của lô sản phẩm đó để kiểm tra. Việc thực hiện nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó xảy ra hay không được gọi là thực hiện một phép thử, còn hiện tượng đó có thể xảy ra trong kết quả của phép thử đó được gọi là biến cố (sự kiện). Trong thực tế ta có thể gặp các loại biến cố sau đây: - Biến cố chắc chắn: là biến cố nhất định sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử. Biến cố chắc chắn được ký hiệu là:  - Biến cố không: là biến cố không thể xảy ra khi thực hiện phép thử. Biến cố không được ký hiệu là:  . - Biến cố ngẫu nhiên: là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện phép thử. 9 Các biến cố ngẫu nhiên thường được ký hiệu bởi các chữ cái: A, B, C... Ví dụ 1.7. Tung một đồng tiền xu xuống đất là một phép thử, còn việc xuất hiện mặt nào đó là biến cố. Ta có hai biến cố: N = “xuất hiện mặt ngửa” S = “xuất hiện mặt sấp” Ví dụ 1.8. Gieo một son súc sắc là một phép thử - Gọi A là biến cố “xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hoặc bằng sáu” thì A là biến cố chắc chắn. - Gọi B là biến cố “ xuất hiện mặt 7 chấ