1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton Phương pháp Newton giải hệ phương trình phi tuyến là phương pháp tuyến tính hóa hệ phương trình đã cho thành một hệ phương trình tuyến tính mà biến số của hệ là X. Như vậy ở mỗi bước lặp (bước thứ i), cần phải giải một hệ phương trình tuyến tính với biến số là Xi cho đến khi được nghiệm gần đúng.
29 trang |
Chia sẻ: thuyduongbt11 | Ngày: 10/06/2022 | Lượt xem: 349 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Bài giảng Phương pháp số trong công nghệ hóa học - Tuần 6 - Nguyễn Đặng Bình Thành, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
PHƢƠNG PHÁP SỐ
TRONG CÔNG NGHỆ HÓA HỌC
Mã học phần: CH3454
TS. Nguyễn Đặng Bình Thành
BM:Máy & TBCN Hóa chất
Numerical Methods in Chemical Engineering
Tuần 6
Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton
Phƣơng pháp Newton có thể tổng quát hóa để giải hệ phƣơng trình phi
tuyến có dạng:
Dạng ma trận: Trong đó:
Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton
Công thức Newton với phƣơng trình 1 biến:
Hay:
Với:
Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton
Đối với hệ phƣơng trình phi tuyến, công thức Newton tổng quát:
Trong đó J(Xi) là ma trận
(toán tử) Jacobi. Nó là ma
trận cấp n có dạng:
Và:
Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton
Phƣơng pháp Newton giải hệ phƣơng trình phi tuyến là phƣơng pháp
tuyến tính hóa hệ phƣơng trình đã cho thành một hệ phƣơng trình
tuyến tính mà biến số của hệ là X.
Nhƣ vậy ở mỗi bƣớc lặp (bƣớc thứ i), cần phải giải một hệ phƣơng trình
tuyến tính với biến số là Xi cho đến khi đƣợc nghiệm gần đúng.
Vì vậy: việc giải hệ phương trình phi tuyến bằng
phương pháp Newton là lặp lại việc giải hệ phương
trình tuyến tính:
Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton
- Do đó việc giải một hệ phi tuyến bằng phƣơng pháp Newton, chính là
việc giải hệ phƣơng trình tuyến tình với:
n
nnn
n
n
i
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
xJ
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
)(
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
)(
...
...
)(
)(
)(
2
1
nn
i
i
i
xf
xf
xf
xF
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
n
x
x
x
X
...
...
2
1
Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton
Thuật toán:
1 Chọn giá trị đầu X0:
0
0
2
0
1
0
...
...
n
x
x
x
X
00
2
0
1
0
2
0
2
2
0
1
2
0
1
0
2
1
0
1
1
0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
)(
n
nnn
n
n
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
xJ
i
)(
...
...
)(
)(
)(
0
0
2
0
1
0
in
i
i
i
xf
xf
xf
xF
Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton
Thuật toán:
2 Giải hệ phƣơng trình tuyến tính (Gauss hoặc Gauss-Jordan):
0
0
2
0
1
0
...
...
n
x
x
x
X
3 Kiểm tra sai số: ?max
i
x
001
XXX
Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton
Thuật toán:
Procedure HAM(X:mX; nF:integer; Var F:mX);
Begin
F[1]:=;
F[2]:=;
F[nF]:=;
End;
Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton
Thuật toán:
Procedure DHAM(X:mX; Var A:mA);
Begin
A[1,1]:=; A[1,2]:=; A[1,nF]:=;
A[nF,1]:=; A[nF,2]:=; A[nF,nF]:=;
End;
Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton
Ví dụ:
Giải hệ phƣơng trình phi tuyến
05),(
02),(
2212
1211
1
2
xexxf
exxxf
x
x
Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton
Ví dụ:
Program HFT1;
uses crt;
Type
mX = ; mA = ;
Var
X0,X,dX,B,F:mX;
A:mA;
nF,i,j,k:integer;
dXmax,eps:real;
Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton
Ví dụ:
Program HFT1;
Procedure HAM(X:mX; nF:integer; Var F:mX);
Begin
F[1]:=-2*x[1]+exp(x[2]);
F[2]:=-exp(-x[1])-5*x[2];
End;
Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton
Ví dụ:
Program HFT1;
Procedure DHAM(X:mX; Var A:mA);
Begin
A[1,1]:=2; A[1,2]:=-exp(x[2]);
A[2,1]:=-exp(-x[1]); A[2,2]:=5;
End;
Procedure GAUSS(A:mA;B:mX; Var X:mX;nF:integer);
{Chương trình chính}
Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton
Ví dụ:
Program HFT1;
BEGIN
clrscr;
writeln (‘Nhập các giá trị đầu X0:’);
For i:=1 to nF do
readln(x0[i]);
For j:=1 to nF do
x[j]:=x0[j];
Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton
Ví dụ:
Program HFT1;
k:=0;
Repeat
HAM(X,nF,F);
For j:=1 to nF do
B[j]:=F[j];
DHAM(X,A);
GAUSS(A,B,dX,nF);
Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton
Ví dụ:
Program HFT1;
k:=0;
Repeat
For j:=1 to nF do
X[j]:=X[j]+dX[j];
For j:=1 to nF do
if dX[j]>=dXmax then
dXmax:=dX[j];
Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton
Ví dụ:
Program HFT1;
Repeat
k:=k+1;
Until dXmax<=eps;
{In kết quả}
For i:=1 to nF do writeln (‘X[’,i,‘] = ’,X[i]);
readln;
END.
Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.3 Ứng dụng
Tính toán thiết bị trao đổi nhiệt
Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.3 Ứng dụng
Tính toán thiết bị trao đổi nhiệt
Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.3 Ứng dụng
Tính toán thiết bị trao đổi nhiệt
Hơi nƣớc
bão hòa
Nƣớc
ngƣng
Dung
dịch
cần gia
nhiệt
Dung
dịch
sau gia
nhiệt
Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.3 Ứng dụng
Tính toán thiết bị trao đổi nhiệt
Cơ chế trao đổi nhiệt
Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.3 Ứng dụng
Tính toán thiết bị trao đổi nhiệt
Biến thiên nhiệt độ trong
thiết bị TĐN
Phƣơng trình trao đổi nhiệt cơ
bản:
tb
tFKQ ..
2
1
21
ln
t
t
tt
t
tb
21
11
1
i
i
K
Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.3 Ứng dụng
Tính toán thiết bị trao đổi nhiệt
Biến thiên nhiệt độ trong
thiết bị TĐN
Xác định diện tích bề mặt trao đổi
nhiệt và số ống của chùm ống:
tb
tFKQ ..
)(.
đcp
ttCGQ
tb
đcp
tK
ttCG
F
.
)(.
Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.3 Ứng dụng
Tính toán thiết bị trao đổi nhiệt
Cơ chế trao đổi nhiệt
Để thuận tiện trong tính toán thiết
bị trao đổi nhiệt, sử dụng đại
lƣợng mật độ dòng nhiệt:
tb
tK
F
Q
q .
Giả thiết trao đổi nhiệt ổn định:
21
qqqq
d
Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.3 Ứng dụng
Tính toán thiết bị trao đổi nhiệt
Cơ chế trao đổi nhiệt
Giả thiết trao đổi nhiệt ổn định:
21
qqqq
d
)(
1111 T
ttq
)(
21 TT
i
i
d
ttq
)(
2222
ttq
T
Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.3 Ứng dụng
Tính toán thiết bị trao đổi nhiệt
Cơ chế trao đổi nhiệt
Phƣơng pháp tính:
- Chọn sơ bộ kích thƣớc ống chùm:
Chiều dài , đƣờng kính
-Chọn sơ bộ chế độ chuyển động:
Thƣờng chọn trƣớc Re ở chể độ
chảy rối (xoáy)
-Xác định các hệ số cấp nhiệt trên
hai bề mặt của ống.
Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.3 Ứng dụng
Tính toán thiết bị trao đổi nhiệt
Cơ chế trao đổi nhiệt
Phƣơng pháp tính:
- Chọn sơ bộ kích thƣớc ống chùm:
Chiều dài , đƣờng kính
-Chọn sơ bộ chế độ chuyển động:
Thƣờng chọn trƣớc Re ở chể độ
chảy rối (xoáy)
-Xác định các hệ số cấp nhiệt trên
hai bề mặt của ống.
Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.3 Ứng dụng
Tính toán thiết bị trao đổi nhiệt
Cơ chế trao đổi nhiệt
Phƣơng pháp tính:
1T
t
)(
211 TT
i
i
d
ttqq
)(
2222
ttq
T
Chọn giá trị đầu:
Xác định: )( 1111 Tttq
Xác định:
2T
t theo:
Xác định:
Kiểm tra sai số: ?%5/121 qqq