Luận văn Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó - Đinh Thị Ngọc Minh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ========== ĐINH THỊ NGỌC MINH PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ CỦA HÀM PHÂN HÌNH VÀ ĐẠO HÀM CỦA NÓ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU ....................................................................................................... 1 Chương 1: Hai định lý cơ bản của Nevanlinna ....................................................... 3 1.1. Công thức Poison – Jensen .............................................................................. 3 1.1.1. Định lý .......................................................................................................... 3 1.1.2. Hệ quả ........................................................................................................... 6 1.2. Hàm đặc trưng – Định lý cơ bản thứ nhất ........................................................ 7 1.2.1. Định nghĩa .................................................................................................... 7 1.2.2. Một số tính chất đơn giản của hàm đặc trưng ............................................... 9 1.2.3. Định lý cơ bản thứ nhất ................................................................................. 9 1.3. Định lý cơ bản thứ hai .................................................................................... 10 1.3.1. Định lý ( Bất đẳng thức cơ bản) .................................................................. 10 1.3.2. Bổ đề 1 ........................................................................................................ 11 1.3.3. Bổ đề 2 ........................................................................................................ 12 1.3.4. Định lý ........................................................................................................ 16 1.3.5. Định nghĩa .................................................................................................. 17 1.3.6. Định lý (Quan hệ số khuyết) ....................................................................... 18 1.3.7. Định lý ........................................................................................................ 20 Chương 2: Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó. ................... 24 2.1. Sự phân phối giá trị của các hàm phân hình. .................................................. 24 2.1.1. Định nghĩa .................................................................................................. 24 2.1.2. Định lý (Milloux) ........................................................................................ 24 2.1.3. Định lý ........................................................................................................ 26 2.1.4. Định lý ........................................................................................................ 28 2.1.5. Bổ đề: .......................................................................................................... 28 2.2. Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó ............................... 32 2.2.8. Định lý ........................................................................................................ 34 2.2.9. Định lý ........................................................................................................ 36 KẾT LUẬN .......................................................................................................... 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 39 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết phân phối giá trị các hàm phân hình (lý thuyết Nevanlinna ) là một trong những hướng nghiên cứu cơ bản của giải tích phức và vẫn đang thu hút được sự quan tâm rộng rãi của các nhà toán học trên thế giới. Đề tài luận văn thuộc hướng nghiên cứu nói trên, với mục đích trình bày một số kết quả gần đây của lý thuyết phân phối giá trị. Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó là vấn đề không những được quan tâm trong giải tích phức mà còn có nhiều ứng dụng trong nghiên cứu các vấn đề khác, chẳng hạn như phương trình vi phân. Sau quá trình nghiên cứu, tôi đã hoàn thành luận văn với đề tài: “Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó”. Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết và danh mục tài liệu tham khảo. Chương1: Trình bày định nghĩa các hàm đặc trưng, hai định lý cơ bản của Nevanlinna,... Chương2: Trình bày định nghĩa, định lý, một số kết quả của Milloux và vấn đề chính của luận văn: Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó. Kết quả này có được là nhờ sự hướng dẫn tận tình của GS. TSKH Hà Huy Khoái. Thầy không chỉ tận tình hướng dẫn mà còn động viên tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Nhân dịp này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy! Đồng thời, em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong hội đồng bảo vệ luận văn thạc sỹ đã tạo điều kiện thuận lợi để em vững tin hơn trong việc chuẩn bị bảo vệ luận văn của mình. Xin chân thành cảm ơn Đại học Thái Nguyên, Đại học Sư phạm, Khoa sau đại học của Đại học Sư phạm, Khoa toán cùng các thầy cô giáo đã tạo Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 điều kiện tốt nhất cho em học tập cũng như nghiên cứu và hoàn thành luận văn của mình. Xin cảm ơn các anh, chị , các bạn học viên lớp cao học Toán_K16 Đại học Sư phạm Thái Nguyên đã giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm cùng tôi trong suốt thời gian viết luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã cổ vũ, động viên tôi trong quá trình làm luận văn. Mặc dù đã rất cố gắng nhưng chắc chắn luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, vì vậy rất mong được sự đóng góp ý kiến của thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp, các bạn học viên để luận văn được hoàn chỉnh hơn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 Chương 1 Hai định lý cơ bản của Nevanlinna 1.1. Công thức Poison – Jensen 1.1.1. Định lý Giả sử  f z là hàm phân hình trong hình tròn  z R , 0 R  , có các không điểm  1,2,...,a M   ; các cực điểm  1,2,...,b N   trong hình tròn đó( mỗi không điểm hoặc cực điểm được tính một số lần bằng bội của nó). Khi đó, nếu    ; 0 , 0,iz re r R f z     ; ta có:           2 2 2 2 2 0 2 2 1 1 1 log log 2 2 cos log log . i M N R r f z f Re d R Rr r R z a R z b R a z R b z                            Chứng minh. + Bước 1: Trước tiên, giả sử rằng hàm  f z không có không điểm và cực điểm trong  z R . Ta chứng minh công thức cho trường hợp 0z  . Theo giả thiết  f z chỉnh hình và khác 0 trong  z R nên  log f z là hàm chỉnh hình trong hình tròn đó. Theo định lý Cauchy ta có:       2 0 1 1 log 0 log log Re 2 2 i z R dz f f z f d i z         . Lấy phần thực hai vế ta được:     2 0 1 log 0 log Re 2 if f d     . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 + Bước 2: Xét trường hợp , 0.iz re r  Theo công thức Cauchy ta có:     1 log log . 2 R d f z f i z      Mặt khác, do điểm 2R z có môđun 2 2R R R z r   nên điểm đó nằm ngoài hình tròn, do đó:   2 1 log 0. 2 R d f Ri z        Từ đó ta có:            2 22 2 1 1 1 log log 2 1 log . 2 R R f z f d Ri z z R z f d i z R z                                 Thay Re , iRe ,i id d          2 2 2Re 2 cos .iR z z R Rr r         Ta được:       2 2 2 2 2 0 1 log log Re . 2 2 cos i R rf z f d R Rr r           Lấy phần thực hai vế ta được công thức cần chứng minh đối với trường hợp hàm  f z chỉnh hình và khác không. + Bước 3: Giả sử  f z không có không điểm và cực điểm trong  R  nhưng có thể có không điểm và cực điểm trên biên R  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 (*) Nhận xét:  f z chỉ có hữu hạn không điểm, cực điểm trên biên. Chứng minh. Giả sử  f z có vô hạn không điểm, cực điểm trên R  . Do R  compact, tồn tại 0 là điểm giới hạn của tập hợp các không điểm suy ra 0f  . (+) Giả sử  f z có vô hạn cực điểm trên  n  0 : 0lim knk     . Do các kn  là các cực điểm. Suy ra 0 là bất thường cốt yếu   f  không phân hình. Giả sử 0 là một không điểm hoặc cực điểm cấp k trong lân cận 0 ;  f  có khai triển:        0 ;f g g      chỉnh hình khác 0 trong lân cận 0 ;   0log logf    trong lân cận 0 . Với mỗi 0 là không điểm, cực điểm, ta vẽ vòng tròn tâm 0 bán kính 0  đủ nhỏ. Xét C : Hợp các cung tròn bán kính  nằm bên trong  R  thay tích phân trên C, R  tại lân cận 0 bởi cung C . Suy ra trên chu tuyến mới  f z không có không điểm, cực điểm. Áp dụng được bước 2. Tích phân trên chu tuyến mới khác tích phân trên  C R  một đại lượng là:     1 1 log 2 0 log 2 2 r         , log 0   khi 0  . Vậy cho 0  ta được công thức cần chứng minh. + Bước 4: Trường hợp tổng quát. Với các giả thiết như trong định lý ta đặt: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6         2 1 2 1 , N M R b R b f R a R a                       dễ thấy   0,    bên trong hình tròn R  , nên ta áp dụng được công thức đã chứng minh trong bước 3. Mặt khác, các hàm trong hai dấu tích chính là các hàm thực hiện ánh xạ hình tròn R  lên hình tròn đơn vị, nên môđun của chúng bằng 1 khi R  . Từ đó, nếu Rei  thì    f   . Ta có:       2 2 2 2 2 0 1 log log Re . 2 2 cos i R rz f d R Rr r           Từ công thức của hàm    ta được công thức Poisson-Jensen cho trường hợp tổng quát. 1.1.2. Hệ quả Trong những giả thiết của Định lý, đồng thời nếu  0 0,f   , ta có:     2 1 10 1 log 0 log Re log log . 2 M N i a b f f d R R            Khi  0 0f  hoặc  công thức trên thay đổi chút ít. Thật vậy, nếu  0 0f  hoặc  0f  hàm  f z có khai triển tại lân cận 0z  dạng:    ...f z C z    . Xét hàm    R f z z z    . Ta thấy  0 0,   , đồng thời khi    Re ,i f     . Từ đó ta có: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7   2 1 10 1 log log Re log log log 2 M N i a b C f d R R R              . (*) Nhận xét: Giả sử  f z là hàm phân hình trong một miền G nào đó. Ta gọi cấp của hàm  f z tại điểm 0z G , ký hiệu 0z ord f , là số nguyên m sao cho hàm      0 m f z g z z z   chỉnh hình và khác không tại 0z . (*) Ví dụ: (1) 0z là 0 điểm cấp k của  f z    0z ord 0f k k  . (2) 0z là cực điểm cấp k của  f z  0z ord f k  . (3) Tại 0z hàm  f z chỉnh hình, khác 0  0z ord 0f  . Công thức Poisson – Jensen có thể viết dưới dạng:         222 2 2 0 1 log log Re ord log 2 Re i i R z R z f z f f R zz             , trong đó tổng lấy theo mọi  trong hình tròn  R  . 1.2. Hàm đặc trưng – Định lý cơ bản thứ nhất 1.2.1. Định nghĩa Giả sử x là số thực dương, ta định nghĩa:  log ax 0;logxx m  Ta có: 1 log log logx x x    , vì: 1: log 0 log logx x x x    1 1 log 0 log 0 x x    . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8 0 1:log 0 log 0 1 1 1 log 0 log log log . x x x x x x x             Như vậy, ta có:       2 2 2 0 0 0 1 1 1 1 log Re log Re log 2 2 2 Re i i i f d f d d f              . Đặt     2 0 1 , log Re 2 im R f f d      . Giả sử f có các cực điểm  1,vb v n (mỗi cực điểm được tính một số lần bằng bậc của nó), và các không điểm  1,a M   trong    ; ,z R n t f là số cực điểm của f trong  z t . Đặt     1 0 , log , RN v v R dt N R f n t f b t    . Như vậy, 1 0 1 1 , log , RM R dt N R n t f f ta                 . Khi đó công thức Poisson – Jensen được viết dưới dạng:       1 1 log 0 , , , ,f m R f m R N R f N R f f                      1 1 , , , , log 0m R f N R f m R N R f f f                 . Đặt      , , ,T R f m R f N R f  , (1.1) thì     1 , , log 0T R f T R f f        . (1.2) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9  ,T R f được gọi là hàm đặc trưng Nevanlinna của f. 1.2.2. Một số tính chất đơn giản của hàm đặc trưng Giả sử    1 ,..., nf z f z là các hàm phân hình, ta có các bất đẳng thức sau đây: (1)     1 1 , , log l l k k k k m r f z m r f l            . (2)     11 , , l l k k kk m r f z m r f         . (3)   1 1 , , l l k k k k N r f N r f           . (4)   11 , , l l k k kk N r f N r f         . (5)   1 1 , , log l l k k k k T r f T r f l            . (6)   11 , , l l k k kk T r f T r f         . Đặc biệt, với mọi hàm phân hình  f z và mọi a C ta có:    , , log log 2T r f T r f a a    . (1.3) 1.2.3. Định lý cơ bản thứ nhất Giả sử  f z là hàm phân hình trong hình tròn  , 0,z R R a  là số phức tùy ý. Khi đó ta có:       1 1 , , , log 0 , ,m R N R T R f f a a R f a f a                 trong đó  , log log 2a R a   . Chứng minh. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 Thật vậy, từ (1.1) và (1.2) ta có:     1 1 1 , , , , log 0m R N R T R T R f a f a f a f a f a                          . Từ (1.3) ta nhận được đẳng thức cần chứng minh. (*) Nhận xét : Từ định nghĩa các hàm Nevanlinna ta thấy rõ ý nghĩa của định lý cơ bản thứ nhất. Hàm đếm 1 ,N R f a       được cho bởi công thức : 1 1 , log M R N R f a a         , trong đó a là các nghiệm của phương trình  f z a trong hình tròn z R . Hàm xấp xỉ   2 0 1 1 1 , log 2 Rei m R d f a f a            . Như vậy, nếu f nhận càng nhiều giá trị gần a (tức là  Reif a nhỏ) thì hàm m càng lớn. Như vậy có thể nói tổng trong vế trái của định lý cơ bản thứ nhất là hàm ‘‘đo độ lớn của tập hợp nghiệm phương trình  f z a ’’ và ‘‘độ lớn tập hợp tại đó  f z nhận giá trị gần bằng a’’. Trong khi đó vế phải của đẳng thức trong định lý cơ bản có thể xem là không phụ thuộc a. Vì thế định lý cơ bản thứ nhất cho thấy rằng hàm phân hình  f z nhận mỗi giá trị a (và giá trị gần a ) một số lần như nhau. 1.3. Định lý cơ bản thứ hai 1.3.1. Định lý ( Bất đẳng thức cơ bản) Giả sử  f z là hàm phân hình khác hằng số trong hình tròn  z r ; 1,..., ; 2qa a q  , là các số phức phân biệt. Khi đó ta có: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11          1 1 , , 2 , q v v m r m r a T r f N r S r       , trong đó  1 0N r  , được cho bởi:      1 1 , 2 , , ' ' N r N r N r f N r f f         ,    1 ' 3 1 , log log2 log ' 0 q v v f q S r m r q f a f             , 1 min 0.v v q a a        ( Để đơn giản ta giả thiết:  ' 0 0,f   ). Để chứng minh bất đẳng thức cơ bản trên ta chứng minh một số bổ đề sau. 1.3.2. Bổ đề 1 Giả sử  g z là hàm phân hình trong hình tròn    , 0 0,z r g   khi đó ta có:       2 0 1 1 1 , , log log 0 2 i N r g N r d g g g re             . Chứng minh.       1 1 1 , , , , , ,N r g N r T r g m r g T r m r g g g                                 1 1 , , , ,T r g T r m r g m r g g                               2 2 0 0 1 1 1 1 log log log 0 2 2 i i g re d d g g re                 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12     2 0 1 1 log log 0 2 ig re d g      . Đặt   1 1q v v F z f a    . 1.3.3. Bổ đề 2 Với các giả thiết của định lý, ta có:     1 1 3 log log log log2. * q q F z q f a            Chứng minh. + Nếu với mọi  , 3 f a q     thì (*) đúng. Thật vậy với mọi  ta có : 1 1 3 1 3 log log qq q q f a f a            .  Vế phải của (*) 0 + Giả sử tồn tại v : 3 vf a q    . Nếu tồn tại  thỏa mãn thì v là duy nhất. Vì nếu ngược lại: ; 3 vf a q    . 3 f a q      2 3 va a q      . (vô lý) Với mọi ; 3 v f a q      , 2 3 3 v vf a a a f a q           . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13  1 3 1 3 1 1 2 2 2 v q q q f af a      . 13 2 2 3 vf a q qf a       .   1 1 1 1q v vv v F z f a f a f a           = 1 1 1 1 1 1 2 2 v v v v f a q f a f a q f af a                   .   1 1 1 1 log log log2 log log log2 q vv F z f a f a f a                     1 1 3 log 1 log log2 q q q f a            1 1 3 log log log2 q q q f a           . (*) Chứng minh định lý: Lấy 2 0 1 2 d     hai vế ta được:   2 2 10 0 1 1 1 3 log log log log 2 2 2 q i qF re d d q f a             .     1 3 , , log log2 q v v q m r F m r a q       .     1 3 , , log log2 q v v q m r a m r F q       . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14   1 1 , ; . . '. ' 1 ' , , , . ' q v v f m r F m r f F f f f f m r m r m r f f f a                              1 1 1 , , , 1 1 , log 0 , . m r T r N r f f f T r f N r f f                                  , , , ' ' ' f f f m r T r N r f f f                        0 , log , ' ' 0 ' ff f T r N r f f f                   0' ' , , , log ' ' 0 ff f f m r N r N r f f f f                      . Từ bổ đề một ta có:         2 0 ' 0' 1 , , log log ' 2 0' i i f re ff f N r N r d f f ff re                   .       1 ' , , log 0 , , f m r F T r f f N r m r f f                   1 0' , log ' 0 q v v ff m r f a f                 2 0 ' 01 log log 2 0' i i f re f d ff re     .         1 3 , , , , log log2 q v v q m r m r a m r m r F q        Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15           2 10 1 ' , , log 0 , , 1 ' 3 log , log log2 2 '