Đồ họa máy tính nói chung v à tái tạo hình ảnh ba chiều của các vật thể t hực bằng
máy tính là một trong những lĩnh vực thu hút đ ược sự quan tâm nhiều nhất của giới
nghiên cứutrong l ĩnh vực công nghệ thông tin trong mấy chục năm qua. Hình ảnh tái
tạo từ máy tính đ ã được sử dụng rất có hiệu quả trong nhiều lĩnh vực khác nhau như
giáo dục, giải trí, y tế,.
Tại Việt Nam, các thiết bị chẩn đoán h ình ảnh có khả năng tạo ảnh ba chiềunhư các
máy MSCT, MRI, siêu âm 3D –4D, đã bắt đầu đ ược sử dụng phổ biến tại các c ơ sở
điều trị kĩ thuật cao. Nếu các thiết bị thông th ường chỉ cókhả năng tạo các ảnh cắt lớp
hai chiềuthì các thi ết bị này có thêm ch ức năng tái tạo ảnh ba chiều từ các lát cắt . Bộ
phận thực hiện chức năng n ày là một máy tính mạnh có các phần mềm xây dựng , tái
tạo ảnh ba chiều . Hiện nay trên thế giới có rất nhiều ph ần mềm th ương mại có khả
năng tái tạo ảnh ba chiều từ ảnh cắt lớp nh ư 3D-DOCTORcủa Able Software,Vitrea2
của Vital Images, eFilm, Các ph ần mềm này có giá từ vài ngàn USD đ ến vài chục
ngàn USD tùy theo l ựa chọn của ng ười sử dụng.
Với thực tế khoa học công nghệ Việt Nam hiện nay th ì chế tạo phần cứng (máy cắt
lớp) là việc tương đối khó nhưng chúng ta hoàn toàn có khả năng nghi ên cứu xây dựng
các phần mềmtrong lĩnh vực h ình ảnh y tế. Tuy nhiên, ngành công ngh ệ thông tin của
Việt Nam ch ưa có nhiều nghiên cứu trong lĩnh vực phần mềm d ùng trong y t ế nói
chung và l ĩnh vực xử lí ảnh y tế. Năm 2004, phần mềm V Doctor của tr ường Đại học
Bách khoa Hà N ội với chức năng chính l à xử lí các hình ảnh 3D trong y tế đ ã đạt giải
ba tại cuộc thi Trí tuệ Việt Nam, tại khoa công ngh ệ thông tin của một số trường đại
học cũng có một số sinh viên làm về đề tài tốt nghiệp về xử lí ảnh trong y tế nh ưng đến
nay chúng ta v ẫn chưa có phần mềm th ương mại nào đáng kể. Ở nước ta, các c ơ sở y
tế chủ yếu sử dụng những phần mềm xử lý vàquản lý hình ảnh của nước ngoài như
eFilm, nhưng đa s ố đều sử dụng bản đ ã được bẻ khóa chứ không phải bản chính
thức. Do đó, thị tr ường nước ta đang rất cần cácphần mềm y tế nói chung trong đó có
các phần mềm xử lý h ình ảnh.
Mục đích của đề t ài này là tìm hiểu một một lĩnh vực quan trọng của ng ành kĩ thuật
y sinh nhưng c òn khá mới mẻ ở nước ta
48 trang |
Chia sẻ: oanhnt | Lượt xem: 2196 | Lượt tải: 2
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận văn Tái tạo ảnh ba chiều trong chuẩn đoán hình ảnh y khoa, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
CHÚ Ý
Bạn đã download tài liệu này từ website www. bme.vn. Các bạn có quyền tự
do sử dụng tài liệu này cho các mục đích học tập, nghiên cứu. Nếu bạn sử dụng
tài liệu này cho mục đích thương mại phải xin ý kiến của các tác giả. Nếu bạn
không thể liên lạc trực tiếp với tác giả hãy liên hệ với chúng tôi theo địa chỉ
bmevn@bme.vn, chúng tôi sẽ giúp bạn.
www.bme.vn
ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH
TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC BAÙCH KHOA
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG
---------------o0o---------------
LUAÄN VAÊN TOÁT NGHIEÄP
TAÙI TAÏO AÛNH BA CHIEÀU
TRONG CHẨN ÑOAÙN HÌNH ẢNH Y KHOA
GVHD: TS. Huyønh Quang Linh
SVTH : Vuõ Coâng
Email : vucongkt@gmail.com
Tp HCM, Thaùng 1/2007
LỜI CẢM ƠN
Em xin gửi lời biết ơn chân thành nhất đến thầy Huỳnh Quang Linh,
người đã tận tình dạy dỗ em trong suốt quá tr ình học, cho em nhiều lời động
viên cũng như những chỉ dẫn quý báu để em có thể thực hiện tốt đ ược đề tài
này.
Bên cạnh đó, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong ngành Vật lý
kỹ thuật cũng như khoa Khoa học Ứng dụng đã hết lòng trong công tác giảng
dạy, tận tình cung cấp nhiều kiến thức cần thiết cho em trong suốt những năm
em học tại trường. Em xin cảm ơn vì sự giúp đỡ nhiệt tình của các bác sỹ và các
kỹ thuật viên tại trung tâm y khoa MEDIC Th ành phố Hồ Chí Minh trong thời
gian em thực tập tại đây.
Trong quá trình thực hiện đề tài, không thể không kể đến sự giúp đỡ,
đóng góp ý kiến và những lời động viên hết mình của bạn bè xung quanh, điều
này thật sự đã giúp cho tôi rất nhiều. Xin chân thành cám ơn các bạn.
Và cuối cùng, con xin gửi đến bố mẹ lòng biết ơn vô bờ bến. Công lao
dưỡng dục của bố mẹ, niềm tin mãnh liệt vào con và những đêm thức trắng nơi
quê nhà vì lo lắng cho con của bố mẹ đã giúp con vượt qua được những giờ
phút khó khăn nhất, khắc phục được những trở ngại lớn lao nhất để ho àn thành
đề tài này.
Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 12 năm 2006
Vũ Công
TÓM TẮT LUẬN VĂN
Hình ảnh đặc biệt là hình ảnh ba chiều ngày càng chiếm vai trò quan trọng trong việc
chẩn đoán và điều trị. Do đó, nghiên cứu về hình ảnh y tế là một lĩnh vực quan trọng
của ngành kỹ thuật y sinh. Luận văn này bước đầu tìm hiểu cơ sở của việc tái tạo hình
ảnh ba chiều và ảnh nổi stereo cùng với những kỹ thuật được sử dụng trong lĩnh vực
hình ảnh y tế. Do tính chất rộng lớn của vấn đề và thời gian thực hiện luận văn có hạn ,
nội dung của luận văn tập trung tìm hiểu lý thuyết và xây dựng các phần mềm mang
tính chất minh họa cho hai phương pháp: tái tạo ảnh ba chiều từ các lát cắt song song
và tái tạo ảnh nổi (stereo reconstruction). Kết quả thực hiện được là cơ sở để phát triển
các phần mềm ứng dụng trong lĩnh vực và xem xét việc tích hợp với phần cứng sẽ
dành cho những phát triển các thiết bị chẩn đoán hình ảnh trong tương lai.
iii
MỤC LỤC
Đề mục Trang
Trang bìa .......................................................................................................i
Nhiệm vụ luận văn .............................................................................. ..........
Lời cảm ơn.....................................................................................................ii
Tóm tắt..........................................................................................................iii
Mục lục..........................................................................................................iv
Danh sách hình vẽ..........................................................................................v
Danh sách bảng biểu......................................................................................vi
Danh sách các từ viết tắt................................................................................vi
CHƯƠNG 1 : GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ ................................ ................................ .......1
1.1.Hiện trạng vấn đề và phương pháp giải quyết: ................................ .........1
1.2.Mục tiêu: ................................ ................................ ................................ .2
1.3 Nhiệm vụ : ................................ ................................ ............................... 2
1.4 Bố cục trình bày : ................................ ................................ .................... 3
CHƯƠNG 2 : TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT ................................ ....................... 4
2.1 Đồ họa máy tính ................................ ................................ ...................... 4
2.2 Trực quan hóa (Visualization) ................................ ................................ .6
2.3 Tái tạo cấu trúc ba chiều từ các h ình chiếu................................ ...............7
2.4 Tái tạo ảnh ba chiều từ các lát cắt song song : ................................ ..........9
2.4.1 Một số thiết bị tạo lát cắt song song trong y tế ................................ .......................... 9
2.4.2 Phương pháp ................................ ................................ ................................ ............ 12
2.4.3 Ứng dụng trong y tế ................................ ................................ ................................ . 24
CHƯƠNG 3 : KẾT QUẢ THỰC HÀNH................................ ................................ .25
3.1 Tái tạo ảnh ba chiều từ lát cắt song song ................................ ................ 25
3.1.1 Các công cụ ................................ ................................ ................................ ............. 25
3.1.2 Chương trình cài đặt ................................ ................................ ................................ 30
3.1.3 Một số cửa sổ - Kết quả thử nghiệm................................ ................................ ........ 33
3.1.4 Đánh giá ................................ ................................ ................................ ................... 35
CHƯƠNG 4 : KẾT LUẬN, HƯỚNG PHÁT TRIỂN ................................ .............. 36
4.1.Kết luận về kết quả làm được : ................................ .............................. 36
4.2. Hướng phát triển :................................ ................................ ................. 36
TÀI LIỆU THAM KHẢO : ................................ ................................ .................. 38
PHỤ LỤC................................ ................................ ................................ ............. 40
1. Nhiễu của ảnh – Lọc nhiễu : ................................ ................................ ....40
2.Tích chập (convolution) : ................................ ................................ ..........40
3. Một số định dạng file h ình ảnh thường sử dụng trong y tế ....................... 40
iv
Danh sách hình vẽ :
Hình 2. 1 Dạng của ma trận biến đổi trong hệ tọa độ thuần nhất ................................ ............... 5
Hình 2. 2 Bề mặt được chiếu sáng bởi cả hai loại nguồn sáng ................................ ................... 6
Hình 2. 3 Các dạng ảnh 2D dùng để tái tạo ảnh 3D thường gặp ................................ ................ 8
Hình 2. 4 Các thuật toán cho trực quan hóa 3 chiều ................................ ................................ . 12
Hình 2. 5 Sự sắp xếp các lát cắt song song để tạo n ên một khối dữ liệu (data volume) .......... 13
Hình 2. 6 Hình ảnh được biểu diễn theo phương pháp MPR ................................ ................... 13
Hình 2. 7 Hình ảnh 3D được biểu diễn theo phương pháp SR ................................ ................. 14
Hình 2. 8 Minh họa thuật toán Marching square ................................ ................................ ...... 15
Hình 2. 9 16 trường hợp Marching Square ................................ ................................ ............... 15
Hình 2. 10 Minh họa tạo bề mặt từ các đường viền ................................ ................................ . 16
Hình 2. 11 Xây dựng bề mặt theo giá trị của các đỉnh ................................ ............................. 17
Hình 2. 12 Các trường hợp một mặt đi qua khối lập ph ương trong thuật toán Marching Cubes
................................ ................................ ................................ ................................ .................. 17
Hình 2. 13 Một trường hợp lỗi của Marching Cubes ................................ ............................... 18
Hình 2. 14 Chia khối lập phương thành các khối tứ diện ................................ ......................... 19
Hình 2. 15 Hai trường hợp mặt phẳng đi qua khối tứ diện trong thuật toán Marching
Tetrahedra ................................ ................................ ................................ ................................ . 19
Hình 2. 16 Minh họa thuật toán Dividing Cubes để vẽ đương trong mặt phẳng..................... 20
Hình 2. 17 Minh họa thuật toán Dividing Cubes trong không gian ba chiều ........................... 20
Hình 2. 18 Hình ảnh 3D biểu diễn theo phương pháp VR ................................ ....................... 21
Hình 2. 19 Minh họa kỹ thuật object-order ................................ ................................ .............. 22
Hình 2. 20 Minh họa kỹ thuật image-order ................................ ................................ .............. 23
Hình 3. 1 Sơ đồ tương tác của VTK với phần cứng ................................ ................................ . 26
Hình 3. 2 Cấu trúc chương trình ứng dụng VTK ................................ ................................ ..... 26
Hình 3. 3 Mô hình đồ họa của VTK ................................ ................................ ......................... 27
Hình 3. 4 Mô hình trực quan hóa của VTK ................................ ................................ .............. 28
Hình 3. 5 Các loại tập dữ liệu của VTK ................................ ................................ ................... 29
Hình 3. 6 Cách kết nối VTK và ITK ................................ ................................ ........................ 30
Hình 3. 7 Cấu trúc của chương trình cài đặt................................ ................................ ............. 31
Hình 3. 8 Pipeline của chương trình cài đặt ................................ ................................ ............. 31
Hình 3. 9 Chu trình biểu diễn dữ liệu thành hình ảnh ................................ .............................. 32
Hình 3. 10 Các lớp chính và quan hệ giữa các lớp của chương trình................................ ....... 32
Hình 3. 11 Xem các lát cắt theo các phương khác nhau................................. ......................... 34
Hình 3. 12 Trang SR ................................ ................................ ................................ ................. 34
Các từ ngữ viết tắt :
ánh xạ kết cấu (texture mapping) : kĩ thuật phủ ảnh bitmap lên một kết cấu
API : (application programming interface) Giao diện chương trình ứng dụng
B – reps : boundary representation
vi
MFC : Microsoft Foundation Class Library
OpenGL : Open Graphic Library được phát triển bởi SGI (Silicon Graphics
Incorporated)
MESA : thư viện đồ họa 3D tương tự OpenGL của SGI
ROI : Region of Interest
volume : mảng dữ liệu 3 chiều
voxel : volume element
OO : object – oriented.
OOM : object – oriented modeling
keypoint = point of interest
SAD : Sum of Absolute Differences
SSD : Sum of Squared Differences
NCC : normalize (normalize) cross – correlation
SSSD : Sum of Sum of Squared Differences
RMSE : root mean squared error
DSI : Disparity Space Image
ABM : area-based matching
FBM : feature-based matching.
IBR : image-based rendering
RANSAC : Random Sampling and Consensus
GDI (GDI+) : graphics device interface (plus)
MMX, SSE : những công nghệ của trong các bộ xử lý của Intel giúp tăng tốc các
phần mềm đa phương tiện
vi
Luận văn tốt nghiệp www.bme.vn
SVTH : Vũ Công - 1- GVHD : TS Huỳnh Quang Linh
CHƯƠNG 1 : GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ
1.1.Hiện trạng vấn đề và phương pháp giải quyết:
Đồ họa máy tính nói chung và tái tạo hình ảnh ba chiều của các vật thể t hực bằng
máy tính là một trong những lĩnh vực thu hút đ ược sự quan tâm nhiều nhất của giới
nghiên cứu trong lĩnh vực công nghệ thông tin trong mấy chục năm qua. Hình ảnh tái
tạo từ máy tính đã được sử dụng rất có hiệu quả trong nhiều lĩnh vực khác nhau như
giáo dục, giải trí, y tế,...
Tại Việt Nam, các thiết bị chẩn đoán h ình ảnh có khả năng tạo ảnh ba chiều như các
máy MSCT, MRI, siêu âm 3D – 4D,…đã bắt đầu được sử dụng phổ biến tại các cơ sở
điều trị kĩ thuật cao. Nếu các thiết bị thông th ường chỉ có khả năng tạo các ảnh cắt lớp
hai chiều thì các thiết bị này có thêm chức năng tái tạo ảnh ba chiều từ các lát cắt. Bộ
phận thực hiện chức năng này là một máy tính mạnh có các phần mềm xây dựng , tái
tạo ảnh ba chiều. Hiện nay trên thế giới có rất nhiều phần mềm thương mại có khả
năng tái tạo ảnh ba chiều từ ảnh cắt lớp như 3D-DOCTOR của Able Software,Vitrea2
của Vital Images, eFilm ,… Các phần mềm này có giá từ vài ngàn USD đến vài chục
ngàn USD tùy theo lựa chọn của người sử dụng.
Với thực tế khoa học công nghệ Việt Nam hiện nay th ì chế tạo phần cứng (máy cắt
lớp) là việc tương đối khó nhưng chúng ta hoàn toàn có khả năng nghiên cứu xây dựng
các phần mềm trong lĩnh vực hình ảnh y tế. Tuy nhiên, ngành công nghệ thông tin của
Việt Nam chưa có nhiều nghiên cứu trong lĩnh vực phần mềm d ùng trong y tế nói
chung và lĩnh vực xử lí ảnh y tế. Năm 2004, phần mềm V Doctor của trường Đại học
Bách khoa Hà Nội với chức năng chính là xử lí các hình ảnh 3D trong y tế đã đạt giải
ba tại cuộc thi Trí tuệ Việt Nam, tại khoa công nghệ thông tin của một số trường đại
học cũng có một số sinh viên làm về đề tài tốt nghiệp về xử lí ảnh trong y tế nhưng đến
nay chúng ta vẫn chưa có phần mềm thương mại nào đáng kể. Ở nước ta, các cơ sở y
tế chủ yếu sử dụng những phần mềm xử lý và quản lý hình ảnh của nước ngoài như
eFilm,… nhưng đa số đều sử dụng bản đã được bẻ khóa chứ không phải bản chính
thức. Do đó, thị trường nước ta đang rất cần các phần mềm y tế nói chung trong đó có
các phần mềm xử lý hình ảnh.
Luận văn tốt nghiệp www.bme.vn
SVTH : Vũ Công - 2- GVHD : TS Huỳnh Quang Linh
Mục đích của đề tài này là tìm hiểu một một lĩnh vực quan trọng của ng ành kĩ thuật
y sinh nhưng còn khá mới mẻ ở nước ta.
Phương pháp nghiên cứu:
Tiếp cận vấn đề này đòi hỏi phải có một số kiến thức tối thiểu về lập trình và kiến
thức đồ họa. Mặt khác, tài liệu tiếng Việt về đề tài này hầu như không có. Cho nên,
phương pháp tiếp cận và thực hiện nghiên cứu của tác giả là :
- Khảo sát tổng quan vấn đề thông qua Internet
- Tìm hiểu các chương trình mã nguồn mở, các phần mềm demo trong lĩnh vực
- Tự bổ sung kiến thức lập trình và kiến thức đồ hoạ ở mức cần thiết.
- Tham khảo học tập kinh nghiệm từ nhiều người trên thế giới thông qua email, diễn
đàn.
- Tận dụng mã nguồn mở để thiết kế những phần mềm riêng.
1.2.Mục tiêu:
1) Tìm hiểu lí thuyết cơ bản, các phương pháp tạo ảnh ba chiều trong y tế và tập trung
chủ yếu vào phương pháp tạo ảnh 3D từ các lát cắt song song và phương pháp tái tạo
nổi (stereo reconstruction)
2) Thiết kế và xây dựng các phần mềm tái tạo ảnh 3 chiều sử dụng được trong đào tạo,
nghiên cứu, trên cơ sở đó có thể phát triển thành phần mềm ứng dụng trong thực tế.
1.3 Nhiệm vụ :
Nhiệm vụ của đề tài gồm hai phần : tìm hiểu lí thuyết chung và xây dựng các phần
mềm ứng dụng.
Tìm hiểu lí thuyết :
Lý thuyết về tái tạo ảnh 3D nói riêng trên thế giới đã có những bước tiến rất xa
do đã được phát triển trong khoảng vài chục năm gần đây.Ở thời điểm hiện tại vẫn
liên tục có những công trình được đưa ra nhằm cải tiến các phương pháp đã có
nhiều nghiên cứu đưa ra các phương pháp mới. Do đó, luận văn sẽ tìm hiểu tổng
quan về tạo ảnh 3 chiều ứng dụng trong chẩn đoán hình ảnh y khoa, các quy trình
chung, các thuật toán cơ bản, những tiến bộ mà thế giới đã đạt được và những
hướng phát triển khả thi hiện nay trên thế giới.
Luận văn tốt nghiệp www.bme.vn
SVTH : Vũ Công - 3- GVHD : TS Huỳnh Quang Linh
Xây dựng phần mềm :
Hiện nay trên thế giới có rất nhiều phần mềm thương mại và nghiên cứu có chức
năng tái tạo ảnh ba từ các ảnh 2D. Bên cạnh đó cũng có nhiều bộ công cụ (toolkit)
miễn phí trong lĩnh vực đồ họa máy tính. Cho nên, với tiêu chí :
+ Chương trình được xây dựng bằng một ngôn ngữ lập tr ình thông dụng để dễ
chia sẻ và phát triển.
+ Sử dụng các bộ công cụ đồ hoạ mã nguồn mở.
Đề tài sẽ xây dựng các phần mềm cơ bản tái tạo ảnh 3D từ lát cắt song song và tạo
ảnh nổi stereo từ 2 hoặc vài ảnh 2D với góc nhìn khác nhau
1.4 Bố cục trình bày :
Những nội dung đã được đề cập ở trên sẽ được trình bày với bố cục như sau :
Chương 1 : Giới thiệu
Chương 2 : Lý thuyết tổng quan
Chương 3 : Kết quả thực hành.
Chương 4 : Kết luận và hướng phát triển.
Trong trình bày luận văn, có rất nhiều thuật ngữ tiếng Anh mà bản thân người viết
không tìm được thuật ngữ tiếng Việt tương ứng, nên tạm thời để nguyên văn tiếng Anh
với giải thích kèm theo, rất mong các Thầy Cô và độc giả góp ý để người viết có thể
hoàn chỉnh. Trân trọng cảm ơn.
Luận văn tốt nghiệp www.bme.vn
SVTH : Vũ Công - 4- GVHD : TS Huỳnh Quang Linh
CHƯƠNG 2 : TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT
2.1 Đồ họa máy tính
Đồ họa máy tính là tất cả những gì liên quan đến việc sử dụng máy tính để phát sinh
ra hình ảnh.Các vấn đề liên qua tới công việc này bao gồm : lưu trữ, thao tác trên các
mô hình (các mô tả hình học của đối tượng) và các ảnh [1].
Một hệ đồ họa bao giờ cũng gồm có hai th ành phần chính là phần cứng và phần mềm
[1]. Phần cứng bao gồm các thiết bị hiển thị v à nhập dữ liệu như màn hình, chuột, bàn
phím,… Phần mềm bao gồm các công cụ lập tr ình và các chương trình ứng dụng đồ
họa. Nếu xét theo số chiều được mô tả trên máy tính ta có đồ họa hai chiều và đồ họa
ba chiều.
Việc thể hiện các đối tượng ba chiều trên máy tính là một công việc cần thiết v ì phần
lớn các đối tượng trong thế giới thực là đối tượng ba chiều. Cũng giống như các cách
biểu diễn các đối tượng ba chiều trên mặt phẳng khác (giấy, camera,…) , biểu diễn
bằng máy tính cũng phải tuân theo các quy luật về phối cảnh, sáng, tối,… nhằm giúp
người xem có thể tưởng tượng lại hình ảnh một cách gần đúng nhất.
Khi chúng ta mô hình hóa và hiển thị một cảnh 3 chiều chúng ta cần phải xem xét rất
nhiều khía cạnh và vấn đề khác nhau chứ không đ ơn giản là thêm vào tọa độ thứ ba
cho các đối tượng [1]. Bề mặt đối tượng có thể được xây dựng bởi nhiều tổ hợp khác
nhau của các mặt phẳng và mặt cong, đôi khi chúng ta còn cần mô tả một số thông tin
bên trong đối tượng. Khi biểu diễn đối tượng ba chiều bằng máy tính ta cần quan tâm
các vấn đề sau :
+ Phương pháp biểu diễn :
Có hai phương pháp biểu diễn đối tượng ba chiều là phương pháp biểu diễn
bề mặt (B-reps) và biểu diễn theo phân hoạch không gian (space -partitioning
representation).
Phương pháp B-reps mô tả đối tượng bằng một tập hợp các bề mặt giới hạn
phần bên trong của đối tượng với môi trường bên ngoài. Thông thường ta xấp xỉ
các bề mặt phức tạp bởi các mảnh nhỏ h ơn gọi là các patch (mặt vá). Các mảnh
này có thể là các đa giác hoặc các mặt cong trơn.
Luận văn tốt nghiệp www.bme.vn
SVTH : Vũ Công - 5- GVHD : TS Huỳnh Quang Linh
Phương pháp phân hoạch không gian thường dùng để mô tả các thuộc tính
bên trong của đối tượng.
+ Các phép biến đổi hình học :
Khi ta áp dụng một dãy các phép biến đổi hình học ta có thể tạo ra nhiều
phiên bản của cùng một đối tượng. Do đó ta có thể quan sát vật thể ở nhiều vị
trí, nhiều góc độ khác nhau và cảm nhận của chúng ta về các h ình vẽ ba chiều
sẽ trực quan hơn, sinh động hơn. Các phép biến đổi thường sử dụng là phép tịnh
tiến, phép quay, phép biến dạng,…Các phép biến đổi đ ược mô tả bằng các ma
trận. Ma trận của mỗi phép biến đổi có dạng khác nhau.
x y z
a b c 0
d e f 0[x' y' z' 1]=[x y z 1].
g h i 0
tr tr tr 1
Hình 2. 1 Dạng của ma trận biến đổi tro