Môi trường - Chương IV: Các định luật cơ bản của cơ học môi rường liên tục và các mô hình môi trường liên tục

ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN KHỐI LƯỢNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC CỦA KHỐI LƯỢNG Một thuộc tính cơ bản của môi trường vật chất là khối lượng. Xét phần MTLT chiếm thể tích V trong không gian với diện tích bao quanh S. Ở thời điểm t nào đó, tổng khối lượng vật chất chứa trong V được tính như sau: i V m ( , t)dV = ρ ∫ x (4-1) Trong đó ρ( , t) xi là hàm mật độ khối lượng vật chất. Định luật bảo toàn Khối lượng khẳng định rằng: Tổng khối lượng vật chất của phần MTLT chứa trong thể tích V này không đổi theo thời gian trong suốt quá trình chuyển động. i V dm d ( , t)dV 0 dt dt = ρ = ∫ x (4-2) Điều này cũng có nghĩa là, trong một đơn vị thời gian, độ biến thiên khối lượng vật chất chứa trong thể tích V V m dV t ∂ρ Δ = ∫ ∂ (a) bằng khối lượng vật chất chuyển từ ngoài vào miền đang xét qua bề mặt S. S Δ = − ρ %m .v.n.dS ∫ r r (b) Trong đó: t ∂ρ ∂ là độ biến thiên mật độ khối lượng vật chất theo thời gian. rv là véc tơ vận tốc chuyển động của phần tử vật chất môi trường. rn là véc tơ đơn vị pháp tuyến ngoài của mặt ds. Dấu trừ để chỉ lượng vật chất chuyển vào môi trường qua mặt S ngược chiều với véc tơ pháp tuyến ngoài.

pdf89 trang | Chia sẻ: anhquan78 | Lượt xem: 767 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Môi trường - Chương IV: Các định luật cơ bản của cơ học môi rường liên tục và các mô hình môi trường liên tục, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
CHƯƠNG IV CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC VÀ CÁC MÔ HÌNH MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC 4.1. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN KHỐI LƯỢNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC CỦA KHỐI LƯỢNG Một thuộc tính cơ bản của môi trường vật chất là khối lượng. Xét phần MTLT chiếm thể tích V trong không gian với diện tích bao quanh S. Ở thời điểm t nào đó, tổng khối lượng vật chất chứa trong V được tính như sau: i V m ( , t)dV= ρ∫ x (4-1) Trong đó i( , t)ρ x là hàm mật độ khối lượng vật chất. Định luật bảo toàn Khối lượng khẳng định rằng: Tổng khối lượng vật chất của phần MTLT chứa trong thể tích V này không đổi theo thời gian trong suốt quá trình chuyển động. i V dm d ( , t)dV 0 dt dt = ρ =∫ x (4-2) Điều này cũng có nghĩa là, trong một đơn vị thời gian, độ biến thiên khối lượng vật chất chứa trong thể tích V V m dV t ∂ρΔ = ∂∫ (a) bằng khối lượng vật chất chuyển từ ngoài vào miền đang xét qua bề mặt S. S m .v.n.dSΔ = − ρ∫ r r% (b) Trong đó: t ∂ρ ∂ là độ biến thiên mật độ khối lượng vật chất theo thời gian. v r là véc tơ vận tốc chuyển động của phần tử vật chất môi trường. n r là véc tơ đơn vị pháp tuyến ngoài của mặt ds. Dấu trừ để chỉ lượng vật chất chuyển vào môi trường qua mặt S ngược chiều với véc tơ pháp tuyến ngoài. Áp dụng định lý div (1-21) cho (b) ta có: ° i iS V V ( v ) m .v.n.dS div( v)dV dV ∂ ρΔ = − ρ = − ρ = − ∂∫ ∫ ∫ r r r x (c) Theo định luật bảo toàn Khối lượng: m m hay m m 0 hay: Δ = Δ Δ − Δ =% % i i i iV V V ( v ) dV dV ( v ) dV 0 t t ⎡ ⎤∂ ρ∂ρ ∂ρ ∂+ = + ρ =⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦∫ ∫ ∫x x (d) Vì thể tích V tuỳ ý, nên biểu thức dưới dấu tích phân trong (d) phải bằng không. i i i i i i ( v ) v 0 t t v∂∂ρ ∂ ∂ρ ∂ρ+ ρ = + + ρ =∂ ∂ ∂ ∂ ∂x x x (e) Theo (2-11) i i dv t dt ∂ρ ∂ρ ρ+ =∂ ∂x , thay vào (e) được: i i vd 0 dt ∂ρ + ρ =∂x (4-3) hay ở dạng véc tơ d divv 0 dt ρ + ρ =r (4-3)’ Phương trình (4-3)’ viết ở dạng véc tơ, nên đúng cho mọi hệ toạ độ, còn (4-3) viết trong hệ toạ độ Euler, gọi là phương trình liên tục khối lượng. Phương trình (4-3) cũng có thể nhận được bằng cách biến đổi trực tiếp phương trình (4-2) Phương trình liên tục (4-3) rất quan trọng khi khảo sát môi trường chất lỏng hay chất khí. Đối với chất rắn, do khối lượng rất lớn, sự thay đổi khối lượng coi như không đáng kể, nên phương trình liên tục luôn luôn tự thoả mãn. Trong môi trường không nén được, mật độ vật chất không phụ thuộc thời gian, d 0 dt ρ = , nên phương trình liên tục này đơn giản còn: i i v 0 hay divv 0 ∂ = =∂ r x (4-4) Phương trình liên tục (4-3)’ viết trong toạ độ Lagrange có thể xem trong [4]. 4.2. ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG Khi môi trường chuyển động với trường vận tốc v r dưới tác dụng của lực khối P ur và lực mặt nq uur , thì định lý biến thiên động lượng nói rằng: Tại thời điểm t nào đó, tốc độ biến thiên theo thời gian của động lượng đối với phần MTLT chứa trong thể tích V, bằng tổng các lực ngoài tác dụng lên miền xét. n V V S d vdV PdV q dS dt ρ = +∫ ∫ ∫r ur uur (4-5) Trong đó: V vdVρ∫ r là động lượng tổng cộng của phần môi trường có thể tích V (a) V PdV∫ ur là tổng lực khối (lực thể tích) tác động trong môi trường. (b) n S q dS∫ uur là tổng lực mặt tác động trên mặt bao quanh môi trường. (c) Từ (4-5) ta cũng có thể dẫn ra phương trình chuyển động (3-33). Muốn vậy, trước hết ta chuyển tích phân mặt (c) về tích phân thể tích nhờ định lý div (1-21), sau đó thực hiện các biến đổi toán học thông thường, kết hợp với (4-3) sẽ nhận được (3-33). 4.3. ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN MÔ MEN ĐỘNG LƯỢNG Cũng xét phần MTLT như trên, ta có định lý biến thiên mô men động lượng phát biểu như sau: Tốc độ biến thiên theo thời gian của mômen động lượng đối với phần MTLT chứa trong thể tích V đối với điểm cố định nào đó, bằng tổng mô men, cũng lấy đối với điểm đó, của các lực ngoài tác dụng trên miền xét. n V V S x x x d R vdV R PdV R q dS dt ρ = +∫ ∫ ∫ur r ur ur ur uur (4-6) Trong đó, R ur là bán kính véc tơ của các điểm thuộc môi trường đối với tâm mô men. V xR vdVρ∫ ur r là mô men động lượng tổng cộng của phần môi trường thể tích V lấy đối với tâm mô men. n V S x xR PdV R q dS+∫ ∫ur ur ur uur là tổng mô men của lực thể tích và lực mặt lấy đối với tâm mô men. Từ (4-6) ta cũng có thể dẫn ra định luật đối ứng của ứng suất tiếp (3-32). 4.4. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN NĂNG LƯỢNG - PHƯƠNG TRÌNH NĂNG LƯỢNG Trong vật lý học, ta đã được biết một định luật tổng quát về năng lượng, đó là định luật bảo toàn năng lượng, nói rằng: Tổng tốc độ biến thiên theo thời gian của động năng và nội năng của hệ, bằng tổng công cơ học của lực ngoài và công của các dòng năng lượng khác trong một đơn vị thời gian (còn gọi là công suất của lực ngoài và của các dòng năng lượng khác). Các dòng năng lượng khác nói ở đây có thể là nhiệt năng, điện năng, quang năng..v..vTrong khuôn khổ giáo trình môn CHMTLT, ở đây chúng tôi chỉ nhắc lại nội dung cơ bản của định luật này trong trường hợp liên quan tới cơ năng và nhiệt năng, nhằm phục vụ cho việc giải các bài toán của CHMTLT. Sau đây ta xét một số trường hợp. 4.4.1 Định luật bảo toàn năng lượng cơ học Khi phần MTLT có thể tích V đang khảo sát không thu nhiệt từ môi trường bao quanh, trong hệ chỉ có năng lượng cơ học (cơ năng). Nội năng là năng lượng do biến dạng gây ra, lúc này gọi là năng lượng biến dạng. Trong trường hợp này ta có định luật bảo toàn năng lượng cơ học (cơ năng) phát biểu như sau: Tổng tốc độ biến thiên theo thời gian của động năng và năng lượng biến dạng của môi trường, bằng tổng công cơ học của lực ngoài trong một đơn vị thời gian, (công suất của lực ngoài). dK dE A dt dt dt δ+ = (4-7) Trong đó dK dt là tốc độ biến thiên động năng của môi trường. (a) dE dt là tốc độ biến thiên năng lượng biến dạng của môi trường. (b) A dt δ là tổng công suất của lực ngoài: lưc khối và lực mặt (công trong một đơn vị thời gian). (c) Để chứng minh (4-7), ta xuất phát từ phương trình chuyển động (3-33). Thật vậy, theo (3- 33): ij i i j dv P dt ∂σ + = ρ∂x (d) Nhân hai vế của (d) với vi rồi tích phân trên toàn thể tích V của môi trường: ij i i i i i jV V V dv v dV P v dV v dV dt ∂σ + = ρ∂∫ ∫ ∫x (d)’ Biến đổi từng tích phân trong (d)’. ³ 2 2 i i V V V dv d v d v dv dV dV dV K dt dt 2 dt 2 dt ⎛ ⎞ρ = ρ = ρ =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ (e) Trong đó động năng của hệ 2 V vK dV 2 = ρ∫ (f) ³ Tiếp theo, áp dụng định lý div (1-21) và chú ý tới (2-58) và (3-34) trong đó ij ij 0σ ω =& do ijσ là ten xơ đối xứng, còn ijω& là phản đối xứng, ta có ³ ( )ij ii ij i ij j j jV V v v dV .v dV ⎡ ⎤∂σ ∂∂= σ − σ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫x x x ( )ij i ij ij ij jV .v ( ) dV ⎡ ⎤∂= σ − σ ε + ω⎢ ⎥∂⎢ ⎥⎣ ⎦∫ & &x ij i j ij ij ni i ij ij S V S V v n dS dV q v dS dV= σ − σ ε = − σ ε∫ ∫ ∫ ∫& & (g) Thay (e) và (g) vào (d)’ rồi chuyển vế, ta được: 2 ij ij i i ni i V V V S d v dV dV P v dV q v dS hay dt 2 ρ + σ ε = +∫ ∫ ∫ ∫& dK dE A dt dt dt δ+ = đây là điều phải chứng minh. Trong đó: 2 V dK d v dV dt dt 2 = ρ∫ (4-8) ij ij V dE dV dt = σ ε∫ & (4-9) i i ni i V S A P v dV q v dS dt δ = +∫ ∫ (4-10) 4.4.2 Định luật bảo toàn năng lượng cơ - nhiệt. Định luật nhiệt động lực học thứ nhất - phương trình năng lượng a) Một vài khái niệm về quá trình nhiệt động học của MTLT Khi trong môi trường, ngoài năng lượng cơ học, còn có sự trao đổi nhiệt với môi trường bao quanh, thì trạng thái của môi trường được xác định bởi ngoài một số đại lượng đặc trưng cho động lực học như ứng suất, biến dạng..v..v.., còn có một số đại lượng đặc trưng cho nhiệt động học như nhiệt độ, sự truyền nhiệt, bức xạ nhiệt..v..v Lúc này, MTLT là một hệ nhiệt động lực. Các đại lượng đặc trưng cho môi trường gọi là các tham số trạng thái, còn các mối quan hệ giữa chúng với nhau gọi là phương trình trạng thái, các tham số được mô tả trong các phương trình này gọi là hàm trạng thái. Nếu các tham số trạng thái không phụ thuộc thời gian, hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt động lực (cân bằng cơ học, cân bằng nhiệt). Nhiệt độ là tham số trạng thái đặc trưng cho cân bằng nhiệt. Quá trình biến đổi trạng thái của môi trường là một quá trình nhiệt động lực tuân theo các định luật cơ bản của nhiệt động lực học. Trong quá trình này, nếu nhiệt độ không thay đổi, ta có quá trình đẳng nhiệt, nếu hệ không có trao đổi nhiệt với môi trường bao quanh, ta có quá trình đoạn nhiệt như đã đề cập trong mục 4.4.1 ở trên. Quá trình nhiệt động lực có thể thuận nghịch hoặc không thuận nghịch. Quá trình là thuận nghịch, nếu hệ có thể trở lại trạng thái ban đầu, mà trong quá trình đi ngược đó, hệ đi qua tất cả các trạng thái trung gian mà quá trình thuận đã đi qua. Nếu quá trình không thoả mãn yêu cầu trên, ta có quá trình không thuận nghịch. Đối với vật rắn, quá trình biến dạng đàn hồi là thuận nghịch, còn quá trình biến dạng dẻo là không thuận nghịch. Trong quá trình nhiệt động lực, cơ năng và nhiệt năng luôn biến đổi và chuyển hoá lẫn nhau. Định luật bảo toàn cơ - nhiệt năng, còn gọi là định luật nhiệt động lực học thứ nhất phát biểu qui luật chuyển hoá này, nhưng không nói lên được tính thuận nghịch của quá trình. Tính thuận nghịch được thể hiện ở định luật nhiệt động lực học thứ hai khi đề cập tới sự biến đổi entropi của môi trường. b) Định luật nhiệt động lực học thứ nhất – phương trình năng lượng Từ phân tích ở trên ta thấy rằng, khi ngoài cơ năng còn xét thêm nhiệt năng thì định luật bảo toàn năng lượng cơ và nhiệt hay định luật nhiệt động lực học thứ nhất hoàn toàn có được từ định luật bảo toàn cơ năng, bằng cách thêm vào (4-7) lượng nhiệt thu được từ môi trường bao quanh vào môi trường đang khảo sát trong một đơn vị thời gian (còn gọi là công suất nhiệt năng – ký hiệu là Q dt δ ⎞⎟⎠ . *dK dE A Q dt dt dt dt δ δ+ = + (4-11) Định luật phát biểu: Tổng tốc độ biến thiên theo thời gian của động năng và nội năng của môi trường, bằng tổng công cơ học của các lực ngoài và năng lương nhiệt trong một đơn vị thời gian (tổng công suất lực ngoài và công suất nhiệt năng). Trong đó: ³ dK dt và A dt δ tính theo (4-8) và (4-10) ³ *dE dt là tốc độ biến thiên nội năng của môi trường được tính như sau: Ký hiệu nội năng trong một đơn vị khối lượng là e (còn gọi là mật độ nội năng, hay nội năng riêng), thì nội năng trong một đơn vị thể tích môi trường sẽ là (ρe), khi đó nội năng trong toàn bộ môi trường thể tích V là: * V E edV= ρ∫ hay * V V dE d deedV dV dt dt dt = ρ = ρ∫ ∫ (4-12) ³ Q dt δ là công suất nhiệt năng được tính như sau: Nhiệt năng môi trường nhận được do truyền nhiệt và bức xạ. Tính công suất nhiệt năng do sự truyền nhiệt (c)Q dt ⎛ ⎞δ⎜ ⎟⎝ ⎠ Ký hiệu c r là véc tơ vận tốc truyền nhiệt qua một đơn vị diện tích bề mặt môi trường, tức là lượng nhiệt truyền qua một đơn vị diện tích bề mặt trong một đơn vị thời gian; n r là véc tơ đơn vị pháp tuyến ngoài của mặt biên tại điểm xét. Khi đó dòng nhiệt thu được từ môi trường bao quanh vào môi trường đang xét qua bề mặt S của nó trong một đơn vị thời gian do truyền nhiệt là: (c) S Q c n dS dt .δ = −∫ r r (4-13) Biến đổi (4-13) nhờ định lý div (1-21) ta được: (c) j jV V cQ divcdV dV dt ∂δ = − = − ∂∫ ∫ r x (4-13)’ Dấu trừ trong (4-13)’ biểu thị hướng dòng nhiệt truyền vào môi trường ngược chiều với pháp tuyến ngoài của bề mặt. Tính công suất nhiệt năng do bức xạ nhiệt (b)Q dt ⎛ ⎞δ⎜ ⎟⎝ ⎠ Nếu ký hiệu b là hằng số bức xạ nhiệt, là năng lượng nhiệt bức xạ của một đơn vị khối lượng trong một đơn vị thời gian, thì năng lượng nhiệt bức xạ của toàn bộ khối lượng vật chất chứa trong thể tích V của môi trường, trong một đơn vị thời gian sẽ là: (b) V Q bdV dt δ = ρ∫ (4-14) Như vậy, nhiệt năng mà môi trường nhận được trong một đơn vị thời gian do cả truyền nhiệt và bức xạ nhiệt là: (c) (b) j jV V cQ Q Q bdV dV dt dt dt ∂δ δ δ= + = ρ − ∂∫ ∫ x (4-15) Thay (4-8), (4-10), (4-12), (4-15) vào (4-11) ta được: 2 j i i ni i jV V V S V V cd v dedV dV P v dV q v dS bdV dV dt 2 dt ∂⎛ ⎞ρ + ρ = + + ρ −⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x (a) Sử dụng biểu thức (g) trong mục 4.4.1 ta có: ij ni i i ij ij jS V V q v dS v dV dV ∂σ= + σ ε∂∫ ∫ ∫ &x (b) Thay (b) vào (a) rồi chuyển vế, và cộng các số hạng dưới dấu tích phân lại, ta được: 2 ij j i i i ij ij j jV cd v de P v v b dV 0 dt 2 dt ⎡ ⎤∂σ ∂⎛ ⎞ρ + ρ − − − σ ε − ρ + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∫ &x x (c) Do thể tích V tuỳ ý nên biểu thức dưới dấu tích phân phải bằng không. 2 ij j i i i ij ij j j cd v de P v v b 0 dt 2 dt ∂σ ∂⎛ ⎞ρ + ρ − − − σ ε − ρ + =⎜ ⎟ ∂ ∂⎝ ⎠ & x x (d) Bây giờ ta trở lại phương trình chuyển động (3-33), nhân hai vế của nó với vi, rồi chuyển vế, được: ij i i i i i j dv v P v v 0 dt ∂σ + − ρ =∂x hay 2 ij i i i j d vv P v 0 dt 2 ∂σ ⎛ ⎞+ − ρ =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠x (e) Tiếp theo, cộng hai phương trình (d) + (e) rồi chia cho ρ, ta được: j ij ij j cde 1 1b dt ∂= σ ε + −ρ ρ ∂& x hay ij ij de 1 dq dt dt = σ ε +ρ & (4-16) Trong đó j j cdq 1b dt ∂= − ρ ∂x (4-17) gọi là công suất nhiệt đưa vào trong một đơn vị khối lượng của môi trường do cả truyền nhiệt và bức xạ nhiệt, tức là lượng nhiệt đưa vào một đơn vị khối lượng môi trường trong một đơn vị thời gian. ij ij ij ij d1 1 dt ε⋅ σ ε = ⋅ σρ ρ& (4-18) gọi là công suất của ứng suất trên một đơn vị khối lượng của môi trường. Phương trình (4-16) biểu diễn định luật nhiệt động lực học thứ nhất cho từng điểm của môi trường, còn gọi là phương trình năng lượng cho một điểm của môi trường, hay phương trình năng lượng địa phương, và phát biểu như sau: Tốc độ biến thiên theo thời gian của nội năng riêng bằng tổng công suất của ứng suất và của nguồn nhiệt đưa vào môi trường trên một đơn vị khối lượng. Công thức (4-16) cũng có thể viết ở dạng ij ij 1de d dq= ⋅ σ ε +ρ (4-19) c) Qui luật truyền nhiệt Fourier Vận tốc truyền nhiệt c r phụ thuộc vào nhiệt độ. Mối quan hệ này, theo Fourier thì vận tốc truyền nhiệt tỷ lệ với gradien của nhiệt độ tuyệt đối. c r = - k grad T hay các thành phần của nó j j Tc k ∂= − ∂x (4-20) Ở đây k > 0 gọi là hệ số truyền nhiệt của môi trường. Cả k và b đều được xác định bằng thực nghiệm. Qui luật truyền nhiệt Fourier (4-20) được dùng nhiều và khá phù hợp với thực tế. 4.4.3 Định luật nhiệt động lực học thứ hai. Bất đẳng thức Clausius – Hàm hao tán a) Khái niệm về entropi của môi trường Trong nhiệt học, khi nghiên cứu các chu trình Carnot, thấy rằng trong một chu trình kín thuận nghịch L của quá trình nhiệt động, ta có đẳng thức: L Q 0 T δ =∫Ñ (4-21) Trong đó T là nhiệt độ tuyệt đối. Như vậy, với quá trình nhiệt động thuận nghịch bất kỳ không kín L, chuyển từ trạng thái A tới trạng thái B, giá trị tích phân: B A L Q Q T T δ δ=∫ ∫ (4-22) không phụ thuộc đường lấy tích phân L mà chỉ phụ thuộc vào trạng thái đầu A và trạng thái cuối B. Đây chính là cơ sở để xây dựng định luật nhiệt động lực học thứ hai. Trong khi đó, nếu chu trình kín nhưng không thuận nghịch, thì thay cho đẳng thức (4-21), ta có bất đẳng thức (4-23). L Q 0 T δ ≤∫Ñ (4-23) Để xem xét một quá trình nhiệt động là thuận nghịch hay không thuận nghịch, ta đưa vào một hàm trạng thái mới gọi là entropi của môi trường, kýhiệu là S*, được định nghĩa như sau: Đối với quá trình nhiệt động thuận nghịch, gia số entropi của môi trường giữa hai trạng thái A và B bằng giá trị của tích phân (4-22), nghĩa là B * * B A A QS S T δ− = ∫ hay * * B A L QS S T δ= + ∫ (4-24) còn đối với quá trình không thuận nghịch, theo (4-23) thì B * * B A A QS S T δ− ≥ ∫ hay * * B A L QS S T δ≥ + ∫ (4-25) Thông thường, ta chọn trạng thái đầu A ở gốc tính toán, khi đó *AS ký hiệu là * OS . Lúc này, giá trị entropi ở trạng thái bất kỳ của quá trình được xác định chính xác tới một hằng số cộng. Với quá trình thuận nghịch: * * O L QS S T δ= + ∫ (4-24)’ Với quá trình không thuận nghịch: * * O L QS S T δ≥ + ∫ (4-25)’ Entropi là hàm đơn trị của trạng thái bên trong của hệ nhiệt động lực, là một đặc trưng của quá trình nhiệt động, và có tính chất cộng, nghĩa là, entropi cả một hệ các khối lượng vật chất, bằng tổng entropi của từng khối lượng riêng rẽ. Ký hiệu S là entropi của một đơn vị khối lượng môi trường, còn gọi là mật độ entropi, hay entropi riêng, thì entropi của toàn bộ khối lượng môi trường có thể tích V sẽ là: * V S Sdv= ρ∫ (4-26) b) Định luật nhiệt động lực học thứ hai Khi quá trình là thuận nghịch từ (4-24)’ suy ra: * *QdS hay TdS Q T δ= = δ (4-27) còn khi quá trình không thuận nghịch, từ (4-25)’ suy ra: * *QdS hay TdS Q T δ≥ ≥ δ (4-28) Kết hợp cả (4-27) và (4-28) ta có định luật nhiệt động lực học thứ hai khẳng định rằng: Đối với quá trình nhiệt động lực bất kỳ, hiệu số ( )*TdS Q− δ là một lượng không âm. *TdS Q 0− δ ≥ (4-29) Dấu đẳng thức tương ứng với quá trình thuận nghịch, dấu bất đẳng thức tương ứng với quá trình không thuận nghịch. Áp dụng (4-29) cho một đơn vị khối lượng, thì định luật nhiệt động lực học thứ hai sẽ là: TdS dq 0− ≥ (4-30) Trong đó dq tính được từ (4-16): ij ij 1dq de d= − ⋅ σ ερ (4-31) c) Bất đẳng thức Clausius – tiêu chuẩn thuận nghịch Khi nghiên cứu quá trình thuận nghịch, Clausius thấy rằng, điều kiện (4-29) hay (4-30) chưa phải là điều kiện đủ cho một quá trình thuận nghịch, nghĩa là, nếu quá trình là thuận nghịch thì (TdS – dq) = 0, nhưng khi (TdS – dq) = 0 thì quá trình chưa chắc đã thuận nghịch. Sở dĩ như vậy, là do sự phân bố nhiệt trong môi trường không đều làm cho entropi tăng. Để có tiêu chuẩn đủ về tính thuận nghịch của quá trình, dựa vào tốc độ biến thiên của mật độ entropi, Clausius đưa ra bất đẳng thức sau đây, gọi là bất đẳng thức Clausius. j j cdS 1b 0 dt T ⎛ ⎞∂− + ⋅ ≥⎜ ⎟ρ ∂ ⎝ ⎠x (4-32) Dấu bằng ứng với quá trình thuận nghịch, dấu bất đẳng thức ứng với quá trình không thuận nghịch. d) Hàm hao tán Trong CHMTLT, giả sử có thể phân ten xơ ứng suất thành hai ten xơ: (C) (D) ij ij ijσ = σ + σ (4-33) Trong đó: (C)ijσ là ten xơ ứng suất bảo toàn, (D)ijσ là ten xơ ứng suất không bảo toàn, hay còn gọi là ten xơ ứng suất hao tán. Ví dụ, khi nghiên cứu chuyển động của chất lỏng nhớt, có thể phân tích ứng suất thành hai phần: Ứng suất do áp suất và ứng suất do tính nhớt của môi trường. Ngược lại, trong lý thuyết dẻo, người ta lại phân tích biến dạng thành biến dạng đàn hồi ( )ijε ®h và biến dạng dẻo (d)ijε . Lúc này phương trình năng lượng (4-16) có dạng (C) (D) ij ij ij ij de 1 1 dq dt dt = σ ε + σ ε +ρ ρ& & (4-34) Trong đó (D)ij ij 1 σ ερ & là tốc độ hao tán năng lượng trên một đơn vị khối lượng. Nếu quá trình là thuận nghịch, thì không có hao tán năng lượng. Khi đó (4-34) kết hợp với (4-30) có dạng: (C) (C) ij ij ij ij de 1 dq 1 dsT dt dt dt = σ ε + = σ ε +ρ ρ& & (4-35) gọi là đồng nhất thức Gibbs. So sánh (4-35) và (4-34) ta được: (D) ij ij ds dq 1T dt dt = + σ ερ & (4-36) (D) ij ijσ ε& gọi là hàm hao tán, hay là tốc độ hao tán năng lượng trên một đơn vị thể tích của môi trường. Theo (4-30) Tds > dq, suy ra (D)ij ijσ ε&> 0, nghĩa là hàm hao tán xác định dương. 4.5. HỆ CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC Bài toán tổng quát của CHMTLT là xác định trường chuyển vị (ui), vận tốc (vi), gia tốc (wi), trường ứng suất (σij), biến dạng (εij), tốc độ biến dạng ( )ijε& cùng các đại lượng vật lý khác như mật độ khối lượng (ρ), nhiệt độ (T) vận tốc truyền nhiệt (ci) của MTLT có thể tích (V) trong đó có lực thể tích (Pi) tác dụng; diện tích bề mặt bao quanh (S), trên đó có lực mặt (qni) tác dụng trên phần diện tích Sq, và chuyển vị hoặc vận tốc chuyển động đã biết trên phần diện tích Su, đồng thời chịu tác dụng của nhiệt độ. Để tìm nghiệm của bài toán, rõ ràng, phải dựa vào các phương trình biểu diễn các mối quan hệ giữa chúng với nhau cả về mặt động học, cũng như nhiệt động lực học. Các phương trình này đã được nghiên c
Tài liệu liên quan