Toán học - Bộ đề eriq và ứng dụng

TRẦN MINH NGỌC -THPT LÊ HỒNG PHONG I. Phát biểu và chứng minh Phát biểu: Cho hai bộ ba điểm thẳng hàng (A1, A2, A3) và (B1, B2, B3) thỏa 1 2 1 2 1 3 1 3 A A B B kA A B B  Lần lượt lấy 1 1 1 2 2 2 3 3 3, ,C AB C A B C A B   thỏa 3 31 1 2 2 1 1 2 2 3 3 C AC A C A C B C B C B  . Khi đó: C1, C2, C3 thẳng hàng và 1 2 1 3 C C kC C  Chứng minh: B3' B2' A3' A2' C3 C2 B2 B1 B3 A1 A3 A2 C1 T( 1 1AC  ): A1 -> C1, A2 -> A2', A3 -> A3' Do A1, A2, A3 thẳng hàng và 1 2 1 3 A A kA A  Nên C1, A2', A3' thẳng hàng và 1 2 1 3 ' ' C A kC A  T( 1 1BC  ): B1 -> C1, B2 -> B2', B3 -> B3' Tương tự ta có C1, B2', B3' thẳng hàng và 1 2 1 3 ' ' B A kB A  Ta có 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 ' ' C A A A C A C B B B C B  => A2', B2', C2 thẳng hàng Tương tự ta có: A3', B3', C3 thẳng hàng H(C1;k): A3' -> A2', B3' -> B2' => A3'B3' -> A2'B2' => C3 -> C2 => C1, C2, C3 thẳng hàng và 1 2 1 3 C C kC C  Nhận xét Khi A1 ≡ B1 ≡ I thì 2 2 3 3 IA IB kIA IB  => A2A3 // B2B3. Ta phát biểu lại trường hợp đặc biệt: Cho tam giác ABC. B1, C1 trên AB, AC sao cho B1C1 // BC. A1, A2 lần lượt thuộc B1C1, BC thỏa 1 1 2 2 1 1 2 2 A B A B AC A C . Khi đó A, A1, A2 thẳng hàng II. Áp dụng AD1: Cho tam giác ABC. Trên canh AB lấy D, D' sao cho BD = AD'. Trên AC lấy E, F sao cho CE = AE'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, DE, D'E'. Cmr: ANMP là hình bình hành N P E D R Q M A B C D' E' Gọi Q, R là trung điểm AC, AB Ta có: RD = RD'; QE = QE' Xét 2 bộ điểm thẳng hàng (R, D, D'), (Q, E, E'): thỏa 1' ' RD QE RD QE  Theo bổ đề ERIQ: PN đi qua trung điểm RQ và bị điểm này chia đôi Mặt khác AM cũng bị trung điểm RQ chia đổi => ANMP là hình bình hành AD2: Cho tam giác ABC. A1, B1, C1 là các điểm trên BC, CA, AB. Gọi Ga, Gb, Gc là trọng tâm ▲AB1C1, ▲BC1A1, CA1B1. Cmr Trọng tâm của ▲ABC, ▲A1B1C1, ▲GaGbGc thẳng hàng Q G1 G M G2 PGc Ga Gb N3N2 N1 A B CA1 C1 B1 Ta chứng minh bài toán qua các bước sau: Bước 1: Gọi N1, N2, N3 lần lượt là trung điểm B1C1, C1A1, A1B1. M, P, Q lần lượt là trung điểm BC, GbGc, N1N2.. Chứng minh M, P, Q thẳng hàng Xét 2 bộ điểm thẳng hàng (B,Gc, N2,) và (C,Gb, N3, C) thỏa 2 3 2 3 c bBG CG BN CN  Theo bổ đề ERIQ: P, Q, M thẳng hàng và 23 MP MQ  Bước 2: Gọi G, G1, G2 là trọng tâm của ▲ABC, ▲A1B1C1, ▲GaGbGc. Chứng minh G, G1, G2 thẳng hàng Dễ thấy G1 cũng là trọng tâm N1N2N3 Xét 2 bộ điểm thẳng hàng (A, Ga, N1) và (M, P, Q) thỏa 1 2 3 aAG MP AN MQ  Các điểm G,G2, G1 thỏa 2 1 1 2 1 2aG G G NGAGM G P GQ   Theo bổ đề ERIQ: G, G2, G1 thẳng hàng AD3 (Định lý Gauss): Cho tứ giác ABCD. AB ∩ CD = {E}, AD ∩ BC = {F}. Cmr: Trung điểm AC, BD, EF thẳng hàng HE F A D C B I Lần lượt lấy H, I nằm trên DA, BC sao cho EIFH là hình bình hành Khi đó trung điểm EF cũng là trung điểm HI Sử dụng định lý Menelaus và định lý Thales, ta được . . . . .AD AD AF BC ED AF CB IF AFAH AF AH BF EC AH CI BF AH   (1) BF AF AF AF BF BI EI HF AH IF    (2) Từ (1) ; (2) => AD CBAH CI Xét 2 bộ điểm thẳng hàng (A, D, F) và (C, B, I) thỏa AD CBAH CI Theo bổ đề ERIQ: Trung điểm AC, BD, HI thẳng hàng => Trung điểm AC, BD, EF thẳng hàng AD4: Cho (O1), (O2) bằng nhau và cắt nhau tại A và B. Hai đường thẳng d và d' qua A lần lượt cắt đường tròn (O) và (O') tại M, N, P, Q. Cmr: trung điểm AB, MQ, NP thẳng hàng E F N Q B A O1 O2P M Xét tứ giác ANBP có AN ∩ BP = {E}, AP ∩ BN = {F} Theo định lý Gauss: trung điểm AB, NP, EF thẳng hàng (1) Từ (O) và (O') bằng nhau không khó thấy ▲BEN ~ ▲BFQ và ▲BEM ~ ▲BFQ => . .EM EM EB FQ FB FQEN EB EN FB FP FP   Xét 2 bộ điểm thẳng hàng (E, M, N) và (F, Q, P) thỏa EM FQEN FP Theo bổ đề ERIQ: trung điểm EF, MQ, NP thẳng hàng (2) Từ (1) , (2) => trung điểm AB, MQ, NP thẳng AD5: (Định lý Newton): Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (I). Cmr: đoạn thẳng nối trung điểm AC, BD đi qua I Ta sẽ chứng minh bài toán qua các bước sau: Bước 1: Các đường thẳng vuông góc với OA, OB, OC, OD tại A, B, C, D đôi một cắt nhau tại X,Y,Z,T. Chứng minh tứ giác XYZT nội tiếp và XZ, YT cắt nhau tại O (Đây là một tính chất quen thuộc của tứ giác ngoại tiếp) Bước 2: Dựng tâm O của (XYZT). OI cắt (XYZT) tại một điểm I'. Gọi Ia là hình chiếu của I' lên a. Gọi M1, M2, M3 là trung điểm của IXYIZT, IXTIYZ, IXZIYT. Khi đó M1, M2, M3 thẳng hàng I M1 M2 M3 IXY IYZ IZT ITX IXZIYT I' D BA C T O X Y Z Theo định lý Simson: (IXY, IYZ, IXZ), (IYZ, IZT, IYT), (IZT, ITX, IZX), (ITX, IXY, ITY) là các bộ điểm thẳng hàng Xét tứ giác IXYIXZIZTIYT có IXYIXZ ∩ IZTIYT = {IYZ}, IXYIYT ∩ IXZIZT = {ITX} Theo định lý Gauss: M1, M2, M3 thẳng hàng Bước 3: Gọi G là trọng tâm của tứ giác XYZT. Chứng minh EG, FG, IG lần lượt đi qua M1, M2, M3 PQ R S G I M1 M2 M3 IXY IYZ IZT ITX IXZIYT I' F E D BA C T O X Y Z Gọi P, Q, R, S, T, U lần lượt là trung điểm của XY, YZ, ZT, TX, XZ, YT => PQ, RS cắt nhau tại G là trung điểm mỗi đường (1) Áp dụng định lý Thales, ta được 'TX YZ SD OI QB SI OI QI  Xét 2 bộ điểm thẳng hàng (S, D, ITX) và (Q, B, IYZ) thỏa TX YZ SD QB SI QI Theo bổ đề ERIQ: E, G, M2 thẳng hàng (2) Tương tự ta có F, G, M1 thẳng hàng và I, G, M3 thẳng hàng Cũng theo bổ đề ERIQ: 2 1 3 ' GE GF GI OI GM GM GM OI   => H(G; ' OI OI ): M2 -> E, M1 -> F, M3 -> I Mà M1, M2 M3 thẳng hàng Nên E, I, F thẳng hàng Nhận xét 1       .cot cot cot .cot cot cot DX ID DXI DXI DAI DT ID DTI DTI DCI   Tương tự ta có:  cot cot BY BAI BZ BCI Mặc khác    ,DAI BAI DCI BCI  Nên DX BYDT BZ Xét 2 bộ điểm thẳng hàng (D, X, T) và (B, Y, Z) thỏa DX BYDT BZ Theo định lý ERIQ thì P, E, R thẳng hàng (3) Từ (1), (2), (3) => P, E, G, R, M2 thẳng hàng. Tương tự ta có S, F, G, Q, M1 thẳng hàng Nhận xét 2: Trong quá trình chứng minh bước 2, bước 3 ta phát hiện kết quả khá đẹp không kém đường thẳng newton sau: Cho tứ giác ABCD, Với mỗi điểm P trong mặt phẳng, dựng , , , , ,PX AB PY BC PZ CD PT DA PU AC PV BD      Khi đó trung điểm XZ, YT, UV thẳng hàng AD6: Cho tứ giác ABCD vừa nội tiếp (O) vừa ngoại tiếp (I). AB ∩ CD = {E}, BC ∩ DA = {F}, IE ∩ BC, DA = {M, N}, IF ∩ AB, CD = {P, Q}. Cmr MPNQ là hình bình hành RS Q P M N E F D C B A I Gọi R, S lần lượt là trung điểm AC, BD Theo định lý Newton: R, S, I thẳng hàng Gọi I' là trung điểm PQ Do IF là tia phân giác  ,AFB CFD và ▲AFB ~ ▲CFD => PA FA FC QCPB FB FD QD   Xét 2 bộ điểm thẳng hàng (A, P, B) và (C, P, D) thỏa PA QCPB QD Theo bổ đề ERIQ: R, S, I' thẳng hàng Vậy I ≡ I' => I là trung điểm PQ Tương tự ta có: I là trung điểm MN => MPNQ là hình bình hành AD7: Cho tam giác ABC. M là một điểm trên đường cao kẻ tứ A. BM ∩ (BC) = {K}, CM ∩ (BC) = {L}. BM ∩ (AMC) = {X}, CM ∩ (AMB) = {Y}. Cmr điểm chia đoạn BC, KL, XY theo cùng một tỉ số thì thẳng hàng. (BC) là đường tròn đường kính BC Y X K L H A B C M Do    CAX CMX BMY BAY   nên  BAX CAY Áp dụng định lý hàm sin, Ta được           sin sin. sin sin sin sin sin. . . . .sin sin sin BK BK BC BCK AMB CL BC CL CBL AMC BX BX BA CA BAX CYA BA ABM BA CY BA CA CY CA CACAY BXA ACM        =>    sin sin: . . . 1sin sin BK BX AMB ACM CA BA CA CL CY BA CA BAABM AMC   => BK BXCL CY Xét 2 bộ điểm thẳng hàng (B, K, X) và (C, L, Y) thỏa BK CLBX CY Theo bổ đề ERIQ: Các điểm chia BC, KL, XY theo cùng tỉ số thì thẳng hàng AD8: Cho tam giác ABC. M là một điểm trên đường cao AD. (D thuộc BC). BM ∩ AC = {E}, CM ∩ AB = {F}. DE ∩ (AB) = {K}, DF ∩ (AC) = {L}. Cmr: đoạn nối trung điểm EF, KL đi qua A Ta chứng minh bài toán qua các bước sau: Bước 1: Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt DE, DF tại X, Y. Chứng minh A là trung điểm XY RS PQ Y X E F D C B A M Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt DE, DF, AC, AB tại P, Q, R, S Ta có: . . . . . . 1MQ MQ DC DB FM MR EB MS MR BCMP DC DB MP FC MS EM BC MS MR    => M là trung điểm PQ => A là trung điểm XY Hơn nữa DA là đường phân giác EDF Bước 2: Chứng minh: Đoạn nối Trung điểm LK, EF đi qua A Y X L K E F D C B A M Do     2 2LAC FDB FDA EDA EDC KAB         nên  BAL CAK và ▲LAC~▲KAB Áp dụng định lý hàm sin và định lý Thales, ta được:   sin sin. . . .sin sin. EK EK ED AK EAK AX AK AX EAK EX ED EX AD CD AC ADEAD FL AL AY FAL FY AB AD      =>  sin: . . 1sin EK FL AK AB AX EAK EX FY AC AL AY FAL  => EK FLEX FY . Xét 2 bộ điểm thẳng hàng (E, K, X) và (F, L, Y) thỏa EK FLEX FY . Theo bổ đề ERIQ: Đoạn nối Trung điểm LK, EF đi qua A AD9 (Viet Nam TST 2009): Cho AB cố định. Với mỗi điểm M không nằm trên AB, tia phân giác trong AMB cắt (AB) tại N, tia phân giác ngoài AMB cắt NA, NB tại P. Q. (NQ) ∩ MA = {M, R}, (NP) ∩ MB = {M, S}. Cmr đường trung tuyến ứng với đỉnh N của ▲NRS luôn đí qua điểm cố định khi M thay đổi. Lời giải 1 (Tác giả) UT F E S R Q P N A B M Đường thẳng vuông góc MN tại N cắt MA, MB tại E, F => N là trung điểm EF Ta chứng minh bài toán qua các bước sau: Bước 1: NQ ∩ MF = {T}, NP ∩ MB = {U}. Chứng minh: ▲TNE ~ ▲TRN, ▲SNF~▲SUN, ▲RQN ~ ▲SPN Do   TNE NQM NRT  => ▲TNE ~ ▲TRN Tương tự, ta có: ▲SNF ~ ▲SUN Ngoài ra:   2NRQ NSP   và    NQR NMR NMS NPS   => ▲RQN ~ ▲SPN Bước 2: Chứng minh đường trung tuyến ứng với đỉnh N của ▲NRS qua trung điểm AB Áp dụng định lý hàm sin, ta được:      .sin .sin .sin .sin .sin .sin AR NR ANR TN NMR AE NE ANE TR ANE BS UN UMR BF US BNF     =>    sin cos: . . . . 1sin cos AR BS TN US BNF QR MNQ QN PN AE BF TR UN PS PN QNANE MNP    => AR BSAE BF . Xét 2 bộ điểm thẳng hàng (A, R, E) và (B, S, F) thỏa AR BSAE BF Theo bổ đề ERIQ: Đường trung tuyến ứng với đỉnh N của ▲NRS qua trung điểm AB, là điểm cố định Lời giải 2 (Bùi Nhựt Minh) IK H S R P Q N A B M Gọi H, K lần lượt là điểm đối xứng của M qua NP, NQ. Khi đó:    ,H NP K NQ  . Do NH=NM=NK, và     2 2.90 180 , ,HNM KNM PNM QNM H N K       Nên N là trung điểm HK () Ta sẽ chứng minh bài toán qua các bước sau: Bước 1: H,A,S thẳng hàng và K,B,R thẳng hàng: Ta có    NHS NMS NMA NHA   => H,A,S thẳng hàng Tương tự ta cũng có. K,B,R thẳng hàng Bước 2: Ta có: : : NSP NHP NRQ NKQ NRQNSP NHP NKQ SAS SAH SBR SBK SSAS BR S SAH BK        Lại có:          2 2 2 2 . ; ; . : 1 NSP NRQ NKQ NMQ NHP NMP S NPNPS NMS NMR NQR NSP NRQ g g S NQ S S NP NKQ NMQ NHP NMP NMQ PMN g gS S NQ AS BR AH BK AS BR AH BK                          Xét 2 bộ điểm thẳng hàng (A, S, H) và (B, R, K) thỏa AS BRAH BK Theo bổ đề ERIQ: Đường trung tuyến ứng với đỉnh N của ▲NRS qua trung điểm AB, là điểm cố định AD10: Cho tam giác ABC. (M, N), (P,Q) lần lượt là hai điểm trên AB, AC thỏa BM CP kBN CQ  Cmr: Các trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm và tâm đường tròn Euler của ▲AMP, ▲ANQ, ▲ABC là các bộ điểm thẳng hàng Ta chứng minh bài toán qua các bước sau: Bước 1: Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm ▲ AMP, ▲ANQ, ▲ABC. Chứng minh G1, G2, G3 thẳng hàng và 3 1 3 2 G G kG G  G3 G2 G1 X3 X2 X1 Q A B C M P N Gọi X1, X2, X3 lần lượt là trung điểm PM, NQ, BC Xét 2 bộ điểm thẳng hàng (B,M,N) và (C,P,Q) thỏa BM CPBN CQ Theo bổ đề ERIQ: X1, X2, X3 thẳng hàng và 3 1 3 2 X X kX X  H(A; 23 ): X1 -> G1, X2 -> G2, X3 -> G3 => G1, G2, G3 thẳng hàng và 3 1 3 2 G G kG G  Bước 2: Gọi O1, O2, O3 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp ▲AMP, ▲ANQ, ▲ABC. Cmr: O1, O2, O3 thẳng hàng và 3 1 3 2 O O kO O  Y3 Y2 Y1 O3 O2 O1 Z3 Z2 Z1 Q CB A M P N Ta có: 3 1 1 3 3 1 3 2 2 3 3 2 Z Z AZ AZ Y YAM AB BM BP Z Z AZ AZ AN AB BN BQ Y Y        => O1, O2, O3 thẳng hàng và 3 1 3 2 O O kO O  Bước 3: Gọi (H1, H2, H3), (N1, N2, N3) lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn Euler của ▲AMP, ▲ANQ, ▲ABC. Chứng minh H1, H2, H3 thẳng hàng và N1, N2, N3 thẳng hàng Từ kết quả đường thẳng Euler, ta được: 3 31 1 2 2 1 1 2 2 3 3 3 31 1 2 2 1 1 2 2 3 3 H GH G H G H O H O H O N GN G N G N O N O N O      Xét 2 bộ điểm thẳng hàng (O3, O1, O2) và (G3, G1, G2) thỏa: 3 1 3 1 3 2 3 2 G G O O kG G O O  Theo bổ đề ERIQ: H1, H2, H3 thẳng hàng và N1, N2, N3 thẳng hàng AD11 (Định lý Froz -Farny mở rộng): Cho hai đường thẳng 1 2   tại trực tâm ▲ABC.  1 ∩ BC, CA, AB = {X1,Y1,Z1},  2∩ BC, CA, AB = {X2, Y2, Z2}. Cmr: Các điểm chia X1X2, Y1Y2, Z1Z2 cùng một tỉ số thì thẳng hàng Ta chứng minh bài toán qua các bước sau: Bước 1: Chứng minh 1 2 1 2 1 2 1 2 HY Z A HX Z B HZ Y A HX Y C    B1 A1 B2 A2 Z2 X1H C A B Y1 Gọi A1, A2, B1, B2 lần lượt hình chiếu A, B lên CB, CA và 1 Dễ thấy ▲HAY1 ~ ▲HB2A1, ▲HBX1 ~ ▲HB1A2 , ▲HAB1 ~ ▲HBA1 Ta có 11 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 . . . .HY HA HB HA HA Z AHY HA HBHX HA HB HX HB HA HB HB Z B    Tương tự ta có: 1 2 1 2 HZ Y A HX Y C Bước 2: Chứng minh 2 1 2 1 Z B Z B Y C Z C X2 Y2Z1 X1 Y1 H A B C Z2 Lấy K, L sao cho HK // AB, HL // AC Ta có 1 2 2 1, , ,HZ HY HZ HY HB HL HK HC    => 1 11 2 2 1 2 2 ( ) ( )BZ CYH BKZ Z H LCY YBZ CY   => 2 1 2 1 Z B Z B Y C Z C Bước 3: Chứng minh các điểm chia X1X2, Y1Y2, Z1Z2 cùng một tỉ số thì thẳng hàng Ta có: 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 11 11 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 . . . ... 1 1 HY Z A X Y HY HX HX Z B Z A Z B Y C Y C YC X YBA BA HZHZ HXX Z Y A Y A Y C Z B CA Z B CA Z B X Z HX Y C             Xét 2 bộ điểm thẳng hàng (X1, Y1, Z1) và (X2, Y2, Z2) thỏa 1 1 2 2 1 1 2 2 X Y X Y X Z X Z Theo bổ đề ERIQ: các điểm chia X1X2, Y1Y2, Z1Z2 cùng một tỉ số thì thẳng hàng AD12: Cho tứ giác ABCD. (GA,GB, GC, GD), (OA,OB, OC, OD), (HA,HB, HC, HD), (NA,NB, NC, ND) lần lượt là trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm, tâm đường tròn Euler của ▲BCD, ▲CDA, ▲DAB, ▲ABC. Chứng minh rằng giao điểm hai đường chéo của các tứ giác GAGBGCGD, OAOBOCOD, HAHBHCHD, NANBNCND thẳng hàng và chúng lập thành một hàng điểm điều hòa Sau đây là các bước chứng minh, lời giải chi tiết xin dành cho bạn đọc Ta chứng minh bài toán qua các bước sau: Bước 1: Gọi P, G là giao điểm 2 đường chéo của ABCD, GAGBGCGD Chứng minh A C GG PA GG PC và B D GG PB GG PD M G PGC GB GA GD B CD A Gọi M là trung điểm CD Ta có: 13 A BMG MG MB MA  => GAGB // AB Tương tự ta có GBGC // BC, GCGD // CD, GDGA // DA. Vậy tứ giác ABCD, GAGBGCGD đồng dạng với nhau => A C GG PA GG PC và B D GG PB GG PD Bước 2: Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của OAOBOCOD. Chứng minh A C OO PA OO PC và B D OO PB OO PD OP OCOB OA OD B CD A Ta có: ▲OOAOD ~ ▲PBC, ▲OOCOD ~ ▲PAB => . .A A D C C D OO OO OOPB PA PA OO PB OO PC OO PC   Tương tự ta có B D OO PB OO PD Như vậy A A C C GG OO PA GG OO PB  và B B D D GG OO PB GG OO PD  Bước 3: Gọi H, N là giao điểm 2 đường chéo của HAHBHCHD, NANBNCND.Chứng minh, O, G, N, H thẳng hàng và chúng lập thành hàng điểm điều hòa HG O P HC HB HA HD OCOB OA OD GC GB GA GD A D C B Theo định lý Euler: GX, OX, HX thẳng thẳng hàng, với { , , , }X A B C D OG ∩ HAHC, HBHD = {H1, H2} Xét 2 bộ điểm thẳng hàng (GA, OA, HA) và (GC, OC, HC) thỏa 12 C CA A A A C C G OG O G H G H  Theo bổ đề ERIQ: 1 1 2 GO GH  Tương tự ta có: 2 1 2 GO GH  => H1 ≡ H2 ≡ H Vậy G, H, O thẳng hàng Tương tự, ta có: G, O, N thẳng hàng Và do (GXHXOXNX) = - 1 nên (GHON) = -1 Qua 12 bài toán áp dụng bổ đề ERIQ, hẳn các bạn phần nào thấy được ứng dụng rộng rãi của nó trong các bài toán hình học: từ chứng minh các điểm thẳng hàng đến các bài tính toán tỉ số Bài viết không tránh khỏi những thiếu sót, mong các bạn bỏ qua !