Vận dụng điều kiện đồng phẳng của ba vectơ

Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 VẬN DỤNG ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ Đỗ Đường Hiếu Trường THPT Tống Duy Tân Tóm tắt nội dung Sử dụng kiến thức hình học trong chương trình Hình học 11 - THPT liên quan đến điều kiện đồng phẳng của ba vectơ, cho phép khảo sat được một số dạng toán liên quan ưu việt hơn các phương pháp đã biết. 1 Mở đầu Trong chương trình Hình học 11 - THPT, học sinh được cung cấp kiến thức liên quan đến điều kiện đồng phẳng của ba vectơ, bao gồm những nội dung sau Tính chất 1.1. Trong không gian cho hai vectơ −→a ,−→b không cùng phương và vectơ −→c . Khi đó ba vectơ ba vectơ −→a , −→b , −→c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho −→c = m−→a + n−→b . Ngoài ra cặp số m, n là duy nhất. Tính chất 1.2. Nếu −→a , −→b , −→c là ba vectơ không đồng phẳng thì với mỗi vectơ −→d , ta tìm được các số m, n, p sao cho −→ d = m−→a + n−→b + p−→c . Hơn nữa, các số m, n, p là duy nhất. Từ hai tính chất trên, dễ dàng chứng minh được tính chất sau Tính chất 1.3. Trong không gian cho tam giác ABC. a) Nếu điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) thì có ba số x,y,z mà x+ y+ z = 1 sao cho−−→ OM = x −→ OA+ y −→ OB+ z −→ OC với mọi điểm O. b) Ngược lại, nếu có một điểmO trong không gian sao cho −−→ OM = x −→ OA+ y −→ OB+ z −→ OC, trong đó x+ y+ z = 1 thì điểm M thuộc mặt phẳng (ABC). Sử dụng các tính chất trên, ta giải quyết được một số dạng toán liên quan mà nếu sử dụng phương pháp khác sẽ khó khăn hơn. Trong khuôn khổ bài viết, tôi đưa ra một số dạng toán sau đây. 2 Xác định vị trí của một điểm Ví dụ 2.1. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi M là một điểm trên cạnh ADsao cho AM = 1 4 AD. Xác định điểm N trên đường thẳng BD, điểm P trên đường thẳng CC′ sao 1 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 cho ba điểm M, N, P thẳng hàng. Lời giải. Đặt −→ AB = −→a , −→AD = −→b và −−→AA′ = −→c . Khi đó ba vectơ −→a , −→b , −→c là ba vectơ không đồng phẳng. Từ M là một điểm trên cạnh ADsao cho AM = 1 4 AD, ta có −−→ AM = 1 4 −→ AD = 1 4 −→ b . Giả sử −→ BN = x −−→ BD′, −→ CP = y −→ CC′. Khi đó −→ BN = x −−→ BD′ ⇔ −→AN −−→AB = x (−→ AD+ −−→ AA′ −−→AB ) ⇔ −→AN = (1− x)−→a + x−→b + x−→c . −→ CP = y −→ CC′ ⇔ −→AP−−→AC = y−−→AA′ Từ đó −−→ MN = −→ AN −−−→AM = (1− x)−→a + ( x− 1 4 )−→ b + x−→c . −→ MP = −→ AP−−−→AM = −→a + 3 4 −→ b + y−→c . Để ba điểm M, N, P thẳng hàng thẳng hàng thì phải tồn tại số k ∈ R sao cho −−→MN = k −→ MP. Do đó (1− x)−→a + ( x− 1 4 )−→ b + x−→c = k [ −→a + 3 4 −→ b + y−→c ] ⇔ (1− x− k)−→a + ( x− 1 4 − 3k 4 )−→ b + (x− ky)−→c = −→0 . Suy ra  1− x− k = 0 x− 1 4 − 3k 4 = 0 x− ky = 0 2 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 ⇔  k = 3 7 x = 4 7 y = 4 3 . Như vậy, điểm N và điểm P được xác định bởi −→ BN = 4 7 −−→ BD′, −→ CP = 4 3 −→ CC′. Ví dụ 2.2. Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Hãy tìm điểm M trên đường chéo BD của mặt ABCD và điểm N trên đường chéo CD1 của mặt bên CDD1C1 sao cho MN ‖ AC1. Lời giải. Đặt −→ AB = −→a , −→AD = −→b , −−→AA1 = −→c . Tacó −−→AC1 = −→a +−→b +−→c . Để MN ‖ AC1 thì phải ∃k ∈ R∗ : −−→MN = k−−→AC1 hay −−→ MN = k−→a + k−→b + k−→c . (1) Mặt khác −−→ MN = −→ MB+ −→ BC+ −→ CN = n −→ DB+ −→ BC+m −−→ CD1 = n(−→a −−→b ) +−→b +m(−→c −−→a ) = (n−m)−→a + (1− n)−→b +m−→c . (2) Từ (1) và (2) ta suy ra  n−m = k 1− n = k m = k ⇔  k = 1 3 m = 1 3 n = 2 3 Vậy với −→ MB = 2 3 −→ DB và −→ CN = 1 3 −−→ CD1 thì MN ‖ AC1. 3 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 3 Tính tỉ số giữa các đoạn thẳng Ví dụ 3.1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ biết AB = a, AD = 2a, AA = 2a. M là trung điểm của AB. Cho P thuộc đường thẳngAC, Qthuộc đường thẳng C′D thỏa mãn PQ song song với MC′. Tính tỉ số PA PC . Lời giải. Đặt −→ AB = −→a , −→AD = −→b , −−→AA′ = −→c . Giả sử −→ AP = x. −→ AC; −→ DQ = y. −−→ DC′. Ta có −→ PQ = −→ PA+ −→ AD+ −→ DQ = −x−→AC+−→AD+ y.−−→DC′ = (y− x)−→a + (1− x)−→b + y−→c . −−→ MC′ = −→ MB+ −→ BC+ −→ CC′ = 1 2 −→a +−→b +−→c Do PQ song song vớiMC′ nên −→ PQ = z. −−→ MC′ ⇔ (y− x)−→a + (1− x)−→b + y−→c = z ( 1 2 −→a +−→b +−→c ) ⇔ ( y− x− z 2 )−→a + (1− x− z)−→b + (y− z)−→c = −→0 ⇔  y− x− z 2 = 0 1− x− z = 0 y− z = 0 ⇔ x = 1 3 , y = z = 2 3 / Từ đó ta có −→ AP = 1 3 −→ AC ⇒ PA PC = 1 2 . Ví dụ 3.2. (Trích Đề minh họa đề thi HSG lớp 11 - NhómToán THPT Thanh Hóa, năm học 2018-2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Các điểm A′, C′ thỏa mãn −→ SA′ = 1 3 −→ SA, −→ SC′ = 1 2019 −→ SC. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng A′C′ và 4 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 cắt các cạnh SB,SD lần lượt tại B′, D′( B′,D′ không trùng với S). Tính giá trị biểu thức T = SB SB′ + SD SD′ . Lời giải. Đặt −→ SB′ = x. −→ SB, −→ SD′ = y. −→ SD (x, y > 0), khi đó T = 1 x + 1 y . Ta có −→ AD = −→ BC ⇔ −→SD−−→SA = −→SC−−→SB ⇔ −→SA = −→SB+−→SD−−→SC ⇔ 3.−→SA′ = 1 x −→ SB′ + 1 y −→ SD′ − 2019.−→SC′ ⇔ −→SA′ = 1 3x −→ SB′ + 1 3y −→ SD′ − 2019 3 . −→ SC′. Do 4 điểm A′, B′, C′, D′ đồng phẳng nên ta có 1 = 1 3x + 1 3y − 2019 3 , suy ra T = 1 x + 1 y = 2022. 4 Chứng minh đẳng thức Ví dụ 4.1 (Trích Đề thi khảo sát đội tuyển HSG lớp 11 - THPT Triệu Sơn 2). Cho hình chóp S.ABCD. GọiE là giao điểm của AB và CD, F là giao điểm của AD và BC. Mặt phẳng (α) không qua S, song song với mặt phẳng (SEF) và cắt các cạnh SA, SB, SC, SD của hình chóp lần lượt tại M, N, P, Q. Chứng minh rằng SM SA + SP SC = SN SB + SQ SD . Lời giải. 5 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 (α) ‖ (SEF), (α) ∩ (SAB) = MN, (SEF) ∩ (SAB) = SE nên suy ra MN ‖ SE. (α) ‖ (SEF), (α) ∩ (SAD) = MQ, (SEF) ∩ (SAD) = SF nên suy ra MQ ‖ SF. (α) ‖ (SEF), (α) ∩ (SBC) = NP, (SEF) ∩ (SBC) = SF nên suy ra NP ‖ SF. (α) ‖ (SEF) , (α) ∩ (SCD) = PQ, (SEF) ∩ (SCD) = SE nên suy ra PQ ‖ SE. Vậy MNPQ là hình bình hành. Suy ra −→ SM+ −→ SP = −→ SN + −→ SQ⇔ SM SA −→ SA+ SP SC −→ SC = SN SB −→ SB+ SQ SD −→ SD ⇔ SM SA −→ SA = −SP SC −→ SC+ SN SB −→ SB+ SQ SD −→ SD ⇔ −→SA = SA SM ( −SP SC −→ SC+ SN SB −→ SB+ SQ SD −→ SD ) Vì bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng nên ta có SA SM ( −SP SC + SN SB + SQ SD ) = 1 ⇔ −SP SC + SN SB + SQ SD = SM SA ⇔ SM SA + SP SC = SN SB + SQ SD . 5 Chứng minh quan hệ song song trong không gian Ví dụ 5.1 (Trích Đề thi HSG lớp 11, bảng A, tỉnh Nghệ An, năm học 2016-2017). Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1, trên các đoạn AC1 và BC1 lần lượt lấy các điểm P và Q sao cho AP = 2PB1, C1Q = 2QB. Chứng minh rằng đường thẳng PQ song song với mặt 6 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 phẳng (ACC1). 6 Bài toán cực trị hình học Ví dụ 6.1 (Trích Đề thi chọn HSG lớp 11 - tỉnh Thanh Hóa, năm học 2018-2019). Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Một mặt phẳng không qua S cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tạiM,N, P,Q thỏa mãn SA = 2SM, SC = 2SP. Tính tỉ số SP SN khi biểu thức T = ( SB SN )2 + 4 (SD SQ )2 đạt giá trị nhỏ nhất. 7 Bài tập áp dụng Bài 7.1. Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1. Trên các đoạn thẳng AD1 và C1D lần lượt lấy hai điểm M,N sao cho đường thẳng MN song song với đường thẳng nối tâm của hình bình hành ABB1A1 và trung điểm của cạnh BC. Tính tỷ số MN A1C . Bài 7.2. Cho tứ diện SsABC. Hai điểm I, J thứ tự chuyển động trên AB, AC sao cho AB AI + AC AJ = 3. Chứng minh rằng mặt phẳng (SI J) luôn đi qua một đường thẳng cố định. Bài 7.3. Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1. Gọi MM,N là các điểm thỏa mãn MA = −1 4 MD, NA1 = −23NC. Chứngminh đường thẳngMN song song với mặt phẳng BC1D. 7 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 Bài 7.4. Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có cạnh bằng 1. Gọi G là trung điểm của BD1. Mặt phẳng (P) thay đổi luôn đi qua điểm G cắt các đoạn thẳng AD1, CD1, D1B1 tương ứng tại H,K, I. Chứng minh rằng 1 D1 I + 1 D1K + 1 D1H = 2 √ 2. 8