Bài giảng Xác suất thống kê - Phan Trung Hiếu

1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN -----------------O0O----------------- Bài giảng XÁC SUẤT THỐNG KÊ Giảng viên: Phan Trung Hiếu Mail: [email protected] Facebook: Hieu Pt Lưu hành nội bộ 3/2015 MỤC LỤC Trang CHƯƠNG 0. ĐẠI CƯƠNG VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP....1 I. Tập hợp....2 II. Các phép toán tập hợp....3 III. Các tính chất..5 IV. Các quy tắc đếm....5 V. Giải tích tổ hợp.......6 VI. Một vài ví dụ tổng hợp......7 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT........9 I. Hiện tương ngẫu nhiên.....9 II. Phép toán trên các biến cố........10 III. Quan hệ giữa các biến cố........11 IV. Các tính chất của biến cố .......13 V. Nhóm đầy đủ các biến cố.....13 VI. Định nghĩa xác suất.....14 VII. Các công thức tính xác suất...18 CHƯƠNG 2. BIẾN NGẪU NHIÊN.22 I. Định nghĩa.....22 II. Biến ngẫu nhiên rời rạc........22 III. Biến ngẫu nhiên liên tục......23 IV. Hàm phân phối (tích lũy)........24 V. Các tham số đặc trưng......26 VI. Định nghĩa biến ngẫu nhiên n chiều...30 VII. Biến ngẫu nhiên 2 chiều rời rạc.....30 VIII. Biến ngẫu nhiên 2 chiều liên tục..33 IX. Hàm của các biến ngẫu nhiên.....33 X. Các tham số đặc trưng khác.....35 CHƯƠNG 3. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT...37 I. Phân phối nhị thức B(n,p)..37 II. Phân phối siêu bội H(N,M,n)........39 III. Liên hệ giữa B(n,p) và H(N,M,n)........40 IV. Phân phối Poisson P( ).............40 V. Liên hệ giữa B(n,p) và P( ) ......41 VI. Phân phối chuẩn N( 2,  )......42 VII. Liên hệ giữa B(n,p) và N( 2,  )...43 VIII. Phân phối đều U(a,b)...44 IX. Phân mối mũ E( ).45 CHƯƠNG 4. LÝ THUYẾT MẪU & ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ..46 I. Tổng thể và mẫu....46 II. Các đặc trưng của tổng thể.... ..........46 III. Các đặc trưng của mẫu........46 IV. Lý thuyết ước lượng.......49 V. Ước lượng điểm.......49 VI. Ước lượng khoảng..49 VII. Ước lượng trung bình của tổng thể....50 VIII. Ước lượng tỉ lệ của tổng thể.....51 IX. Ước lượng phương sai của tổng thể....53 X. Các bài toán liên quan đến ước lượng trung bình....53 XI. Các bài toán liên quan đến ước lượng tỉ lệ.....53 CHƯƠNG 5. KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ..55 I. Các khái niệm........55 II. Các loại sai lầm trong kiểm định......56 III. Kiểm định tham số..............56 IV. So sánh trung bình với một số........57 V. So sánh tỉ lệ với một số....59 VI. So sánh hai trung bình60 VII. So sánh hai tỉ lệ..61 DẠNG BÀI THỐNG KÊ.......63 BÀI TẬP CHƯƠNG 0.......72 BÀI TẬP CHƯƠNG 1.......77 BÀI TẬP CHƯƠNG 2.......86 BÀI TẬP CHƯƠNG 3.......96 BÀI TẬP CHƯƠNG 4.....103 BÀI TẬP CHƯƠNG 5.....104 CÁC BẢNG SỐ THÔNG DỤNG.......107 TÀI LIỆU THAM KHẢO...........120 3/4/2015 LOG O XÁC SUẤT THỐNG KÊ Giảng viên: Phan Trung Hiếu 45 tiết 2 Kiểm tra, đánh giá kết quả: -Điểm chuyên cần (hệ số 0.1): Dự lớp đầy đủ: 10 điểm Vắng 1 buổi không phép: trừ 1 điểm. Chỉ duy nhất 1 lần có phép. -Bài kiểm tra giữa kì (hệ số 0.3): Tự luận, không được sử dụng tài liệu. -Bài kiểm tra cuối kì (hệ số 0.6): Tự luận, không được sử dụng tài liệu. 3 Nội dung: Chương 0: Đại cương về Giải tích tổ hợp. Chương 1: Đại cương về Xác suất. Chương 2: Biến ngẫu nhiên. Chương 3: Một số phân phối xác suất quan trọng. Chương 4: Lý thuyết mẫu và ước lượng tham số. Chương 5: Kiểm định giả thuyết thống kê. 4 Tài liệu học tập: [1] Bài giảng trên lớp. [2] Lê Sĩ Đồng, Xác suất thống kê và ứng dụng, NXB GD Việt Nam, 2011. [3] Lê Sĩ Đồng, Bài tập Xác suất-thống kê ứng dụng, NXB GD Việt Nam, 2011. [4] Phạm Hoàng Quân-Đinh Ngọc Thanh, Xác suất thống kê, NXB GD Việt Nam,2011. Các tài liệu tham khảo khác. 5 Dụng cụ hỗ trợ học tập: Máy tính FX 500MS, FX 570MS, FX 570ES, FX 570ES Plus. LOG O Chương 0: ĐẠI CƯƠNG VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP Giảng viên: Phan Trung Hiếu 1 3/4/2015 7 -Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy, không có định nghĩa. I. Tập hợp: -Sự gom góp một số đối tượng lại với nhau cho ta hình ảnh của tập hợp. Các đối tượng này trở thành phần tử của tập hợp. Ví dụ: Tập hợp các sinh viên đang học trong giờ môn XSTK tại phòng A . 1.1. Khái niệm: 8 ▪ Tập hợp: A, B, C,,X, Y, Z, 1.2. Ký hiệu: ▪ Phần tử: a, b, c,,x, y, z, ▪ x là một phần tử của tập hợp A: ▪ x không là một phần tử của tập hợp A: x A x A ▪ : số phần tử của tập hợp A.A 9  Liệt kê: dùng khi số phần tử là hữu hạn (đếm được, thấy được cụ thể) 1.3. Các phương pháp xác định tập hợp: Ví dụ 1:  A  2, 3, 4, 5 3 A 5 A 0 A   Tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 1 và bé hơn 6: A  4 10 Ví dụ 2: Tập hợp các số tự nhiên bé hơn 1000:  B  0,1, 2, , 997, 998, 999 Chú ý: Phương pháp liệt kê - Không quan tâm thứ tự liệt kê. - Mỗi phần tử chỉ được liệt kê 1 lần, không lặp lại. 500 B B 1000 11 Trưng tính: - Nêu bật tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp. - Hay dùng khi số phần tử là vô hạn. Ví dụ 1: Tập hợp các số tự nhiên chẵn:  A  x x và 2x  10 A 101 A 4 A   12 Ví dụ 2: B = { x | x là sinh viên đang học môn XSTK tại phòng A..}  Giản đồ Venn: là một đường cong khép kín, không tự cắt. A 2 3 4 5 73 A 7 A   Ví dụ 1:  2,3,4,5A  2 3/4/2015 13 Ví dụ 2: Một tổ 10 người sẽ được chơi hai môn thể thao là cầu lông và bóng bàn. Có 5 bạn đăng ký chơi cầu lông, 4 bạn đăng ký chơi bóng bàn, 2 bạn đăng ký chơi cả hai môn. Hỏi có bao nhiêu bạn đăng ký chơi thể thao? Bao nhiêu bạn không đăng ký chơi thể thao. 2CL BB3 2 7 bạn đăng ký 3 bạn không đăng ký 14 1.4. Tập hợp con: A B B A A là tập con của B, ký hiệu: A chứa trong B B chứa A A B A B x A x B     I. Tập hợp: 15 Ví dụ: {1, 2, 3, 5, 7}A  {1, 2, 8}C  {1, 5}B  C A B A   16 1.5. Tập hợp rỗng:  -Là tập hợp không chứa một phần tử nào. Ví dụ 1: A = { x | x là sinh viên đang học trong phòng A. mà có số tuổi lớn hơn 80} A  Ví dụ 2:  B  x x và 2 1x   B  Quy ước: là tập con của mọi tập hợp. Chú ý: là tập tất cả các tập con của X.( )X ( )X { }.A A X  ( ) 2 ,nX  n: số phần tử của X. 17 1.6. Tập hợp bằng nhau: A B A B B A      II. Các phép toán tập hợp: 18 2.1. Phép giao:  |A B x x A x B  và A B A B A B A B    (A và B rời nhau) 3 3/4/2015 19 2.2. Phép hợp:  |A B x x A x B  hay A B A B II. Các phép toán tập hợp: Ví dụ: {1, 2, 3, 4}A  {3, 4, 5, 6, 7}B  {2, 8, 9}C  A B {3, 4} A C  B C  A B  A C  B C  {2}  {1,2,3,4,5,6,7} {1,2,3,4,8,9} {2,3,4,5,6,7,8,9} 20 2.3. Phép lấy hiệu:  |\A B x x A x B  và A B \A B 21 II. Các phép toán tập hợp: Ví dụ: {1, 2, 3, 4}A  {3, 4, 5, 6, 7}B  {6, 7, 8, 9}C  \A B {1, 2} \A C  \C A  \A A  \B   A C  \C B {8, 9} B 22 2.4. Phép lấy bù:  |A x X x A   A A X Nhận xét: A A   A A  X 23 II. Các phép toán tập hợp: 24 Ví dụ: Cho X là tập hợp tất cả các số nguyên dương, A là tập hợp các số nguyên dương lớn hơn 10. Hỏi ?A  X  Giải A   |A x X x A    1, 2, 3, 4,...,10 {1, 2, 3, 4, 5,....} {11, 12, 13, 14, 15,....} 4 3/4/2015 III. Các tính chất: 3.1. Phân phối:      A B C A B A C           A B C A B A C      3.2. De Morgan: A B A B   A B A B   3.3: X A A B B A B A    B B A B A    IV. Quy tắc đếm: 26 4.1. Quy tắc cộng: Công việc Phương án (Trường hợp) 1 cách 2 cách   k cách 1 2 ...   kn n n cách thực hiện 1n 2n  kn 27 Ví dụ 1: Có 4 quần Jean và 3 quần tây. Hỏi có mấy cách chọn 1 quần để mặc? Giải TH1: Chọn 1 quần Jean từ 4 quần Jean: TH2: Chọn 1 quần tây từ 3 quần tây: Vậy có: 4 + 3 = 7 cách. 4 cách. 3 cách. Ví dụ 2: Có 10 quyển sách Toán khác nhau, 8 quyển sách Lý khác nhau, 6 quyển sách Hóa khác nhau. Một học sinh được chọn 1 quyển. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. 10 + 8 + 6 = 24 cách. 28 4.2. Quy tắc nhân: Công việc Bước 1 cách 2 cách   k cách 1 2 ...   kn n n cách thực hiện 1n 2n  kn 29 Ví dụ 1: Có 4 quần Jean khác nhau và 3 áo sơ mi khác nhau. Hỏi có mấy cách chọn 1 bộ đồ để mặc? Giải Bước 1: Chọn 1 quần Jean từ 4 quần Jean: Bước 2: Chọn 1 áo sơ mi từ 3 áo sơ mi: Vậy có: 4 3 12  4 cách. 3 cách. cách. 30 Ví dụ 2: Một trường phổ thông có 12 học sinh chuyên Tin và 18 học sinh chuyên Toán. Nhà trường muốn thành lập một đoàn gồm 2 người dự hội nghị sao cho có 1 học sinh chuyên Tin và 1 học sinh chuyên Toán. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn như trên? 12 18 216  cách. 5 3/4/2015 31 Tóm lại: -Khi thực hiện một công việc có nhiều phương án, mỗi phương án ta đều thực hiện được xong công việc. Khi đó, ta dùng quy tắc cộng. -Khi thực hiện một công việc mà phải trải qua nhiều bước mới xong công việc, thì ta dùng quy tắc nhân. 32 5.1. Hoán vị: !n n vật khác nhau xếp vào n chỗ khác cách. Ví dụ: Có bao nhiêu cách xếp 3 người vào a) Một bàn dài có 3 chỗ ngồi. b) Một bàn tròn có 3 chỗ ngồi: c) Một bàn tròn có 3 chỗ ngồi có đánh số: 3! 6 cách nhau theo một thứ tự nhất định 2! 2 cách 3! 6 cách V. Giải tích tổ hợp: 33 5.2. Tổ hợp ( ):k nC Từ n vật khác nhau, bốc (chọn) ra k vật. ! !( )!   k n n C k n k cách. Ví dụ 1: Một lớp học có 40 người. Có bao nhiêu cách chọn ra 3 người để cử đi họp. 3 40 C 9880 cách. Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách rút ra 3 lá bài từ bộ bài 52 lá? 3 52 C 22100 cách. (0 ; , )k n k n   34 5.3. Chỉnh hợp: Từ n vật khác nhau, bốc (chọn) ra k vật rồi rồi xếp vào k chỗ khác nhau knXếp có lặp lại, có hoàn lại cách. Xếp không lặp lại, không hoàn lại ! ( )!   k n n A n k cách. (0 ; , )k n k n   Nhận xét: . !k kn nA C k 35 Ví dụ 1: Một lớp học có 40 người. Có bao nhiêu cách lập một ban cán sự lớp gồm: Lớp trưởng, lớp phó học tập, lớp phó phong trào nếu: a) 1 ứng cử viên có thể phụ trách cùng lúc nhiều chức danh? b) 1 ứng cử viên chỉ được phép phụ trách 1 chức danh? 340 64000 cách. 3 40 59280A cách. 36 Ví dụ 2: Có mấy cách chọn ngẫu nhiên 2 người, một người lau bảng, một người quét lớp cho một buổi trực nhật từ một tổ có 5 người? 2 5 20A cách. 3 5A cách. Ví dụ 3: Có 5 bức tranh khác nhau. Hỏi có mấy cách: a) Lấy ra 3 bức để treo lên tường? b) Lấy ra 3 bức và treo lên 3 vị trí định sẵn trên tường? 3 5C cách. 6 3/4/2015 VI. Một vài ví dụ tổng hợp: 37 Ví dụ 1: Xếp ngẫu nhiên 5 sinh viên A, B, C, D, E vào 1 chiếc ghế dài có 5 chỗ. Có bao nhiêu cách xếp: a) Năm người vào ghế? b) Sao cho C ngồi chính giữa? c) Sao cho A, B ngồi hai đầu ghế? Giải 5! cách.a) Xếp 5 SV vào 5 chỗ: 1 cách.b) B1: Xếp C ngồi chính giữa: B2: Xếp 4 SV còn lại vào 4 chỗ còn lại: 4! cách. Vậy có: 4! cách. 2!cách.c) B1: Xếp A, B ngồi hai đầu ghế: B2: Xếp 3 SV còn lại vào 3 chỗ còn lại: 3!cách. Vậy có: 2! 3! cách. 38 Ví dụ 2: Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 4 sách Văn, 2 sách Toán, 6 sách Anh văn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các cuốn sách lên một kệ dài nếu các cuốn cùng môn được sắp kề nhau. Giải Hoán vị 4 sách Văn với nhau: 4! cách. Hoán vị 2 sách Toán với nhau: 2! cách. Hoán vị 6 sách Anh văn với nhau: 6! cách. Hoán vị 3 nhóm sách của 3 môn với nhau: 3! cách. Vậy có: 4! 2! 6! 3!   cách. 39 Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách chia 10 người thành 3 nhóm: nhóm 1 có 4 người, nhóm 2 có 3 người, nhóm 3 có 3 người? Giải B1:Chọn 4 người từ 10 người để lập nhóm 1: B2:Chọn 3 người từ 6 người để lập nhóm 2: B3:Chọn 3 người từ 3 người còn lại để lập nhóm 3: 4 10C cách. 3 6C cách. 3 3C cách. Vậy có: 4 10.C 3 6 .C 3 3C cách. 40 Ví dụ 4: Trong một bình có 4 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy ra 2 bi. Có bao nhiêu cách để 2 bi lấy ra cùng màu? Giải TH1: Lấy được 2 bi đỏ từ 4 bi đỏ: 2 4C cách. Vậy có: cách. TH2: Lấy được 2 bi xanh từ 3 bi xanh: 23C cách. 2 4C  2 3C 41 Ví dụ 5: Từ 7 nam và 4 nữ, có bao nhiêu cách chọn ra 6 người trong đó: a) có 3 nam và 3 nữ. b) có đúng 2 nữ. c) có ít nhất 2 nữ. d) có nhiều nhất 2 nữ. e) có không quá 1 nữ. Giải a) B1:Chọn 3 nam từ 7 nam: Vậy có: 3 3 7 4.C C 3 7C cách. B2:Chọn 3 nữ từ 4 nữ: 3 4C cách. cách. b) B1:Chọn 2 nữ từ 4 nữ: Vậy có: 2 4 4 7.C C 2 4C cách. B2:Chọn 4 nam từ 7 nam: 4 7C cách. cách. 42 c) có ít nhất 2 nữ ( 2 TH1: chọn 2 nữ và 4 nam: Vậy có: 2 4 3 3 4 24 7 4 7 4 7. . .C C C C C C  TH2: chọn 3 nữ và 3 nam: cách. 2 4 4 7.C C cách. 3 3 4 7.C C cách. TH3: chọn 4 nữ và 2 nam: 4 2 4 7.C C cách. d) có nhiều nhất 2 nữ ( 2 TH1: chọn 6 nam: Vậy có: 6 1 5 2 47 4 7 4 7. .C C C C C  TH2: chọn 1 nữ và 5 nam: cách. 6 7C cách. 1 5 4 7.C C cách. TH3: chọn 2 nữ và 4 nam: 2 4 4 7.C C cách. e) có không quá 1 nữ ( 1 TH1: chọn 6 nam: Vậy có: 6 1 5 7 4 7.C C C TH2: chọn 1 nữ và 5 nam: cách. 6 7C cách. 1 5 4 7.C C cách. nữ) nữ) nữ) 7 3/4/2015 43 Ví dụ 6: Trong một bình có 4 bi đỏ, 5 bi trắng, 6 bi vàng. Lấy ra 4 bi. Có bao nhiêu cách để số bi lấy ra không đủ 3 màu? Giải Lấy 4 bi trong 15 bi: 4 15C cách. TH1: Lấy được 1 Đ, 1 T, 2 V: 1 4 .C cách. 1 5.C 2 6C TH2: Lấy được 1 Đ, 2 T, 1 V: 1 4 .C cách. 2 5 .C 1 6C TH3: Lấy được 2 Đ, 1 T, 1 V: 2 4 .C cách. 1 5.C 1 6C Có: 1 1 2 1 2 1 2 1 14 5 6 4 5 6 4 5 6. . . . . .C C C C C C C C C  cách để số bi lấy ra có đủ cả 3 màu. Số cách để 4 bi lấy ra có đủ 3 màu: Vậy có: 4 15C  1 4.C 1 5 .C 2 6C  1 4.C 2 5 .C 1 6C  2 4 .C 1 5.C 1 6C  cách thỏa yêu cầu.645 44 Ví dụ 7: Có 10 cuốn sách khác nhau và 7 cây bút máy khác nhau. Cần chọn ra 3 cuốn sách và 3 cây bút máy để tặng cho 3 sinh viên, mỗi em một cuốn sách và một cây bút máy. Hỏi có mấy cách? Giải B1: Chọn 3 trong 10 cuốn sách để tặng cho 3 em: B2: Chọn 3 trong 7 cây bút để tặng cho 3 em: 3 10A cách. 3 7A cách. Vậy có: 3 10.A 3 7A cách. 45 Ví dụ 8: Một lớp học có 30 sinh viên trong đó có 20 nam. Có bao nhiêu cách chọn ra một ban cán sự lớp gồm: 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 ủy viên học tập, 1 ủy viên đời sống nếu: a) Chọn bất kỳ. b) Lớp trưởng là nữ. c) Có đúng 1 nam. d) Toàn là nữ. e) Có ít nhất 1 nam. 4 30A cách. 3 2910.A cách. 3 1020. .4!C cách. 4 10A cách. 4 4 30 10A A cách. 8 3/4/2015 LOG O Chương 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT Giảng viên: Phan Trung Hiếu 2 Hiện tượng tất định: I. Hiện tượng ngẫu nhiên: Hiện tượng ngẫu nhiên: là những hiện tượng mà khi thực hiện trong cùng một điều kiện như nhau sẽ cho kết quả như nhau. là những hiện tượng mà dù được thực hiện trong cùng một điều kiện như nhau vẫn có thể cho nhiều kết quả khác nhau. biết trước kết quả sẽ xảy ra không biết trước được kết quả sẽ xảy ra 3 -Hiện tượng ngẫu nhiên là đối tượng khảo sát của lý thuyết xác suất. -Mỗi lần cho xuất hiện một hiện tượng ngẫu nhiên được gọi là “thực hiện một phép thử”. 1.1. Phép thử (T ): sát hiện tượng nào đó mà kết quả của nó không thể dự đoán trước được. thí nghiệm, phép đo, sự quan Ví dụ: T: tung một con súc sắc T: mua 1 tờ vé số T: quan sát tình trạng hoạt động của một máy 4 kết quả có thể xảy ra của phép thử. 1.2. Không gian mẫu ( ):    Tập hợp tất cả các Ví dụ 1: T: tung một con súc sắc▪ {1, 2,3, 4,5,6} | | 6.   T: tung một đồng xu▪  { , }S N | | 2.   T: tung hai đồng xu ▪  { , , , }SS SN NS NN | | 4.   Ví dụ 2: T: tung 2 con súc sắc▪ | |  6 6 36.  5 Ví dụ 3: ▪ Một hộp có 6 bi trắng và 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi. T: Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi từ 10 bi | |   2 10 45.C Ví dụ 4: ▪ Một kho có 50 sản phẩm. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ kho. | |   1 50 50.C T: Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ 50 sản phẩm 6 1.3. Biến cố: là tập con của không gian mẫu. Thường được ký hiệu là A, B, C, Ví dụ 1: T: tung một con súc sắc   A: “Súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm”  A {2, 4,6} | | 3. A Khi nào biến cố A xảy ra? Nếu kết quả của phép thử là một phần tử của biến cố A thì ta nói biến cố A xảy ra. {1, 2,3,4,5,6}. 9 3/4/2015 7 Ví dụ 2: Một hộp có 6 bi trắng và 4 bi đỏ. T: Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi | |   2 10 45.C A: “Lấy được 2 bi đỏ” | | A 2 4 6. C B: “Lấy được 2 bi khác màu” Số cách lấy được 2 bi đỏ | | B 1 1 6 4 24.C C Chú ý:  : biến cố chắc chắn (luôn luôn xảy ra).  : biến cố không thể (không bao giờ xảy ra). A    A 8 Ví dụ 3: T: tung một con súc sắc A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số chấm không vượt quá 6” B: “Súc sắc xuất hiện mặt 7 chấm”  A {1, 2,3, 4,5,6} .   B .  {1,2,3, 4,5,6}. 9 2.1. Quan hệ kéo theo: A B  A xảy ra thì suy ra B xảy ra : biến cố A kéo theo biến cố B A B A B  II. Phép toán trên các biến cố: 10 Ví dụ: Theo dõi 3 con gà mái đẻ trứng trong một ngày. “Có 1 con gà đẻ trứng trong một ngày”1 :D “Có 2 con gà đẻ trứng trong một ngày”2 :D “Có 3 con gà đẻ trứng trong một ngày”3 :D B: “Có nhiều hơn 1 con gà đẻ trứng trong một ngày” “Không có con gà nào đẻ trứng trong một ngày”0 :D . Trong các biến cố trên, biến cố nào kéo theo biến cố B? ( 0, 3)iD i  0D B 1D B 2D B 3D B 11 2.2. Quan hệ tương đương: A B     A B B A : biến cố A tương đương với biến cố B A B  A xảy ra thì suy ra B xảy ra và ngược lại. 12 2.3. Tổng của các biến cố:  A B A B A + B xảy ra  có ít nhất 1 trong hai biến cố A, B xảy ra  hoặc A, hoặc B, hoặc cả A và B đều xảy ra. A B  10 3/4/2015 13 Ví dụ 2: Một hộp có 6 bi trắng và 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên ra 3 bi. T: “3 bi lấy ra là 3 bi trắng”. Đ: “3 bi lấy ra là 3 bi đỏ”. A: “3 bi lấy ra có màu giống nhau”   A T Đ. Ví dụ 1: Sinh viên A, B cùng dự thi môn XSTK. A: “Sinh viên A đậu”. B: “Sinh viên B đậu”. C: “Có ít nhất một sinh viên đậu” .  C A B 14 2.4. Tích của các biến cố: .  A B A B A.B xảy ra A xảy ra VÀ B xảy ra A B (tất cả)  15 Ví dụ 2: Một người dự thi lấy bằng lái xe máy. A: “Người đó thi đậu vòng thi lý thuyết”. . C AB Ví dụ 1: Sinh viên A, B cùng dự thi môn XSTK. A: “Sinh viên A đậu”. B: “Sinh viên B đậu”. C: “SV A và SV B đều đậu” . C AB B: “Người đó thi đậu vòng thi thực hành”. C: “Người đó lấy được bằng lái xe máy” 16 Ví dụ 3: Một thợ săn bắn 2 viên đạn vào một con thú. “Viên đạn thứ 1 trúng con thú”. “Viên đạn thứ 2 trúng con thú”. A: “Con thú bị trúng đạn”. 1 :A 2 :A Chọn câu đúng: 1) a A A 2) b A A 1 2)  c A A A 1 2) .d A A A e) Cả 3 câu a, b, c đều đúng. 17 Ví dụ 4:Có 2 hộp bi. Hộp I có 6 bi trắng và 4 bi đỏ. Hộp II có 7 bi trắng và 3 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 bi. “Bi lấy từ hộp I là bi trắng”. A: “2 bi lấy ra là bi trắng”. 1 :T Chọn câu đúng: 1) a A T 2) b A T 1 2) .c A T T 1 2)  d A T T e) Cả 3 câu a, b, c đều đúng. “Bi lấy từ hộp II là bi trắng”.2 :T III. Quan hệ giữa các biến cố: 18 3.1. Xung khắc: A và B xung khắc A và B không bao giờ cùng xảy ra. A B   A B  11 3/4/2015 19 Ví dụ 1: T: tung một con súc sắc A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút chẵn”. B: “Súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm”. C: “Súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”. Chọn câu đúng: a) A và B xung khắc. b) A và C xung khắc. c) B và C không xung khắc. d) Tất cả đều sai. 20 Ví dụ 2: Bộ bài có 52 lá. Lấy ngẫu nhiên ra 1 lá. A: “Lấy được lá ách”. B: “Lấy được lá cơ”. Chọn câu đúng: a) A và B xung khắc. b) A và B không xung khắc. 21 Ví dụ 3: Bộ bài có 52 lá. Lấy ngẫu nhiên ra 2 lá. A: “Lấy được 2 lá ách”. B: “Lấy được 2 lá cơ”. Chọn câu đúng: a) A và B xung khắc. b) A và B không xung khắc. 22 3.2. Đối lập: A và B được gọi là đối lập nhau  luôn luôn có đúng 1 biến cố xảy ra (có 1 và chỉ 1) Ký hiệu: A là biến cố đối (lập) của biến cố A.  AA     A A A A  A: “Không xảy ra biến cố A”.  23 Ví dụ 1: T: tung một đồng xu A: “Xuất hiện mặt ngửa”. B: “Xuất hiện mặt xấp”. A và B đối nhau. 24 Ví dụ 2: T: tung một con súc sắc A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút chẵn”. B: “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút lẻ”. C: “Súc sắc xuất hiện mặt 4 chấm”. Chọn câu đúng: a) A và B không xung khắc. b) A và B đối nhau. c) B và C