Để học tốt môn Lý thuyết xác suất và thống kê ứng dụng

47 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC Tóm tắt Bài viết này chia sẻ với đồng nghiệp và các bạn sinh viên một số phương pháp tiếp cận các dạng bài toán xác suất và thống kê trong nội dung môn học Lý thuyết xác suất và thống kê ứng dụng, thông qua phân tích và suy luận để đi tới một lời giải đúng. Từ khóa: Mô hình, phương pháp tiếp cận, xác suất, thống kê ứng dụng 1. Đặt vấn đề Xác suất và thống kê toán học là những nội dung mà sinh viên các trường đại học đều cảm thấy vừa thực tế, vừa trừu tượng. Phần đông các sinh viên đều thấy khó khi đứng trước các bài tập của môn học này. Có nhiều bạn hiểu nhưng lại không thể lý giải và diễn đạt được; kể cả những bạn sinh viên làm được bài nhưng cũng không tin chắc chắn rằng mình làm đúng. Thậm chí, có người sau khi ra trường nhiều năm vẫn cho rằng, môn Xác suất và thống kê là một trong những môn học khó nhất, dù rằng trên thực tế, không có môn học nào dễ và đều có những bài toán rất khó. Tuy nhiên, trong khuôn khổ nội dung của học phần mà các bạn sinh viên được học, các bài tập, bài thi được đưa ra là vừa sức. Vậy tại sao bài toán ở mức độ vừa sức nhưng nhiều sinh viên lại cho là khó và làm thế nào để sinh viên thấy đó là bài toán vừa sức? Với mong muốn góp phần cùng các bạn sinh viên học tốt môn Lý thuyết xác suất và thống kê ứng dụng, bài viết này sẽ trao đổi với các đồng nghiệp và các bạn sinh viên một số phương pháp tiếp cận thông qua phân tích, suy luận để đi tới một lời giải đúng cho các dạng bài toán xác suất và thống kê trong nội dung chương trình của môn học. 2. Những đặc trưng quan trọng của xác suất - thống kê - Trước hết, cần phải xác định, xác suất - thống kê là môn học vừa mang tính lý thuyết (trong đó yêu cầu những suy luận chặt chẽ, mạch lạc), vừa mang tính ứng dụng. Có thể nói, xác suất - thống kê vừa có sức hấp dẫn, lôi cuốn bởi vẻ đẹp truyền thông (nhìn thấy được, có thể tiếp cận được), vừa có vẻ đẹp nội tâm như những nét duyên ngầm. Trong đó, vẻ đẹp truyền thông chính là tính ứng dụng, còn vẻ đẹp nội tâm chính là sự chặt chẽ và chính xác trong lập luận, sự mạch lạc rõ ràng trong diễn đạt. * Bộ môn Toán - Thống kê, Khoa Kinh tế - Luật, Trường Đại học Tài chính - Marketing ĐỂ HỌC TỐT MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG 6. TS. Trần Kim Thanh* 48 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC - Xác suất - thống kê tự nó vừa phải xây dựng mô hình toán học, đồng thời vừa giải quyết vấn đề trên mô hình đó. - Mô hình toán học trong các bài toán thực tế của xác suất - thống kê thường không có sẵn ở dạng tường minh, mà ở dạng tiềm ẩn. Để xây dựng mô hình toán học cho các bài toán này, phải cần đến sự kết nối giữa các điều kiện thực tế với các điều kiện tương ứng trong toán học thông qua những suy luận chặt chẽ và đúng đắn. - Cần có sự kết nối chính xác giữa ngôn ngữ thực tế trong bài toán với ngôn ngữ toán học. 3. Phương pháp chung tiếp cận một bài toán xác suất - thống kê Khi đứng trước một bài toán xác suất - thống kê, chúng ta thường băn khoăn: Bài toán yêu cầu chúng ta làm gì? Nó liên quan đến nội dung nào mà ta đã được học? Các tính toán dựa theo công thức nào? Căn cứ nào để chúng ta đưa ra đánh giá, phân tích và kết luận? Để tiếp cận một bài toán xác suất - thống kê, nói chung, chúng ta phải thực hiện qua hai bước sau đây: Bước 1: Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét Đây là bước quan trọng nhất. Nếu chúng ta xác định sai mô hình thì toàn bộ các kết quả của bước sau cũng không đúng. Xác định mô hình toán học ở đây là trình bày những điều kiện thực tế, những đòi hỏi trong vấn đề đang xét dưới dạng ngôn ngữ toán học để từ đó chỉ ra vấn đề đang xét liên quan đến mô hình lý thuyết nào mà chúng ta đã được học. Điều này đòi hỏi phải có những suy luận chặt chẽ, hợp lý và mạch lạc. Đây chính là vẻ đẹp bên trong của xác suất - thống kê. Bước 2: Giải quyết vấn đề trên mô hình toán học đã được thiết lập Sau khi đã xác định được mô hình toán học của vấn đề đang xét, chúng ta chỉ ra các công thức tính, hệ thức liên hệ liên quan đến đặc trưng của mô hình. Các công thức sẽ giúp ta tính được các giá trị cần thiết, các hệ thức liên hệ sẽ giúp ta phân tích, đánh giá và kết luận. Do vậy, đối với một bài toán thực tế, mô hình xác suất, mô hình ngẫu nhiên hay mô hình thống kê thường ở dạng tiềm ần mà chúng ta phải phân tích, suy luận để xây dựng mô hình toán học, và từ đó mới có thể lựa chọn được phương pháp và công cụ thích hợp để giải quyết. Tóm lại, một bài toán về Lý thuyết xác suất và thống kê ứng dụng thường bao gồm hai bước: thiết lập mô hình toán học của bài toán, giải quyết bài toán trên mô hình đó. Tùy vào bài toán mà nó có thể liên quan đến một hoặc nhiều mô hình khác nhau. 4. Một số mô hình thông dụng trong Lý thuyết xác suất và thống kê ứng dụng Để giúp các bạn sinh viên thuận lợi trong việc giải một bài toán Lý thuyết xác suất và thống kê ứng dụng, tác giả giới thiệu một số mô hình thường được sử dụng như sau. 4.1. Các mô hình tính xác suất của một biến cố A Để tính được xác suất của một biến cố, trước hết chúng ta cần hình dung biến cố A liên quan đến phép thử nào, đồng thời, gọi tên chính xác biến cố A trong phép thử này (nhiều bạn 49 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC sinh viên mô tả biến cố A không chính xác, thậm chí còn nhầm sang mô tả một đại lượng bằng số). Mặt khác, cần sử dụng chính xác các công thức về Giải tích tổ hợp: hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp khi tính số các kết cục của phép thử và số khả năng thuận lợi của một biến cố. 4.1.1. Mô hình tính trực tiếp Nếu trong phép thử gồm n kết cục đồng khả năng, ta tính được m(A) là số kết cục thuận lợi cho A, thì: 4.1.2. Mô hình dùng công thức xác suất đầy đủ Nếu ta chưa thể tính trực tiếp P(A) (chưa tính được số kết cục m(A) thuận lợi cho biến cố A), mà ta còn băn khoăn vì nó còn phụ thuộc vào các tình huống khác nhau của phép thử, khi đó, hãy gọi tên các tình huống đó ra: , chúng tạo thành một hệ đầy đủ k biến cố, và xác suất P(A) sẽ được tính theo công thức xác suất đầy đủ, theo trình tự sau: - Tính các xác suất: - Tính các xác suất có điều kiện: (Xác suất của biến cố A trong tình huống cụ thể là xảy ra), j = 1, 2,, k. - Suy ra xác suất cần tính: (Áp dụng công thức xác suất đầy đủ cho biến cố A theo hệ đầy đủ ). 4.1.3. Mô hình dùng công thức Bayes Khi bài toán yêu cầu tính xác suất của biến cố A, trong điều kiện biến cố B nào đó đã xảy ra, thì xác suất cần tính chính là có thể được tính theo công thức Bayes: 4.1.4. Mô hình dùng công thức Bernoulli Nếu trong bài toán, một phép thử được lặp lại n lần, trong mỗi lần thử đều quan sát một biến cố B mà ta gọi sự kiện “thành công”, với xác suất thành công trong mỗi lần thử là p, thì xác suất để có đúng k thành công trong n lần thử là: , và giả sử biến cố A gồm những số lần thành công được ràng buộc bởi một điều kiện nào đó, thì xác suất P(A) được tính theo công thức: 50 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC 4.1.5. Mô hình tính theo phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên Giả sử X là một biến ngẫu nhiên và biến cố A là một điều kiện ràng buộc nào đó về giá trị của biến ngẫu nhiên X mà ta cần tính xác suất, khi đó: - Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất: thì xác suất cần tính là: - Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục, có hàm mật độ , thì xác suất cần tính là: Ví dụ: Có 30 hộp sản phẩm gồm: 15 hộp loại 1; 10 hộp loại 2; 5 hộp loại 3. Mỗi hộp đều có 50 sản phẩm. Hộp loại 1 có 5 sản phẩm lỗi, hộp loại 2 có 8 sản phẩm lỗi, hộp loại 3 có 10 sản phẩm lỗi. Chọn ngẫu nhiên 1 hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) ra 2 sản phẩm. 1) Tìm xác suất để cả hai sản phẩm lấy ra đều có lỗi. 2) Giả sử cả hai sản phẩm lấy ra đều lỗi, tìm xác suất để chúng được lấy ra từ hộp loại 1. Trước khi đưa ra lời giải, ta phân tích như sau: Phép thử ở đây là: chọn 1 hộp (từ 30 hộp) và từ đó lấy ra 2 sản phẩm. Để giải tính xác suất (1), ta không thể tính trực tiếp, vì nó phụ thuộc vào các tình huống hộp được lấy ra thuộc loại nào. Vậy xác suất (1) phải tính theo mô hình công thức xác suất đầy đủ. Xác suất cần tính trong (2) xét trong điều kiện đã có biến cố “2 sản phẩm lấy ra đều có lỗi”, vậy xác suất này phải tính theo công thức Bayess. Từ đó ta có lời giải sau: 1) Gọi A là biến cố: “Cả 2 sản phẩm lấy ra đề có lỗi”, là biến cố chọn được hộp loại i (i = 1, 2, 3), thì là hệ đầy đủ 3 biến cố có: . Áp dụng công thức xác suất đầy đủ cho biến cố A theo hệ đầy đủ ta có xác suất cần tính là: 51 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC 2) Biến cố: “2 sản phẩm được lấy ra từ hộp loại 1” chính là biến cố . Vì vậy, xác suất cần tính là: . Theo công thức Bayess ta có: 4.2. Các mô hình phân phối xác suất quan trọng 4.2.1. Mô hình phân phối nhị thức Giả sử trong một phép thử, ta quan sát biến cố A (mà ta gọi là sự kiện “Thành công”, với xác suất p = P(A) gọi là xác suất thành công). Khi đó, gọi X là số lần xuất hiện A (số thành công) trong n lần lặp lại phép thử này là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(n, p), tức là X có bảng phân phối xác suất như sau: X P Theo đó, trong thực tế, mô hình này khá phổ biến: số phần tử có tính n khách hàng có đặc điểm A nào đó trong n khách vào một hệ thống dịch vụ, số tín hiệu A nào đó trong số n tín hiệu nhận được từ một máy thu đều là các biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức. 4.2.2. Mô hình phân phối siêu bội Số phần tử có tính chất A trong n phần tử được lấy ra (lấy không hoàn lại) từ một tổng thể (có kích thước N không lớn lắm so với n), là một biến ngẫu nhiên X có phân phối siêu bội với các tham số n, M, N (M là số phần tử có tính chất A trong tổng thể), tức là biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất: X P Trong đó: (Các chỉ số k, m này cũng có thể thấy được trực tiếp từ các điều kiện cụ thể trong bài toán). Theo đó, mô hình siêu bội phổ biến đối với việc lấy mẫu không hoàn lại để quan sát tính chất A trên tổng thể có kích thước nhỏ, chẳng hạn: số sản phẩm có tính chất A trong n sản phẩm được mua từ một lô hàng, số người có đặc điểm A trong n người chọn ra từ một nhóm người là các biến ngẫu nhiên có phân phối siêu bội. 4.2.3. Mô hình phân phối Poisson Số lần xuất hiện một biến cố ngẫu nhiên A trong một khoảng thời gian, không gian nhất định nào đó là biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson. Nếu X có phân phối Poisson thì giá trị 52 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC trung bình là tham số của phân phối này. Khi đó X có tập giá trị: 0, 1,, n,, với xác suất tương ứng: , trong đó: Theo đó, mô hình Poisson là mô hình khá phổ biến khi quan sát số lần xuất hiện một biến cố A trong một khoảng thời gian, không gian nhất định nào đó. Chẳng hạn: số khách vào một hệ thống dịch vụ S nào đó trong một khoảng thời gian T làm việc, số trẻ sinh ra tại một bệnh viện phụ sản trong khoảng thời gian T, số cuộc gọi đến một máy điện thoại trong một khoảng thời gian T là các biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson. Chú ý: Các mô hình nhị thức hoặc siêu bội quan tâm đến số phần tử có cùng tính chất nào đó trong n phần tử được đếm, trong khi mô hình Poisson chỉ quan tâm số lượng phần tử, hay một biến cố nào đó được đếm trong khoảng thời gian, không gian nhất định. 4.2.4. Mô hình phân phối chuẩn Trong các bài toán, phân phối chuẩn thường được giả thiết ngay từ đầu đối với một biến quan sát liên tục nào đó như: sai số của một phép đo, thời gian sống của một cá thể trong một hệ sinh thái, chiều cao của người trưởng thành, doanh thu của một đơn vị sản xuất kinh doanh, đặc biệt trung bình cộng của một số lượng lớn các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối là biến có phân phối chuẩn. Ví dụ: Mỗi khách hàng vào một hệ thống dịch vụ A có thể chọn một trong ba mức phí dịch vụ: 100 nghìn đồng, 150 nghìn đồng và 200 nghìn đồng. Qua điều tra được biết, bình quân mỗi giờ làm việc có 30 khách hàng được phục vụ và số khách chọn các mức phí nói trên tương ứng theo tỷ lệ 5 : 3 : 2. 1) Tìm xác suất để trong một giờ làm việc, có từ 30 đến 40 khách được phục vụ ở hệ dịch vụ A. 2) Hãy cho biết tổng doanh thu bình quân của hệ dịch vụ A đối với 100 khách hàng được phục vụ. 3) Có 10 khách cùng vào hệ dịch vụ gồm 3 nam và 7 nữ đều chọn cùng một mức phí dịch vụ, người ta gọi ngẫu nhiên 4 người vào phục vụ ngay, còn 6 người phải ngồi chờ. Tìm xác suất để có ít nhất 2 khách hàng nữ không phải ngồi chờ. Nhận xét: Trong bài toán thực tế này, trước hết cần hiểu rằng, giả thiết số khách chọn các mức phí dịch vụ tương ứng theo tỷ lệ 5 : 3 : 2, có nghĩa là xác suất để một khách hàng vào chọn mức phí 100 nghìn đồng là 5/10, chọn mức phí 150 nghìn đồng là 3/10 và chọn mức phí 200 nghìn đồng là 2/10. Mặt khác, các biến quan sát có phân phối xác suất chưa được chỉ ra tường minh mà đang ở dạng tiềm ẩn. Để giải được các yêu cầu (1), (2), chúng ta phải chỉ ra mô hình phân phối của chúng, từ đó xác lập được công thức tính. Rõ ràng, yêu cầu (1) liên quan đến mô hình phân phối Poisson, yêu cầu (2) liên quan đến mô hình phân phối nhị thức và yêu cầu (3) liên quan đến mô hình phân phối siêu bội. Trên cơ sở phân tích này, ta đưa ra lời giải sau: 53 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC 1) Từ giả thiết, nếu gọi X là số khách hàng được hệ dịch vụ A phục vụ trong 1 giờ làm việc, thì X là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số (điều này được suy từ mô hình phân phối Poisson và giả thiết của bài toán). Vì vậy, xác suất cần tính (theo mô hình Poisson đã chỉ ra) là: Vì nên: 2) Ký hiệu: tương ứng là số khách hàng của hệ dịch vụ A chọn mức phí 100 nghìn đồng, 150 nghìn đồng, 200 nghìn trong số 100 khách hàng được phục vụ và là tổng doanh thu từ 100 khách hàng được phục vụ. Khi đó, là các biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức tương ứng (điều này được suy ra từ mô hình phân phối nhị thức), và: . Do đó, tổng doanh thu bình quân từ 100 khách hàng của hệ dịch vụ A là: 45000 nghìn đồng (45 triệu đồng). 3) Gọi Z là số khách hàng nữ được gọi vào ngay để phục vụ trong số 4 người được gọi vào, Z là biến ngẫu nhiên có phân phối siêu bội với các tham số n = 4, M = 7, N = 10, theo đó: Biến cố cần tính xác suất là: . Vì vậy, xác suất cần tính là: 5. Một số chú ý về các mô hình thống kê Các mô hình thống kê như: mô hình ước lượng, mô hình dự báo, mô hình kiểm định thường dễ nhận dạng hơn các mô hình trong Lý thuyết xác suất. Tuy nhiên, trong quá trình làm bài tập, nhiều sinh viên vẫn có những nhầm lẫn đáng tiếc. Trong nội dung này, chúng ta sẽ cùng phân tích và chỉ ra cách khắc phục. a) Những sai lầm thường xảy ra khi sinh viên làm bài a1. Nhầm lẫn giữa tham số đặc trưng trên tổng thể và đặc trưng tương ứng trên mẫu. a2. Nhầm lẫn giữa ước lượng điểm và ước lượng khoảng tin cậy. a3. Nhầm lẫn giữa ước lượng khoảng tin cậy cho giá trị trung bình tổng thể và cho tỷ lệ tổng thể. a4. Nhầm lẫn giữa các trường hợp của bài toán ước lượng khoảng tin cậy cho trung bình tổng thể. a5. Nhầm lẫn giữa các trường hợp của một bài toán kiểm định giả thuyết về giá trị trung bình tổng thể. 54 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC a6. Xác định sai giả thuyết H0 và đối thuyết H1 trong bài toán kiểm định. Những nhầm lẫn trên dẫn tới hoặc những kết luận không phù hợp, hoặc đưa ra các công thức khoảng tin cậy hoặc tiêu chuẩn kiểm định sai. b) Những chú ý để khắc phục sai sót Giả sử X là biến quan sát (liên tục) trên tổng thể Ω. Khi đó, tương ứng là trung bình tổng thể, phương sai tổng thể, tỷ lệ tính chất A của tổng thể là các tham số chưa biết của tổng thể cần ước lượng. Trên mẫu , ta có các đặc trưng mẫu tương ứng: là trung bình mẫu, phương sai mẫu và tần suất mẫu của A: là các tham số tổng thể (sau đây ký hiệu chung ), và là các đặc trưng mẫu tương ứng (sau đây ký hiệu chung là ). b1. Để tránh sai lầm (a1), chúng ta cần nhớ rằng, tham số tổng thể (là một trong các tham số ) là hằng số chưa biết, còn đặc trưng mẫu (một trong các đặc trưng mẫu: ) có giá trị thay đổi theo mẫu điều tra. Ước lượng hay kiểm định giả thuyết là cho tham số tổng thể , chứ không phải cho đặc trưng mẫu . b2. Để tránh nhầm lẫn (a2), cần lưu ý rằng, khi yêu cầu ước lượng cho tham số tổng thể mà không có độ tin cậy kèm theo thì đó là ước lượng điểm. Người ta thường dùng giá trị của đặc trưng mẫu để làm ước lượng điểm cho tham số tổng thể tương ứng. Trong khi đó, yêu cầu ước lượng khoảng tin cậy cho tham số tổng thể luôn phải kèm theo độ tin cậy. b3. Để không xảy ra nhầm lẫn (a3), cần nhớ rằng, với ước lượng khoảng tin cậy cho giá trị trung bình thì giá trị trung bình ở đây là giá trị trung bình của một biến quan sát định lượng, còn ước lượng khoảng tin cậy cho tỷ lệ thì tỷ lệ ở đây là tỷ lệ tổng thể của một tính chất hay thuộc tính A nào đó của các phần tử của tổng thể. Do đó, khi yêu cầu ước lượng khoảng tin cậy cho giá trị trung bình tổng thể thì trong bài toán phải đề cập đến một biến quan sát X nào đó mà giá trị trung bình ở đây là giá trị trung bình EX của biến quan sát này; còn khi yêu cầu ước lượng khoảng tin cậy cho tỷ lệ tổng thể thì trong bài toán đề cập đến việc quan sát một thuộc tính A nào đó của các phần tử của tổng thể và tỷ lệ tổng thể ở đây chính là tỷ lệ thuộc tính A: p = P(A) trên tổng thể. b4. Để không xảy ra nhầm lẫn (a4), chúng ta lưu ý rằng, bài toán tìm khoảng tin cậy cho giá trị trung bình được chia ra ba trường hợp khác nhau để giải quyết, trong đó, mỗi trường hợp có công thức tương ứng cho khoảng tin cậy: (1) biết phương sai tổng thể (trường hợp này ít xảy ra trong thực tế, vì một khi chưa biết thì cũng chưa biết phương sai, trừ trường hợp trong bài toán thực tế có ấn định trước ); (2) chưa biết phương sai tổng thể , cỡ mẫu n khá lớn: (3) chưa biết phương sai tổng thể , cỡ mẫu n bé: Do đó, để tránh nhầm lẫn, cần xác định bài toán và chỉ rõ trường hợp của bài toán để đưa ra công thức khoảng tin cậy phù hợp. 55 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC - Khoảng tin cậy (đối xứng) cho giá trị trung bình có dạng: Trong đó: Với là giá trị tới hạn của phân phối chuẩn, mức , là giá trị tới hạn của phân phối Student k bậc tự do, mức . - Các khoảng tin cậy một phía cho giá trị trung bình : Khoảng tin cậy bên phải: ( gọi là ước lượng tối thiểu cho ) Khoảng tin cậy bên trái: ( gọi là ước lượng tối đa cho ) Trong đó: b5. Để tránh nhầm lẫn (a5), chúng ta cần xác định rõ bài toán kiểm định về giá trị trung bình tổng thể rơi vào trường hợp nào trong ba trường hợp (1), (2), (3) đã trình bày ở (b4), sau đó chỉ ra giả thuyết H0 và đối thuyết H1, tiêu chuẩn bác bỏ giả thuyết H0 tương ứng. b6. Để tránh được sai lầm (a6), chúng ta lưu ý rằng, đối với bài toán kiểm định giả thuyết về tham số của tổng thể, trong nội dung chương trình môn Lý thuyết xác suất và thống kê ứng dụng chỉ xét đối với trường hợp giả thuyết đơn, tức là có dạng giả thuyết , với đối thuyết có một trong ba dạng , .